1.7角平分线的性质 讲义 2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

1.7角平分线的性质 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】根据角平分线的性质求线段长 3 【题型2】角平分线的性质与面积计算 4 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE 1.（2024秋•息县期末）如图，在△ABC中，AB=10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 2.（2025春•市南区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①S△ABE＞S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD•BC=AB•AC，其中结论正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【知识点2】作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025•通许县一模）如图，AB是⊙O的弦，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点P，连接OP，交⊙O于点C，连接AC．若∠AOB=160°，则∠CAB的度数是（　　） A．70° B．35° C．40° D．20° 【题型1】根据角平分线的性质求线段长 【典型例题】如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（　　） A.4cm B.3cm C.2cm D.5cm 【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC＝6cm，则BD+DE的和为（　　） A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm 【举一反三2】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，若△BCE的面积为9，则DE的长为 　  　． 【举一反三3】如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）求证：DE＝DF； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 【举一反三4】已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P与AB垂直，求证：P是AD的中点． 【题型2】角平分线的性质与面积计算 【典型例题】如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A.24 B.27 C.30 D.33 【举一反三1】如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC＝6，AB＝8，则△BED的面积为（　　） A. B.5 C.6 D. 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD平分角BAC，AB＝6，AC＝4，△ABD的面积为9，则△ADC的面积为　  　． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求： （1）线段BC的长； （2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.7角平分线的性质 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】根据角平分线的性质求线段长 4 【题型2】角平分线的性质与面积计算 7 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE 1.（2024秋•息县期末）如图，在△ABC中，AB=10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】过D作DF⊥AB于F，根据AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，得DE=DF，由△ABD的面积为15，AB=10，可得DF=3，故DE=3． 【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE=DF， ∵△ABD的面积为15， ∴AB•DF=15， ∵AB=10， ∴DF=3， ∴DE=3； 故选：C． 2.（2025春•市南区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①S△ABE＞S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD•BC=AB•AC，其中结论正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可． 【解答】解：根据三角形的中线、角平分线、高线性质逐项分析判断如下： ∵BE是△ABC的中线， ∴S△ABE=S△BCE，故①错误； ∵CF是△ABC的角平分线， ∴， ∵∠BAC=90°，AD是△ABC的高， ∴∠ACF+∠AFC=90°，∠CGD+∠BCF=90°， ∴∠AFC=∠CGD， ∵∠AGF=∠CGD， ∴∠AFG=∠AGF；故②正确； ∵∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠ACB，即：∠FAG=∠ACB=2∠ACF；故③正确； ∵， ∴AD•BC=AB•AC；故④正确； 故选：B． 【知识点2】作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025•通许县一模）如图，AB是⊙O的弦，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点P，连接OP，交⊙O于点C，连接AC．若∠AOB=160°，则∠CAB的度数是（　　） A．70° B．35° C．40° D．20° 【答案】C 【分析】由作图可知OP垂直平分AB，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解． 【解答】解：由作图过程可知OP垂直平分AB， ∴， ∴， 故选：C． 【题型1】根据角平分线的性质求线段长 【典型例题】如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（　　） A.4cm B.3cm C.2cm D.5cm 【答案】A 【解析】∵AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴， ∴， 解得DE＝4cm， 故选：A． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC＝6cm，则BD+DE的和为（　　） A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm 【答案】B 【解析】CD＝DE， ∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝6cm． 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，若△BCE的面积为9，则DE的长为 　  　． 【答案】3 【解析】过E作EF⊥BC于F， ∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E， ∴DE＝EF， ∵S△BCEBC×EF＝9， ∴6×EF＝9， ∴EF＝DE＝3， 故答案为：3． 【举一反三3】如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）求证：DE＝DF； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 【答案】（1）证明　∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠BED＝∠BFD＝90°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴DE＝DF； （2）解　∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF＝DE＝5， ∴S△ABDAB•DE＝40， ∴S△BCDBC•DF＝70﹣40＝30， ∴BC＝12． 【举一反三4】已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P与AB垂直，求证：P是AD的中点． 【答案】证明　如图，过点P作PE⊥BC于点E． ∵如图，AB∥CD，AD过点P与AB垂直， ∴AD⊥AB，AD⊥CD． ∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB， ∴AP＝EP，EP＝DP， ∴AP＝DP，即点P是AD的中点． 【题型2】角平分线的性质与面积计算 【典型例题】如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A.24 B.27 C.30 D.33 【答案】B 【解析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC OE×ABOD×BCOF×AC （AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是18， ∴S△ABC18＝27（cm2）． 故选：B． 【举一反三1】如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC＝6，AB＝8，则△BED的面积为（　　） A. B.5 C.6 D. 【答案】C 【解析】∵AD是△ABC的角平分线， ∴点D到AB和AC的距离相等， ∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝8：6＝4：3， ∴S△ABDS△ABC21＝12， ∵E是AB的中点， ∴S△BEDS△ABD12＝6． 故选：C． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD平分角BAC，AB＝6，AC＝4，△ABD的面积为9，则△ADC的面积为　  　． 【答案】6 【解析】作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD平分角BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴△ABD的面积：△ADC的面积＝AB：AC， ∵△ABD的面积为9， ∴△ADC的面积为6， 故答案为：6． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求： （1）线段BC的长； （2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积． 【答案】解　（1）∵AD平分∠BAC ∴∠BAD＝∠CAD 在△ADE和△ADC中 ∵， ∴△ADE≌△ADC（SAS） ∴DE＝DC， ∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝5（cm）； （2）如图，∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm， ∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC6a9a5a＝3aaa＝10a（cm）2． 学科网（北京）股份有限公司 $