第21章 第12课时《一元二次方程》单元复习-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

第二十一章 一元二次方程 第12课时 《一元二次方程》单元复司 础过关 ★1.一元二次方程的相关概念 1.(1)关于x的方程(a-1)x2-3x+3=0是- (1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次 元二次方程，则α的取值范围是 数是2的整式方程叫做一元二次方程.它 (2)一元二次方程2x2一5x=6的二次项系数、 的一般形式是ax2十bx十c=0(a,b,c为常 一次项系数、常数项分别是 数，a≠0)； (3)已知关于x的方程x2-x十m=0的一个 (2)若m是ax2十bx十c=0(a≠0)的解，则am2 根是一2，则m的值为 +bm+c=0. (4)若m是一元二次方程x2-5x-2=0的一个 实数根，则2025-m2+5m的值是 ★2.一元二次方程的解法 2.(1)方程2x2=6的根是 (1)直接开平方法； (2)三角形两边的长分别是3和4，第三边的长 (2)因式分解法； 是方程x2一6x+5=0的根，则该三角形的 (3)配方法：移项，化a为1，左右两边加（会， 周长为 (3)解方程：2x2一4x+1=0. 左边写成平方式，右边合并常数项，开方降 次； (4公式法：x=-b±B=4ac(6-4ac≥0). 2a ★3.根的判别式 3.(1)已知关于x的方程mx2-2x+1=0有实数 一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的根的判 根，则实数m的取值范围为 别式为△=b-4ac. (2)已知关于x的方程x2+ax十a-3=0.求 (1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根； 证：不论a取何实数，该方程都有两个不相 (2)当△=0时，方程有两个相等的实数根； 等的实数根. (3)当△<0时，方程没有实数根. ●>29 ● 数学·九年级·全册(R) ★4.一元二次方程的根与系数的关系（韦达 4.(1)已知x1,x2是一元二次方程x2-x-2=0 定理) 的两个根，则+工的值是 若方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个实数根是 (2)已知关于x的一元二次方程x2-2(a一1)x 1x2,则0十x2= a ,·x2= a 十a2一a一2=0有两个不相等的实数根 适用条件：△≥0. x,x2. 变形： ①a的取值范围是 (1)x1+x=(x1+x2)2-2x1x2; ②若x1,x2满足x十x号-x1x2=16,求a (2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2; 的值. (3)1+1=+ x1 x2 x1x2 ★5.一元二次方程的应用 5.(1)某厂今年一月份的总产量为500吨， (1)变化率问题 二、三月份的总产量达到1720吨.若产量 ①设a为基础量，m为平均增长率，n为增长 平均每月的增长率是x,则可以列方程 次数，b为增长后的量，则 ②设a为基础量，p为平均下降率，g为下降 (2)学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之 次数，c为下降后的量，则c= 间都进行一场比赛)，共进行了21场比赛， (2)病毒传播问题 那么有 个球队参加了这次比赛； 设a为传染源数量，m为每个传染源每轮 (3)有一人患流感，经过两轮传染后共有121人患 传染的个数，n为传染的轮次，b为传染后 了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几 的总数量 个人？如果设每轮传染中平均一个入传染了 分析如下： x个人，可得方程 第1次传染 第2次传染 2、 a+am (4)“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过 a+am十 m(a十am)=a(1十m)?第3次传染】 奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种 植，某葡萄种植基地2022年种植了64 公式：b= 亩，到2024年的种植面积达到100亩. (3)互赠、握手、循环赛制问题 ①该基地这两年“户太八号”种植面积的 ①若x人互赠礼物，则一共赠送x(x一1)件； 年平均增长率是 ②若x人两两握手，则一共握手 次； ●>30《●。 第二十一章 一元二次方程 ③x队进行比赛，若每两队之间只进行一场比 ②某超市调查发现，当“户太八号”的售价为 赛（单循环），则比赛总场数为 8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上 涨1元，每周销售量减少20千克.已知该超市 若每两队之间进行两场比赛（双循环），则比赛 “户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消 总场数为 费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超 (4)营销问题 过15元/千克.若使销售“户太八号”每周获利 ①总利润=单利润×销售量=（售价一进 2240元，则售价应上涨多少元？ 价)X销售量； ②单价每涨a元，少卖b件， 若涨价x元，则少卖·x件： a 单价每降a元，多卖b件， 若降价y元，则 (填多/少)实名·y作. 