第27章 相似(培优流动练)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

宝典训练|数学·九年级全册(R) 第二十七章 相似 1.平行线分线段成比例 【例1】如图，AB,CD相交于点E,且AC∥EF∥DB,点C,F,B在同一条直线上.已知AC= ,EF=r,DB=q,则，q,r之间满足的数量关系式是 ( A.1+1=1 B1+1=2 r q p 卫rq C1+1=1 D+片 【练】如图，直线1,2,3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l于点D,E,F,且1∥L2∥l3.已 知DE:DF=3:8,AC=24. (1)求BC的长； (2)当AD=4,CF=20时，求BE的长， 2.相似三角形的性质 【例2】如图，点D,E分别在△ABC的边AC,AB上，∠ADE=∠ABC,M,N 分期是DE,BC的中点活-号则 【练】如图，已知D,E分别为△ABC的AB,AC边上的点，DE∥BC,BE与CD交于点O,直 线AO与BC边交于点M,与DE交于点N,求证：BM=MC. 40 数学·培优流动练 ● 3.相似三角形的判定与性质 【例3】如图，一个由8个正方 【练】如图，在边长为a的等边△ABC中，分 形组成的“C”模板恰好完全放 别取△ABC三边的中点A1,B1,C,得 入一个矩形框内，模板四周的 △A1B1C;再分别取△A1B1C1三边的中点 直角顶点M,N,O,P,Q都在 A2,B2,C2,得△A2B2C2;这样依次下去…，经 矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积 过第2025次操作后得△A2025B225C225,则 均为1，则边AB的长为 △A2025B2o2sC2025的面积为 、a A.22o a2 B.2o C.3 24050 D.3a2 24052 4.相似三角形与圆综合 【例4】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD【练】如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是 ⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线AP,与 ⊙O的直径，AC与BD交于点E,PB切⊙O OD的延长线交于点P,连接PC,与AB的 于点B. 延长线交于点E. (1)求证：∠PBA=∠OBC; (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求证： (2)求证：EC=EA·EB. △OAB∽△CDE. 41 宝典训练|数学·九年级全册(R) ●● 5.相似三角形与特殊四边形综合 【例5】如图，在正方形ABCD中，点G是对【练】如图，四边形ABCD为菱形，点E在 角线BD上一点，CG的延长线交AB于点AC的延长线上，∠ACD=∠ABE. E,交DA的延长线于点F,连接AG. (1)求证：△ABC∽△AEB; (1)求证：AG=CG; (2)当AB=6,AC=4时，求AE的长； (2)若GE·GF=9,求CG的长 (3)在(2)的条件下，求△BEC的面积 42 数学·培优流动练 6.相似三角形与特殊三角形综合 【例6】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD【练】如图1，在等边△ABC中，D,E分别是 是边AB上的中线，EF垂直平分CD,分别边BC,AC上的点，且BD=CE,AD与BE 交AC,BC于点E,F,连接DE,DF. 相交于点P,连接CP. (1)求证：△OCE∽△OFD; (1)求证：∠APB=120°； (2)当AE=7,BF=24时，求线段EF的长. (2)若那-求证，CFLAD: (3)如图2，连接DE,若∠AEB=∠CED,直 接写出是的值。 43 宝典训练|数学·九年级全册(R) ●● 7.位似 【例7】如图，在△ABC中，A,B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1， 0),以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把 △ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a,则点B的对应点B 的横坐标是 【练】在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(一2，一1)，B(一1，一3)， △OA1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形 (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B,的坐标； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似图形△OA2B2,使它 与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标； (3)△OAB的内部一点M的坐标为(a,b),写出M在△OA2B2中的对应点M的坐标， 8.