专题02 相似三角形的判定与性质综合（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题2 相似三角形的判定与性质综合 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相似三角形的判定 1 题型二、相似三角形的性质 3 题型三、相似模型 6 题型四、相似三角形综合 8 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、相似三角形的判定 1．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作交BC于点F，得到，得到，根据，推出，，，得到，接着证明，通过四边形DFCE是平行四边形，，得到，加上，，，从而得证． 【详解】证明：作交于点F． ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论． （2）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． 【详解】（1）证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：A． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，正方形中，是的中点，．与是否相似？请说明理由． 【答案】与相似．理由见解析 【分析】利用表示三角形各边长度，再判断三角形的三边是否成比例. 【详解】解：与相似．理由如下： 设正方形的边长为． 是的中点，， ，，， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 5．（25-26九年级上·全国·期中）如图，点E，F分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 先根据，得出的长，进而可得出的长，由相似三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 令，根据勾股定理求出相关边长，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，， ∴； ， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴与不相似， 该选项错误，不符合题意； C.令，由勾股定理得， ∵， ∴，且， ∴， ∴该选项正确，符合题意； 故选：C． 7．（22-23九年级上·北京延庆·期中）如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 8．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“”型和“”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①，，则可判断，故①符合题意； ②，则，故②不符合题意， ③，且夹角，能确定，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故不能确定，故④不符合题意， 即能满足的条件有2个． 故选：B． 题型二、相似三角形的性质 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知，，，，若的最长边为16，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得到和的相似比，即可得出答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，的最长边为16， ∴和的相似比， ∴， 故选：B． 10．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）已知，是的中线，是的中线，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．由，是的中线，是的中线，得到，结合，即可求解． 【详解】解：，是的中线，是的中线， ， ， ． 故选：C． 11．（18-19八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，进而根据，，计算即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 13．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ ∴ （2），理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 14．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使与相似，且以为直角边，若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或或或或或 【分析】本题考查了解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质． （1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出，的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标； （2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （3）先求出，，再根据以为直角边，得到或，最后根据与相似得到比例式计算即可，注意分类讨论． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴，， ∴，； （2）解：将代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点E为线段的中点，，B的横坐标为0， ∴点E的横坐标为， ∵点E为直线上一点， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵以为直角边， ∴或， ①当时，点在轴上，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； ②当时，，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； 综上所述，存在点M，使与相似，且以为直角边，点M的坐标为或或或或或或或． 15．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)图见解析，其相似比是 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． （1）先利用勾股定理可得的长，再根据相似三角形的判定即可得； （2）结合勾股定理和网格特点画出与相似，且相似比为的三角形即可得． 【详解】（1）解：这两个三角形相似，理由如下： 由图可知，，，，，，， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求． ∵，，， ，，， ∴， ∴，其相似比是． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 题型三、相似模型 17．（2026·湖北·模拟预测）在正方形中，将绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到，点与点对应，点与点对应，连接，． (1)如图①，求证； (2)如图②，是的中点，连接，求证：； (3)如图③，在（）的条件下，当旋转到，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】()证明即可得出结论，证明，即可得出； ()设正方形的边长为，则，，，证明，，即可得出结论； ()过点作交的延长线于点，证明，得，从而可得到，则，然后在中，由勾股定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， 由旋转得，， ∴，， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：设正方形的边长为，则， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作交的延长线于点， ∵， ∴， 由()知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， 解得，(舍去)， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，解题关键是掌握正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质． 18．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在中，于点D，，求AD的长． 【答案】2 【分析】由在中，，根据同角的余角相等，可得，可证得，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：， ． ， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例的应用． 19．（25-26九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）由得到，于是得到； （2）利用相似三角形的性质求得的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知，点E、F在线段上，，． (1)求证：∽； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，然后根据，即可证明； （2）根据相似三角形的性质即可解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴∽； （2）解：∵∽，， ∴， ∵， ∴． 21．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 项目式学习小组研究了一个问题，如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，四边形是矩形，连接． (1)与的长度比为 ； (2)如图2，将矩形绕点A按顺时针方向旋转至点G落在边上，求点 F到的距离； (3)将矩形绕点A按顺时针方向旋转至如图3所示的位置时，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）如图1中，由此交于，则四边形是矩形．在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）如图2中，作于．利用勾股定理和相似三角形的性质，求出、即可解决问题； （3）连接，，由勾股定理求出的长，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图1中，由此交于，则四边形是矩形． 在中，，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2中，作于， 在矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即点到的距离为； （3）解∶． 证明：连接，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 22．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，证明，由相似三角形的性质得出． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出答案． （3）过C作于N，交的延长线于点M，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，如图： 则四边形为矩形， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由（1）知：， ∴． （3）过C作于N，交的延长线于点M，如图3： ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在等边三角形中，点M，N分别是，上的点，且，， (1)当时，求的长． (2)点M在什么位置时，的长为． 【答案】(1) (2)当或时，的长为． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据角度相等判断出相似． （1）根据与可得相似，再根据边成比例可求解的长度，再根据可求解． （2）设，则，再根据相似可得边成比例，代入整理可得关于x的一元二次方程，由此求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在中，， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 即， 解得， ，， ． （2）解：设，则， 由（1）知， ， 已知，，代入可得， 交叉相乘得，即， 可得， 整理可得， 解得， 当时，； 当时，。 因此，当或时，的长为． 24．（2024·安徽·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在的延长线上，点在上，，，交于点F． (1)①求证：； ②求证：； (2)如图2，若点E是的中点，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得，，相减后可得结论； ②过点作，可得是等边三角形，证明即可； （2）设，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得出，然后计算即可． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； ②证明：过点作交于G，则， ∵， 是等边三角形， ，， ∴，即 又∵， ， ， ； （2）解：由（1）知，， 设，则， 点是的中点， ， ，， ， ，即， ， ， ． 题型四、相似三角形综合 25．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后； （2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可； （3）过点作于点，证出，，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可． 【详解】（1）设CF交BE于点H， ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 由翻折可得：， ∴为的中垂线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折得 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处 ∴， 又∵矩形ABCD中， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，设 ∵平分，， ∴，，设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键． 26．（20-21八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）是；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可； （3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知． 分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果； 当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形． 故答案为：是； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是垂等四边形， ， ； ②如图1，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知，，， ， 即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，． ， ； （3）如图2，过点作，垂足为， 四边形为矩形． ， ． 在中，， 根据勾股定理得，，即， ，． 四边形为垂等四边形， ． 第一种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ； 第二种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ． 综上所述，四边形的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大． 27．（2020·安徽合肥·一模）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）DH＝1+ 【分析】（1）由平行线的性质可得∠EDC＝∠ABM，∠ECD＝∠ADB，由“ASA”可证△ABD≌△EDC，即可得出结论； （2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）先判断出MI∥BH，MI＝BH，进而利用直角三角形的性质即可得出结论．设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，推出AM＝6+2x，BH＝6+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可； 【详解】（1）∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABM， ∵CE∥AM， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵AM是△ABC的中线，且D与M重合， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； （2）四边形ABDE是平行四边形， 理由如下：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G， ∵CE∥AM， ∴四边形DMGE是平行四边形， ∴ED＝GM，且ED∥GM， 由（1）知，AB＝GM， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； （3）如图3取线段CH的中点I，连接MI， ∵BM＝MC， ∴MI是△BHC的中位线， ∴MI∥BH，MI＝BH， ∵BH⊥AC，且BH＝AM， ∴MI＝AM，MI⊥AC， ∴∠CAM＝30°． 设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x， ∴AM＝6+2x， ∴BH＝6+2x， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴DF∥AB， ∴， ∴ 解得x＝1+或1﹣（负值舍去）， ∴DH＝1+． 【点睛】本题考查的是全等三角形的证明，平行四边形的判定，平行线分线段成比例，一元二次方程的求解，正确理解题意，掌握三角形的判定，平行四边形的判定和正确的做出图形，是解题的关键． 28．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 29．（2021·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【点睛】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 30．（2021·辽宁大连·二模）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点E在BC上，且EC＝AC．连接AE，F为AE的中点，CD⊥AB于D，过点E作EH∥CD交DF的延长线于点H，DH交BC于M． （1）探究∠EAB和∠BCD之间的数量关系，并证明； （2）求证AD＝EH； （3）若BC＝kAC，求的值（用含有k的代数式表示）． 【答案】（1）∠BCD＝∠BAE＋45°，见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）在直角三角形中，两锐角和为，再利用等腰直角三角形角度的特殊性，通过等量代换即可证明； （2）添加辅助线后，证明三角形全等得到对应边相等，得到一个等腰直角三角形，再利用平行线的性质，再次证明三角形全等，得到对应边相等，根据等腰直角三角形腰相等，通过等量代换即可证明； （3）引进未知数，通过证明三角形相似，得对应边成比例，通过等量代换把表示出来，即可和相比． 【详解】（1）∠BCD＝∠BAE＋45° 证明：∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDA＝90° ∴∠CAD＋∠ACD＝90° ∵∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠CAD ∵AC＝CE，∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠CEA＝45° ∴∠BCD＝∠CAD＝∠BAE＋∠CAE＝∠BAE＋45° （2）证明：连接CF，作FN⊥DF，垂足为点F，FN交CD于点N，作EG∥AD，EG与DH交于点G ∵∠ACE＝90°，F是AE的中点 ∴CF＝AF＝EF，CF⊥AE ∴∠AFC＝∠CFE＝90° ∵FN⊥DF，∴∠DFN＝90° ∴∠AFD＋∠AFN＝∠AFN＋∠CFN＝90°∴∠AFD＝∠CFN ∵∠BCD＝∠BAE＋45°，∠FCE＝45°， ∴∠BAE＝∠FCN，∴△ADF≌△CNF ∴FN＝FD 又∵∠DFN＝90°，∴∠FDN＝∠FND＝45° ∵HE∥CD，∴∠H＝∠FDN＝45° ∠ADF＝∠ADC＋∠FDN＝135° ∵EG//AD，∴∠FGD＝∠ADF＝135° 又∵∠AFD＝∠EFG，∴△ADF≌△EGF ∴EG＝AD ∵∠EGH＝180°－∠EGF＝180°－135°＝45°，∴∠H＝∠EGH． ∴EH＝EG． ∴AD＝EH （3）解：设AC＝CE＝m，BC＝km， ∴BE＝BC－CE＝（k－1）m ∵∠ADC＝∠ACB，∠DAC＝∠CAD， ∴△ACD∽△ABC ． ∵∠H＝∠FDN，∠HME＝∠DMC， ∴△MCD∽△MEH 又∵CM＋ME＝CE， ． ． 【点睛】本题考查了直角三角形、等腰直角三角形、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判断与性质，题目综合性较强，解题的关键是：熟练掌握相关定理，添加适当辅助线，通过三角形全等或相似找到边角之间的等量关系，通过等量代换求解该题． 31．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB． 【详解】解：（1）如图，∵，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ （2）如图2，连接BD， ∵，， ∴ 在正方形ABCD中，， ∴，， ， ∴； （3）如图，过点作，交于点，连接 又 即 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 32．（2021·湖北襄阳·一模）在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）1；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌△OFC即可得到OE=OF，从而得出结论即可； （2）过作于，作于，利用相似三角形的判定与性质证明即可； （3）根据题意判定，从而得到，令，则，可在Rt△ABC中求出未知数，从而得到BC的长度，最终求得OF和OE的长度，再在Rt△OEF中利用勾股定理求解EF即可． 【详解】解：（1）若，则，即四边形ABCD为正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠EOB=∠FOC， ∴△OEB≌△OFC， ∴OE=OF， ∴ 故答案为：1； （2）． 理由：过作于，作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由（2），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， 由题意，， 由勾股定理得，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质等，灵活根据题意构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 33．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知正方形的边长为6，点是边的中点，点是边的中点，连接，过点作交延长线于点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理的应用，作辅助线构建直角三角形是解题的关键． 