第二十一章一元二次方程单元练习2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 单元练习 一、单选题 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是方程的一个根，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 4．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程，则方程可化为（　　） A． B． C． D． 6．小明把一张长、宽 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(如图所示)．如果这个无盖的长方体底面积为，设剪去的正方形边长为，那么满足的方程是（     ） A． B． C． D． 7．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．关于x的一元二次方程有一根是0，则m的值是（　　） A．或 B．或 C． D． 9．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使的面积为的是（　　） A．秒钟或秒钟 B．秒钟 C．秒钟或秒钟 D．秒种或秒钟 二、填空题 11．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 12．我们规定一种运算：依据以上规定计算：当 时，． 13．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人． 14．某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大 销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现， 如果每台每降价10元，商场平均每天可多售出20台．在尽快减少库存的前提下，商场要想平均每天盈利2000元．设每台空气加湿器应降价x 元．根据题意列出方程 ． 15．如图，在中，，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发， 秒后的面积等于． 三、解答题 16．解下列方程： (1)； (2)． 17．已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 18．某商场在今年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． (1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少？ (2)国庆节过后，该商场商品再次降价销售，已知售价降为每件150元时，每天可售出10件，经市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品想要获利500元，同时为了尽快将库存全部清仓，则这天该商场商品每件售价应定为多少元？ 19．如图，某市近郊有一块长为，宽为的矩形土地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的四个矩形（四个矩形的一边长均为）区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽度为，则塑胶运动场地总面积_______．（用含x的代数式表示）； (2)若塑胶运动场地总面积为，请问通道的宽度为多少？ 20．【阅读材料一】若关于的一元二次方程（）的两根为、，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系． 【阅读材料二】已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两根为、，则____________； (2)【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①证明：不论为何值，方程总有实数根； ②若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． (3)【思维拓展】已知实数，分别满足，，其中且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十一章 一元二次方程 单元练习2025-2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D A D B D A B 1．C 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 2．C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意得且，解之即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故选：． 4．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 5．A 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， 移项得， ，即， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪去的正方形边长为，可得长方体底面长为，宽为，再根据长方形面积公式列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设剪去的正方形边长为， 由题意得，， 故选：． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握该知识点并找出等量关系是解题的关键．设比赛组织者应邀请个队参赛，那么每个队都要参加场比赛，那么总共有场比赛，然后根据“赛程计划安排7天，每天安排4场比赛”，列出方程即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，那么有 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程的定义，把代入原方程得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据二次项系数不为0即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根是0， ∴把代入原方程得， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故选： D． 9．A 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，， 方程的解是或， 解得，； 故选A． 10．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、动点几何，设秒时，的面积为，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，再根据点运动的时间，把不符合题意的解舍去． 【详解】解：设秒时，的面积为， 则有，， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，， ， ， 当秒时，的面积为， 故选：B． 11．2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根，与系数的关系是，是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：2． 12． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程－直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 根据题意，得出关于x的一元二次方程，再利用直接开平方法对其求解即可． 【详解】解：由得， ， ， ， ， 则， 所以 故答案为： 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后共有个人患新冠肺炎，第二轮传染后共有个人患新冠肺炎，根据两轮传染后共有人患新冠肺炎，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意可得：， 两边直接开平方得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 平均一个人传染了个人． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设每台空气加湿器降价x元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用商场每天销售空气加湿器获得的总利润=销售每台空气加湿器获得的利润×每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每台空气加湿器降价x元，则每台盈利元，每天可以售出 台， 依题意得：， 故答案为：． 15．或 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积等于”，得出等量关系是解决问题的关键． 根据直角三角形的面积公式和路程速度时间进行求解即可． 【详解】设秒后，的面积等于，由题意可得： ， 整理得， 解得，． 经检验均是原方程的解． 或秒后，的面积等于． 故答案为：或． 16．(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）将方程整理后，运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 所以， 开方，得， 所以； （2）解：， 整理，得， 因式分解，得， 所以或， 所以，． 17．(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 【分析】本题考查了利用一元二次方程的解求参数，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式得到，即可证明； （2）将代入即可求解，那么方程为，再求解方程的另一个根即可． 【详解】（1）解：， 则， ∴不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：∵方程的一个根为3， ∴将代入，则， 解得， ∴方程为， ∴， ∴或， ∴或， ∴方程的另一个根为． 18．(1)商场对商品平均每次降价的百分率为． (2)这天商场对A商品在每件150元的基础上降价20元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设商场对商品平均每次降价的百分率为x，再根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设这天商场在每件150元的基础上降价y元，根据“商场某天销售商品共获利500元”列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设商场对商品平均每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）． 答：商场对商品平均每次降价的百分率为． （2）解：设这天商场在每件150元的基础上降价y元， 由题意得：，解得：， ∵为了尽快销售完这批商品， ∴． 答：这天商场对A商品在每件150元的基础上降价20元． 19．(1)； (2)通道的宽度为米． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解题的关键． （）根据题意列出函数关系即可； （）根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设通道的宽度为米， 则， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：通道的宽度为米． 20．(1)，； (2)①见解析；②； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解． （1）根据根与系数的关系进行计算即可； （2）①证明即可； ②通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后根据完全平方公式变形求值即可； （3）把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，可得，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）①证明：∵ ， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵， ∴， 整理得， 解得：； （3）解：把，两边同时除以得：， 则实数s和可看作方程的根， ∴，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $