第21章 微专题1 解一元二次方程综合(含整体思想）-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

第二十一章一元二次方程 微专题1解一元二次方程综合（含整体思想） 知识点①解一元二次方程的一般思路 1.方程2x2-2x=0的根为x1=,x2= 2.方程3x2-x-2=0的根为 3.用适当的方法解方程：25(1十x)2=36, 4.用适当的方法解方程：200(1-x)2-162=0. 5.用适当的方法解方程：x2-8x十13=0. 6.用适当的方法解方程：x(3x一4)=2. 1.用适当的方法解方程：2x(x-1)=45。 8.解方程：(2x十4)(2x十6)=8. 课堂小结：解一元二次方程的一般思路 1.对于一般式ax2十bx十c=0(a≠0)的解法的选择顺序一般为：直接开平方法(b=0)→因式分解法 (c=0考虑提公因式，三项类考虑公式法或十字相乘法)→配方法(a=1,b为偶数)→公式法. 2.对于非一般式的一元二次方程，若没有思路解之，可先化简为一般式. ●>11《● 数学·九年级·全册(R) 知识点②整体思想与换元法 9.解方程：(x2+x)2-4(x2十x)-12=0. 10.(2024秋·西华县期末)解方程：若(x十2y)2+ 4(x+2y)-5=0,求x+2y的值. 11.解方程：x2-3x十2=0. 12.解方程：x4-2x2-8=0. 课堂小结：整体思想与换元法， 处理策略：将其中相同的部分看做一个整体，用新字母表示，再进行运算. 注意事项：需要考虑新字母的取值范围，如y=x,t=x2,则y≥0，t≥0. 0》12<0参考答案 问题2：ax2+bx=-cx+bx 【变1】解：移项，得4x2-x=0,因式分解，得x(4x-1)=0. 1 x+x+()=-+(%) 于是得1=0，x=4· 【例2】解：因式分解，得(x一1)(3x+2)=0. u+0r-"2s>a)b生&=4 (2)- b 4a2 2a 2a 于是得x一1=0或3x十2=0，西=1=一号 (3)方程无实数根 【变2】解：移项，得2x(x一1)-(1一x)=0. -b士√/6-4ac 因式分解，得(x一1)(2x+1)=0. 归纳：(1)两个不相等 2a 公式法 (2)两个相等(3)无 于是得x-1=0或2x+1=0.=1,x=-2 【典型问题】 【例3】解：(1)因式分解，得(x十2)(x十4)=0. 于是得x十2=0或x+4=0.x1=-2,x2=一4： 【例1】解：a=3,b=5,c=1.△=-4ac=13>0. (2)因式分解，得(x-1)(x-8)=0, 方程有两个不相等的实数根x=二5士飞】 于是得x-1=0或x-8=0.=1,x2=8. 6 【变3】解：(1)因式分解，得(x一5)(x十3)=0： 即x=-5+13 6 ,m=-5-13 6 于是得x-5=0或x十3=0.x1=5,x2=-3. (2)因式分解，得(x十5)(x-3)=0. 【例2】解：方程化为x2一4x十4=0. a=1,b=一4，c=4, 于是得x+5=0或x-3=0.x1=-5,x2=3. △=b2-4ac=16-4×1×4=0. 课堂过关] 方程有两个相等的实数根x=4生0=2，即石==2。 2 1.6=14=-32.5=2a=-日 【例3】解：a=1,b=-12,c=12. 3.解：因式分解，得(x一1)(x十3)=0， △=(-12)2-4×1×12=96>0. 于是，得x一1=0或x十3=0，x1=1,x2=一3 方程有两个不相等的实数根，x=12±45=6士26， 4.解：因式分解，得(x一9)(x+2)=0, 2 于是，得x-9=0或x十2=0，x1=9,x2=一2. 即x1=6+2√6，x2=6-2√6. 5.解：移项，得(x-3)2-2(x-3)=0, 【课堂过关] 因式分解，得(x-3)(x-5)=0, 于是，得x-3=0或x-5=0,x=3,x2=5. 1.解：a=2,b=6,c=-5. 6.解：因式分解，得(2x-5)(x十1)=0， △=36-4×2×(-5)=76>0. 5 方程有两个不相等的实数根 于是，得2x-5=0或x+1=0,x1=2,x=-1. x=-6±2西--3±19 7.68.12 2×2 2 即x=-3+1 2 ,a=39 微专题1解一元二次方程综合（含整体思想）】 2 2 2.解：a=4,b=1,c=-3, 1.012.x=-3x=1 △=b-4ac=12-4×4×(-3)=49>0, 3.解：整理，得(1+x)2=1.44.开平方，得1十x=士1.2， 方程有两个不相等的实数根 移项，得x=-1士1.2，=0.2，x2=-2.2. x=-1装4--17，即= 4.解：整理，得(1-x)2=0.81. 2×4 8 4,x=-1. 开平方得，1-x=士0.9， 3.解：(1)(-2)☒3=(-2)3+(-2)×3-3=-8+(-6) 移项得x=1士0.9，x1=0.1,x2=1.9. -3=-14-3=-17; 5.解：移项，得x2-8x=-13. (2)由题意，得(-y)⑧2=4，(-y)2+2·(-y)-3=4, 配方，得x2-8x+16=-13+16,(x一4)2=3. 整理，得y2一2y-7=0, 由此可得x-4=士√3，=√3+4，x2=一√3+4. 解得y=1+2√2,2=1-2√2. 6.解：原方程化简为3x2-4x一2=0. 第5课时用因式分解法解一元二次方程 △=(-4)2-4×3X(-2)=40>0. 【课标预习了 方程有两个不相等的实数根工=4生40_2±四 2×3 3 问题1：(1)x(m+n)x(x-4)(2)(x-1)(x+2) 即2+，=2而 问题2：00 3 3 问题3：10x一4.9x2=0 7.