【易错点拨】把涨（降）价为a元对应的数量b 件，转化为涨（降）价为1元对应的数量. (5)常见矩形面积问题 (5)如图，要建一个矩形仓库ABCD,一边靠墙 【注】图形经过移动，它的面积大小不会改变 (墙长22m),并在BC边上开一道2m宽的 如图，若前三个矩形的长为a,宽为b,阴影部 门，现在可用的材料为38m长的木板（全部 分的宽为x(宽均相等)，则 使用完)，若设AB为xm. ①如图1，S空白=(a一2x)(b-2x), ①若仓库的面积为150m,求AB的长. ②如图2，S空白= ②仓库的面积能为300m吗？若能，求出 ③如图3，S空白= AB的长，若不能，说明理由 22m ④如图4，设矩形的长为a,宽为b,空白的正 D 方形边长为x,则 S阴影= 2 mh S虚线矩形 1 图2 图3 AB,BC,CD三边总长为m 图4 图5 ⑤如图5，S空白= 【易错点拨】在图5中，需注章BC的长不超过 墙长 ●>31《● 数学·九年级·全册(R) 知识结构 1.定义 般式：ax2+bx+c-0,注意a40 基本思路：降次→转化为一次方程→求x 2.解法 方法选择：直接开平方，因式分解，配方，公式，其他如换元法。 一元二次方程 已知根的情况， 根的判别式（△） 判断（证明）根的情况. 3.性质 已知常系数方程，求特定代数式的值， 韦达定理 已知特定代数式的值，求字母系数的值，注意检验判别式。 步骤：审→设→表示→列→解→验→答 4.应用 常见问题类型的分析思路及公式。 重雄问题 ● 1.在实数范围内定义一种运算“￥”，其规则为 2.已知m,n是一元二次方程x2+x一6=0的两 a*b=a(a一b),根据这个规则，方程(x十2)￥ 个实数根，则代数式m+2m十n的值等于 5=0的解为 3.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一.为更好地传承和宣传三星堆文化，三星 堆文创馆一次次打破自身限定，让文创产品充满创意.已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A,B两 个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B 系列产品的数量相等.按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若 B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件。 (1)A系列产品的单价是 元/件，B系列产品的单价是元/件. (2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实 际售价应定为多少元/件， ●>32《●高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 由题意，得8x+6X2z-2x×z=各X8X6, 5.A 6.解：方程(x一3)（x一2)一p=0,总有两个不相等的实 整理，得x2一10x+9=0, 数根. 解得x=1或x=9(不合题意，舍去)0∴x=1,2x=2. 理由：将原方程变形，得x2一5x+6一p2=0, 答：水平彩条的宽度为1cm,竖直彩条的宽度为2cm. △=62-4ac=25-4(6-p2)=1+4p2≥1>0， 第11课时实际问题与一元二次 故方程(x一3)(x一2)一p=0总有两个不相等的实数根 7.2.25%(1-x)2=1.98% 方程(4)（营销问题） 830-4c20-6a=2×30x20 【课标预习】 9.解：设甲种药品成本的年平均下降率为x, 2.603.300 依题意，得5000(1-x)2=3200 〔典型问题】 解得=0.2，x=1.8(舍去)， 【例1】解：(1)(20+5x). 设乙种药品成本的年平均下降率为y, (2)根据题意，得(20一x)(20+5x)=540, 依题意，得6000(1-y)2=3375. 解得1=2，x2=14>10(不合题意，舍去). 解得1=0.25,2=1.75（舍去）， 答：每件应降价2元 .0.2<0.25,.乙种药品成本的年平均下降率较大 【变1】解：(1)34. 10.解：设该直角三角形的三边长分别为x一2，x,x十2， (2)设每件大衣降价x元，则每天的销售量为(20十2x)件， 根据题意，得(x十2)2=x2十(x一2)2， 由题意，得(40-x)(20+2x)=12000 解得=0（舍去），x2=8. 整理，得x2-30x十200=0，解得x1=20,x2=10. 所以斜边长为x十2=10，另一直角边长为x一2=6. 要尽快减少库存，∴.x=20. 故这个三角形的三边长分别为6,8,10. 答：每件大衣应降价20元. 11.解：点P在一次函数y=一2x+3的图象上， 【例2】解：(1)420. ∴.设P(a,-2a+3)(a>0), (2)设每件商品价格应提高x元， 由题意，得a·(-2a十3)=1， 则每天可售出(460一40x)件， 整理，得2d-3a十1=0，解得a=1,a=号 根据题意，得(x+15-10)(460-40x)=2720. 解得x1=3,x2=3.5, “当a=1时，-2a+3=1;当a=2时，-2a+3=2 答：将每件提价定为3元或3.5元时，才能使每天利润为 2720元. 综上所述，当点P的坐标为(1,1)或(2,2)时，矩形0CPD 〔课堂过关】 的面积为1. 1.2x(50+x)2.(3-x)(100+200x) 第12课时 《一元二次方程》单元复习 3.解：依题意，得(x+40一30)(600一10x)=10000. 整理，得x2-50x十400=0. 〔基础过关 解得x1=10,x2=40(不合题意，舍去). 1.(1)a≠1(2)2，-5，-6(3)-6(4)2023 .x=10..600-10x=500. 2.解：(1)x=土√3(2)12 答：这种台灯应上涨10元，这时应进台灯500个 4.解：依题意，得(x-70)[20+2(110-x)]=1200, (3)22-4x=-1,d-2x=-7, 整理，得x2-190x十9000=0， t-2x+1=7,x-1=安， 1 解得x1=90,x2=100..要尽快减少库存，.x=90. 答：x的值为90. 一1±竖通=1+ 221-② 2 第二十一章 教材典型问题突破 3.(1)m≤1且m≠0 1解：整理，得-1开平方，得=士头 (2)证明：△=a2-4(a-3)=a2-4a十12=(a-2)2+8, (a-2)2≥0，.(a-2)2+8>0. 即石=号西号 11 ∴，不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 1 2.解：整理，得3x(2x+1)-2(2x+1)=0. 4.解：1)-2 因式分解，得(2x十1)(3x一2)=0. (2)①a<3 于是得2x+1=0或3x-2=0.6=-合=号. 2 ②，x1十x2=2(a-1),m1x2=a2-a-2, 十z-xx=16,∴.（石十x2)2一312=16， 3.解：移项，得(x-4)2-(5-2x)2=0. [2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16. 因式分解，得(x一4+5-2x)(x一4-5+2x)=0. 解得a=-1,a2=6,a<3,∴.a=-1. (1-x)(3x-9)=0, ★5.(1)①b=a(1+m)"②a(1-p)(2)a(1+m) 于是得1一x=0或3x-9=0. .x1=1,x2=3. 3)®2x-)③2xx-1)xx-1D 4.解：原方程可化为(x-3)2=(5-2x)2, (4)多 则x一3=5一2x或x-3=2x-5, (5)②(a-x)(b-x)③(a-x)(b-x）④ab-4.x 解得4=号西=2 a-2x)b-2d）⑤"2.n 参考答案 5.解：(1)500+500(1+x)+500(1+x)2=1720 第14课时二次函数y=ax2的图象和性质 (2)7(3)1+x+x(1+x)=121 (4)①25% 【课标预习 ②设售价应上涨a元，则每周的销售量为(400一20a)千克， 问题1.抛物线轴对称y轴 由题意，得(8+a-6)(400-20a)=2240, 问题2.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点 解得a=6或a=12, 【典型问题了 .该水果售价不能超过15元/千克， ∴.8十a≤15，解得a≤7，∴.a=6. 【例410142号0号 2 答：售价应上涨6元. (5)①根据题意，得x(38+2-2.x)=150, 解得x=15,2=5,当=15时，AD=10, 2 当x2=5时，AD=30>22(不合题意，舍去)， .AB的长为15m; ②不能，理由如下：根据题意，得x(38+2一2x)=300, .2x2-40x+300=0,x2-20x+150=0. ,△=b8-4ac=400-4×1×150=-200<0, 答图 ∴该方程无实数解，.仓库的面积不能为300m. 【变1】-4-10-1-4-2- 0- -2 重难问题】 1.x1=-2,2=32.5 3.解：(1)1015 (2)设B系列产品的实际售价为y元/件，则每天可以卖50十 10(15-y)=(200-10y)件， 根据题意，得y(200一10y)=960, 整理，得Y-20y十96=0，解得M=8,=12, 答图 ∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y=8. 【例2】向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)0000 答：B系列产品的实际售价应定为8元/件. 【变2】(1)下(2)y轴(3)(0,0)(4)0大0 第二十二章 二次函数 (5)<0 【例3】>y2>y【变3】(1)<(2)> 第13课时二次函数 【课堂过关】 【课标预习 1.D2.C3.(1)下y轴(0,0)（2)上y轴(0,0) 问题l,y=ax2十bx十cy=x-2x十6（答案不唯一） 4.④5.3<y<126.a>-2 问题2.二次项系数一次项系数常数项1一26 2.解：①)当2=-1时y=2=,则点A(-1之. 问题3.(1)0(2)0(3)有意义 同理可得，点B(2,2)将点A,B的坐标代入直线1的解析 【典型问题】 【例1】A【变1C【例2】(1)2(2)≠-2【变2】-2 （=一十m,解得 式，得2 【例3】(1)任意实数(2)x≠2(3)x≥一3 2=2k+m, (m=1, 【变3】(1)任意实数(2)x>-2(3)x≥3 即直线1的解析式为y=2x+1. 【例4】解：(1)y=2xx>0 (2)当x=3时，y=2x2=2X32=18. (2)由(1)易求得，点C(0,1),∴Saw-S6m=1X2 2 【变41懈：)2x8-刀0<<8 1X1-名，ABC0与AAC0的面积之差为分 2 21 1 (2)当x=4时，y=2×4×(8-4)=8, 第15课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 当x=4时，y的值为8. 【课标预习】 【课堂过关 问题1.y=x十1 问题2.(0，k)y轴 1.③2.-33.a≠34.35.2 典型问题 6.y=100(1+x) 【例1】410145212530-103 7.(1)x≠-1(2)x≤2(3)x为任意实数 8.nm(m-1) 9.解：：AB=AD,CB=CD,.AC是BD的垂直平分线 :E,F分别是CB和CD的中点EF=合BD ∴S=号AC·BD=号(0-是x)x=-是t+45x (0<x<60). 答图