相似综合 【例8】如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A,B两点重合），对角线AC, BD相交于点O,过点P分别作AC,BD的垂线，分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点 M,N.下列结论： ①△APE≌△AME;②PM+PN=AC; ③PE+PF2=PO;④△POFn△BNF; ⑤点O在M,N两点的连线上. 其中正确的是 A.③④⑤ B.①②③④ C.①②③⑤ D.②③④⑤ 【练】如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB,GHMN都是正方形的花 圃.已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为 A品 1 B.2 c品 6 44参考答案 又“点B(6,云)在y=8上，∴名-.6， DF=BF=2-÷ 解得号=3或号=-3（舍去）. .∠EHD=∠DAF=90°，∠EDF=∠B=90°， ∴·∠EDH+∠DEH=∠EDH+∠FDA 2a.182a… 2 ∴.∠DEH=∠FDA..△EHD∽△DAF SAABC SANC -SAOBC=- 2 2 -=18-6=12. ED_EH 4 2 【练】1.解：(1)点A(3,4)在y=上，k=12. ? DA DA=1. 4 :四边形OABC是平行四边形，.AM=MC. 点M的纵坐标为2. DF=DA+AF,(2-冬)》'=1+（终月， 点M在y-号的图象上M6,2 .k=3 【练】解：过点D作DM⊥x轴于点M, (2).AM=MC,A(3,4),M(6,2).C(9,0) 过点B作BN⊥x轴于点N,如答图， ∴.0C=9,OA=√32+42=5. 则∠DMA=∠ANB=90°. ∴.□OABC的周长为2×(5+9)=28. B(3,3), 【练2.解：(1)：正比例函数y=4x与反比例函数y=(x ..BN=ON=3. 设MD=a,OM=b, 答图 >0)的图象交于点A(a,4), ∴.4=4a..a=1..A(1,4)..k=4×1=4. :点D在双自线y=-兰（<0上，ab=4。 一反比例函数的解析式为y=4 ,四边形ABCD是正方形，∠DAB=90°，AD=AB, '.∠MDA+∠DAM=90°，∠DAM+∠BAN=90°， (2)当x=2时，y=2=2,B(2,2),BC=2. 4 .∠ADM=∠BAN..△ADM≌△BAN(AAS). .BN=AM=3,DM=AN=a. :点D在第一象限，以A,B,C,D为顶点的四边形是平行 .0A=3-a,即AM=b+3-a=3,a=b. 四边形，∴.AD∥BC,AD=BC=2. ab=4,.a=b=2. BCLx轴，∴点D的坐标为(1,2)或(1,6). .OA=3-2=1,即点A的坐标是(1,0). 【练3.(1)证明：：点A,O,B在⊙P上，且∠AOB=90°， ∴.AB为⊙P的直径，即P为线段AB的中点； 第二十七章相似 (2)解：P为y=(x>0)上的点， x 1.平行线分线段成比例 设点P的坐标为(mn),则mn=12. 【例1】C 过点P作PM⊥x轴于点M,PN 【练懈：五/%/%是-票 ⊥y轴于点N,如答图， .点M的坐标为(m,0),点N的 即AB3 20=8,解得AB=9,BC=AC-AB=24-9=15; 坐标为(0，n), (2)作AN∥DF交CF于点N,交EB于点M,如答图， 且OM=m,ON=n. 易得四边形ADEM和四边形AD- :点A,O,B在⊙P上， FN为平行四边形， .M为OA的中点，OA=2m, 答图 ∴.ME=FN=AD=4, E N为OB的中点，OB=2n, ∴.CN=CF-FN=20-4=16. Sam=20A·OB=2mn=24. BM/cN器-提 6.反比例函数与矩形 【例9】解：(1)在矩形OABC中，OA=4,OC=2,E是BC的 即BM9 答图 1624BM=6, 中点，E(2,2).:点E在双曲线y=上， ∴.BE=EM+BM=4+6=10. 2.相似三角形的性质 返=2×2=44y-兰 【例2】号 ~点F的横坐标为4，且在双曲线y一兰上， 【练】证明：如答图，延长AM,过点B作 CD的平行线与AM的延长线交于点F, g==1,即F4,1D: 连接CF.DE∥BC, (2)过点E作EH⊥x轴于点H,如答 船铝架 图， .CF∥BE 则E(安，2)，F(4,冬)， .四边形OBFC为平行四边形 答图 ∴.BM=MC. ED=EB=4-会， HDA 3.相似三角形的判定与性质 EH=2,A=是 答图 【例3)013 13 【练】D 83 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 4.相似三角形与圆综合 【例4】证明：(1)如答图，连接OC,:OD⊥AC,OD经过原 ∴S%m=号·BC.B0=号X5×4E=10E 心，∴.OP垂直平分AC.∴.∠AOP=∠COP 6.相似三角形与特殊三角形综合 又OP=OP,OA=OC,.△OAP≌△COP(SAS) 【例6】(1)证明：如答图，EF垂直平分CD, ∴.∠OCP=∠OAP. ∴.FD=FC,ED=EC,∠DOF=90°. PA是⊙O的切线， .∠2=∠3，∠EDO=∠4， ∴∠OAP=90°.∠OCP=90°， ∴.∠EDF=∠ECF=90° 即OC⊥PC. ∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°， ∴.PC是⊙O的切线； .∠1=∠4. (2)连接BC,如答图， ∠EOC=∠DOF,∴.△OCE∽ G ,AB是⊙O的直径， △OFD: ∴.∠ACB=90°=∠ECO (2)解：过点A作AG∥BC交 ∴.∠ECB+∠BCO=∠BCO+∠ACO, FD的延长线于点G,如答图， .∠ECB=∠ACO. ∠GAD=∠B, .OA=OC,∴.∠OAC=∠ACO=∠ECB. ∠GAC+∠ACB=180° .∠E=∠E,.△ECBc∽△EAC .∠GAC=90° 答图 ∴.EC:EA=EB:EC..EC=EA·EB. CD是AB边上的中线， 【练】证明：(1)：AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90° ..AD=BD .PB切⊙O于点B,.∠PBO=90° ∠GAD=∠B, ∴.∠PBO-∠ABO=∠ABC-∠ABO 在△ADG和△BDF中，AD=BD, 即∠PBA=∠OBC; ∠ADG=∠BDF (2)由(1)知，∠PBA=∠OBC=∠ACB ∴.△ADG≌△BDF(ASA) ∠PBA=20°，.∠OBC=∠ACB=20 ∴.AG=BF=24,DG=DF ∴∠AOB=∠ACB+∠OBC=20°+20°=40°. 在Rt△AGE中，GE=√AG+AE=√24+7=25. '∠ACD=40°，∴∠AOB=∠ACD, .∠EDF=90°，∴.ED⊥DF BC=BC. DG=DF,DE垂直平分GF..EF=EG=25. ∴.∠CDE=∠CDB=∠BAC=∠BAO, 【练】(1)证明：：△ABC是等边三角形， ∴.△OABC∽△CDE. .∴.AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. 5.相似三角形与特殊四边形综合 又BD=CE, 【例5】(1)证明：，BD是正方形ABCD的对角线， ∴.△ABD≌△BCE(SAS).∴.∠DAB=∠EBC .∠ADB=∠CDB=45° ∴.∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60° ,'AD=CD,DG=DG,∴.△ADG≌△CDG(SAS). ,∠BAD+∠ABE+∠APB=180°， .AG=CG .∠APB=120°； (2)解：四边形ABCD是正方形，∴.AD∥CB. (2)证明：如答图，延长AD至点F,使PF= .∠FCB=∠F PB,连接FB,FC, 由(1)可知△ADG≌△CDG,∴.∠DAG=∠DCG. 由(1)知∠APB=120°， .∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG, ∠FBP=60°..△FPB是等边三角形. 即∠BCF=∠BAG..∠EAG=∠F. ∴.PB=FB.∴∠FBP=60° ,∠EGA=∠AGF,.△AEG∽△FAG, ,△ABC为等边三角形， ÷需-89，即AG=6EGF=9 ∴.∠ABC=60°. ∴∠ABP=∠CBF ∴AG=3或AG=-3(舍去). ∴.△PAB≌△FCB(SAS) 根据(1)中的结论AG=CG,.CG=3. ∴.PA=FC,∠CFB=∠APB=120°. 【练】(1)证明：，四边形ABCD为菱形， BP1 .∠ACD=∠BCA AP-2' ∠ACD=∠ABE,∴.∠BCA=∠ABE. ∴.CF=2BF=2FP .·∠BAC=∠EAB,∴.△ABCC∽△AEB; 如答图，取CF的中点G,连接PG,则PF=GC=FG. (2②解：△ABC△AEB,0-S ∠AFB=60°， ∴.∠PFG=60° AB=6,AC-4六是-看AE= ∴.△FPG是等边三角形.∴.PG=GC=FG. (3)解：如答图， .∠GPC=∠GCP 连接BD交AC于点O. .∠FGP=∠GPC+∠GCP=60°， ,四边形ABCD是菱形， .∠GPC=30. ∴.AC⊥BD,OA=OC=2. D ∠CPF=90°..CP⊥AD: ∴.BO=AB2-AO=√62-2 EC=5-1 (3)A 2 =42. 答图 7.位似 ,EC=AE-AC=9-4=5, 【例7】3-2a 84 参考答案 【练】解：(1)如答图，点P即为所求，P(一5，-1)，B(3,-5): ∴AD-AB=5√2-5≈2.1(m). ↑y 答：调整后的台阶坡面会加长约2.1m; (2)在Rt△ADC中， AC CD= tan∠ADC 5x2×,3_5y6(m. 2 2 在Rt△ABC中，BC=AB·cos∠ABC=5,(m), :.BD-CD-BC-5X/2X3-5/22.6(m), 2 答图 答：调整后的台阶多占水平地面约2.6m (2)如答图，△OA2B2即为所求，B2(一2，一6)； ase se sese o go (3)根据位似图形的性质可知，点M的对应点M2的坐标为 试卷答案 (2a,2b). ooooo oooo 8.相似综合 【例8】C 【练】C 第二十一章《一元二次方程》 第二十八章 锐角三角函数 单元测试卷 1.锐角三角函数的定义 一、选择题 【例1】C 【练】D 1.B2.C3.A4.B5.C6.A7.A8.D9.D 2.锐角三角函数的计算 10.A 【例2】解：(1)过点A作AF⊥BC,垂足为F,如答图， 二、填空题 AB-AC-/5,.BF-FC-BC-1. 1.k≤8且k≠-112.113.-114.7 在Rt△ACF中， 15.4或-2 三、解答题（一） :AF=√(W5)2-12=2, 16.解：整理，得3x2+2x一4=0. tm∠ACB-S=2: 4=22-4×3×(-4)=4+48=52>0, (2):BD⊥AC,.∠BDC=90°. x=-2±厘=-2±23=-1±13 6 6 在Rt△ACF中， aac0--后- ·-1+3 3 3,w=1-3 3 5 17.解：x2+10x-11=0,.(x-1)(x+11)=0, 在RtABDC中，'sin∠BCD=BD=25, .x一1=0或x十11=0，解得x1=1,x2=一11 BC 5 18.解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮 BD=25BC=45 传染中有x人被传染，第二轮传染中有(1十x)x人被传 5 51 染，根据题意，得1+x十(1十x)x=49,即(x十1)=49. s.cD-/w-- 解得x1=6,x2=一8（不符合题意，舍去）. 5 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人. 又，∠BAD=∠E,∠ADB=∠EDC=90°， 四、解答题（二） 45 19.(1)证明：：△=(m十3)2-4(m+2)=(m+1)2, △ABD△ECD.AB=BD, 5 无论m取何值，(m十1)2≥0， ECc元，即EC2⑥ 原方程总有两个实数根； 5 (2)解：x,x2是原方程的两根， BC-=号即BC的长为号 .x1十x2=-(m+3),x1x2=m十2. x十ax号=2，.(1十x2)2-2x1x2=2, 【练】1.D 【练】2.B 代入化简可得m2十4m十3=0， 【例3】解：(1)在Rt△ABC中， 解得m=-3或m=一1. ∠ACB=90°， 20.解：(1)设垂直于墙的边的长度为xm,则平行于墙的边 ∴.BC=AB·sin∠BAC=17×0.51≈8.7（米）. 的长度为(80一4x)m, 答：乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC约为8.7米； 依题意，得x(80-4x)=300, (2)由题意可得8.7÷2.8≈3（层）. 整理得x2-20x十75=0，解得x=5,x2=15. 答：这个扶梯升高的高度BC相当于3层楼高. 当x=5时，80-4x=80-4×5=60>25,不符合题意， 【练】解：(1)由题意，得∠ABC=45°， 舍去； ∠ACB=90°，∠ADC=30°， 当x=15时，80一4x=80-4×15=20<25,符合题意， .在Rt△ABC中， .80-4x=80-4X15_20 AC=AB·sim∠ABC=5y2(m】 3 3 3 在R△ADC中AD-m2=5E(m. 答：每个矩形羊圈的长为15m,宽为9m: (2)羊圈的总面积不能达到500m,理由如下： 85