12.2.5 斜边直角边 课件2025-2026学年华东师大版(2024)八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“直角三角形全等的斜边直角边（HL）判定定理”，通过复习一般三角形全等判定及直角三角形边名称，结合舞台背景直角三角形实际问题导入，构建从一般到特殊的知识支架。 其亮点是以情境探究激发数学眼光，“做一做”作图叠合培养几何直观与空间观念，例题变式层层递进发展推理思维，小结对比明晰知识联系。助力学生提升动手与逻辑能力，为教师提供结构化探究式教学资源，增强课堂实效。

华东师大版·八年级上册 12.2 三角形全等的判定 12.2.5 斜边直角边 1 复习回顾 1.请将判定定理填到相应的图形下. 40° 92° 40° 92° 48° 43° 48° 43° 45° 45° SAS ASA AAS SSS 2.说一说直角三角形的三条边的名称. 90° 直角边 直角边 斜边 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住，无法测量． (1) 你能帮他想个办法吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”. (2) 如果他只带一个卷尺， 能完成这个任务吗?　 探究新知 探究新知 猜想：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 如图，已知线段a、b（b>a），试作Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b.（用教材P84做一做数据） 作法：（1）作线段BC，使BC=a； （2）作∠CBM=90°； C B M （3）以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，交射线BM于点A； A （4）连结AC. △ABC 即为所要求作的三角形. A′ B′ C′ 比一比：剪下你作的直角三角形，把你作的直角三角形与课本上做一做中的三角形进行对比，或放到其他同学作的直角三角形上，你有什么发现? A B C 叠合 Rt△ABC与Rt△A′B′C′重合，说明这两个直角三角形全等. 换两条线段，试试看，是否有同样的结论？ 于是可得： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. A′ B′ C′ A B C 简写成“斜边直角边”或“HL”. 几何语言 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵AC=A′C′ BC=B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 这是一个定理，以后会给出它的证明. 例8 如图，AC=BD，∠C=∠D=90°. 求证：BC=AD. 证明：∵∠C = ∠D = 90°(已知)， ∴△ABC和△BAD都是直角三角形(直角三角形的定义). 在Rt△ABC与 Rt△BAD中， ∵AB=BA(公共边)， AC=BD(已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴BC=AD(全等三角形的对应边相等). 即学即练 已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，且AC=BD.求证：AB=CD. 证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC(已知). ∴△ABC和△DCB都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DCB中， ∵AC=DB (已知)， BC=CB(公共边)， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). ∴AB=CD(全等三角形的对应边相等). A B C D 变式1 如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C AD ＝ BC ∠DAB ＝∠CBA BD ＝ AC ∠DBA ＝∠CAB HL HL AAS AAS 如图，AC、BD 交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC. 求证：BD = AC. 变式2 HL BD ＝ AC Rt△ABD ≌ Rt△BAC 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. 变式3 HL ∠ADB ＝ ∠CBD Rt△ABD ≌ Rt△CDB AD∥BC 1. 一般三角形的全等与直角三角形的全等是从一般到特殊的关系，二者之间的联系为：一般三角形的判定方法同样适用于直角三角形． 2.判定一般三角形的全等与直角三角形的全等的区别： （1）一般三角形全等的条件“SSS”在直角三角形中被“HL”代替，无需找第三条边对应相等； （2）“两边及其中一边的对角对应相等”不能判定一般三角形全等，但能判定直角三角形全等． 证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高， ∴△ADC 和 △AFE 都是直角三角形 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， ∵AC＝AE， AD＝AF， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， ∵AB＝AB， AD＝AF， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴ BD＝BF. ∵ BD－CD＝BF－EF， ∴BC＝BE. 提升训练： 如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE. 证明: ∵ DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BED与△CFD都是直角三角形 ∵D为BC的中点， ∴BD=CD． 在Rt△BED与Rt△CFD中， ∵BD=CD(已证)， DE=DF(已知)， ∴Rt△BED≌Rt△CFD (HL)． 练 习 1.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，DE=DF. 求证：Rt△BED≌Rt△CFD. 2.如图，AC=AD，∠C=∠D=90°. 求证：BC=BD. 证明：∵∠C=∠D=90°(已知)， ∴△ACB和△ADB都是直角三角形. 在Rt△ACB和Rt△ADB中， ∵AB=AB(公共边)， AC=AD(已知)， ∴Rt△ACB≌ Rt△ADB (HL)． ∴BC=BD(全等三角形的对应边相等)． 3.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的跨度DF相等，这两个滑梯的倾斜角∠CBA与∠EFD的大小有什么关系？说说你的想法和理由. 解：∠CBA+∠EFD=90°.理由： 在Rt△BAC和Rt△EDF中， ∵BC=EF(已知)， AC=DF(已知)， ∴Rt△BAC≌ Rt△EDF (HL)． ∴∠CBA=∠FED(全等三角形的对应角相等)． ∵∠FED+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余)， ∴∠CBA+∠EFD=90°(等量代换). 课堂小结 斜边直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（简写成“HL”） 只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等）. 内容 前提 在直角三角形中 用法 拓展练习 1. 如图，∠B =∠D = 90°，要证明△ABC 与△ADC 全等， 还需要补充的条件是 （写出一个即可）. C A B D 答案： AB = AD 或 BC = DC 或 ∠BAC =∠DAC 或 ∠ACB =∠ACD 一定要注意直角三角形不是只能用 HL 证明全等，但 HL 只能用于证明直角三角形的全等. 注意 2.如图，在△ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，BD = CE.求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴△EBC 和 △DCB都是直角三角形. 在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中， ∵CE = BD， BC = CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL ). 证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC， ∴△ABF 和 △CDE都是直角三角形. ∵ AE = CF， ∴ AE + EF = CF + EF， ∴AF = CE. 在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， ∵AB = CD， AF = CE， ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL ). ∴ BF = DE. A F C E D B 3. 如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BF = DE. $