精品解析：山东省菏泽市牡丹区菏泽鲁西新区华大高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年高二年级第一学期学业质量检测 数学试题 2025.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象，能作为直线的图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 7. 设，直线与直线平行，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B. 已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C. 已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D. 已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 11. 已知直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B. 若点在直线上，则点也在直线上 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点在圆的外部，则实数m的取值范围________________ 13. 已知过点的直线l被圆所截得的弦长为，则直线l的方程为________________ 14. 点M在椭圆上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，O为坐标原点，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 16. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 17. 根据下列条件，求圆的标准方程： （1）过点和点，半径为． （2）经过两点，圆心在直线上． 18. 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 19. 已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求以线段为直径的圆的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级第一学期学业质量检测 数学试题 2025.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆心，根据得到方程，求出，得到圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】设圆心为， 由题意得，即， 解得，故圆心， 半径为， 故圆的标准方程为. 故选：C 3. 下列图象，能作为直线的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【详解】因为直线，可知直线的是上升的，且过定点， 结合选项可知：ACD错，故B正确； 故选：B 4. 若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程，得到答案. 【详解】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，可得，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：A. 5. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】结合直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系即可求解． 【详解】因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限． 故选：C． 6. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B 7. 设，直线与直线平行，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行解方程即可. 【详解】由，， 又两直线平行可得，即， 当时，，，两直线平行成立； 当时，，，两直线重合，错误； 故选：C. 8. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 所以两圆内含． 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分两种情况：过且与平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：． 【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况： 直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：， 化简得：． 直线过且经过中点，因为中点， 所以直线方程：． 综上所述：直线方程为： 和． 故选:AD． 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B. 已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C. 已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D. 已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【答案】CD 【解析】 【分析】根据椭圆定义分别判断各个选项即可. 【详解】根据题意，点，，则， 对于A，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹不存在，错误； 对于B，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹为线段，错误； 对于C，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆，正确； 对于D，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆，正确； 故选：CD. 11. 已知直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B. 若点在直线上，则点也在直线上 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线的截距、直线与直线平行与垂直关系，逐项判断即可. 【详解】直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为2，不相等，故A错误； 若点在直线上，则，所以点在直线上，故B正确； 当时， 与重合，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点在圆的外部，则实数m的取值范围________________ 【答案】 【解析】 【分析】由点在圆外及圆的方程的条件列不等式组求解. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为：. 13. 已知过点的直线l被圆所截得的弦长为，则直线l的方程为________________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据圆中的弦长公式求出弦心距，再根据点到直线的距离公式求出直线的斜率，可得直线方程. 【详解】圆的方程写成标准形式得，可知圆心的坐标为，半径为， 因为直线被圆所截得的弦长为，则圆心到直线的距离为， 因为直线过点， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，则圆心到直线的距离为，不合题意； 所以所求直线的斜率存在，可设直线的方程为，即， 则，整理得，解得或， 所以所求直线的方程分别为: 或. 故答案为：或. 14. 点M在椭圆上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，O为坐标原点，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】设左焦点为，右焦点为，由题意可得，即可求出答案. 【详解】因为椭圆，所以， 设左焦点为，右焦点为，连接， 因为N为MF的中点，为的中点，， 所以，，， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求得两直线交点坐标，利用直线平行求得直线的斜率，进而可求直线的方程. （2）求得直线的方程，计算可求线与坐标轴围成的三角形周长. 【小问1详解】 由题意联立，解得，即直线过点， 直线的斜率为， 又直线与直线平行，所以直线的斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即 【小问2详解】 由直线，可得，所以直线的斜率， 由（1）知直线过点，所以直线的方程为， 令，可得，所以直线与的交点， 令，可得，所以直线与的交点， 所以，又， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为. 16. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 【答案】（1）；（2）2． 【解析】 【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在， 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1． 故由，解得：． 故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点． （2）设M；N， 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程， 可得， ∴， ∴， 由，解得 k=1， 故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2 考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 17. 根据下列条件，求圆的标准方程： （1）过点和点，半径为． （2）经过两点，圆心在直线上． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法设圆的标准方程，结合已知条件即可； （2）方法1：利用待定系数法设圆的标准方程，结合已知条件求解即可； 方法2：利用图形结合平面向量，建立方程结合已知条件求出圆心和半径即可. 【小问1详解】 设圆心坐标为，则圆的方程为． 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此所求圆的方程为或． 【小问2详解】 （方法一）设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为． 由题意可得方程组． 解此方程组，得， 故所求圆的方程为． （方法二）如图，由于圆心到点的距离相等（都等于半径）， 因此圆心在的垂直平分线上， 并且处于直线与直线的交点处． 因为，所以是的法向量， 故可设直线的方程为．① 又直线过的中点，而的坐标为， 即，将其代入①式，解得． 所以直线的方程为，即． 圆心的坐标是方程组的解， 解此方程组，得． 所以圆心的坐标为． 圆的半径． 故所求圆的方程为． 18. 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）因为，可得，，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）方法一：过点作轴垂线，垂足为，设与轴交点为，可得 ，可求得点坐标，从而求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积. 【详解】（1），， 根据离心率，解得或(舍)， 的方程为：，即． （2）［方法一］：通性通法 不妨设,在x轴上方，过点作轴垂线，垂足为，设直线与轴交点为 根据题意画出图形，如图 ，， ， 又， ， ，根据三角形全等条件“”，可得：， ，，， 设点为，可得点纵坐标为，将其代入， 可得：，解得：或，点为或， ①当点为时，故， ，，可得：点为， 画出图象，如图 , ，可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为， 根据两点间距离公式可得：，面积为：； ②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图 , ，可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为， 根据两点间距离公式可得：， 面积为： ，综上所述，面积为：. ［方法二］【最优解】： 由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为E．设，由题知，． 故， ①因为，如图，所以，． ②因为，如图，所以． 综上有 ［方法三］： 由已知可得，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，由对称性可设，联立方程消去y得， 由韦达定理得，所以， 将其代入直线的方程得，所以， 则． 因为，则直线的方程为， 则． 因为，所，， 即，故或，即或． 当时，点P，Q的坐标分别为， 直线的方程为，点A到直线的距离为， 故的面积为． 当时，点P，Q的坐标分别为， 直线的方程为，点到直线的距离为， 故的面积为． 综上所述，的面积为． ［方法四］： 由（1）知椭圆的方程为，． 不妨设在x轴上方，如图． 设直线． 因为，所以． 由点P在椭圆上得，所以． 由点P在直线上得，所以．所以，化简得． 所以，即． 所以，点Q到直线的距离． 又． 故．即的面积为． ［方法五］： 由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为C，设， 由题知，所以． （1）． 则． （其中）． （2）． 同理，． （其中） 综上，的面积为． 【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点的坐标，从而得出点的坐标以及直线的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求的面积，计算上有简化，是本题的最优解；方法三：通过设直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，再根据题目等量关系求出的值，从而得出点的坐标以及直线的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线的方程，通过平面知识求出点的坐标，表示出点，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出． 19. 已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求以线段为直径的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直可得直线斜率，再利用点斜式可得直线方程； （2）联立直线可得点，进而确定中点以及，即可得圆心与半径，进而可圆的方程. 【小问1详解】 易知的斜率为，故所求直线斜率是， 所求直线过点， 所求直线方程为， 即； 【小问2详解】 联立方程组，解得， 故，又， 由中点坐标公式得线段的中点坐标为， 由两点间距离公式得， 即圆心为，半径， 故所求圆的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $