5.4 平方根课件2025-2026学年青岛版（2024） 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方根的概念、性质、表示方法及开平方运算。从算术平方根引入，通过表格观察x²与x的对应关系，引导学生发现平方根意义，衔接前后知识形成学习支架。 其亮点在于通过探究活动培养抽象能力，如观察表格归纳正数平方根互为相反数的性质。结合典例辨析强化推理意识，如例1纠正“16的平方根是4”的错误认知。知识辨析表格清晰呈现算术平方根与平方根的区别联系，助学生构建知识体系，教师可高效开展教学，提升学生数学思维与表达能力。

第5章 勾股定理与实数 5.4 平方根 青岛版数学 八年级上册 1.了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根； 2.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根. 学习目标 如果一个负数的平方等于a,它与a的算术平方根有关系吗? 我们知道,一个正数的平方等于a,这个数就是a的算术平方根. 新课导入 观察与发现 探究一 平方根的意义 x2 4 9 16 0.01 0 x ±2 ±3 ±4 ±0.1 ± 0 你是怎样求出来的？与同学交流. 上面运算的实质就是已知一个数的平方，求这个数. 请同学们独立完成下列表格： 新课讲授 平方根的概念 一般地，如果一个数 x 的平方等于a,即，那么叫作 的平方根，也称为二次方根. x2=a x叫作a的平方根 (±3)2 =9 ±3是9的平方根 新课讲授 你能仿照上面的形式，分别说一说4，16, 0.01， ，0的平方根吗？ 新课讲授 思考与交流 探究二 平方根的性质 任何一个数都有平方根吗? 如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x 叫作a的平方根或二次方根. a≥0 因为任何数的平方都不是负数, 所以只有正数和0有平方根，负数没有平方根. 只有非负数有平方根，负数没有平方根. 新课讲授 x2 4 9 16 0.01 0 x ±2 ±3 ±4 ±0.1 ± 0 问题1：正数的平方根有什么特点？ 正数有两个平方根，它们互为相反数. 问题2：0的平方根是多少？它有几个平方根？为什么？ 0的平方根是0，并且只有1个平方根. 新课讲授 平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 的平方根是0； ③负数没有平方根. 归纳 例1、判断下列说法是否正确,并说明理由: (1)16的平方根是4; (2)（-2）2的平方根是±2; (3)0.01是0.1的算术平方根; (4)如果一个数有平方根,那么它有算术平方根. 解：(1)不正确.因为16的平方根不只有4，还有-4. 所以16的平方根是±4. (2)正确. (3)不正确.0.1是0.01的算术平方根 (4)正确. 典例精析 正数 a 正平方根记为： 负平方根记为： 被开方数 读作“正、负根号 a ”. 即正数 a 的平方根表示为： 0的平方根记为 . 如何表示一个正数的平方根呢？ 探究三 平方根的表示 思考与交流 新课讲授 例如： 表示 9的平方根， 新课讲授 例2、（1）4的平方根记作______，是______； （2）81的平方根记作______，是______； （3）的平方根记作__________，是______； （4） 7的平方根记作_____. ±2 ±3 ± ± ±9 ± 典例精析 （1） 的平方根是±16. ( ) （3）a2的算术平方根是a. ( ) （4）若 , 则a=-5. ( ) （5） ( ) × × × × × （2） 一定是正数. ( ) 2.判断题 （6） 49的平方根是7 ； ( ) （7） －1 是 1的平方根; ( ) √ × 练一练 探究四 开平方运算 求一个数a(a≥0)的平方根的运算叫作开平方，a叫作被开方数. 如何求169的平方根； ∵(±13)2=169, ∴169的平方根是±13, 即± =±13. 新课讲授 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 开平方运算 平方运算 观察下图，平方运算和开平方运算有什么关系？ 新课讲授 开平方运算 互逆运算 平方运算 乘方运算 注意： （1）开平方时，被开方数必须是非负数，即a≥0 . （2）被开方数越大，则对应的正的平方根也越大， 即若 ，则 . 新课讲授 例3 求下列各数的平方根: （1）1； （2）25； （3）； （4）3；（5）0.36 解:(1)∵(±1)2=1, ∴1的平方根是±1, 即± =±1. (2)∵(±5)2=25, ∴25的平方根是±5, 即± =±5. 典例精析 (3)∵（±）2= ∴ 的平方根是± 即±=± (4) ∵(± )2=3, ∴3的平方根是± . （5）∵（±0.6）2=0.36 ∴0.36的平方根是±0.6 即±=±0.6 典例精析 名称 算术平方根 平方根 区 别 定义 个数 表示 联 系 包含关系 存在条件 特例 算术平方根与平方根的区别与联系 探究五 知识辨析 “”，强调 是正数. “ ”，未强调 是正数. 只有一个，是个正数 有两个，它们一正一负，且互为相反数 ，其中 . ，其中 . 特殊值0的平方根和算术平方根都是0. 只有非负数才有平方根和算术平方根； 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的平方根； 新课讲授 例4 求下列各式的值: (1)- ； (2)；(3) ± ； (4)- ； (5)（-）2-； (6) - 解:(1)- =-0.4 (2) =0.23 (3) ± =± (4) - = (5)（- ）2- =10-5=5 (6) - =0.1-10=-9.9 典例精析 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 1. 什么叫平方根 求一个数的平方根的运算，叫开平方. 2. 数a的平方根表示为 . 3.一个正数有 平方根，这两个平方根互为 . 4.零的平方根是 . 5.负数 平方根. 两个 相反数 零 没有 课堂小结 1、判断下列说法是否正确 （1）一个数如果有平方根，则一定有两个 （ ） （2） 没有平方根 （ ） （3）0.4的平方根是±0.02 （ ） （4）因为16的平方根是±4，所以 =±4 （ ） 2、 的平方根是（ ） A. ±5 B. 5 C. -5 D. × × × × D 当堂检测 3.说出下列各式的意义，并求它们的值： 解：（1） （2） （3） 当堂检测 $