第21章 微专题2 一元二次方程与动点问题-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 解得y=6或y=一2. 第7课时一元二次方程的根与系 当y=6时，x2+x=6,(x十3)(x一2)=0， 解得x1=一3，x2=2. 数的关系（韦达定理） 当y=-2时，x2十x=-2,即x2十x十2=0. 【课标预习】 △=12-4×1×2=-7<0， .该方程无解 问题1：-b土√-4ac 2a 综上所述，该方程的解为x1=一3，x2=2. 问题2：一饣q 10.解：设x十2y=t,则原方程可化为十4t-5=0, (t-1)(t+5)=0,即t-1=0或t+5=0. 问题3：(1)-6+VB-4ac -b-√B=4ac-b 2a 2a 解得t1=1,t2=-5. (2)-b十VB-4ac -b-√6-4acc .x+2y的值为1或-5. 2a 2a 11.解：设x=y,则原方程可化为y2一3y+2=0, 解得y=1,y2=2. 小结：-吾台4=分-iac≥0 当y=1时，|x|=1,∴.x=士1； 【典型问题】 当y=2时，|x=2,.x=士2. 【例1】3-1-3-52.51.5 .原方程的解是x1=1,x2=一1，x3=2,x4=一2. 【变1】6-152.5-1.510 12.解：设t=x2,则t≥0， 【例23【变2】-3 原方程可化为t2一2t一8=0. 解得t1=4,t2=-2. 【倒31)-1(2)8【变31-考(2②)-号 ,t2=一2<0和t≥0不相符， 【例4】解：(1)：关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x十 t=4,即x2=4.x=2,x2=-2 m2=0有两个不相等的实数根， 第6课时一元二次方程的根的判别式 △>0，即4=(2m十3)2-4m2>0,m>-3 4 (2)a+B=-(2m十3)，8=m2, 【课标预习】 问题1：二6土VB4a 六日+日=-1-9-2+》 a3 m2 2a 问题2：不一定 .-(2m十3)=-m2,解得m=3,m2=-1. 问题3：(1)两不相等(2)两相等(3)无 m>-m=3. 【典型问题】 【课堂过关】 【例1】C【变1】A 1.02.393.24.15.3 【例2】解：(1)△=b2-4ac=9-4(2-m2)=4m2+1; 6.(1)证明：.△=[-(m+2)]-4X1×(m+1)=m2+4m (2).△=b-4ac=4m2+1≥1>0， +4-4m-4=m2≥0 ∴.不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 该方程总有两个实数根； 【变2】证明：.△=m2-4(m-1)=m2一4m十4 (2)解：设方程的两实数根为x1,x且x1>x2, =(m-2)2≥0， 则1一x2=2,.(x1-x)2=(十x2)2-4x1x2=4. .方程总有两个实数根 又：x+x2=m+2,2=m+1, 【例3】m≥-1【变3】a<-9 ∴.(m十2)2-4(m+1)=4.解得m=2或m=-2. 【课堂过关】 故m的值为2或-2. 1.≥2.有两个不相等的实数根3.≤1 微专题2一元二次方程与动点问题 4.m>25.06.m≥-1且m≠0 7.解：(1)：关于x的一元二次方程x2-2(m十1)x十m2+5 1.解：(1)设t秒后，△PBQ为等腰直角三角形. =0有实数根，.△=[-2(m十1)]2-4(m2+5)=8m- 由题意，得AP=tcm,BQ=2tcm 16≥0，解得m≥2， .BP=(6-t)cm..6-t=2t,解得t=2. .如果方程有两个实数根，m的取值范围为m≥2. 答：2秒后，△PBQ为等腰直角三角形. (2)当底边长为7时，由题意，得△=0，则8m一16=0， (2)设x秒后.四边形APQC的面积为16cm 解得m=2. :四边形APQC的面积=△ABC的面积一△PBQ的面 此时一元二次方程为x2一6x十9=0，解得x1=x2=3, 积，合×6×8-合×(6-)×2x=16, 因为3+3<7，舍去 整理，得x一6x十8=0， 当腰长为7时，将x=7代入，得 解得=2，x2=4,,BC=8cm,∴.2t<8, 49-14(m+1)+m2+5=0, .t<4,不合题意，舍去，.x的值为2. 解得m1=4,m2=10. 答：2秒后，四边形APQC的面积为16cm°： 当m=4时，x2一10x十21=0，解得x1=3,x2=7,可以构 (3)△PBQ的面积不能为12cm,理由如下： 成三角形， 设y秒后，△PBQ的面积等于12cm2, 当m=10时，x2-22x+105=0,解得x1=7,x2=15. 由题意，得AP=ycm,BQ=2ycm, 7+7=14<15,∴.不能构成三角形. 综上，m的值为4. 则BP=(6-》em,令2(6-》×2y=12, 参考答案 整理，得y2一6y十12=0， 3.(1-20%)(1+x)2=1+15.2% △=(-6)2-4×1×12=-12<0，方程无解， 4.3+3(1+x)+3(1+x)2=10 ∴.△PBQ的面积不能为12cm 2.解：(1)2t(15-3t) 第9课时实际问题与一元二次方程(2) (2)设出发t秒后P,Q两点间的距离是13cm, (互赠或握手问题、传播问题) 则AP=3tcm,CQ=2tcm, 【课标预习】 问题1：(1)23×2(2)34×3(3)(x-1)x(x-1) (4)(x-1) 合(x-1D 问题2：(1)10126072(2)2(1+x)2 答图 典型问题了 如答图，作QM⊥AB于点M, ,四边形ABCD是矩形，∴.∠C=∠ABC=90° 【例1】解：设这个小组共有x人，由题意，得x(x一1)=72， .四边形QMBC是矩形， 解得x=9,x2=一8（不合题意，舍去）. .∠QMP=90°，QM=BC=5cm, 答：这个小组共有9人. .PM=|15-2t-3t|=|15-5tcm, 【变1】解：设该小组有x支球队，根据题意，得2x(x一1)=6， 由勾股定理，得(15-5)2+52=13， 解得x1=4,x2=一3（不符合题意，舍去）. 解得t=0.6或t=5.4, 答：该小组有4支球队. ,AB=15cm,.3t15,.t≤5 【例2】解：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， ∴t=5.4不符合题意，舍去. 根据题意，得 答：P,Q出发0.6s时，P,Q间的距离是13cm. x+1+(1+x)x=81,则(1十x)2=81, (3)四边形APDQ的形状可能为矩形，理由如下： 解得x1=8,x2=-10(舍). 当四边形APQD为矩形时，AP=DQ,即3t=15一2t, 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑。 解得t=3. (2)729. 答：当P,Q出发3秒时，四边形APQD为矩形. 〔课堂过关】 第8课时实际问题与一元二次 1.10人2.10人3.11 方程(1)（增长率问题） 4.解：(1)25 9n(n-3) 2 【课标预习】 (2)假设可以，根据题意，得n(m一3)=20， 问题1：(1)11(2)12.1问题2：a(1士x)a(1士x) 2 【典型问题】： 解得n=8或n=-5(舍去)， 故n边形可以有20条对角线，此时边数n为8. 【例1】解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 x.根据题意，得3(1+x)2=4.32, 第10课时实际问题与一元二次 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去） 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%. 方程(3)（几何问题） 【变1】解：设年平均增长率为x, 【课标预习 根据题意可列方程20(1+x)2=45, 解得x=0.5,x2=一2.5（不合题意，舍去）. 问题：1(30-)）《-+30)2)30-号) 答：2022年到2024年新能源汽车出口量的年平均增长率是 50%. (-是+30m）(3)(60-30）(-3d+60） 【例2】解：设这种药品成本的年平均下降率是x, 【典型问题】 根据题意，得5000(1-x)2=3200, 【例1】解：(1)设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去) 的边长为(42-3x)米， 答：该药品成本的年平均下降率是20%. 依题意，得(42-3x)x=144.解得=6，x2=8. 【例3】20% 由于x2=8>7,所以不合题意，舍去.所以x=6符合题意， 课堂过关 答：生态园垂直于墙的边长为6米， 1.解：设平均每次降价的百分率为x, (2)依题意，得(42-3x)x=150,整理，得x2-14x+50=0. 依题意，得1×(1一x)2=1-19%, 因为△=（一14）2一4×1×50=一4<0，所以该方程无解. 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). 所以生态园的面积不能达到150平方米. 答：平均每次降价的百分率为10%. 【例2】解：设道路宽为xm,根据题意，得 2.解：(1)125×(1一20%)=125×80%=100（万元）， (20-x)(32-2x)=570.解得x=1,x2=35(舍). 答：二月份的销售额为100万元； 答：道路宽为1m. (2)设三、四月份销售额的平均增长率为x, 【课堂过关】 依题意，得100(1十x)2=144, 1.4500cm32.1.5m 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）. 3.解：设水平彩条的宽度为xcm,则竖直彩条的宽度为 答：三、四月份销售额的平均增长率为20. 2x cm,第二十一章一元二次方程 微专题2一元二次方程与动点问题 1.【例】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm.点P从点A开始沿AB边向点B以 1cm/s的速度移动（点P不与点B重合），点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动 (点Q不与点C重合) (1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发，那么几秒后，△PBQ为等腰直角三角形？ (2)如果点P,Q分别从点A,B同时出发，那么几秒后，四边形APQC的面积为16cm2? (3)如果点P,Q分别从点A,B同时出发，△PBQ的面积能否为12cm?说明理由. ●17● 数学·九年级·全册(R) 2.如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,AD=5cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发，点P以 3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动 时，点Q也停止移动).设移动时间为t(s).连接PQ,QB. (1)用含t的式子表示线段的长：CQ=cm,PB= cm, (2)当t为何值时，P,Q两点间的距离为13cm? (3)四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由. D 课堂小结：一元二次方程与动点问题 处理策略：用所设的未知数表示出各线段，利用几何关系（如三角形面积公式、勾股定理等）列等式 注意事项：1.注意各点的运动路径（线段、射线、直线）、方向和运动速度； 2.根据实际意义取、舍所求的结果 0》18●