第22章 相似形（高效培优单元测试·强化卷）数学沪科版九年级上册

第22章 相似形单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（    ） A． B． C． D． 2．已知两个数2、8，则2和8的比例中项为（   ） A．2 B． C． D．4 3．如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 5．如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 6．如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，若上，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，矩形的边长，，为的中点，在边上，且，分别与、相交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形边长为6，点是边的中点，点在上，且，动点从点沿、运动到点，过点作于点，作于点，记点运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是 ． 12．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的值是 ． 13．如图，在中，，反比例函数的图象交，于点，，，连接，若的面积为，则的值是 ． 14．如图，在菱形中，点是边的中点，点是线段的中点，的延长线交边于点，连接．则 （1） ； （2）若，则 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．若，求的值． 16．如图，，是的两条高．求证：． 17．如图：在中，是的中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的值： 18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 19．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (2)若这个零件长是宽的2倍，求这个零件的长和宽？ 20．如图，，点在上，与相交于点． (1)若，求证：； (2)若，，求的值． 21．某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平地上，放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离EB＝20米，镜子中心与测量者的距离ED＝2米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米． （1）在计算过程中C，D之间的距离应是 　 　米． （2）根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度． （3）该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 22．已知的面积为S，点D，E分别在边，上，且． 【填空】 (1)如图1，若，则四边形的面积　 　（用含S的式子表示，下同）； (2)如图2，若，则四边形的面积　 　； (3)如图3，若，则四边形的面积　 　；以此类推，… 【猜想】根据上述规律猜想，若，则四边形的面积　 　； 【应用】计算． 23．如图1，等边中，，点分别是边上一点，且，以为边在直线的同侧作等边，分别交于点． (1)求证：； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，连接，当点为中点时，求的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 相似形单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，对应高的比为， ∴对应面积的比为， 故选：B． 2．已知两个数2、8，则2和8的比例中项为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：设2和8的比例中项为， 则：， ∴， ∴； 故选C． 3．如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 5．如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为3或． 故选：C． 6．如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【详解】， ， ， 已知，设，则， ， 与的相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， ． 故选：C． 7．如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，若上，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在平行四边形中，， ， ， ， 选项C正确； ， ， ， ， 选项A正确； ， ， ， 选项B正确； ， 选项D错误； 故选：D． 9．如图，矩形的边长，，为的中点，在边上，且，分别与、相交于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长相交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 10．如图，正方形边长为6，点是边的中点，点在上，且，动点从点沿、运动到点，过点作于点，作于点，记点运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 如图，延长线段交于点，则 ,，由勾股定理得， ， ， ∴，，该区间解析式为二次函数，图象为抛物线，开口向下； 当时，，该区间解析式为一次函数，随的增大而减小； 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是 ． 【答案】 【详解】解：设两地的实际距离是， 根据题意得， 解得：， ， ∴两地的实际距离是． 故答案为：． 12．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的值是 ． 【答案】3 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：3． 13．如图，在中，，反比例函数的图象交，于点，，，连接，若的面积为，则的值是 ． 【答案】6 【详解】如图所示，过点C作 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数的图象交，于点，， ∴设 ∴， ∴， ∴， ∴ ∵的面积为 ∴ ∴ 解得． 故答案为：6． 14．如图，在菱形中，点是边的中点，点是线段的中点，的延长线交边于点，连接．则 （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 【详解】解：（1）如图所示，过点作， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，即点是中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点，延长交于点， ，点是边的中点， ， ∵点是的中点， ， 令，则， 四边形为菱形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， 是的中线， ， ， 故答案为：①；②． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．若，求的值． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∴． 16．如图，，是的两条高．求证：． 【详解】证明：∵，是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 17．如图：在中，是的中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的值： 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E为的中点，F为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 19．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (2)若这个零件长是宽的2倍，求这个零件的长和宽？ 【详解】（1）解：设这个零件的边长为r， ∵四边形为正方形，且的高，边， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 这个零件的边长为； （2）解：依题意，设这个零件的边， ∵四边形是矩形，且的高，边， ∴， ∴， ∴（相似三角形的高的比等于相似比）， ∴， 解得． ∴这个零件的长、宽分别是． 20．如图，，点在上，与相交于点． (1)若，求证：； (2)若，，求的值． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 与都是等腰直角三角形， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ． 21．某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平地上，放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离EB＝20米，镜子中心与测量者的距离ED＝2米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米． （1）在计算过程中C，D之间的距离应是 　 　米． （2）根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度． （3）该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 【详解】解：（1）C，D之间的距离应是1.5米； （2）∵入射光线和反射光线与镜面夹角相等， ∴△CDE∽△ABE， 即， ∴， 解得，AB=15米． （3）根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到等（答案不唯一）． 22．已知的面积为S，点D，E分别在边，上，且． 【填空】 (1)如图1，若，则四边形的面积　 　（用含S的式子表示，下同）； (2)如图2，若，则四边形的面积　 　； (3)如图3，若，则四边形的面积　 　；以此类推，… 【猜想】根据上述规律猜想，若，则四边形的面积　 　； 【应用】计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【猜想】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【应用】∵， ∴ ． 23．如图1，等边中，，点分别是边上一点，且，以为边在直线的同侧作等边，分别交于点． (1)求证：； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，连接，当点为中点时，求的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点为中点时，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴，即， ∴，， 如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴由，则， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$