根据题意可证，得到，解得，，再过作交于，交的延长线于，利用等面积求得，继而得到，最后利用勾股定理分别求出求比值即可． 【详解】解：∵在正方形中，，即，点是边的中点， ，， 又， , 又， ， ，即， 解得，， 过作交于，交的延长线于， ， ，， ， ， ∵，，， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ． 故选：D． 34．（2024·广东·模拟预测）如图，矩形中，已知点M为边的中点，沿将三角形进行翻折，点C的对应点为点E，若，，则的长度为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，矩形的性质． 根据矩形的性质得到，，由勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，求得，过M作，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵矩形中，已知点M为边的中点，，， ∴，， ∴， ∵沿将三角形进行翻折， ∴，， ∴， 过M作于F， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 35．（18-19九年级上·四川巴中·期末）在等腰直角三角形中，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 分两种情况进行讨论，即当时和当时，分别利用平行线分线段成比例和等腰直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：①如图所示，当时， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当时， ∴， ， 则， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴； ③当时，点与点重合，不符合题意； 综上，的长为1或， 故答案为：1或． 36．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，点M、N分别在边上，将沿翻折得到，与相交于点E，若，，则的值是 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质，正方形的性质，相似三角形的判断与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，并正确作出辅助线． 过点M作于点F，作于点G，交于点H，作于点L，根据勾股定理求出，解直角三角形求出，，证明四边形为矩形，得出，，设，证明，得出，根据，得出，求出，根据勾股定理得出，求出即可． 【详解】过点M作于点F，作于点G，交于点H，作于点L，如图所示：    则， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 根据折叠可知：，，， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， 即． 故答案为：． 37．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）中，，，对角线． (1)如图1，求的长． (2)如图2，是边上一点，是边上一点，连接，，记交点为． ①当，且是等腰三角形时，求的值． ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】通过作辅助线，将平行四边形的问题转化为直角三角形问题，利用三角函数和勾股定理来求解的长度． ①先根据求出的长度，再分情况讨论是等腰三角形时的长度，进而得到的长度，最后通过构造相似三角形来求解的值． ②通过作辅助线构造相似三角形，利用平行四边形性质、相似三角形性质以及角度关系，结合等边三角形的判定与性质来推导式子的值． 【详解】（1）解：过点作于点． ∵在中，，， ∴,． ∴． ． 在中，，，由勾股定理得： ． ∴． 故答案为：． （2）解：①∵,， ∴． 由知，，， ∴． 又∵， ∴是直角三角形，． ∵四边形是平行四边形， ∴ 当时，， 过作交于，则． ∴，即：． ∴ 又∵， ∴． ∴ 即 ∴设，则 ∴ ∴ ∴ 当时，． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴，． ∴是等边三角形， 过作交于，则．是等边三角形； ∴． ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 当时，过作于， 在中，，， ∴，． 在中，，， ∴． ∴，即与重合，不符合题意，舍去． 综上，或． ②解：延长交的延长线于点， ∵ ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴； 在上截取，连接， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴, 又∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ 解得： ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形，利用相似三角形性质与勾股定理求解． 38．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高． (1)把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长为______ ； (2)如图2和图3，在（1）的情况下，若，在和中各截出一个正方形，则哪一个正方形的面积较大？ 【答案】(1)这个正方形零件的边长是 (2)图2中截出的正方形的面积较大 【分析】（1）由正方形的性质可得，从而得出，由相似三角形的性质可得，设这个正方形零件的边长是，则，，由（1）可得，代入数据进行计算即可得出答案． （2）先根据正方形的性质，运用相似三角形的判定与性质，分别算出如图2和图3的截出的正方形的面积，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ； 设这个正方形零件的边长是，则， ， ， 解得：， 这个正方形零件的边长是． （2）解：如图（2）， ∵，，且是的高， ∴在中，， 即， ∴是等腰直角三角形， 则， 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴正方形的面积是； 如图3， 依题意，四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的高， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， ∴正方形的面积， ∵， ∴图2中截出的正方形的面积较大． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 39．（2025·安徽·模拟预测）如图，在等腰直角、等腰直角中，，． (1)如图1，若： ①求证：； ② °；若， °； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)①见解析，②90；90 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．在题目中找到对应的母子型相似是解决问题的关键． （1）①通过得出，进而得出，证明即可． ②利用，推导出，得出即可得出最终结论． （2）证明可得即可求出的长，再用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ， ， ， ． ②由题得：， ， ， ，即， ， ， ， ； 综上，的值与是否等于无关，均为． （2），， ， ， ，， ， ． 40．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图（）， 中，，为的中点，点在线段 上，，、交于点，连接、． (1)证明：； (2)如 图（），若，直接写出的值； (3)在一般情况下，探究的值(用含的式子表示)． 