第23章 旋转(培优流动练)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

参考答案 【练】解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y=a(x一1)(x +48.02, -3). 当x=8时，S=46.4; 抛物线的图象经过点C(0, (2)当x>8时，S=x·(16+6.6+5-2红)=-x+13.8z 6), 2 ∴.6=a(0-1)(0-3). =-(x-6.9)2+47.61, .a=2. 由于在x>8的范围内，S均小于46.4. 抛物线的解析式为y=2(x .由(1)(2)得最大面积为46.4m. -1)(x-3)=2.x2-8x+6; 第二十三章旋转 (2):y=2x2-8x十6=2(x 2)2-2, 1.旋转半角模型 .顶点M的坐标为(2，一2). M 【例1】(1)2√5 ,抛物线的顶点M与对称轴L上的点N关于x轴对称， (2)证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG,连 .N(2,2). 接EG,如答图， 设直线AN的解析式为y=kx十b, 则△ACF≌△ABG (0=k+b 由题意可得2=十6，解得/二) ∴.AG=AF,BG=CF, b=-2’ ∠ABG=∠ACF=45°， ∴.直线AN的解析式为y=2x-2. ∠GBE=90°， 联立方程组得y=2红-2， :∠BAC=90, y=2x2-8x+6, 解得5=1，=4， y=0,3y2=6, ∠GAF=90°， D4,6.5m=号×2X6=6 .∠GAE=∠EAF=45. (AG=AF, 设E(m,2m-2), 在△AEG和△AEF中，∠GAE=∠FAE, ,直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分， (AE-AE, Se=号Sam=2或SwE=号SD=4 .△AEG≌△AEF(SAS)..EF=EG. 又∠GBE=90°，BE+BG=EG, ÷号×2×2m-2)=2或7×2×(2m-2)=4 即EF=BE+FC. 【练】解：(1)MN=BM+DN .m=2或3.∴.点E的坐标是(2,2)或(3,4). (2)P值不变. 【例16】解：由题意可知，A点坐标为(1,0)，B点坐标为(4， 证明：如答图，将△AOM绕点O顺时针旋 0),C点坐标为(0,4)， 转90°得到△COE,由旋转可知OM=OE, .易得直线BC的解析式为y=一x十4. AM=CE,∠AOM=∠COE,∠MOE=90° 当x=8时y=-x十4=是， ,直线OM的解析式为y=x, .∠M0N=45°. “y=2-5x+4=()-，顶点号) ∠MOE=90°，∠EON=45. 又.ON=ON, 答图 “此抛物线向上平移或（号+8）个单位长度，使平移 .△MON≌△EON(SAS) 后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上， ∴.MN=EN=CN+AM. ∴符合题意的n的取值范围是是<<只 .P=BM+BN+MN=BM+BN+AM+CN=2AB=2X 5=10. 【练】-3<b<1 ∴在旋转正方形OABC的过程中，P值不变； 6.二次函数中的新题型 (3)MN2=2BM+2DN2. 【例171解：“y=-子=一2-号 2.旋转手拉手模型（旋转中心在图形顶点）】 【例2】(1)证明：：∠ACB=90°，∠DCE=90°， 六该二次函数的图象开日方向向上，最小值是一号，且当： ∴.∠BCD+∠ACD=90°，∠ACE+∠ACD=90°. ∴.∠BCD=∠ACE <2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而 增大 BC=AC, 在△BCD和△ACE中， ∠BCD=∠ACE, ,a<b≤2，.此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭 7 DC=EC, 日a-4a ∴.△BCD≌△ACE(SAS). 函数”的定义知， ..AE=BD. (2)5(3)AB+AD=AE 两式相减整理得(a-b)(a+b十1)=0. 【练】解：(1)如答图1，作EH⊥BC交BC的延长线于点H, .'a<b≤2， ,△ABC与△DCE均为等边三角形， .a+b+1=0,..a+b=-1, ∴.AB=BC=4,∠ACB=∠DCE=60°. 【练】解：设矩形在射线OA上的一段长为xm .∠ECH=60°.∴∠CEH=30. (1)当x≤8时， s=16=.4+5-合r+9.8z=- CH-CE-1,EH-, (x-9.8) ∴.BH=BC+CH=5. 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 在Rt△BEH中，BE=√BH+E平=√25+3=2√7； CD上的点E处，∴.BC=AG,∠EAG=90°，AE=AB. ∴.∠ABE=∠AEB. .∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°， .2∠ABE+∠BAE=180°. ,'∠CBE+∠ABE=90°，∴.2∠CBE+2∠ABE=180° 答图 答 ·∠BAE=2∠CBE; (2)解：如答图，过点E作EM⊥ (2)BO=AO+CO. AB于点M,过点B作BN⊥AE 如答图2，作CP⊥AE于点P,CF⊥BD于点F,在BO上截 取OH=OC,连接CH, 于点N, .四边形BCEM是矩形 .△ABC与△DCE均为等边三角形， ∴.BC=EM=6. ∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60. 将矩形ABCD绕点A顺时针旋 B M ∴.∠BCD=∠ACE..∴.△BCD≌△ACE(SAS). 答图 ∠CBD=∠CAE,AE=BD,S△ACE=SAD· 转， ..AE=AB=10,AG=AD=6, 7AECP=·BDCR.CP=CR, ∠EAG=∠BAD=90° 又，CP⊥AE,CF LBD,.OC平分∠BOE. 号AE·BN=合AB,EM,EM=BN=6. :∠ABC+∠BAC=120°： ∴.∠ABO+∠CBO+∠BAC=120° ∴.AN=√BA-BN=√/100-36=8. .∠ABO+∠CAO+∠BAC=120° I∠EAG=∠BNH, ∴.∠AOB=60°.∴.∠BOE=120°. 在△AGH和△NBH中，∠AHG=∠BHN, OC平分∠BOE,.∠BOC=∠EOC=60°. LAG=BN=6, .HO=CO,∴.△CHO是等边三角形， ∴.△AGH≌△NBH(AAS).∴.NH=AH=4,BH=HG ∴.CH=HO=CO,∠HCO=60°=∠ACB. ∴.BH=√BN+N=√36+16=2√13. ∴.∠BCH=∠ACO.∴.△BCH≌△ACO(ASA). .BG=4/13. .BH=AO..BO-BH+OH=AO+CO. 【练】解：(1)CF=√2DG45 3.旋转“奔驰”模型（旋转中心在图形内部）】 (2)成立，证明如下：如答图， 【例3】解：(1)△ABC是等边三角形， 作DH⊥DG,且DH=DG,连接GH,HC,并延长交DG,CF ∴.∠ACB=60° 交于点K, 由旋转的性质可知， ,四边形ABCD是正方形， CD=CE,∠DCE=∠BCA=60°， ∴AD=DC,∠ADC=90°. .△DCE是等边三角形. .DH⊥DG,.∠GDH=90° .CD=ED=4,∠CDE=60°. .∠GDH=∠ADC. AE=BD=5,AD=3, .∠ADG=∠CDH. ∴.AE2=AD+DE=25.∴.∠ADE=90° ∴.△ADG≌△CDH(SAS). ∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=90°+60°=150. ∴.AG=CH,∠AGD=∠CHD (2)6 ,四边形AEFG是正方形， 【练】(1)解：150° .AG=GF,CH=GF,∠AGF=90° (2)①如答图，把△APB绕点A按逆时针旋转90°得到 ,·∠GDH=90°，DH=DG, △ADP,过点A作AE⊥PP于点E,:四边形ABCD是正 ∴.∠DGH=∠DHG=45° 方形， ∴.∠CHG=∠DHC-∠DHG=∠CHD-45°， .AD=AB,∠DAB=90° ∠HGF=360°-∠AGF-∠AGD-∠DGH=360°-90° 由旋转的性质知， ∠AGD-45°=225°-∠AGD, PA=PA=2√2， ∴.∠CHG+∠HGF=180°..CH∥FG. P'D=PB=1,∠PAP'=90°， .四边形CHGF是平行四边形， .△APP'是等腰直角三角形， ∴.CF=HG,CF∥HG ∴Pp'=√2PA=√2X2√2=4， 答图 在Rt△DGH中，HG=DH+DG=2DG, ∠AP'P=45°. ∴.HG=√2DG,CF=2DG. .PP?+PD2=42+12=17, CF∥HG,∴∠CKG=∠DGH=45°， PD2=(√/17)2=17，.Pp2+P'D2=PD2 即直线DG与CF所夹锐角的度数为45°. ∴.∠PPD=90°. ∴∠AP'D=∠APP+∠PP'D=135. 8得 ∠APB=∠AP'D=135°. 5.组合三角板中的旋转 (3)②√/13③120°√7 【例5】45°60°解：(2)①DE∥BA. 4.旋转与四边形 理由：当旋转角a等于45时， 【例4】(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∠BAC=90°，.∠BAD=∠BAC-∠a=45 ∴∠C=∠CBA=90°.∴∠CBE+∠ABE=90. 又：∠ADE=45°，∠BAD=∠ADE,.DE∥BA; ,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在 ②：AD⊥BC于点F,∠AFC=90° 78 参考答案 ,∠C=30°， .⊙0的半径是4√5. .∠a=180°-∠AFC-∠C=180°-90°-30°=60°. 【练】解：如答图，连接OC, 【练】解：(1)如答图1，记AD与BC的交点为F, ∠BOD=3∠E=67.5°， DE∥BC,AD⊥DE,.AD⊥BC,∴.∠AFC=90° .∠E=22.5 .∠DAC=180°-∠AFC-∠C=180°-90°-30°=60. ∴.∠D=∠BOD-∠E=45° ∴∠CAE=∠DAC+∠EAD=60°+45°=105°.即a=105°； ∴.∠OCD=∠D=45°， ..OC-OD, E ∠C0D=∠180°-（∠OCD+ ∠D)=90°， 答图 ∠COE=∠OCD-∠E=22.5°=∠E, ∴.CD=√OC+OD=√2OC,OC=CE, E 答图1 答图2 答图3 (2)如答图2，当0<a≤45时，设∠CAE=k, cD-2cE,器- 则∠CAD=45°-k,∠BAE=90°-k, 2.垂径定理的应用 ∠BAE-∠CAD=90°-k-(45°-k)=45°， 【例2】解：(1)过点O作OH⊥CD于点H,连接OD,如答 如答图3，当45°<a≤90时，设∠CBD=b, 图，则CH=DH. 则∠BA=45°-b,∴.∠CAD+∠BAE=45° CE=1,DE=5,.CD=6. 如答图4，当90°<a≤135时， ∴.DH=CH=3, 设∠DAB=m,则∠CAD=90°-m,∠BAE=45°-m, H .EH=2. .∠CAD-∠BAE=45°； :∠OEH=∠AEC=45°， E O ..OH=EH=2, 在Rt△ODH中， 答图 OD=√/22+3=√13. E 答图4 答图5 ∴.AB=2OD=2/13; 如答图5，当135°<a≤180时， (2):∠OEH=45°， 设∠BAD=n,则∠CAD=90°+n,∠BAE=45°+n, ∠OHE=90°，∴.OH=EH,CH=DH, ∴∠CAD-∠BAE=45°. CE+DE(CH-EH)+(DH+EH) AB 40D 综上分析，当0<a≤45时，∠BAE-∠CAD=45°， _(DH-EH)+(DH+EH) 当45°<a≤90°时，∠CAD+∠BAE=45°， 40D 当90°<a≤180°时，∠CAD-∠BAE=45° _2(DH+EH)_2(D+O) 6.旋转中的分类讨论 40D 40D 【例6】45或225 【练】(-1，-2)或(5,2) 7.旋转中的多结论问题 【例7】①②③④ 【练】①②③ 【练】(1)证明：直径AB⊥弦CD于点M, 8.旋转与最值 ..AC=AD. 【例8】D 【练)名 :点E是AD的中点， ..2 DE-AD ..2 DE-AC 第二十四章圆 ∠AEC=2∠C; 1.半径的应用 (2)解：，∠AEC=2∠C, 【例1】(1)证明：连接OA,OB,如答图， ∠AEC=∠C+∠F, :四边形ABCD是正方形， ∴∠C=∠F. ∴.∠ADO=∠BCO=90°，AD=BC=DC. '∠DAE=∠C,∴∠DAE=∠F.∴AD=DF :OB=OA,∴.Rt△AOD≌Rt△BOC(HL), ..OD=OC; CD=6,直径AB⊥弦CD,DM=2CD=3. (2)解：连接OF,如答图， .AM=4,∠AMD=90°， 设OC=OD=x,则BC=2x. ∴.AD=√AM+DM=√4+32=5. ,正方形EFGC的面积为16， ∴.DF=5..MF=DM+DF=8. ..FG=CG=4. ∴.AF=√Af+MF=√4+8z=4√5. .OG=x+4. 3.直径与直角 .OB*=OC+BC, 0 GO OFR=OG+FG,OB=OF, 答图 【例3】(1)证明：：AB是直径， ∠AEB=90°. x2+(2x)2=(x十4)2+42. ..AE LBC. D ∴.x=4(舍去负值). .AB=AC, .OB=√5x=45. ..BE=CE. 79宝典训练|数学·九年级全册(R) 第二十三章 旋转 1.旋转半角模型 【例1】(1)如图1，在△ABC中，【练】(1)如图1，在正方形ABCD中，点M,N分别 ∠BAC=120°，AB=AC,点M,N在在边BC,CD上，连接MN,且∠MAN=45°，将 边BC上，且∠MAN=60°.若BM=△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG,可证 2,CN=4,则MN的长为 △AMG≌△AMN,易得线段MN,BM,DN之间的 (2)请你利用第(1)题的解答思想方 数量关系为 (直接填写)； 法，解答下面问题：已知，如图2，在(2)实践应用：在平面直角坐标系中，边长为5的正 △ABC中，∠CAB=90°，AB=AC, 方形OABC的两顶点分别在y轴、x轴的正半轴 E,F为BC上的点，且∠EAF=45°， 上，O在原点，现将正方形OABC绕点O按顺时 求证：EF2=BE+FC2. 针方向旋转，旋转角为0，当点A第一次落在直 线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直 线y=x于点M,BC边交x轴于点N.如图2，设 △MBN的周长为P,在旋转正方形OABC的过 程中，P值是否有变化？请证明你的结论； (3)拓展研究：如图3，将正方形改为长与宽不相等 的矩形，且∠MAN=∠CMN=45°，请你直接写 出线段MN,BM,DN之间的数量关系， 图3 18 数学·培优流动练 2.旋转手拉手模型（旋转中心在图形顶点） 【例2】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC 【练】△ABC与△DCE均为等边三角形，D 点D是直线AB上一点（点D与点A,B不 在边AC上，连接BE. 重合)，以CD为直角边作等腰直角三角形 (1)如图1，若AB=4,CE=2,求BE的长； DCE,使∠DCE=90°，连接AE (2)如图2，若AB>DC,在平面内将图1中 (1)如图1，点D在线段AB上，点E与点A △DCE绕点C顺时针旋转a&(0°<a< 在CD同侧.求证：AE=BD; 120),连接BD,AE,交于点O,连接CO, (2)如图2，当点D在AB的延长线上，点E 在△CDE运动过程中，猜想线段AO, 与点A在CD同侧.若AE=1,AB=4, CO,BO之间存在的数量关系，并证明你 则AD= 的猜想， (3)如图3，点D在BA的延长线上，点E与 点A在CD的两侧时，直接写出线段 AB,AD,AE三者之间的数量关 系： 19 富典训练|数学·九年级全册(R) ●】 3.旋转“奔驰”模型（旋转中心在图形内部） 【例3】如图1，D是等边三角形ABC内部的【练】阅读下面材料：小诚遇到这样一个问题： 一点，连接DA,DB,DC.将△BCD绕着点C如图1，在等边三角形ABC内有一点P,且 顺时针旋转一定的角度得到△ACE,连 PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数； 接DE. 小诚是这样思考的：如图2，构造等边 (1)如图1，若AD=3,CD=4,BD=5,求 △APP',利用全等转化问题，得到两个特殊 ∠ADC的度数； 的三角形，从而将问题解决 (2)如图2，E为正方形ABCD内部的一点， 连接EB,EC,ED,将△BCE绕着点C顺 丛A回 时针旋转一定的角度得到△DCF.若 ∠DEC=135°，DE=2,CE=4,则BE的 (1)请你回答：图1中∠APB的度数等 长为 于 参考小诚同学思考问题的方法，解决下列 问题： (2)如图3，在正方形ABCD内有一点P,且 PA=2√2，PB=1,PD=√I7. ①求∠APB的度数； ②正方形的边长为 (直接写答 案)； (3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点 P,且PA=2,PB=1,PF=√13，则 ∠APB的度数等于 ,正六边形 的边长为 (直接写答案) 20 数学·培优流动练 4.旋转与四边形 【例4】如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋【练】如图1，正方形AEFG的两边分别在正 转，使点B恰好落在CD上的点E处，得到方形ABCD的边AB和AD上，连接CF. 矩形AEFG,连接BG交AE于点H,连 (1)填空：线段DG与CF的数量关系为 接BE ;直线DG与CF所夹 (1)求证：∠BAE=2∠CBE; 锐角的大小为 (2)若AB=10,BC=6,求BG的长 (2)如图2，将正方形AEFG绕点A顺时针 旋转，在旋转的过程中，(1)中的结论是 否仍然成立，请说明理由； (3)把图2中的正方形都换成菱形，且 ∠BAD=∠GAE=60°，如图3，直接写 出DG:CF= 21 宝典训练|数学·九年级全册(R) ●● 5.组合三角板中的旋转 【例5】将一副三角板如图1放置，点B,A,E【练】如图1，将三角板ABC与三角板ADE 在同一条直线上，点D在AC上，CA⊥BE,摆放在一起；如图2，∠ACB=30°，∠DAE 点A为垂足，∠BCA=30°，∠AED=45° 45°，∠BAC=∠D=90°.固定三角板ABC, 将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转， 记旋转角∠CAE=a(0°<a<180°). (1)在旋转过程中，当a为多少度时，DE 图1 图) ∥BC; (1)如图1，∠ADE的度数为 (2)在旋转过程中，探究∠CAD与∠BAE之 ∠ABC的度数为 间的关系， (2)若将三角板ADE绕点A逆时针旋转角α (0°<a<90). 固定三角板ABC 顺时针方向旋转 ①如图2，当旋转角α等于45°时，试问 三角板ADE 图1 DE∥BA吗？请说明理由； ②如图3，当AD⊥BC于点F时，请求出 旋转角a的度数， 22 数学·培优流动练 ● 6.旋转中的分类讨论 【例6】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点 【练】如图，直线y=一 x+3与x轴、y轴分 3 C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B, C,D在一条直线上).将三角尺ABC绕着点 别交于A,B两点，把△AOB绕点A旋转90 C按逆时针方向旋转n°后(0<n<360),若 后得到△AOB',则点B'的坐标是 EF∥AB,则n的值是 7.旋转中的多结论问题 【例7】如图，已知△ABC中，AB=CB,将【练】如图，正方形ABCD的边长为1，AC, △BAC绕点B沿逆时针方向旋转n°(0<nBD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋 <∠ABC)得到△BDE,BD交AC于点F,转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接 DE交AC,BC于点G,H,则以下结论正确 DE交AC于点F,连接FG,则下列结论： 的是 ①DE平分∠ADB;②BE=2-√2；③四边形 ①△BAF≌△BEH, AEGF是菱形；④BC十FG=1.5.其中结论 ②连接BG,FH,则BG 正确的序号是 ⊥FH; H A F ③当BD⊥AC时，DF的长 D G 度最大； ④当点H是DE的中点时，四边形BFGH 的面积等于BF·GH. 8.旋转与最值 【例8】如图，已知正方形ABCD与正方形【练】如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC= AEFG的边长分别为4cm、1cm,若将正方 5√3，点P在线段BC上运动（含B,C两 形AEFG绕着点A旋转，则在旋转过程中， 点)，连接AP,以点A为旋转中心，将线段 点C,F之间的最小距离为 AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段 A.3 cm DQ的最小值为 B.2√2cm C.(4√2-1)cm D.3√2cm 23