专题05 整体思想在整式化简中的应用压轴四大题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题05 整体思想在整式化简中的应用压轴四大题型 题型1 直接整体代入求值 题型3 化简后整体代入求值 题型2 变形后整体代入求值 题型4 整体思想的实际应用 题型一 直接整体代入求值（共6小题） 1．若，． (1)求a，b的值； (2)若a，b同号，求的值． 2．已知a，b互为相反数，p，q互为倒数，，求的值． 3．（），求的值； （）已知，，且，求的值． 4．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 5．规定一种新的运算：，例如：，请用上述规定计算下面各式： (1)； (2)． 6．已知，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型二变形后整体代入求值（共8小题） 1．已知，则的值是（   ） A．7 B．5 C．1 D．−1 2．若代数式的值为5，则的值是（   ） A．9 B．11 C．13 D．15 3．若，则（  ） A．6 B．2 C． D．0 4．如果代数式的值等于5，那么代数式的值等于（   ） A．1 B． C． D． 5．若代数式的值是5，则代数式的值是（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 6．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．若代数式的值是，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 8．若，则代数式的值为（   ） A．7 B．6 C．4 D．3 题型三化简后整体代入求值（共9小题） 1． （整体思想）已知，，求的值． 2． 先化简，再求值：，其中，． 3．【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，类似地，把看成一个整体，则． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，对进行化简． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 4．数学思想·整体思想  “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 比如，，类似地，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】 (1)化简的结果是________； (2)化简求值，，其中； 【拓展探索】 (3)已知，，，求的值． 5．请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．比如，，类似地，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是___________； （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知，则的值为___________． 6．阅读材料：我们知道，类似的，我们把看成一个体，则，“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并_____． (2)已知，求的值； (3)拓展探索：已知，，，求的值． 7．我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学的整体思想．整体思想是数学解题中的一种重要的思想，其应用较为广泛．请运用整体思想解答下面的问题． (1)把看成一个整体，化简：； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求的值． 8．【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材76页的部分内容． 把和各看作一个整体，对下列各式进行化简： ．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】把看成一个整体，求将合并的结果； (2)【简单应用】 ①已知，则 ； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】 已知，，求代数式的值． 9．【阅读材料】我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如，类似地，我们把看成一个整体，则． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： 【尝试应用】 (1)把看成一个整体，合并的结果为______． (2)已知，求的值． 【拓广探索】 (3)已知，求的值． 题型四 带字母的整式化简与整体思想的综合（共2小题） 1．【教材呈现】 “整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果整式的值为4，那么整式是多少？ 【阅读理解】 小亮同学把看做一个整体进行求解，过程如下： ． 所以整式的值为20． 【方法应用】 （1）已知：，则__________． （2）已知：，，求的值． 【知识拓展】 （3）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，当，时，求的值． 2．中学数学有一种重要的解题思维方式是“整体思想”． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 请运用“整体思想”解决下列问题： (1)①若，则的值为_______． ②已知，则的值为_______． (2)已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当，化简求值：． 1．如果，那么的值为（　　） A．7 B． C．5 D． 2．（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图： 若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体．则 ．请尝试解决： 若，，求的值． 3．【阅读理解】根据合并同类项法则，得；类似地，如果把看成一个整体，那么．这种解决问题的思想方法我们称为“整体思想”，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是__________； （2）已知，求的值； 【拓展探索】 （3）已知，求的值． 4．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题． (1)已知，，求当时的值． 提示：． (2)若代数式的值为8，求代数式的值． 提示：把变形为含有的形式． (3)已知，求代数式的值． 5．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整体思想在整式化简中的应用压轴四大题型 题型1 直接整体代入求值 题型3 化简后整体代入求值 题型2 变形后整体代入求值 题型4 整体思想的实际应用 题型一 直接整体代入求值（共6小题） 1．若，． (1)求a，b的值； (2)若a，b同号，求的值． 【答案】(1)， (2)或12 【分析】本题考查了绝对值、代数式求值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． （1）根据绝对值的性质求解即可得； （2）先根据绝对值的性质和同号可得的值，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． （2）解：∵，， ∴，， ∵同号， ∴或， ∴或， 综上，的值为或12． 2．已知a，b互为相反数，p，q互为倒数，，求的值． 【答案】10或 【分析】考查相反数（和为0）、倒数（积为1）、绝对值（）的概念，运用分类讨论思想．关键是代入求值，易错点是漏看m的两种情况． 首先可根据“a，b互为相反数，p，q互为倒数，”得，，．于是分两种情况，当时，原式；当时，原式． 【详解】根据题意： 因为a，b互为相反数，所以； 因为p，q互为倒数，所以； 因为，所以． 分两种情况计算： 当时： 当时： 综上，该式的值为10或． 3．（），求的值； （）已知，，且，求的值． 【答案】（）；（）或 【分析】（）根据非负数的性质求出的值，再代入代数式计算即可； （）根据绝对值的意义及可得，或，，再分别代入代数式计算即可求解； 本题考查了非负数的性质，绝对值的意义，代数式求值，掌握非负数的性质和绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴，， ∴，， ∴； （）∵，， ∴，， 又∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； ∴的值为或． 4．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)11或 (2)或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘法运算，代数式求值，解题的关键是掌握． （1）根据绝对值的意义求出，或，再由确定的值，再代入求解即可； （2）根据绝对值的意义得到，，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， ∴的值为11或； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴或， ∴的值为或． 5．规定一种新的运算：，例如：，请用上述规定计算下面各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与有理数的混合运算，解题的关键是准确把握新运算“”的规则，将给定数值代入公式进行计算． （1）中确定，，代入计算； （2）中确定，，同理代入公式计算，注意符号处理． 【详解】（1））解：由新运算，当，时， （2）当，时， 6．已知，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了有理数的绝对值和乘方，有理数的加减运算以及有理数乘积的符号与因数的关系，熟知这些概念是解题的关键． （1）根据，，，可得，，，再由，确定a，b的值，最后代入中即可求解； （2）根据，，，可得，，，再由，分情况讨论a，b的值，再代入中即可求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以，，， 因为， 所以，， 所以； （2）解：因为，，， 所以，，， 因为， 所以当，时，， 所以当，时，． 题型二变形后整体代入求值（共8小题） 1．已知，则的值是（   ） A．7 B．5 C．1 D．−1 【答案】A 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键；因此此题可根据整体思想代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 2．若代数式的值为5，则的值是（   ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴． 故选：B 3．若，则（  ） A．6 B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式 故选：A． 4．如果代数式的值等于5，那么代数式的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是运用整体的思想． 先由题意可得，再将变形 ，然后代入求值即可． 【详解】解：∵代数式的值等于5， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．若代数式的值是5，则代数式的值是（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题的关键； 根据题意可得，即，再整体代入所求式子求解即可. 【详解】解：根据题意可得：, 即， 所以, 所以； 故选：C ． 6．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入是解题的关键． 根据，可得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B 7．若代数式的值是，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意确定出的值，原式变形后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，即， 则原式， 故选：． 8．若，则代数式的值为（   ） A．7 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，根据已知条件将所求代数式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 题型三化简后整体代入求值（共9小题） 1．（整体思想）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练计算是解题的关键 先化简原式，再将所给式子整体代入即可． 【详解】解： ， ， ， 将，代入得， 原式． 2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先合并同类项，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 3．【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，类似地，把看成一个整体，则． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，对进行化简． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）118 【分析】本题主要考查整体代入思想，整式的混合运算，理解整体代入的计算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）把看成一个整体，运用合并同类项的方法即可求解； （2）先根据整式的混合运算化简，再代入计算即可； （3）设①，②，③，则有①②得，③②得，运用整体代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， 原式； （3）设①，②，③， ∴①②得，③②得， ． 4．数学思想·整体思想  “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 比如，，类似地，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】 (1)化简的结果是________； (2)化简求值，，其中； 【拓展探索】 (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)18 【分析】本题考查整式的加减运算： （1）把看成一个整体，仿照材料中方法进行化简； （2）把和分别看成一个整体，即可化简，再将代入求值； （3）将所求式子变形为，再将，，代入求值． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： 当时， 原式； （3）解：因为，，， 所以 ． 5．请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．比如，，类似地，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是___________； （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知，则的值为___________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握合并同类项和去括号的运算法则是关键． （1）利用整体的思想，将看作整体，即可求解； （2）利用整体的思想，将看作整体，再将代入求解即可； （3）将式子整理，得到关于的式子，将代入求解即可； 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） 当时， ； （3）， 故答案为： 6．阅读材料：我们知道，类似的，我们把看成一个体，则，“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并_____． (2)已知，求的值； (3)拓展探索：已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式的求值，整式的加减运算； （1）利用整体法的思想进行求解即可得； （2）利用整体法可得，代入即可求解； （3）将原式整理成，代入式子的值即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． （3）解：∵，， ∴ ． 7．我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学的整体思想．整体思想是数学解题中的一种重要的思想，其应用较为广泛．请运用整体思想解答下面的问题． (1)把看成一个整体，化简：； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）把看成整体直接计算即可； （）将原式变形为，然后整体代入计算即可； （）先将原式去括号，然后合并同类项，利用加法交换律和结合律，再整体代入即可； 本题考查了整式的加减运算化简求值，掌握合并同类项的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴原式 ， ， ； （3）解：∵ ，， ∴原式 ， ， ， ， ． 8．【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材76页的部分内容． 把和各看作一个整体，对下列各式进行化简： ．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】把看成一个整体，求将合并的结果； (2)【简单应用】 ①已知，则 ； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】 已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①2022；② (3) 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：① ， ， 故答案为：2022； ②， ； （3）解： ，， ． 9．【阅读材料】我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如，类似地，我们把看成一个整体，则． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： 【尝试应用】 (1)把看成一个整体，合并的结果为______． (2)已知，求的值． 【拓广探索】 (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）把的前两项变形，然后整体代入求值； （3）把式子先去括号，再利用加法的交换结合律变形为和的形式，最后整体代入求值． 【详解】（1） ； （2）因为， 所以 ． （3）因为， 所以 ． 【点睛】本题考查了整式的加减，掌握整体的思想是解决本题的关键． 题型四 带字母的整式化简与整体思想的综合（共2小题） 1．【教材呈现】 “整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果整式的值为4，那么整式是多少？ 【阅读理解】 小亮同学把看做一个整体进行求解，过程如下： ． 所以整式的值为20． 【方法应用】 （1）已知：，则__________． （2）已知：，，求的值． 【知识拓展】 （3）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，当，时，求的值． 【答案】（1）2022；（2）36；（3）6 【分析】本题主要考查了代数式求值，化简绝对值，整式的加减， （1）整体代入可得答案； （2）先整理得，再整体代入计算； （3）先根据数轴去掉绝对值，再根据整式的加减法计算，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：2022； （2）∵， ∴； （3）根据数轴可知， ∴，． ∴ ． ∵， ∴原式 ． 2．中学数学有一种重要的解题思维方式是“整体思想”． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 请运用“整体思想”解决下列问题： (1)①若，则的值为_______． ②已知，则的值为_______． (2)已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当，化简求值：． 【答案】(1)①−2；②−11 (2) 【分析】本题考查代数式求值，化简绝对值，熟练掌握整体思想，是解题的关键： （1）①利用整体思想，代入求值即可；②代数式变形后，利用整体思想，代入求值即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简绝对值后，整体思想求值即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴； （2）由数轴可知：， ∴， ∴ ， ∵， ∴原式． 1．如果，那么的值为（　　） A．7 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值方法，通过观察可得出求解代数式与已知给出的代数式的相似之处是解题的关键． 根据，可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B 2．（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图： 若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体．则 ．请尝试解决： 若，，求的值． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是整体思想的应用； （1）先根据题意求出x，y，再化简整式并代入求值即可； （2）把变形为，把变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：是和3之间的最大整数， ， 是和3之间的最小整数， ， 又 ， 当，时， 原式； （2）解：，， ． 3．【阅读理解】根据合并同类项法则，得；类似地，如果把看成一个整体，那么．这种解决问题的思想方法我们称为“整体思想”，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是__________； （2）已知，求的值； 【拓展探索】 （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）4；（3） 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，整体代入是解题的关键； （1）把看成一个整体，合并同类项，即可求解； （2）根据得出代入代数式，即可求解； （3）化简代数式得出，然后将已知式子代入，即可求解． 【详解】解：（1） ， 故答案为：． （2）因为，所以，即， 则原式． （3）原式． 因为， 所以原式 ． 4．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题． (1)已知，，求当时的值． 提示：． (2)若代数式的值为8，求代数式的值． 提示：把变形为含有的形式． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1)0 (2)11 (3) 【分析】（1）按提示把和整体代入可得的表达式，然后再将代入计算即可； （2）由可得，然后按提示对代数式进行变形，最后整体代入计算即可； （3）由可得，然后先将原代数式化成，然后将原式化成，最后整体代入即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴当时，． （2）解：∵ ∴ ∴． （3）解：∵ ∴ ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算、代数式求值等知识点，灵活运用整体思想是解答本题的关键． 5．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）；（3）2或4小时 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可； （3）由题意易得，则，根据题意分相遇前两人相距20千米和相遇后两人相距20千米列式计算即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 5 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $