精品解析：山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期10月模块诊断（总第五次）数学试题

山西大学附中 2025～2026学年第一学期高三10月模块诊断（总第五次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设集合{是等腰直角三角形}，{是等腰三角形}，{是等边三角形}，{是直角三角形}，则（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，且，弦的中点在的准线的射影为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 当函数取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知双曲线，则（ ） A. B. 双曲线的实轴长为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 10. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 不是等比数列 11. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则 D. 若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则________. 13. 若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是______． 14. 如图，在四面体中，，，，.点，分别在侧面和棱上运动，为线段中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 16. 已知椭圆，，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，. （1）求证：平面平面； （2）平面于点，求二面角的余弦值. 18. 已知函数（，，）. （1）当，时，求函数的最小值； （2）当时，若存在两个极值点，求证：； （3）设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围.（参考：） 19. 某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：①顾客在该商场内的消费额每满100元，可获得1张奖券；②每张奖券可以进行1次抽奖活动，即从装有4个白球、2个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同）.奖励规则：若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；若摸出红球，则中奖，获得礼品1份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会（该抽奖机会无需使用新的奖券），继续从当前盒子中随机摸取1个球，其奖励规则不变；③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；④若顾客获得2份礼品（即该顾客将2个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束. （1）顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第2张奖券抽奖，中奖”的概率； （2）顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2份礼品时，共使用了3张奖券”的概率； （3）顾客丙消费了1000元，设表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，写出的分布列并证明期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025～2026学年第一学期高三10月模块诊断（总第五次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求分位数. 【详解】由，结合已知数据从小到大，分位数是第3、4位两个数字的平均数， 所求分位数为. 故选：C 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法确定复数，即可判断其对应的点所在的象限. 【详解】由，可得复数在复平面内对应的点为， 所在的象限为第三象限. 故选：C 3. 设集合{是等腰直角三角形}，{是等腰三角形}，{是等边三角形}，{是直角三角形}，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰直角三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念可判断. 【详解】直角三角形不一定是等腰直角三角形，故B错误； 等边三角形都是等腰三角形，故，故C正确； 等边三角形都不是等腰直角三角形，故A错误； 直角三角形不一定是等腰三角形，故D错误. 故选：C 4. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由条件确定，将原不等式转换成，即可求解. 【详解】由题意可得，，即， 则有， 即， 解得或， 即解集为或 故选：B 5. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理可求角A. 【详解】因为， 由正弦定理得：， 由余弦定理，， 又为三角形内角，所以. 故选：D 6. 已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质得，由即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 整理得，所以，故符合条件的可取1，2， 故选：C． 7. 已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，且，弦的中点在的准线的射影为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【详解】设、，，在准线的射影分别为，如图所示， 根据抛物线的定义，可知，， 在梯形中，有， 在中，， 又∵，∴， 当且仅当时取等号，∴， 故的最小值为. 故选：C 8. 当函数取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数转化为单一三角函数形式，找到最小值对应的相位角，再利用和角公式计算的值. 【详解】，其中，. 当时，取最小值，此时，故。. 所以，，故. 故选：A. 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知双曲线，则（ ） A. B. 双曲线的实轴长为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程的特点，可得双曲线C的焦点在x轴上，由此确定.对照确定的值，依次判断选项，可得正确答案. 【详解】选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以所以选项A正确； 选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：，知.所以双曲线的实轴长为；双曲线的渐近线方程为：，即.所以选项B正确，选项C错误； 选项D：双曲线的离心率等于虚轴长时，，则，所以，解得.所以选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 不是等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解. 【详解】设的公比为，则由，单调递增，得， 因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，.故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误. 故选：AC. 11. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则 D. 若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲函数的加法公式、函数的奇偶性、函数图象过交点以及不等式能成立问题逐项分析即可求得结果. 【详解】对于A，， ， 化简后得，故A错误； 对于B，的定义域为R，，所以是偶函数； 的定义域为R，，所以是奇函数， 所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，因为直线与函数和的图象共有三个交点，在R上单调递增，即直线与函数只有一个交点， 所以直线与函数有两个交点， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，，解得， 所以，则，故C正确； 对于D，，， 令，则，所以在上单调递增， 则， 又，当且仅当时，等号成立， 所以最小值为1， 因为存在，关于的不等式恒成立， 所以， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查了双曲函数的定义及相关性质、函数的奇偶性、函数的单调性、函数图象交点问题，以及运用基本不等式和求导求解，关键点有： （1）判断奇偶性前先判断函数的定义域是否关于原点对称； （2）运用基本不等式要注意“一正二定三相等”； （3）根据导函数判断函数的单调性，求最值； （4）恒成立问题与能成立问题作区分. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式得到方程，求出. 【详解】， 向量在向量上的投影向量为， 又向量在向量上的投影向量为，故，解得. 故答案为： 13. 若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 因为函数在区间上有两个极值点， 即在上有两个不等的实数根， 即在上有两个不等的实数根， 即函数和的图象有两个交点， 又由，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，且当时，，当时，， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 如图，在四面体中，，，，.点，分别在侧面和棱上运动，为线段中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知证得，即，易知点的轨迹以为球心的球面被三个平面所截得，应用球体、棱锥的体积公式求体积，即可得. 【详解】由，，，平面，则平面， 由平面，则，则，而，故， 则中点的轨迹以为球心的球面（如图），被三个平面所截，体积为球体的， 所以上部分体积为，下部分体积为， 所以上、下两部分的体积之比等于. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴为 （2） 【解析】 【分析】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程. (2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域. 【小问1详解】 ， 所以； 令，解得． 【小问2详解】 因为，所以 从而可知， 因此，故所求值域为． 16. 已知椭圆，，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解； （2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 由题意得：，即则， 所以的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意设， 联立，消去得：， 则， 则， 可得， 设直线与轴的交点为，且，则， 故，解得. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，. （1）求证：平面平面； （2）平面于点，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 在和中， ，， 与互余，所以，即. 又平面，平面，. 又平面中，， 平面， 又平面，平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理直接求证即可； （2）利用向量法根据求出点坐标，再结合二面角的定义，即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，两两互相垂直， 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 不妨设，则，，，， ，. 点在平面内， 设， 则 ， 平面，，， ， 解得， ，即， 点到平面的距离， 点到棱的距离， 设二面角大小为，则， ， 即二面角的余弦值为. 18. 已知函数（，，）. （1）当，时，求函数的最小值； （2）当时，若存在两个极值点，求证：； （3）设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围.（参考：） 【答案】（1） （2） 当时，则且，可得， 由存在两个极值点，，则是在上的两个不同根， 所以，可得，                                                                                       由，                                                                                                                              所以，， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，研究导数的区间符号确定单调性，进而求最小值； （2）对函数求导，根据已知有是在上的两个不同根，进而得到，结合基本不等式即可证结论； （3）对函数求导，由已知得，进而得且，则，利用三角形三边关系缩小范围，且并利用单调性求其范围. 【小问1详解】 当，时，且， 则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设且， 因为，为函数的极值点，则， 所以，即，显然，则， 由，则，故，易知， 由，，是一个三角形的三边长，则，即，所以， 令且，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，， 又，故时，综上，， 而， 由在上单调递增， 当，则， 当，，则， 故，即的范围为. 19. 某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：①顾客在该商场内的消费额每满100元，可获得1张奖券；②每张奖券可以进行1次抽奖活动，即从装有4个白球、2个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同）.奖励规则：若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；若摸出红球，则中奖，获得礼品1份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会（该抽奖机会无需使用新的奖券），继续从当前盒子中随机摸取1个球，其奖励规则不变；③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；④若顾客获得2份礼品（即该顾客将2个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束. （1）顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第2张奖券抽奖，中奖”的概率； （2）顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2份礼品时，共使用了3张奖券”的概率； （3）顾客丙消费了1000元，设表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，写出的分布列并证明期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型，分别确定每个子事件发生的概率，再利用分步乘法计数原理，将两个子事件的概率相乘，从而得到目标事件的概率； （2）“乙获得第2份礼品时，共使用了3张奖券”存在多种实现路径，通过细致分析抽奖规则，将其分为“第1张未中奖，第2、3张中奖”和“第1张中奖，第2张未中奖，第3张中奖”这两种互斥情况，计算可求得结果； （3）依据抽奖规则和题目设定，明确随机变量所有可能的取值为1、2、3、、，对每个取值，分析其对应的抽奖过程和结果，利用古典概型及分步乘法计数原理计算相应的概率，进而求得分布列和期望. 【小问1详解】 设事件“甲使用第张奖券抽奖，中次奖”， 则所求事件为， 其概率为 . 【小问2详解】 设事件“乙使用第张奖券抽奖，中次奖”， 则所求事件为， 其概率为 . 【小问3详解】 由题意可知的所有可能取值为1，2，⋯，10. 当时，表示顾客丙使用张奖券将2个红球全部摸出； 当时，表示顾客丙使用第10张奖券抽奖时盒子里有1个或2个红球. 设事件“顾客丙使用第张奖券抽奖时盒子里有2个红球”的概率为， 事件“顾客丙使用第张奖券抽奖时盒子里有1个红球”的概率为， 则，，， ， ∴， ， ∴，∴，， ∴，， ∴； ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $