4.4一次函数的应用（第1课时确定一次函数的表达式）（导学案）数学北师大版2024八年级上册

4.4 一次函数函数的图象 第1课时 确定一次函数的表达式 1. 能根据图象或实际情境确定正比例函数、一次函数的表达式，明确确定两种函数表达式所需的条件. 2. 掌握用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤，并能运用表达式解决简单实际问题（如求特定自变量对应的函数值、特定函数值对应的自变量）. 学习重点：能根据图象或其它实际情景确定一次函数的关系式，并了解确定一次函数关系式的条件. 学习难点：能利用一次函数解决一些简单的实际问题. 第一环节 自主学习 温故知新： 函数 解析式 图象 正比例函数 y＝kx (k 是常数，k ≠0) 一条过 点的 线 一次函数 y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0) 一条_ _线 新知自研：自研课本P95-P96页的内容，思考： 【学法指导】 情景引入 上节课我们学习了一次函数的图象与性质，会用“两点法”画一次函数图象，因为“两点确定一条直线”。那反过来，如果已知一次函数的图象经过两个点，能求出它的解析式吗？这就是我们今天要学的内容——确定一次函数的表达式.” ●探究一：确定正比例函数的表达式 ◆1.呈现情境与图象：“某物体沿斜坡下滑，速度v(m/s)与时间t(s)的关系图象是过原点的射线，且经过点（2,5）.” 问题：从图象中你能得到什么条件？ (1)请写出v与t的关系式； 【解答】：由图象可知，v 是 t 的正比例函数， 设 （k≠0），直线过（2,5）， 则得 ， 解得： ， v 与 t之间的关系式为： (2)下滑3s时物体的速度是多少？ 【解答】 ◆2.思考：“确定正比例函数表达式需要几个条件？” ●探究二：确定一次函数的表达式(待定系数法） ◆1.在弹性限度内，弹簧的长度 y（单位：cm）是所挂物体质量 x（单位：kg）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长 14.5 cm；当所 挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 16 cm. （1）请写出 y 与 x 之间的关系式， （2）求当所挂物体的质量为 4 kg 时弹簧的长度. 【分析】（1）设y与x的y一次函数表达式为 ，然后代入x,y的值得到关于k,b的方程，求解即可解答. （2）当 x＝4 时，代入函数表达式中即可求解. 【解答】（1）设 (k≠0) 第一步： 由题意得： b, ， 第二步： 解得： ； . 第三步： 所以在弹性限度内， 第四步： （2）当 x＝4 时，y＝ 故当所挂物体的质量为 4 kg时弹簧的长度为 cm. ◆2.思考与交流 用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤是什么？ （1）设：设一次函数关系式，如 (k≠0)； （2）列：把已知自变量与函数的两对对应值代入表达式，列出关于k、b的 ； （3）解：解 ，求出k，b的值； （4）代：将k，b值代回写出表达式. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1：已知一次函数y=kx+b 的图象经过(0,2),(1,3)两点. (1)求这个一次函数的表达式； (2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A(a，0),求a的值。 例2：如图，直线l是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象。 求：(1)直线l对应的函数表达式； (2)当y＝2时，x的值。 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何求一次函数的表达式，总结用待定系数法求一次函数表达式的步骤； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如右图，直线l是某正比例函数的图象，点A（-4，12）、B（3，-9）是否在该函数的图象上？ 2.如果一个正比例函数的图象经过点A（2，－1），那么这个正比例函数的解析式为（   ） A．y =2x B．y=－2x C．y=x D．y=x 3.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空: 　 (1)b= , k= ;(2)当x=30时，y= ；(3)当y=30时，x= . 4.已知 y＋2 与 x 成正比例，且当 x＝5 时，y＝3. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x＝－1 时，y 的值是多少？ （3）当 y＝4 时，x 的值是多少？ 题型一： 已知两点确定函数表达式式 1.一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 　 　． 2.已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 　 　 ． x 0 1 2 y a 1 3 3.已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点． （1）求此一次函数表达式； （2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上． 4.已知y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝6． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝3时，求出对应y的值． 5.已知一次函数y＝kx+7的图象经过点A（2，3）． （1）求k的值； （2）判断点B（﹣1，8），C（3，1）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围． 