专题03 图形的位似变换（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题3 图形的位似变换 目录 A题型建模・专项突破 题型一、位似比的运用 1 题型二、判断位似中心 3 题型三、位似作图 6 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、位似比的运用 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 2．（2025九年级上·河北·专题练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 3．（2025·云南·模拟预测）如图所示，与是位似图形，点为位似中心，且 若的周长为6，则的周长为（　　） A．4 B． C．12 D．32 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 6．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 7．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形的周长与四边形的周长之比是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（   ）    A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9 题型二、判断位似中心 9．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心（保留作图痕迹）； (2)若，位似比是，求的长． 10．（25-26九年级上·福建宁德·阶段练习）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 13．（2025·浙江金华·三模）如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为，已知，D点的坐标为，则这两个三角形的位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 题型三、位似作图 17．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 18．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为． (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点为位似中心，在第四象限将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出，则的坐标是 ． (3)若点是一点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标是． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 20．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为，并写出点，，的坐标． (2)若点P在内部，且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ． 21．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 22．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，， (1)是__________三角形； (2)以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标__________； 23．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． (1)请画出； (2)与的周长之比为______； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 24．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 25．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．（19-20九年级·重庆北碚·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（　　） A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8） 27．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点B的对应点的坐标为 ． 28．（24-25九年级下·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，以为底边作等腰三角形，且．过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且；过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且……以此类推，则点的坐标是 ． 29．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点． (1)以O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的位似比为； (2)求的面积； (3)利用图中网格线的交点用直尺在线段AB上找到一点D，使． 30．（22-23九年级下·山东德州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 31．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 32．（2024·河南信阳·三模） 九年级教材内容改编 结合教材图形给出新定义 对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心 (1)①在图1中位似中心是点______； ②______多边形是特殊的______多边形；（填“位似”或“相似”） (2)如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于O，A两点，点B是此函数图象上一点（点A，B均不与点0重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，在第一象限内得到它的其中一个位似．    ①画出（不写作法，不用保留作图痕迹），并求出点，的坐标； ②直线与二次函数的图象交于点M，与经过O，，三点的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据位似三角形的定义说明理由．[提示：若直角坐标系中有两点，，且满足，则]． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 图形的位似变换 目录 A题型建模・专项突破 题型一、位似比的运用 1 题型二、判断位似中心 3 题型三、位似作图 6 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、位似比的运用 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 【答案】B 【分析】本题考查位似图形与相似图形的关系、位似图形的性质（对应边平行、周长比等于位似比），运用逐一分析验证法．解题关键是明确位似图形是特殊的相似图形，且位似图形具有对应边平行、对应顶点连线交于位似中心等性质；易错点是混淆相似图形与位似图形的关系（误认为相似图形一定是位似图形）． 分别根据位似图形与相似图形的关系对四个选项进行分析判断即可． 【详解】选项A：位似图形是特殊的相似图形，所以若与是位似图形，则这两个三角形相似，A正确． 选项B：相似图形不一定是位似图形，位似图形需要对应顶点的连线相交于一点（位似中心），而相似图形不一定满足这一条件，所以若与是相似图形，不一定是位似图形，B错误． 选项C：若、、分别是、、的中点，则与是位似图形，位似比为，根据相似三角形的性质，周长比等于位似比，所以与的周长比为，C正确． 选项D：若与是位似图形，根据位似图形的性质，对应边平行，所以，D正确． 故选：B． 2．（2025九年级上·河北·专题练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查位似图形，熟练掌握位似图形是解题的关键；由题意得位似比，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：A． 3．（2025·云南·模拟预测）如图所示，与是位似图形，点为位似中心，且 若的周长为6，则的周长为（　　） A．4 B． C．12 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∴， 即和的相似比为， ∴和的周长比为， ∵的周长为6， ∴的周长为12． 故选：C ． 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似变换，根据位似图形的概念得到，根据点、的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可．解题的关键是掌握：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】解：∵与是以为位似中心的位似图形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴与的相似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是． 故选：B． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9， 故选：C． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是， ∴． ∴相似比为． ∵B点的坐标为， ∴，． ∴点D的坐标为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形的周长与四边形的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似的概念、位似多边形的性质等知识点，掌握位似多边形的周长的比等于相似比是解题的关键．先根据题意求出两个相似多边形的相似比，再根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，位似中心为点O，， ∴，即四边形与四边形位似比为， ∴． 故选：C． 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（   ）    A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9 【答案】C 【分析】本题主要考查位似图形的性质，解题关键是利用位似图形的对应边成比例，以及周长比等于相似比来求解．先通过找出四边形与四边形的相似比即，即可得出周长比． 【详解】解析：四边形与四边形关于点位似， ， ， 四边形ABCD与四边形的周长比为． 故选：C． 题型二、判断位似中心 9．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心（保留作图痕迹）； (2)若，位似比是，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． （1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求； （2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，位似中心即为所求． ． （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26九年级上·福建宁德·阶段练习）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与的延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：D． 11．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形中位似中心的确定，“位似图形对应点的连线经过位似中心” ，据此即可求解． 【详解】解：如图，作直线交直线于点， ∴点的坐标为，与是位似图形， ∴位似中心的坐标为． 故选：C 12．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心． 故选：D． 13．（2025·浙江金华·三模）如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是， 故选：． 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为，已知，D点的坐标为，则这两个三角形的位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握位似中心是由位似图形的对应顶点的连线的交点是解答本题的关键． 先确定G点的坐标，再结合D点坐标和位似比为，求出A点的坐标；然后再求出直线的解析式，直线与x的交点坐标，即为这两个三角形的位似中心的坐标． 【详解】解：∵是由等腰直角三角形经过位似变换得到的， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴G点的坐标分别为 ∵D点坐标为，位似比为， ∴A点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线与x的交点坐标为， ∴位似中心的坐标是． 故选：A． 15．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形及位似中心的概念，掌握位似中心的确定方法是解题关键． 根据连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，即可解答． 【详解】解：如图所示 ， 连接，，，交于点D， 通过观察平面直角坐标系可以发现，这些连线的交点坐标为． 故选：A． 16．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键． 连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，，    则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 题型三、位似作图 17．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图，位似图形的性质，求格点三角形的面积，熟练掌握位似图形的作图及位似图形的性质是解题的关键． （1）连接，，根据位似图形的性质，即知两线段的交点P即为所求； （2）由图可直接得到点P的坐标；根据位似图形的性质，即可求得与的面积比；用正方形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据位似图形的性质，分别取，，的中点，，，连接，，即可． 【详解】（1）解：如图，点P就是位似中心； ； （2）解：由图可知，点P的坐标为； 根据图形可知，，， 与关于点P位似， 与的面积比为， ． 故答案为：；；． （3）解：如图，就是所求作的三角形． 18．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为． (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点为位似中心，在第四象限将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出，则的坐标是 ． (3)若点是一点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标是． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3) 【分析】本题考查作图—位似变换，作图—平移变换等知识，解题的关键是掌握平移和位似的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，再首尾相连即可； （2）根据位似变换的性质分别作出的对应点，再首尾相连即可，得到的坐标； （3）结合平移和位似的坐标变化规律，推出点经过两次变换后对应点的坐标可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 的坐标是, 故答案为：; （3）解：点先向左平移5个单位长度，坐标变为； 再以原点为位似中心，相似比为2放大，坐标变为，即． 所以的坐标是． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)和是关于点为位似中心的位似图形 【分析】本题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键． （1）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示， （3）解：和是关于点为位似中心的位似图形． 20．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为，并写出点，，的坐标． (2)若点P在内部，且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ． 【答案】(1)作图见解析，；； (2) 【分析】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求 由图可得：，，； （2）解：变化后的对应点的坐标． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积是； （3）解：∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴． 22．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，， (1)是__________三角形； (2)以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标__________； 【答案】(1)等腰直角 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，位似图形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股定理与网格，得，以及勾股逆定理得，即可作答． （2）结合位似图形的性质进行作图即可； （3）根据位似图形的性质得出，对应点到位似中心的距离等于相似比，即，然后代入，进行运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵ ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图所示： （3）解：由（2）得以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且位似比为，内部有一点，经过（2）中位似变换后的对应点， ∴ ∵， ∴ 则 ∴经过（2）中位似变换后的对应点的坐标为 23．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． (1)请画出； (2)与的周长之比为______； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据位似的性质解答即可； （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵，与位似，且位似比是． ∴与的周长之比为 （3）解：∵，与位似，且位似比是． 又∵点M的坐标为 ∴点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 24．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）把点A，点B，点C的横纵坐标分别乘以可得它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为； （3）解：∵以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴． 25．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证出四边形是矩形，进而推得，求出，再证得，求出，，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：过点C作轴交于点N，过点B作交延长线于点M， 由题意可知，，， ∵轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，如图， ∴，，， 过点F作轴，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点恰好在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握位似的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 26．（19-20九年级·重庆北碚·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（　　） A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8） 【答案】A 【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系， ∴△ACB∽△CED， ∵相似比为1：3， ∴，即 ， 解得，DE＝6， ∵△CED为等腰直角三角形， ∴CE＝DE＝6， ∵BC∥DE， ∴△OCB∽△OED， ∴ ，即， 解得OC＝3， ∴OE＝OC+CE＝3+6＝9， ∴点D的坐标为（9，6）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的两个图形是相似图形是解题的关键． 27．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题要考查了位似图形和图象上的点的坐标特征、一次函数与坐标轴的交点问题，先解得点A和B的坐标，利用位似变换可得结果． 【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令可得；令可得； 点A和B的坐标分别为，， 与是以A为位似中心的位似图形，且相似比为， ， 的坐标为或． 故答案为：或． 28．（24-25九年级下·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，以为底边作等腰三角形，且．过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且；过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且……以此类推，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等腰三角形的性质找出规律． 利用等腰三角形的性质，勾股定理和线段的比值确定中点的坐标，找出各中点之间的数量关系，最后确定答案． 【详解】解： 如图，根据题意可得，根据三线合一，等腰，等腰，等腰……底边上的中点都在一条直线上，即在直线上，假设的中点为， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得， 根据等腰直角三角形的性质可得， ∵ 在中，由勾股定理得， 同理可得 ，即 以此类推，点的坐标是， 故答案为：． 29．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点． (1)以O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的位似比为； (2)求的面积； (3)利用图中网格线的交点用直尺在线段AB上找到一点D，使． 【答案】(1)图见解析 (2)10 (3)图见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图，平行线分线段成比例定理； （1）连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，连接并延长到点使得，顺次连接、、即可； （2）利用割补法用梯形面积减去两个三角形面积可求出的面积； （3）如图，根据平行线分线段成比例定理即可得到与的交点即为所求. 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，连接并延长到点使得，顺次连接、、，即为所求 （2） （3）解：取格点E，F，H，连接， ∵ ∴ ∴D点即为所求 30．（22-23九年级下·山东德州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，Q点的坐标为 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 31．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)点C的坐标为或 (3)点P的坐标为；m的值为3 【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得． 【详解】（1）解：令，则 ∴点A的坐标为， 将点代入得： 解得： ∴ 将点代入得： 解得： ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，    令解得： ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ 又∵直线l是的垂线即，， ∴， ∴ 设直线l的解析式是：， 将点，点代入得： 解得： ∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 ∵，(分别代表点B与点C的横坐标) 解得： 或6， 当时，； 当时，， ∴点C的坐标为或 （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， ∴点E是直线l与双曲线的另一个交点， 将直线l与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 画出图形如下：    又∵ ∴ ∴ ∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等， 设直线的解析式是： 将点代入得： 解得： ∴直线的解析式是： ∵点D也在双曲线上， ∴点D是直线与双曲线的另一个交点， 将直线与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 设直线的解析式是： 将点，代入得： 解得： ∴直线的解析式是：， 又将直线的解析式与直线l的解析式联立得： 解得： ∴点P的坐标为 ∴ ∴ 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键． 32．（2024·河南信阳·三模） 九年级教材内容改编 结合教材图形给出新定义 对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心 (1)①在图1中位似中心是点______； ②______多边形是特殊的______多边形；（填“位似”或“相似”） (2)如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于O，A两点，点B是此函数图象上一点（点A，B均不与点0重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，在第一象限内得到它的其中一个位似．    ①画出（不写作法，不用保留作图痕迹），并求出点，的坐标； ②直线与二次函数的图象交于点M，与经过O，，三点的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据位似三角形的定义说明理由．[提示：若直角坐标系中有两点，，且满足，则]． 【答案】(1)①P；②位似，相似． (2)①图见解析，点，的坐标分别为，； ②和是位似三角形，见解析． 【分析】（1）根据位似的概念可知图中的位似中心以及位似多边形是特殊的相似多边形； （2）点B的横坐标与纵坐标相等可联立二次函数表达式与求得点B的坐标，根据位似的概念可求出点A的坐标．运用待定系数法可求出过O，，三点的抛物线的表达式为，通过联立二次函数解析式与可求得点M和N的坐标，最后根据题目中的提示即可得出结论． 【详解】（1）解∶①在图1中可观察得到位似中心为点P； ②根据位似的概念可知，位似多边形为特殊的相似多边形． （2）①，如图所示．   点B的横坐标与纵坐标相等， 点B在直线上． 令， 解得，（舍去）， 则点B的坐标为． 令，解得，． 点A的坐标为． 点O为位似中心，相似比为， ． 点，的坐标分别为，． ②和是位似三角形． 理由如下： 新抛物线经过点O，，， 可设新抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得． 经过O，，三点的抛物线的表达式为． 令， 解得，（舍去）． 即点． 同理可得，点． ． ， 和是位似三角形． 【点睛】本题考查了位似的概念及位似与二次函数结合的应用问题，考查了二次函数与直线的交点和用待定系数法求二次函数的表达式．理解位似的概念是本题的难点，能熟练运用待定系数法求出二次函数表达式并将二次函数表达式与含参数的一次函数解析式联立求解是解决本题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $