第22章 二次函数(培优流动练)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

参考答案 解得m≥一 且m+ 【例3】A 【练】C 【例4】B 【练】A (2)由x1=|x2,得x1=x2或石=-x2, 【例5】A 【练】D 当x1=x时，△=(2m十1)2-4m(m-2)=0, 【例6】②③④ 【练】①②④ 解得m=一2， 【例7】D 【练】D 【拓展】(4047,4047) ,.x1=x2= 2m+1 1 2m-2)- 2.二次函数与一元二次方程 当=一x时，西十，=-2m+ 【例8】解：设d1,x2为抛物线y=mx2一(3m-1)x十2m-2 m-2 =0, 与x轴交点的横坐标， m= 2 则a十=3m-,=2m2 m m “m≥一2且m≠2，x=一时方程无解。 -=a+)-4a西-陆-2， 综上所述，m的值为一2方程的根为==方： m+1=2或m+1=-2. m 【练】解：(1)△=[-(k+1)]2-4×1×(+1） m=1或m=-3 =2k-3, 抛物线的解析式为y=x2一2x或y=一 2+2x-8 :方程有两个实数根，2k-3≥0.解得k≥是， 【练】解：：y=x2十x-2p-5, “当>号时，方程有两个实数根； 六顶点M的坐标为(-多，-龙+8+2). 4 (2)设方程的两根分别为a,b, x,x2是方程x2+px一2p一5=0的两个根， “a+6=+1,ab=号+1. 西+西=-p, x1x2=-2p-5, ABI=Ix 矩形的对角线长为√5，即a2+b=5, =W/(x1+x2)2一4x1x2=√/p2+8p+20， ∴a2+形=(a+b)2-2ab=(k+1)2-2×(e+1）=5. Sam=2AB1· p2+8p+20 4 整理得k十4k一12=0， 解得k=2或=一6（舍去）. =g(p+8p+20)VP+8p+20. ∴.当矩形的对角线长为√5时，k的值为2； 要使S△Ms最小，只须p十8p十20最小， (3)当矩形为正方形时，方程两根相等， .p2十8p+20=(p十4)2十4， “4=2-3=0.解得长=号 .当p=一4时，2+8p十20有最小值4. 此时S△Ms=1,.抛物线的解析式为y=x2-4x十3. 当=时，矩形变为正方形 【例9】解：设代数式ax2十bx+c(a≠0)的值为y, 5.一元二次方程的应用 则y=ax2+bx十c(a≠0)， 由二次函数图象可知， 【例11】解：设AB的长是xm, 则BC的长是(18-x)m. 若二次函数y=a.x2十bx十c的值恒为正， 根据题意，得x(18一x)=72, 则抛物线开口向上，与x轴无交点， 故a,b,c应满足a>0,b一4ac<0. 解得1=6，x=12. 当x=6时，18-x=12>10(不合题意，舍去)； 【练】解：y1=ax2+4ax-5a=a(x+5)(x-1), 当x=12时，18-x=6符合题意. ∴抛物线与x轴的交点为(-5,0)，(1,0)， 答：AB的长是12m. 由y2=2x一2可知函数y2与x轴的交点为(1,0)，与y轴 【练】解：如答图，设封闭型长方形等候区的边AB为x米， 的交点为(0，一2). 根据题意，得 对于任意x均有y1≥y2,如题图， x(48-2x+2)=300, .抛物线y=a.x十4ax-5a开口向上.∴.a>0. 整理，得x-25x十150=0， 由ax2+4ax-5a=2x-2 D 解得x1=10,x2=15. 整理，得ax2十(4a-2)x-5a+2=0, 当x=10时， 出b 进口 由题意得△=(4a-2)2-4a(-5a+2)=0, B BC=30>26,不符合题意，舍去； 答图 整理，得(3a-1Dr=0,解得a=宁 当x=15时， BC=20<26,符合题意 3.二次函数与线段问题 答：长方形等候区的边AB为15米，BC为20米， 【例10】解：由题意，联立方程组y=文一1， 1y=2x+m, 第二十二章二次函数 .x-1=2x+m,即x2-2x-m-1=0. 1.二次函数的图象和性质 又：抛物线y=x2一1与直线y=2x十m有且只有一个交 点，..△=44(-m一1)=0. 【例1】a≥5 【练】-2<m<0 .m=-2. 【例2】2a 【练】3 .x2-2x+2-1=0,即x2-2x+1=0. 75 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) ∴.(x-1)2=0.∴x=1,则y=0.∴.A(1,0) 点C在y=x2-4x-5上，6=x2-4-5. 【练】解：把点C(-1,0)代人y=-x2+bx十c中，得 -1-b+c=0,解得c=b+1 2-4到=-}G-4场-50. 联立y=-t+虹+b+1, 当2五-4=-（话-4-5）时， y=7-2x, 得x2-(b+2)x+6-b=0. 解得xo1=3,xo2=-7(舍去)； :抛物线与直线只有一个交点， 当4-2=-(6-4红-5)时， .△=(b+2)2-4(6-b)=0. 解得x=1,x04=11(舍去)， 解得b=-10或2.c=b+1>0,.b=2. .x0=1或x0=3. ∴抛物线的解析式为y=一x2+2x十3. .P(1,-2)或P(3,-2) 【例11】解：当y=0时，4(x+2)(x-4)=0, .PC=6..ME=PC=6..E(7,0)或E(-3,0). 解得=-2，x2=4,则A(-2,0),B(4,0). 4.二次函数与角度 【例13】解：(1).点B(4,0),点D(3,4)在抛物线y=-x2+ 设F(,4-名-2)，则E(,-+2), bx+c上， -2≤长4， 得 6=3, EF=-+2-(--2）=-+4 ∴.该抛物线的解析式为y=一x2+3x十4； -<0, (2)作PE∥y轴，交OD于点Q,交x轴于点E,如答图， PE∥y轴， 当t=0时，EF最大，最大值为4. ∴∠OPQ=∠POC. 即当直线m移动到与y轴重合的位置时，EF的值最大，最 .OP平分∠COD, 大值是4. ∴.∠POC=∠POQ, 【练】解：设抛物线C的解析式为y=子（红一， ∴∠POQ=∠OPQ,PQ=OQ. 设OD的解析式为y=bx, 则P,0),E(0,e)片 将D3,4代入得=音 ,EF∥x轴，且F在抛物线C上， 答图 根据抛物线的对称性可知F(21,3P), “OD的解析式为y=号x 把Fg代人y-得+， 设点P的横坐标为t,则有P(,-+31十4)，Q(,亭)， E(t,0), 得+3=日，解得4=-5西=35， PQ=-f+3+4-号=-f+号+4 3抛物线C的解折武为y=子(x-3严或y=弓（x+ “号1=-+号计4.解得4=2,4=-2（舍去）， 3)2. t=2..-t2+3t+4=-4+6+4=6, 【例12】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x十1)(x一2)， 点P的坐标为(2,6). ,抛物线与y轴交于点C(0,一2)， (3)存在，P3,0或P(-), .aX1X(-2)=-2..a=1. ∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x一2)=t一x一2； 5.二次函数与代数几何综合题 (2):点P在x轴正半轴上，∴.设P(m,0)(m>0), 【例1411y=-(x-2)(2y=号(x-1-2 ∴.PA=m+1,PC=√m+2. (3)y=-x2+4x-1 女PA=PC,m+1=√m+2.m=3 2· 【练1.号 .0P=m=2 3 【练12.解：1)=2-x-3 【练】解：假设点E存在.理由如下： (2)存在PD.=2OC.理由如下： ,MC⊥EM,CD⊥MC, ,.∠EMP=∠PCD=90° 设p(e,d-号a-3）,p(e,c）, ∴.∠MEP+∠MPE=90°. 根据题意，得 PE⊥PD,∠EPD=90°. .∠MPE+∠DPC=90° .∠MEP=∠CPD. 由号4+3=20c=6, 又PE=PD, ∴.△EPM≌△PDC(AAS). 解得a=号a=-4 ∴.PM=DC,EM=PC 答图 设C(x,ya),则D(4一x%), P(停-号)P-4,8. P(子%）12x-41=-名， 【例1510<b<是 76 参考答案 【练】解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y=a(x一1)(x +48.02, -3). 当x=8时，S=46.4; 抛物线的图象经过点C(0, (2)当x>8时，S=x·(16+6.6+5-2红)=-x+13.8z 6), 2 ∴.6=a(0-1)(0-3). =-(x-6.9)2+47.61, .a=2. 由于在x>8的范围内，S均小于46.4. 抛物线的解析式为y=2(x .由(1)(2)得最大面积为46.4m. -1)(x-3)=2.x2-8x+6; 第二十三章旋转 (2):y=2x2-8x十6=2(x 2)2-2, 1.旋转半角模型 .顶点M的坐标为(2，一2). M 【例1】(1)2√5 ,抛物线的顶点M与对称轴L上的点N关于x轴对称， (2)证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG,连 .N(2,2). 接EG,如答图， 设直线AN的解析式为y=kx十b, 则△ACF≌△ABG (0=k+b 由题意可得2=十6，解得/二) ∴.AG=AF,BG=CF, b=-2’ ∠ABG=∠ACF=45°， ∴.直线AN的解析式为y=2x-2. ∠GBE=90°， 联立方程组得y=2红-2， :∠BAC=90, y=2x2-8x+6, 解得5=1，=4， y=0,3y2=6, ∠GAF=90°， D4,6.5m=号×2X6=6 .∠GAE=∠EAF=45. (AG=AF, 设E(m,2m-2), 在△AEG和△AEF中，∠GAE=∠FAE, ,直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分， (AE-AE, Se=号Sam=2或SwE=号SD=4 .△AEG≌△AEF(SAS)..EF=EG. 又∠GBE=90°，BE+BG=EG, ÷号×2×2m-2)=2或7×2×(2m-2)=4 即EF=BE+FC. 【练】解：(1)MN=BM+DN .m=2或3.∴.点E的坐标是(2,2)或(3,4). (2)P值不变. 【例16】解：由题意可知，A点坐标为(1,0)，B点坐标为(4， 证明：如答图，将△AOM绕点O顺时针旋 0),C点坐标为(0,4)， 转90°得到△COE,由旋转可知OM=OE, .易得直线BC的解析式为y=一x十4. AM=CE,∠AOM=∠COE,∠MOE=90° 当x=8时y=-x十4=是， ,直线OM的解析式为y=x, .∠M0N=45°. “y=2-5x+4=()-，顶点号) ∠MOE=90°，∠EON=45. 又.ON=ON, 答图 “此抛物线向上平移或（号+8）个单位长度，使平移 .△MON≌△EON(SAS) 后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上， ∴.MN=EN=CN+AM. ∴符合题意的n的取值范围是是<<只 .P=BM+BN+MN=BM+BN+AM+CN=2AB=2X 5=10. 【练】-3<b<1 ∴在旋转正方形OABC的过程中，P值不变； 6.二次函数中的新题型 (3)MN2=2BM+2DN2. 【例171解：“y=-子=一2-号 2.旋转手拉手模型（旋转中心在图形顶点）】 【例2】(1)证明：：∠ACB=90°，∠DCE=90°， 六该二次函数的图象开日方向向上，最小值是一号，且当： ∴.∠BCD+∠ACD=90°，∠ACE+∠ACD=90°. ∴.∠BCD=∠ACE <2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而 增大 BC=AC, 在△BCD和△ACE中， ∠BCD=∠ACE, ,a<b≤2，.此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭 7 DC=EC, 日a-4a ∴.△BCD≌△ACE(SAS). 函数”的定义知， ..AE=BD. (2)5(3)AB+AD=AE 两式相减整理得(a-b)(a+b十1)=0. 【练】解：(1)如答图1，作EH⊥BC交BC的延长线于点H, .'a<b≤2， ,△ABC与△DCE均为等边三角形， .a+b+1=0,..a+b=-1, ∴.AB=BC=4,∠ACB=∠DCE=60°. 【练】解：设矩形在射线OA上的一段长为xm .∠ECH=60°.∴∠CEH=30. (1)当x≤8时， s=16=.4+5-合r+9.8z=- CH-CE-1,EH-, (x-9.8) ∴.BH=BC+CH=5.数学·培优流动练 第二十二章二次函数 1.二次函数的图象和性质 【例1】已知y=x2+(1一a)x十1是关于x的【练】已知抛物线y=ax2一2ax经过A(m 二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y: 1,y1),B(m,y2),C(m+3,y3)三点，且y1< 在x=1时取得最大值，则实数a的取值范 y3<y2≤一a恒成立，则m的取值范围 围为 为 【例2】已知A(x1,y1),B(x2,y2)是二次函数【练】已知x=2m十n十2和x=m十2n时，多 y=ax2-2ax-a(a≠0)图象上两点，且AB 项式x2十4x十6的值相等，且m一n十2≠0， ∥x轴，当x=x1十x2十1时，函数的值 则当x=3(m+n十1)时，多项式x2十4x+6 为 的值等于 【例3】在同一平面直角坐标系中，二次函数【练】在同一直角坐标系中，一次函数y=x y=a.x2十bx+3的图象与一次函数y=2ax 一2k和二次函数y=一kx2+2x一4(k是常 十b在同一平面直角坐标系中的图象可能是 数且k≠0)的图象可能是 新节：东 B D 【例4】如图，四边形ABCD 【练】如图，在矩形ABCD 是边长为2的正方形，点E 中，AB=3cm,AD=4cm, 是射线AB上的动点（点E 点E在AD边上，且AE= 不与点A,点B重合)，点F AB,连接BE,动点F,G同 在线段DA的延长线上，且AF=AE,连接 时从B点出发，点F以√2cm/s的速度沿线段 EF,FB.设AE=x,△BEF的面积为y,下 BE向终点E运动，点G以2cm/s的速度沿 列图象能正确反映出y与x的函数关系的 折线BC一CD运动，当点F到达终点时，两点 是 同时停止运动.设点F运动的时间为x(s),在 运动过程中，点F,G经过的路线与线段FG 围成的图形（如图中阴影部分）的面积为 y(cm),则y与x的函数图象应为 填 Oa3→ B 宝典训练|数学·九年级全册(R) 【例5】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点【练】如图1，在△ABC中，点P从点B出发， D为AB的中点，动点P从A点出发沿AC沿B→C路径以1cm/s的速度匀速运动到 →CB运动到点B,设点P的运动路程为x, 点C,图2是点P运动时，线段AP的长 △APD的面积为y,y与x的函数图象如图y(cm)随时间t(s)变化的关系图象，当 2所示，则AB的长为 △ABP与△APC面积相等时，AP的长为 y(cm)↑ A.√3cm B.2 cm 图2 B.12 C.14 D.16 C.2√5cm 012 A.10 x(s) 图2 D.4 cm 【例6】已知抛物线y=ax2十bx十c经过点 【练】已知点P(xo,m),Q(1,n)在二次函数y A(-1,0),B(m,0),其中m>0,a<0.下列 =(x+a)(x-a-1)(a≠0)的图象上，且m 四个结论：①a6c>0:②名=1-③am+ <n下列结论：①该二次函数与x轴交于点 (一a,0)和(a十1,0)；②该二次函数图象的 (2a+b)m+a+b+c<0;4am+a= √62一4ac,其中正确的结论是 对称轴是直线x=7;③该二次函数的最小 (填写序号) 值是(a+2)2;④0<xo<1.其中正确的是 (填写序号) 【例7】二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)中，【练】已知抛物线y=x2+(2a十1)x十a2一a, 若6=4a,则 ( ) 则抛物线的顶点不可能在 ( A.y最大=5 B.y最小=5 A.第一象限 B.第二象限 C.y最大=3 D.y最小=3 C.第三象限 D.第四象限 【拓展】如图，抛物线y=x在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次 为A1,A2,A3,…,Am,将抛物线y=x2沿直线L:y=x向上平移，得到一系列抛物线，且满足 下列条件：①抛物线的顶点M1,M2,M3,…,Mn,都在直线L:y=x上；②抛物线依次经过点 A1,A2,A3,…,Am;则顶点M2o24的坐标为 8 数学·培优流动练 2.二次函数与一元二次方程 ◆1.1二次函数在x轴交点的距离 【例8】若关于x的二次函数y=mx2一(3m【练】设抛物线y=x2+px一2p一5的顶点为 一1)x+2m一2的图象与x轴两交点间的距M,且与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点， 离为2，求抛物线的解析式. 求使△AMB面积最小时的抛物线的解 析式. 9 宝典训练|数学·九年级全册(R) 1.2二次函数恒成立问题 【例9】探究当a，b，c满足什么条件时，代数 【练】已知关于x的二次函数 $$y _ { 1 } = a x ^ { 2 } + 4 a x$$ 式 $$a x ^ { 2 } + b x + c \left( a e 0 \right)$$ 的值恒为正.如果从解 -5a 和一次函数 $$y _ { 2 } = 2 x - 2 ，$$ ，若对于任意x 不等式的角度去思考代数式 $$a x ^ { 2 } + b x + c \left( a$$ 均有 $$y _ { 1 } \ge { y _ { 2 } } ，$$ ，求 a 的取值范围. ≠0) 的值恒为正，对我们来讲是一个较难的 $$y _ { A }$$ 问题.那我们能不能换一种角度去思考呢? $$\frac { } { x }$$ 如果令 $$y = a x ^ { 2 } + b x + c \left( a e 0 \right) ，$$ ，那么可以看 成是研究二次函数 $$y = a x ^ { 2 } + b x + c$$ 的值恒大 于0的问题，借助图象来思考：发现当函数图 象开口向上，并且与x轴没有公共点时，y的 值恒大于0，那么a，b，c应满足的条件是 什么? y x 3.二次函数与线段问题 1.1一次函数与二次函数 【例10】已知抛物线 $$y = x ^ { 2 } - 1$$ 与直线 y= =2x 【练】已知抛物线 $$y = - x ^ { 2 } + b x + c \left( c > 0 \right)$$ 过 +m 有且只有一个交点A，求m的值以及交 点C(一1，0)，且与直线 y=7-2x 只有一个 点A的坐标. 交点，求抛物线的解析式. 10 数学·培优流动练 可 ◆1.2线段最值问题 【例1山如图，已知抛物线y=(x十2(x 【练】如图，直线1：y= 3x十3与x轴交于点 4)与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为 A若将抛物线y一32平移，记平移后的抛 C,经过点B的直线y=-2+2与抛物线 物线为C,其顶点为P.若抛物线沿x轴进行 的另一个交点为D.若直线m平行于该抛物左右平移，且平移后的抛物线C与y轴交于 线的对称轴，并且可以在线段AB间左右移 点E,与直线1交于两点，其中一个交点为 动，它与直线BD和抛物线分别交于点E, F,当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C F,求当直线m移动到什么位置时，EF的值 对应的函数关系式 最大，最大值是多少？ -x 11 宝典训练|数学·九年级全册(R) ●●- ◆1.3找点使线段相等 【例12】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴【练】抛物线y=x2一4x一5与x轴交于A,B 交于A(一1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点两点（点A在点B的左侧，且OA<OB).点 C(0,一2)，过A,C两点画直线 M是线段AB上的任意一点，过点M(a,0) (1)求抛物线的解析式； 作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C,记点C (2)点P在x轴正半轴上，且PA=PC,求 关于抛物线对称轴的对称点为D(C,D两点 OP的长. 不重合)，点P是线段MC上一点，连接CD: BD,PD.若点P满足MP=MC,作PE1 PD交x轴于点E,问是否存在这样的点E, 使得PE=PD?若存在，求出点E的坐标； 若不存在，请说明理由。 12 数学·培优流动练 4.二次函数与角度 【例13】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于A,B(4,0)两 点，与y轴交于点C,点D(3,4)在抛物线上，点P是抛物线上一动点. (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接OD,若OP平分∠COD,求点P的坐标； (3)如图2，连接AC,BC,抛物线上是否存在点P,使∠CBP+∠ACO=45°？若存在，请直 接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 13 宝典训练|数学·九年级全册(R) ●●- 5.二次函数与代数几何综合题 ◆1.1二次函数中的几何变换 【例14】(1)抛物线y=一(x+2)2关于y轴对称的抛物线的表达式为 (2)抛物线)=一红十1)？十2关于原点对称的范物线的解析式为 (3)抛物线y=x2一4x十1关于x轴对称的抛物线的表达式为 【练】1.如图，把函数y=x的图象经过平移后得到新的函数m的图 象，新函数m的图象经过点A(一6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它 的对称轴与函数y=方x的图象交于点Q,则图中阴影部分的面积 为 【练】2.如图，已知抛物线L1:=子，将驰物线平移后经过点A(一1,0)，B(4,0)得到抛物 线L2,与y轴交于点C. (1)抛物线L2的解析式为 (2)点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D,是否存在PD, 使PD=2OC,若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由. 14 数学·培优流动练 【例15】将抛物线y=一x2一4x(一4≤x≤0)沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y=x十 b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为 【练】如图，抛物线y=ax2十bx十c经过A(1,0),B(3,0),C(0,6)三点 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点M与对称轴L上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D.直线 BE交AD于点E,若直线BE将△ABD的面积分为1：2的两部分，求点E的坐标. 个 15 宝典训练|数学·九年级全册(R) ●● ◆1.2根据图象求参数取值范围 【例16】抛物线y=x2一5x+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,将此抛物线向上平移n 个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n 的取值范围. 【练】如图，将抛物线y=x2一2x一3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分 保持不变，得到图形C,当直线y=x十b(b<1)与图形C恰有两个公共点 时，b的取值范围是 6.二次函数中的新题型 【例17】设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值 的全体叫做闭区间，表示为[a,b].对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m ≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.若a<b≤2，且二 次函数y一日2-号一号是闭区间[a,上的闭函数”求a十b的值。 16