题型二：由函数图象确定函数函数表达式式 6.直线y＝kx+b在直角坐标系中的位置如图所示，这条直线的函数表达式为（　　） A．y＝2x+4 B．y＝﹣2x+4 C．y＝4x+2 D．y＝﹣4x﹣2 7.如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B． （1）根据图象，求一次函数的解析式； （2）将一次函数图象向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值． 8.一次函数y＝kx+b的图象如图所示： （1）求出该一次函数的表达式； （2）当x＝10时，y的值是多少？ 9.如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象． （1）求直线l的解析式； （2）如果直线l向上平移3个单位后，经过点A（3，m），求m的值． 10.已知正比例函数y＝mx与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，3）； （1）求这两个函数的解析式； （2）求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； 题型三 利用已知函数关系式，再求函数关系式 11.已知y+4与x﹣3成正比例，且x＝5时y＝4，则当x＝2时，y的值为 　 　． 12.已知y+2与x+1成正比，且x＝2时y＝7． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当y＝4时，求x的值． 13.已知y与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4． （1）求出y与x之间的函数解析式； （2）当x＝1时，求y的值． 14.已知y＝y1+y2，且y1﹣3与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝2时，y＝7，当x＝1时，y＝0． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）计算x＝4时，y的值． 15.已知y+2与4﹣x成正比例，且x＝3时，y＝1． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当﹣2＜y＜1时，求x的取值范围． 题型四 由三角形的面积确定一次函数表达式 16.已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是　 ． 17.已知一次函数的图象经过点P（0，﹣2），且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则此一次函数的解析式为　 　． 18.已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，O为坐标原点．若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为 　 　． 19.已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点．若S△AOB＝6，求一次函数解析式． 20.如图，在△ABO中，以O为原点构建直角坐标系，点B在x轴上，AB与y轴交于点C（0，3），已知OB＝4，S△AOB＝8． （1）求直线AB的解析式； （2）求点A的坐标． ▲1．用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤是什么？ （1）设：设一次函数关系式，如 (k≠0)； （2）列：把已知自变量与函数的两对对应值代入表达式，列出关于k、b的 ； （3）解：解 ，求出k，b的值； （4）代：将k，b值代回写出表达式. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 一次函数函数的图象 第1课时 确定一次函数的表达式 1. 能根据图象或实际情境确定正比例函数、一次函数的表达式，明确确定两种函数表达式所需的条件. 2. 掌握用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤，并能运用表达式解决简单实际问题（如求特定自变量对应的函数值、特定函数值对应的自变量）. 学习重点：能根据图象或其它实际情景确定一次函数的关系式，并了解确定一次函数关系式的条件. 学习难点：能利用一次函数解决一些简单的实际问题. 第一环节 自主学习 温故知新： 函数 解析式 图象 正比例函数 y＝kx (k 是常数，k ≠0) 一条过原点的直线 一次函数 y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0) 一条_直__线 新知自研：自研课本P95-P96页的内容，思考： 【学法指导】 情景引入 上节课我们学习了一次函数的图象与性质，会用“两点法”画一次函数图象，因为“两点确定一条直线”。那反过来，如果已知一次函数的图象经过两个点，能求出它的解析式吗？这就是我们今天要学的内容——确定一次函数的表达式.” ●探究一：确定正比例函数的表达式 ◆1.呈现情境与图象：“某物体沿斜坡下滑，速度v(m/s)与时间t(s)的关系图象是过原点的射线，且经过点（2,5）.” 问题：从图象中你能得到什么条件？ 过原点的射线 →正比例函数的表达式v＝kt (1)请写出v与t的关系式； 【解答】：由图象可知，v 是 t 的正比例函数， 设v=kt（k≠0），直线过（2,5）， 则得5=2k， 解得： k=2.5 ， v 与 t之间的关系式为：v = 2.5t. (2)下滑3s时物体的速度是多少？ 【解答】：当t=3时，v=2.5×3=7.5 (m/s). 所以下滑3 s时物体的速度是7.5 m/s. ◆2.思考：“确定正比例函数表达式需要几个条件？” 1个，除原点外的一组对应值或一个图象上的点. ●探究二：确定一次函数的表达式(待定系数法） ◆1.在弹性限度内，弹簧的长度 y（单位：cm）是所挂物体质量 x（单位：kg）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长 14.5 cm；当所 挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 16 cm. （1）请写出 y 与 x 之间的关系式， （2）求当所挂物体的质量为 4 kg 时弹簧的长度. 【分析】（1）设y与x的y一次函数表达式为 y＝kx＋b ，然后代入x,y的值得到关于k,b的方程，求解即可解答. （2）当 x＝4 时，代入函数表达式中即可求解. 【解答】（1）设 y＝kx＋b(k≠0) 第一步：设一次函数表达式 由题意得：14.5＝b, 16＝3k＋b ， 第二步：列方程 解得：b＝14.5 ； k＝0.5. 第三步：解方程 所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5. 第四步：代回表达式 （2）当 x＝4 时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5. 故当所挂物体的质量为 4 kg时弹簧的长度为 16.5 cm. ◆2.思考与交流 用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤是什么？ （1）设：设一次函数关系式，如y=kx+b(k≠0)； （2）列：把已知自变量与函数的两对对应值代入表达式，列出关于k、b的方程； （3）解：解两个方程，求出k，b的值； （4）代：将k，b值代回写出表达式. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1：已知一次函数y=kx+b 的图象经过(0,2),(1,3)两点. (1)求这个一次函数的表达式； 解：由题意得 ： b=2， k+b =3， 故 k=1； 那么一次函数的表达式为 y=x+2。 (2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A(a，0),求a的值。 解：(2)由题可知，点A(a,0)在一次函数y=x+2的图象上， 所以 0 = a+2， 那么得出 a=-2。 例2：如图，直线l是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象。 求：(1)直线l对应的函数表达式； (2)当y＝2时，x的值。 (1) 由图可知，直线l经过点(－2，0)和点(0，3)， 将其坐标代入一次函数表达式y＝kx＋b，得到－2k＋b＝0，b＝3. 解得k＝ 3/2 ，则直线l对应的函数表达式为y＝3/2x＋3. (2) 当y＝2时，有2＝3/2x＋3.解得x＝－3/2 。 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何求一次函数的表达式，总结用待定系数法求一次函数表达式的步骤； B.交流例题的解题思路和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如右图，直线l是某正比例函数的图象，点A（-4，12）、B（3，-9）是否在该函数的图象上？ 解：设直线l的解析式为y＝kx（k≠0）， 由于直线过点（-1，3），故 3=-k，解得k=-3， 那么直线l的解析式为y=-3x． 当x=-4时，y=-3×（-4）=12；当x=3时，y=-3×3=-9； 所以点A（-4，12），B（3，-9）都在该函数的图象上． 2.如果一个正比例函数的图象经过点A（2，－1），那么这个正比例函数的解析式为（  D    ） A．y =2x B．y=－2x C．y=x D．y=x 3.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空: 　 (1)b= 2 , k= - ;(2)当x=30时，y= -18 ；(3)当y=30时，x= -42 . 4.已知 y＋2 与 x 成正比例，且当 x＝5 时，y＝3. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； 解：根据题意，设 y＋2＝kx. 把 x＝5，y＝3 代入，得 3＋2＝5k，解得 ：k＝1. 所以 y＋2＝x， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x－2. （2）当 x＝－1 时，y 的值是多少？ 把 x＝－1 代入 y＝x－2，得 y＝－3. （3）当 y＝4 时，x 的值是多少？ 把 y＝4 代入 y＝x－2，得 4＝x－2,解得 x＝6. 题型一： 已知两点确定函数表达式式 1.一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 　 　． 【分析】用待定系数法，把A（1，1），B（2，﹣1）两点代入y＝kx+b，得到关于k，b的方程组，解方程组即可得到一次函数的解析式． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图像经过A（1，1），B（2，﹣1）两点， ∴， 解得：， ∴该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+3． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2.已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为 　 　 ． x 0 1 2 y a 1 3 【分析】根据给定数据，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值． 【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）． 将（1，1），（2，3）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1． 当x＝0时，y＝﹣1， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 3.已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点． （1）求此一次函数表达式； （2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上． 【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可； （2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：y＝﹣2x+4； （2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣2x+4， ∴当x＝﹣1时，y＝6， ∴点（﹣1，6）在一次函数的图象上． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 4.已知y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝6． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝3时，求出对应y的值． 【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，然后把两组对应值分别代入得到k、b的方程组，解方程组求出k、b即可求解； （2）把x＝3代入一次函数的表达式即可求解． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b， 根据题意得，解得， 所以这个一次函数的表达式为yx+3； （2）当x＝3时， y3+3． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 5.已知一次函数y＝kx+7的图象经过点A（2，3）． （1）求k的值； （2）判断点B（﹣1，8），C（3，1）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围． 【分析】（1）将已知点坐标代入一次函数解析式中即可求出k的值． （2）把B、C点的坐标代入解析式即可判断． （3）把x＝﹣3和x＝﹣1分别代入解析式，分别求得函数值，根据求得的函数值即可求得． 【解答】解：（1）将x＝2，y＝3代入一次函数解析式得：3＝2k+7， 解得：k＝﹣2． （2）当x＝﹣1时，y＝﹣2x+7＝2+7＝9≠8， 当x＝3时，y＝﹣2x+7＝﹣6+7＝1， 所以，点B（﹣1，8）不在这个一次函数的图象上；点C（3，1）在这个函数的图象上； （3）当x＝﹣3时，y＝﹣2x+7＝6+7＝13，当x＝﹣1时，y＝﹣2x+7＝2+7＝9， 所以当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是9＜y＜13． 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 题型二：由函数图象确定函数函数表达式式 6.直线y＝kx+b在直角坐标系中的位置如图所示，这条直线的函数表达式为（　　） A．y＝2x+4 B．y＝﹣2x+4 C．y＝4x+2 D．y＝﹣4x﹣2 【答案】A． 【分析】根据待定系数法即可求出函数表达式． 【解答】解：设直线的解析式为y＝kx+b， 由图象可知直线与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，4）， 把点（﹣2，0），（0，4）代入y＝kx+b得 解得， ∴该直线的函数解析式为y＝2x+4， 故选：A． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 7.如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B． （1）根据图象，求一次函数的解析式； （2）将一次函数图象向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值． 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）求得平移后的直线的解析式，代入点（m，﹣5），即可求得m的值． 【解答】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3）， ∴， 解得， 所以一次函数的表达式为：yx+3； （2）将直线AB向下平移5个单位后得到yx+3﹣5，即yx﹣2， ∵经过点（m，﹣5）， ∴﹣5m﹣2， 解得m＝﹣2． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 8.一次函数y＝kx+b的图象如图所示： （1）求出该一次函数的表达式； （2）当x＝10时，y的值是多少？ 【分析】（1）观察函数图象，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）代入x＝10求出与之对应的y值． 【解答】解：（1）观察函数图象，可知：点（2，0），（6，4）在函数y＝kx+b的图象上， ∴，解得：， ∴该一次函数的表达式为y＝x﹣2． （2）当x＝10时，y＝10﹣2＝8． 【点评】本题考查了一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 9.如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象． （1）求直线l的解析式； （2）如果直线l向上平移3个单位后，经过点A（3，m），求m的值． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）利用平移的规律求得平移后的直线解析式，点A（3，m）代入得到关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）把点（﹣2，0），（0，1）代入y＝kx+b得， 解得， ∴直线l的解析式为yx+1； （2）直线l向上平移3个单位后得到yx+1+3x+4， ∵经过点A（3，m）， ∴m4． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 10.已知正比例函数y＝mx与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，3）； （1）求这两个函数的解析式； （2）求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； 【分析】（1）把A（1，3）代入y＝mx，利用待定系数法求得正比例函数的解析式；把A（1，3），（﹣2，0）代入y＝ax+b，再利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）首先求得一次函数与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可求得答案； 【解答】解：（1）把A（1，3）代入y＝mx，得m＝3， 则正比例函数的解析式为y＝3x； 把A（1，3），（﹣2，0）代入y＝ax+b， 得，解得， 则一次函数的解析式为：y＝x+2； （2）∵一次函数的解析式为：y＝x+2， ∴一次函数与y轴的交点坐标为：（0，2）， 又一次函数与x轴的交点坐标为：（﹣2，0）， ∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为：2×2＝2； 【点评】此题考查了两条直线的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积．正确求出两个函数的解析式是解此题的关键． 题型三 利用已知函数关系式，再求函数关系式 11.已知y+4与x﹣3成正比例，且x＝5时y＝4，则当x＝2时，y的值为 　 　． 【分析】由y+4与x﹣3成正比例，设y+4＝k（x﹣3），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x函数关系，把x＝2代入计算即可求出y的值． 【解答】解：∵y+4与x﹣3成正比例， ∴y+4＝k（x﹣3）， ∵x＝5时，y＝4， ∴8＝k•（5﹣3）， 解得：k＝4， 故y+4＝4（x﹣3）， 即y与x之间的函数关系式为y＝4x﹣16， 当x＝2时，y＝4×2﹣16＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 12.已知y+2与x+1成正比，且x＝2时y＝7． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当y＝4时，求x的值． 【分析】（1）根据题意可设y+2＝k（x+1），然后把x＝2，y＝7代入进行计算求出k的值即可解答； （2）把y＝4代入（1）所求的函数表达式，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）设y+2＝k（x+1）， 把x＝2，y＝7代入y+2＝k（x+1）中可得： 7+2＝k（2+1）， 解得：k＝3， ∴y+2＝3（x+1）， ∴y＝3x+1， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝3x+1； （2）当y＝4时，3x+1＝4， 解得：x＝1， ∴x的值为1． 【点评】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 13.已知y与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4． （1）求出y与x之间的函数解析式； （2）当x＝1时，求y的值． 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y＝k（x﹣1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式； （2）利用（1）中关系式求出自变量为1时对应的函数值即可． 【解答】解：（1）设y＝k（x﹣1）， 把x＝3，y＝4代入得（3﹣1）k＝4，解得k＝2， 所以y＝2（x﹣1）， 即y＝2x﹣2； （2）当x＝1时，y＝2×1﹣2＝0． 【点评】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 14.已知y＝y1+y2，且y1﹣3与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝2时，y＝7，当x＝1时，y＝0． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）计算x＝4时，y的值． 【分析】（1）设y1﹣3＝k1x，y2＝k2（x﹣2），可得y＝k1x+3+k2（x﹣2），把x＝2，y＝7和x＝1，y＝0代入求解即可． （2）由（1）可直接把x＝4代入求解． 【解答】解：（1）设y1﹣3＝k1x，y2＝k2（x﹣2）， ∵y＝y1+y2， ∴y＝k1x+3+k2（x﹣2）， 把x＝2，y＝7和x＝1，y＝0代入得， ∴， 解得， ∴y＝2x+3+5（x﹣2）＝7x﹣7， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝7x﹣7． （2）把x＝4代入y＝7x﹣7得： y＝7×4﹣7＝21． 【点评】本题主要考查正比例函数的定义及求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键． 15.已知y+2与4﹣x成正比例，且x＝3时，y＝1． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当﹣2＜y＜1时，求x的取值范围． 【分析】（1）根据题意设y+2＝k（4﹣x）（k≠0），把x＝3，y＝1代入求出k的值，即可确定出y与x的函数关系式； （2）求出y＝﹣2、y＝1时的自变量x的值，然后根据一次函数的增减性写出x的取值范围即可． 【解答】解：（1）设y+2＝k（4﹣x）（k≠0）， 把x＝3，y＝1代入得：1+2＝k， 解得：k＝3， 则该函数关系式为：y＝﹣3x+10； （2）把y＝﹣2代入y＝﹣3x+10，得x＝4， 把y＝1代入y＝﹣3x+10，得x＝3， ∴当﹣2＜y＜1时，3＜x＜4． 题型四 由三角形的面积确定一次函数表达式 16.已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是　 ． 【分析】设直线解析式为y＝kx+b，先把（0，2）代入得b＝2，再确定直线与x轴的交点坐标为（，0），然后根据三角形的面积公式得到2×||＝2，解方程得k的值，可得所求的直线解析式． 【解答】解：设直线解析式为y＝kx+b， 把（0，2）代入得b＝2， 所以y＝kx+2， 把y＝0代入得x， 所以2×||＝2， 解得：k＝1或﹣1， 所以所求的直线解析式为y＝x+2或y＝﹣x+2． 故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+2． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 17.已知一次函数的图象经过点P（0，﹣2），且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则此一次函数的解析式为　 　． 【分析】由题意可设函数解析式为y＝kx﹣2，求出与坐标轴的交点坐标，再根据面积|x||y|可得出关于k的方程，解出即可得出k的值，进而可以求出函数解析式． 【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx﹣2， 令y＝0，得x，则一次函数的图象与x轴交点坐标为（，0）， ∴面积2×||＝3，解得：k＝±． ∴一次函数解析式为：yx﹣2，或yx﹣2． 故答案为：yx﹣2，或yx﹣2． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，结合了三角形的知识，但难度中等，注意掌握坐标和线段长度的转化． 18.已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，O为坐标原点．若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为 　 　． 【分析】分两种情况：当点B在y轴正半轴时，当点B在y轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答． 【解答】解：∵点A（3，0）， ∴OA＝3， ∵△AOB的面积为6， ∴OA•OB＝6， ∴3•OB＝6， ∴OB＝4， ∴B（0，4）或（0，﹣4）， 将A（3，0），B（0，4）代入y＝kx+b（k≠0）得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：yx+4， 将A（3，0），B（0，﹣4）代入y＝kx+b（k≠0）得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：yx﹣4， 综上所述：一次函数的解析式为：yx+4或yx﹣4， 故答案为：yx+4或yx﹣4． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键． 19.已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点．若S△AOB＝6，求一次函数解析式． 【分析】先根据一次函数的性质求出OA，OB的长，再根据S△AOB＝6建立方程，解方程可得b的值，由此即可得． 【解答】解：对于一次函数y＝﹣2x+b， 当y＝0时，，则， 当x＝0时，y＝b，则B（0，b），OB＝|b|， ∵x轴⊥y轴，S△AOB＝6， ∴，即b2＝24， 解得， 则一次函数解析式为或． 【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的解析式，正确表示OA，OB的长是解题关键． 20.如图，在△ABO中，以O为原点构建直角坐标系，点B在x轴上，AB与y轴交于点C（0，3），已知OB＝4，S△AOB＝8． （1）求直线AB的解析式； （2）求点A的坐标． 【分析】（1）利用点B与点C的坐标，结合待定系数法可得直线AB的解析式； （2）利用三角形面积公式求出A点纵坐标，继而求出横坐标，从而可知A点坐标． 【解答】解：∵根据图形，点B在x轴上，OB＝4， ∴B（4，0）， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 将点B，C代入得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为：； （2）设点A（m，n）， ∵， ∴n＝4． 令，解得， ∴， ∴点A的坐标为． 【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，几何面积与一次函数综合，牢记待定系数法和三角形面积公式是解题的关键． ▲1．用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤是什么？ （1）设：设一次函数关系式，如y=kx+b(k≠0)； （2）列：把已知自变量与函数的两对对应值代入表达式，列出关于k、b的方程； （3）解：解两个方程，求出k，b的值； （4）代：将k，b值代回写出表达式. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $