第4章 锐角三角函数（单元复习课件）数学湘教版九年级上册

单元复习课件 第4章 锐角三角函数 湘教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.明确锐角三角函数的定义，能结合直角三角形边角关系准确表述。 熟记 30°、45°、60° 等特殊角的三角函数值，以及同角三角函数的基本关系（如 sin²A + cos²A = 1） 3.关联直角三角形的性质、勾股定理等已有知识，构建 “边 - 角 - 函数” 的完整知识网络。总结常见题型（的解题思路，提升逻辑分析与解题迁移能力。 2. 能根据直角三角形的已知边或角，正确计算未知的边或角。能运用锐角三角函数解决实际问题，如测量高度、距离等，掌握 “建模（构造直角三角形）→ 计算 → 作答” 的基本流程。 单元学习目标 锐角三角函数 锐角的正弦、余弦、正切的定义 特殊角（ 30°，45°，60°） 的三角函数值 已知锐角求三角函数值 或已知三角函数值求对应的锐角 解直角三角形 单元知识图谱 (2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　＝　　　； (3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　＝　　　. 锐角三角函数 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． (1) ∠A的正弦： ∠A的对边 斜边 sin A = ∠A的邻边 斜边 ∠A的邻边 ∠A的对边 考点串讲 a 2a a a （设最短的边为a） 30° 60° 45° 45° 特殊角的三角函数值 考点串讲 30° 45° 60° sin α cos α tan α 锐角α 锐角 三角函数 特殊角的三角函数值 考点串讲 合作探究 (1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． 三边关系：_________________； 三角关系：___________________； 边角关系：sinA＝cosB＝______，cosA＝sinB ＝____， tanA＝____________，tanB＝____________. a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 解直角三角形 考点串讲 (2) 直角三角形可解的条件和解法 ◑条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素． ◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出 另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边； ②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角； ③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． 解直角三角形 考点串讲 (3) 互余两角的三角函数间的关系 sinα = ， cosα = ， sin2α + cos2α = . tanα · tan(90°－α) = . cos(90°－α) sin(90°－α) 1 1 解直角三角形 对于sinα与tanα，角度越大，函数值越 ； 对于cosα，角度越大，函数值越____. 大 小 (4) 锐角三角函数的增减性 考点串讲 (1) 仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 三角函数的应用 考点串讲 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 (2) 方位角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 三角函数的应用 考点串讲 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 i = tan α. 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6. 显然，坡度越大，坡角α就越大， 坡面就越陡. 如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面坡度.记作i，即i = . (3) 坡度，坡角 三角函数的应用 考点串讲 A C M N ①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； E ②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l； ③量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l · tanα+a. α (1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 利用三角函数测高 考点串讲 (2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ ①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α； A C B D M N E α ②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β； β ③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离 AB=b. 根据测量数据，可求出物体MN的高度. 利用三角函数测高 考点串讲 1.［2024四川雅安中考］如图，把矩形纸片沿对角线 折叠， 使点落在点处，与交于点，若， ，则 的值是___. 【解析】根据折叠的性质，可得 四边形 是 矩形，，， ， ，，.在 中， ，，解得 ， ，故答案为 . 考点1 锐角三角函数 考点串讲 16 2. 传统文化［2024江西中考］将图（1）所示的七巧板，拼成图（2）所示 的四边形，连接，则 __. 图（1） 图（2） 【解析】设与的交点为 ，. 又 由题意知,， 四边形是平行四边形， 与 互相平分，，. 在中， . 故答案为 . 考点串讲 17 3.［2024北京中考］计算： . 【解】原式 . 4.计算： . 【解】 ． 考点串讲 18 考点2 解直角三角形 5.［2024甘肃临夏州中考］如图，在中， ， ，则 的长是( ) B A.3 B.6 C.8 D.9 【解析】过点作的垂线，垂足为，如图.在 中， ，， . 又， .故选B. 考点串讲 19 6.［2024青海西宁中考］在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 ， 与轴交于点，点在轴上，且满足 ，则 的长为_________ ___. 或 【解析】如图. 点的坐标为，点的坐标为 ， ，是等腰直角三角形， . 当点在点下方时， ， ；当点在点 上方时， ， .综上所述，的长为或 . 故答案为或 . 考点串讲 20 考点3 解直角三角形的实际应用 7. ［2024海南中考］木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高 的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的 航标.某天，一艘渔船自西向东（沿 方向）以每小时10海里 的速度在琼州海峡航行，如图所示. 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔北偏西 方向上的 处. 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔北偏西 方向上的 处. 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州 海峡点周围5海里内，会出现异常海况，点位于木兰灯塔北偏东 方向. 考点串讲 21 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：____ ，____ ， ___海里； 30 75 5 【解析】如图，过点作于点，则 ， ， 都是直角三角形.由题可知, ， ， ， ， .由题可知渔船每小时航行10海里，渔 船从处航行至处时间为30分钟，即半小时，故 （海里）.故答 案为30，75，5. 考点3 解直角三角形的实际应用 考点串讲 22 （2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明. （参考数据：，， ） 【解】在中， ， ，.在 中， ，，， ， . ，， 海里. ,（海里）.在 中， ， ， ， ，海里.设上午9时渔船航行至处，则 海里，海里海里， 该渔船会进入“海况异常”区. 考点3 解直角三角形的实际应用 考点串讲 23 题型一：等角转化法 1.如图，矩形的顶点分别在直线，，， 上， ,且相邻两条平行直线的间隔相等.若， ， 则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，设交直线于点 四边形 是矩形， ,且相邻两条平行 直线的间隔相等，, , , ， ， ， ，故选C. 题型剖析 24 2.［2025山东济南期末，中］如图，菱形的对角线交于点 ， 过点作于点，连接.若， ，则 _ _. 【解析】 四边形是菱形，且， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，， . 故答案为 . 题型一：等角转化法 题型剖析 25 题型二：构造直角三角形法 3.［2025四川成都期中］如图，在正方形外作等腰直角三角形 ， ，连接，则 __. 【解析】过点作，交的延长线于，如图. 设 为等腰直角三角形， ， 四边形 为正方形，， ， ， 为等腰直角三角形， .在中， ， 即.故答案为 . 题型剖析 26 4.［2025山东烟台期中］如图，在中，对角线与相交于点 ， 若,，则 __. 题型二：构造直角三角形法 【解析】如图，过点作于点，过点作，交 的 延长线于点， 易知四边形是矩形，.又 四边形 是平行四边形，，.设 ， 则，， 是等腰直角三角形，则， , ，则是等腰直角三角形， ， ，.故答案为 . 题型剖析 27 题型三：巧设参数法 5.［2025山东枣庄期末，中］在中， ，如果 ，那么 的值等于___. 【解析】 在中， ，， 设， ，则 ，.故答案为 . 题型剖析 28 题型四： 网格中求锐角三角函数的值 6.构造直角三角形求解［2024浙江杭州期中，中］如图，在 的网格中，每个 小正方形的边长均为1.若的顶点都在小正方形的顶点处，则 的值为 _____. 【解析】如图，取格点，连接 .由题意得 ， ， ， . ，， ， 是直角三角形， ， . 在中，.故答案为 . 题型剖析 29 7.转移角后求解［2025山东菏泽期中，中］如图，点，， ， 均在小正方形网格线的交点处，与相交于点 ，小正方形 的边长为1，则 的值为___. 3 【解析】如图,连接，，， ， ， 四边形 是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，故答案为3. 题型剖析 30 8.等面积法求解［2025广西贵港期末，中］如图，网格中小正方形的边长均为1， 点，，都在格点（小正方形的顶点）处，则 的值是__. 【解析】如图，作于点.由题意可知， .， . ， ， ，故答案为 . 题型剖析 31 背靠背模型解读 通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，高为两个直角三角形的公共 边.图形模型如下： 题型五：背靠背模型 题型剖析 32 9.［2024山东济南莱芜区期中，中］某地修建了一座半径 为的圆形纪念园.如图，纪念园中心位于 村西南 方向和村南偏东 方向上.村在 村的正东方向且两 村相距.有关部门计划在， 两村之间修一条笔直 的公路来连接两村.问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明. （参考数据：，，， ） 【解】该公路不会穿过纪念园.理由：如图，过点作，垂足为点 . 由题意得 ， ，， ， .设. 在 中，. 在中， . ，，解得， ， 该公路不会穿过纪念园. 题型剖析 33 10.［2025吉林松原质检］如图，某学校的小学部教学楼 对面是初中部教学楼，某学生在小学部教学楼的窗口 处测 得初中部教学楼顶部的仰角为 ，初中部教学楼底部 的 俯角为 ，，，，，， 在同一平面 内，量得小学部教学楼与初中部教学楼之间的距离米.求教学楼 的高度. （结果精确到0.1米，参考数据：， ， ，，， ） 【解】如图，过点作，垂足为点 . 由题意，得 ， ， 米. 在中， ， （米）.在中， ， （米）， （米）. 答：教学楼 的高度约为11.1米. 题型剖析 34 子母模型解读 通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，高为两个直角三角形的公共 边.图形模型如下： 题型六：子母模型 题型剖析 35 11.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升 空的高度.如图，在平面内，点，，在同一直线上， ， 垂足为点， ， ，，求 的高度. （结果精确到 .参考数据：， ， ， ） 【解】设.在中，， ， .在中，，， . ，，解得，的高度约为 . 题型六：子母模型 题型剖析 36 12.某数学兴趣小组去测量一座小山 的高度，在山 顶上有一高度为20米的发射塔 ，如图所示.在山脚平地 上的处测得塔底的仰角为 ，向小山前进80米到达点 处，测得塔顶的仰角为 ，小山 的高度为 _________________. 米 【解析】设为米，则米.由题意知 ， 米.在中，，则 米, 米.在中， , 解得.经检验，为原方程的解， 故答案为 米. 题型剖析 37 拥抱模型解读 如图，分别解两个直角三角形，在和中， 为公共边.图形模型 如下： 题型七：拥抱模型 题型剖析 38 题型七：拥抱模型 13.［2025河南信阳期中］某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示， 斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部 的仰角为 ，在 处测得电线塔顶部的仰角为 . （1）求点到水平地面的高度 . 【解】 斜坡的坡度， ，，， .答：点到水平地面的高度为 . （2）求电线塔 的高度（结果保留根号）. 【解】如图，过点作于 ，则， 四边形 是矩形，，.设 ， 则. ， .在中， , ，.在 中， . ，， ， .答：电线塔的高度为 . 题型剖析 39 斜截模型解读 斜截型常与方位角结合考查，多呈现为拦截问题、安全问题.此类型的特点是小的 直角三角形在大的直角三角形内部，有公共的锐角，小的直角三角形的斜边与大 的直角三角形的直角边在同一直线上，小的直角三角形的直角边与大的直角三角 形的斜边在同一直线上，如图. 题型八： 斜截模型 题型剖析 40 题型八： 斜截模型 14.［2024河南南阳期中，中］某商场为缓解“停车难” 问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道 入口的设计示意图，其中，， ， ，在上，， . 根据规定，地下停车库坡道 入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该将 的长作为限制的高度.小明和小亮 谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度.（结果精确到 ，参考数据： ，， ） 【解】小亮说得对.在中， ， ，， ，， . ， . ， ， , 正确的限制高度约为 . 题型剖析 41 15.如图（1），太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂 直时，吸收太阳能的效果最佳.图（2）为其示意图，某户 根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角 确定 玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直）.已知， ，，于，若 ，求的长.（参考数据： ，， ） 【解】如图，延长交的延长线于点，延长 , ， . 在中，，， 在 中， 题型剖析 42 1.［2025湖南岳阳调研］如图，在中， ， 于点，若，则 的值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 ，， ， ， ， ，故选B. 2.在中，若锐角,满足，则对 的 形状描述最确切的是( ) C A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【解析】，， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形.故选C． 针对训练 43 3.某斜坡坡角 的正弦值 ，则该斜坡的坡度为___. 【解析】，， , 该斜坡的坡度为 .故答案为 ． 4.［2025湖南株洲质检］如图，在一次数学实践活动中， 小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 的高度，他从古 塔底部点处前行到达斜坡的底部点 处，然后沿 斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶 的仰角为 ，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，， 在同一平面 内，则古塔 的高度是________________.（结果保留根号） 针对训练 44 5.如图，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转 到 的位置，则 阴影部分的面积是________. 【解析】如图，设交于点，连接 .根据题意，得 , , , 正方形绕点 顺时 针旋转 到正方形的位置, , , , 在中，, , , 阴影部分的面积为 . 故答案为 ． 针对训练 45 6.已知，（其中 和 都表示角度）， 比如求 ，可利用公式得 ；又 如求 ，可利用公式得 .请你结合 材料，若 为锐角，则 的度数是____. 【解析】设.由题意得. , ,,,解得.经检验， 是分 式方程的根,即. 为锐角, .故答案为 ． 针对训练 46 锐角三角函数 特殊角的三角函数 解直角三角形 简单实际问题 正弦 锐 角 三 角 函 数 余弦 正切 三边关系 三角关系 边角关系 仰俯角问题 方位角问题 坡度问题 课堂总结 感谢聆听! 图19.4.5 $