解：整理，得x2-x=90.移项，得x2-x一90=0. 问题4：以10-4.92)=0禹=0，=19 因式分解，得(x一10)(x+9)=0. 于是得x1=10,x2=-9. 小结：两个一次式的乘积等于0这两个一次式分别等于0 8.整理，得x2十5x十4=0. 典型问题) 因式分解，得(x十1)(x十4)=0. 【例1】解：因式分解，得(4x-5)x=0. 于是得x+1=0或x十4=0，即x1=一1，x2=一4. 于是得4红-5=0或z=0,=号，a=0, 9.解：设y=x2十x,则原方程可化为y2一4y一12=0， (y-6)(y+2)=0, 3 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 解得y=6或y=一2. 第7课时一元二次方程的根与系 当y=6时，x2+x=6,(x十3)(x一2)=0， 解得x1=一3，x2=2. 数的关系（韦达定理） 当y=-2时，x2十x=-2,即x2十x十2=0. 【课标预习】 △=12-4×1×2=-7<0， .该方程无解 问题1：-b土√-4ac 2a 综上所述，该方程的解为x1=一3，x2=2. 问题2：一饣q 10.解：设x十2y=t,则原方程可化为十4t-5=0, (t-1)(t+5)=0,即t-1=0或t+5=0. 问题3：(1)-6+VB-4ac -b-√B=4ac-b 2a 2a 解得t1=1,t2=-5. (2)-b十VB-4ac -b-√6-4acc .x+2y的值为1或-5. 2a 2a 11.解：设x=y,则原方程可化为y2一3y+2=0, 解得y=1,y2=2. 小结：-吾台4=分-iac≥0 当y=1时，|x|=1,∴.x=士1； 【典型问题】 当y=2时，|x=2,.x=士2. 【例1】3-1-3-52.51.5 .原方程的解是x1=1,x2=一1，x3=2,x4=一2. 【变1】6-152.5-1.510 12.解：设t=x2,则t≥0， 【例23【变2】-3 原方程可化为t2一2t一8=0. 解得t1=4,t2=-2. 【倒31)-1(2)8【变31-考(2②)-号 ,t2=一2<0和t≥0不相符， 【例4】解：(1)：关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x十 t=4,即x2=4.x=2,x2=-2 m2=0有两个不相等的实数根， 第6课时一元二次方程的根的判别式 △>0，即4=(2m十3)2-4m2>0,m>-3 4 (2)a+B=-(2m十3)，8=m2, 【课标预习】 问题1：二6土VB4a 六日+日=-1-9-2+》 a3 m2 2a 问题2：不一定 .-(2m十3)=-m2,解得m=3,m2=-1. 问题3：(1)两不相等(2)两相等(3)无 m>-m=3. 【典型问题】 【课堂过关】 【例1】C【变1】A 1.02.393.24.15.3 【例2】解：(1)△=b2-4ac=9-4(2-m2)=4m2+1; 6.(1)证明：.△=[-(m+2)]-4X1×(m+1)=m2+4m (2).△=b-4ac=4m2+1≥1>0， +4-4m-4=m2≥0 ∴.不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 该方程总有两个实数根； 【变2】证明：.△=m2-4(m-1)=m2一4m十4 (2)解：设方程的两实数根为x1,x且x1>x2, =(m-2)2≥0， 则1一x2=2,.(x1-x)2=(十x2)2-4x1x2=4. .方程总有两个实数根 又：x+x2=m+2,2=m+1, 【例3】m≥-1【变3】a<-9 ∴.(m十2)2-4(m+1)=4.解得m=2或m=-2. 【课堂过关】 故m的值为2或-2. 1.≥2.有两个不相等的实数根3.≤1 微专题2一元二次方程与动点问题 4.m>25.06.m≥-1且m≠0 7.解：(1)：关于x的一元二次方程x2-2(m十1)x十m2+5 1.解：(1)设t秒后，△PBQ为等腰直角三角形. =0有实数根，.△=[-2(m十1)]2-4(m2+5)=8m- 由题意，得AP=tcm,BQ=2tcm 16≥0，解得m≥2， .BP=(6-t)cm..6-t=2t,解得t=2. .如果方程有两个实数根，m的取值范围为m≥2. 答：2秒后，△PBQ为等腰直角三角形. (2)当底边长为7时，由题意，得△=0，则8m一16=0， (2)设x秒后.四边形APQC的面积为16cm 解得m=2. :四边形APQC的面积=△ABC的面积一△PBQ的面 此时一元二次方程为x2一6x十9=0，解得x1=x2=3, 积，合×6×8-合×(6-)×2x=16, 因为3+3<7，舍去 整理，得x一6x十8=0， 当腰长为7时，将x=7代入，得 解得=2，x2=4,,BC=8cm,∴.2t<8, 49-14(m+1)+m2+5=0, .t<4,不合题意，舍去，.x的值为2. 解得m1=4,m2=10. 答：2秒后，四边形APQC的面积为16cm°： 当m=4时，x2一10x十21=0，解得x1=3,x2=7,可以构 (3)△PBQ的面积不能为12cm,理由如下： 成三角形， 设y秒后，△PBQ的面积等于12cm2, 当m=10时，x2-22x+105=0,解得x1=7,x2=15. 由题意，得AP=ycm,BQ=2ycm, 7+7=14<15,∴.不能构成三角形. 综上，m的值为4. 则BP=(6-》em,令2(6-》×2y=12,