【答案】(1)证明见解析； (2)的值为； (3)的值为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，中点定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明，然后通过相似三角形性质即可求证； （）连接，由，则，证明，又为的中点，所以，得，，，证明，可得，故有，则，从而求解； （）过作，所以，，所以，，证明，所以，得，，通过中点得，，从而可得，，，然后代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过作， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 相似三角形的判定与性质综合 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相似三角形的判定 1 题型二、相似三角形的性质 3 题型三、相似模型 6 题型四、相似三角形综合 8 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、相似三角形的判定 1．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，正方形中，是的中点，．与是否相似？请说明理由． 5．（25-26九年级上·全国·期中）如图，点E，F分别在正方形的边，上，，，．求证：． 6．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 7．（22-23九年级上·北京延庆·期中）如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二、相似三角形的性质 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知，，，，若的最长边为16，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）已知，是的中线，是的中线，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 11．（18-19八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 12．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 13．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 14．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使与相似，且以为直角边，若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 题型三、相似模型 17．（2026·湖北·模拟预测）在正方形中，将绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到，点与点对应，点与点对应，连接，． (1)如图①，求证； (2)如图②，是的中点，连接，求证：； (3)如图③，在（）的条件下，当旋转到，若，求的长． 18．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在中，于点D，，求AD的长． 19．（25-26九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)且，求的长． 20．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知，点E、F在线段上，，． (1)求证：∽； (2)若，求的长． 21．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 项目式学习小组研究了一个问题，如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，四边形是矩形，连接． (1)与的长度比为 ； (2)如图2，将矩形绕点A按顺时针方向旋转至点G落在边上，求点 F到的距离； (3)将矩形绕点A按顺时针方向旋转至如图3所示的位置时，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 22．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 23．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在等边三角形中，点M，N分别是，上的点，且，， (1)当时，求的长． (2)点M在什么位置时，的长为． 24．（2024·安徽·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在的延长线上，点在上，，，交于点F． (1)①求证：； ②求证：； (2)如图2，若点E是的中点，求的值． 题型四、相似三角形综合 25．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 26．（20-21八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 27．（2020·安徽合肥·一模）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 28．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 29．（2021·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 30．（2021·辽宁大连·二模）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点E在BC上，且EC＝AC．连接AE，F为AE的中点，CD⊥AB于D，过点E作EH∥CD交DF的延长线于点H，DH交BC于M． （1）探究∠EAB和∠BCD之间的数量关系，并证明； （2）求证AD＝EH； （3）若BC＝kAC，求的值（用含有k的代数式表示）． 31．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 32．（2021·湖北襄阳·一模）在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 33．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知正方形的边长为6，点是边的中点，点是边的中点，连接，过点作交延长线于点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 34．（2024·广东·模拟预测）如图，矩形中，已知点M为边的中点，沿将三角形进行翻折，点C的对应点为点E，若，，则的长度为（   ） A．4 B． C． D． 35．（18-19九年级上·四川巴中·期末）在等腰直角三角形中，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为 ． 36．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，点M、N分别在边上，将沿翻折得到，与相交于点E，若，，则的值是 ．    37．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）中，，，对角线． (1)如图1，求的长． (2)如图2，是边上一点，是边上一点，连接，，记交点为． ①当，且是等腰三角形时，求的值． ②当时，求的值． 38．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高． (1)把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长为______ ； (2)如图2和图3，在（1）的情况下，若，在和中各截出一个正方形，则哪一个正方形的面积较大？ 39．（2025·安徽·模拟预测）如图，在等腰直角、等腰直角中，，． (1)如图1，若： ①求证：； ② °；若， °； (2)如图2，若，，求的长． 40．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图（）， 中，，为的中点，点在线段 上，，、交于点，连接、． (1)证明：； (2)如 图（），若，直接写出的值； (3)在一般情况下，探究的值(用含的式子表示)． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $