第3章 图形的相似（单元复习课件）数学湘教版九年级上册

单元复习课件 第3章 图形的相似 湘教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.准确复述相似图形、相似多边形、相似三角形的定义，明确相似比的含义。熟记相似三角形的性质，包括对应角相等、对应边成比例，以及对应高、中线、角平分线、周长、面积的比与相似比的关系。 3.能运用相似图形的知识解决实际问题。结合几何图形的其他知识，解决综合性几何证明或计算问题，提升知识迁移能力。 2. 能灵活运用相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS），准确判断两个三角形是否相似。掌握利用相似三角形解决线段比例计算、角度求解的方法，做到推理步骤完整、逻辑清晰。 单元学习目标 相似图形 比例线段 相似三角形 相似多边形 位似 比例的基本性质 比例线段 平行线分线段成比例 判定 性质 应用 单元知识图谱 比例的基本性质 比例的合比性质 比例的等比性质 比例的更比性质 比例的基本性质 考点串讲 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 A C B 那么称线段AB被点C 点C叫做线段AB的 AC与AB（或BC与AC）的比叫做 黄金比 ≈0.618 黄金分割 黄金分割点 黄金比 黄金分割 考点串讲 (1) 形状相同的图形 (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 图形的相似 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. 考点串讲 ◑ 三边成比例的两个三角形相似（SSS 判定） ◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定） ◑两角分别相等的两个三角形相似（AA判定） ◑ 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL 判定） 相似三角形的判定 相似三角形的性质 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 相似三角形的判定与性质 考点串讲 相似三角形的应用 1.测量不可直接到达的距离或高度 通过构建 “影子模型”“标杆模型” 或 “镜面反射模型” 来间接求解。 2. 解决几何图形中的计算问题 在复杂几何图形中，通过证明三角形相似，可求解边长、角度、面积比等未知量。 考点串讲 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比) 位似 (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上. 考点串讲 (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. A B G C E D F ●P B′ A′ C′ D′ E′ F′ G′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C E D F ●P 考点串讲 中考 考点1 比例线段 1.［2024黑龙江哈尔滨中考］如图，在四边形 中， ，点在上，交于点 ，若 ，，则 的长为( ) A A.6 B.3 C.5 D.9 【解析】 在四边形中，，，， ， 即，解得 ，故选A. 考点串讲 12 考点2 相似三角形的判定与性质 2.［2024河南中考］如图，在中，对角线, 相交于 点,点为的中点，交于点.若,则 的 长为( ) B A. B.1 C. D.2 【解析】 四边形是平行四边形， 点为 的中点， ，，，即 ， .故选B. 考点串讲 13 3. 开放性试题［2024山东滨州中考］如图，在中，点， 分别在边 ，上.添加一个条件使 ，则这个条件可以是_______________ _______________.（写出一种情况即可） （答案不唯一） 【解析】， 添加条件，可得 ，故答 案为 （答案不唯一）. 考点2 相似三角形的判定与性质 考点串讲 14 4.［2024宁夏中考］如图，在中，点,在边上， ，连接 并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点 .求证： .小丽的思考过程如下： 参考小丽的思考过程，完成推理. 【证明】 四边形是平行四边形，， ， ,，，.又 ， ，即，.， . 考点2 相似三角形的判定与性质 考点串讲 15 考点3 位似 5.［2024黑龙江绥化中考］如图，矩形 各顶点的坐标分别为 ，，，，以原点 为位似中心，将这个矩 形按相似比缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是( ) D A. B. C. D. 【解析】， 以原点为位似中心，将矩形按相似比缩小，顶点 在第一象限对应点的坐标是 .故选D. 考点串讲 16 考点4 相似三角形的应用 6. 在《数书九章》（宋·秦九韶）中 记载了一个测量塔高的问题：如图， 表示塔的高 度，表示竹竿顶端到地面的高度， 表示人眼到 地面的高度，,,在同一平面内，点,, 在 一条水平直线上.已知， ， 18.2 ，，人从点处远眺塔顶 ，视线恰好经过竹竿的 顶端，则塔的高度为_____ . 考点串讲 17 A字型解读 正“A字”型 斜“A字”型（共角） 斜“A字”型（共边共角） ______________________ 已知： ； 结论： _____________________ 已知： ； 结论： _______________________ 已知： ； 结论： 题型一：A字模型 题型剖析 18 1.［2025山东淄博期中］如图，在中，点，， 分别在边，，上，连接，，已知四边形 是 平行四边形，.若的面积为1，则平行四边形 的面积为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 四边形是平行四边形，， ， ，，， ， ，，， ， ，.， ， ， .故选B. 题型剖析 19 题型一：A字模型 2.［2024北京昌平区期中］如图，在中，，，点为 中点，点在上，当为_____时，与以点，， 为顶点的三角形相似. 3或 【解析】为中点，. 当时， ， ，. 当时， ，，. 综上，或时， 与以点，，为顶点的三角形相似，故答案为3或 . 题型剖析 20 8字模型解读 正“8字”型 斜“8字”型（蝴蝶型） _______________________________ 已知： ； 结论： _______________________ 已知： ； 结论： 题型二：8字模型 题型剖析 21 题型二：8字模型 3.［2024重庆沙坪坝区调研］如图，在边长为 的 菱形中， ，过点作于点 ，现 将沿直线翻折至的位置，与 交于点 ，则 等于_______. 【解析】在中， ，， ， 由勾股定理得，.根据折叠性质可得，. ， 易得，. 设，则，解得 ，故答案为 . 题型剖析 22 4.［2025山东日照期中］如图，中，点，分别是， 的中点， 连接，，且,交于点.若，则 的值是___. 【解析】如图所示，连接 点，分别是， 的中点，为 的中位线，，， 易得 ，. 设，则， ， . 又，.又， ， ，，即， ， ，.故答案为 . 题型剖析 23 手拉手模型解读 如图，，将绕公共顶点旋转，连接， . 结论： . 题型三：手拉手模型 题型剖析 24 题型三：手拉手模型 5.［2024四川成都双流区质检］如图，在 和 中， ，，为 的中点，，.将绕点旋转，直线， 交 于点，连接，则 的最小值是_________. 【解析】如图，取的中点，连接， ，则 ，， ， . ， ， ， ， 即， ， ， ， ， .又为 的中点， .为的中点，为的中点，， 的最小值为.故答案为 . 题型剖析 25 6.［2024陕西汉中质检］如图，已知正方形的边长为2，对角线 ， 相交于点.将绕点逆时针旋转得到，当，， 三点共线 时， 的长为_______________. 或 【解析】①当在的上方时，， 是等腰直角三角 形， . ， ， ， ， ， . ，， ， ，， . ②当在的下方时，如图.同理可证 ， ， ， .， ， ，，， . 综上所述，的长为或 . 题型剖析 26 一线三等角模型解读 如图，已知，，三点共线，且 . （1）点在线段 上: 题型四：一线三等角模型 （2）点在线段 的延长线上: 结论： 题型剖析 27 题型四：一线三等角型 7.如图，正方形边长为4，，分别是， 上的两 个动点，当点在上运动时，保持和垂直，设 . （1）求证： ； 【证明】在正方形中，， ， ， .在 中， ，， . （2）当点运动到什么位置时，？求此时 的值. 【解】当点运动到的中点时， ， 要使，必须有.由（1）知 , ，， 当点运动到的中点时， ， 此时 的值为2. 题型剖析 28 8.如图，在中，点，分别在边，上，连接， ，且 ． （1）求证： ； 【证明】 ， ,,. 又, . （2）若 ,，当点在上运动（点不与， 重合），且是等腰三角形时， 求 的长． 【解】， ，是等腰直角三角形， . ， . ①当时， ， ， ， . 点在上运动（点不与， 重合）, 此种情况不符合题意. ②当时，如图（1），易证 ， ， . ③当时，如图（2）， ， ，即.又 是等腰直角三角形， .综上所述， 或1. 题型剖析 29 射影定理模型解读 基本模型 结论 _________________________________ 中， 在任意直角三角形中过直角顶点向斜边作垂线，得到的两个小直角三角形都和原 直角三角形相似 . 题型五：射影定理模型 题型剖析 30 题型五：射影定理模型 9.如图，在中， ，是斜边 上的高. （1）求证： ； 【证明】， ， .又 ， ， . （2）求证： ； 【证明】 ，，， ， 即 . （3）若，，求 的长. 【解】， ， ，，， . 题型剖析 31 十字型模型解读 如图，在矩形中，点,分别在边,上，于 . 结论： . 题型六：十字型模型 题型剖析 32 10.［2025河北保定期中］综合与探究 【初步发现】 （1）如图（1），在矩形中，如果交于点，交于点 ，且 ,那么___（填“ ”“ ”或“” ）； 题型六：十字型模型 图（1） 【深入探究】 （2）如图（2），在矩形中，，分别交，于点， ， 分别交，于点，，求证： ； 图（2） 【证明】过作于，过作于，交于 ，如图（1-1）.易得 ，，， , , ， ， .又 , ， . 图（1-1） 题型剖析 【尝试应用】 图（3） （3）在（1）的条件下，如图（3），在矩形中，点, 分别在边,上， 点，分别在边，上，连接 , ,且，若，求 的值； 【解】由（1）可知，，由（2）可知， ， . 【联系拓展】 （4）如图（4），在四边形中，若， ， ，，直接写出 的值. 图（4） 图（4-1） 【解】.过点作交的延长线于，过点 作交的延长 线于，连接 ，如图（4-1），则易知四边形是矩形，， ， ， ，.又， ， ，， . 又 ，， ， .设，则，， ， ， 解得，.由（1）易知， . 题型剖析 34 题型七：相似三角形与函数的综合 11.［2024江苏苏州中考］如图，点 为反比例 函数图象上的一点，连接 ，过点 作的垂线与反比例函数 的图象交 于点，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，过作轴于，过作轴于 ， ， ， ， ， ，，即， （负值已舍去）， 故选A. 题型剖析 35 12.［2024福建厦门海沧区期末］如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为，是 轴上一点. （1）在线段上求作点，使得 （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【解】如图，点 即为所求. （2）在（1）的条件下，，是的中线， 过点的直线交 于点，交轴于点，当时， 求点 的坐标. 【解】如图，， ，， ，，， ，， ，， 直线的表达式为 由（1）可知 ，，， 易得点坐标为,. ， 易得， 直线的表达式为 .由 解得 . 题型剖析 36 题型八：相似三角形与其他图形的综合 13.［2024四川宜宾调研］如图，正方形中，是对角线 上的一个动点 （不与，重合），连接，将绕点顺时针旋转 到，连接交 于 点，延长线与边交于点 . （1）连接，求证： ； 【证明】 线段绕点顺时针旋转 得到线段， ， 四边形是正方形，， ，， ，即 .在和中， ， . 题型剖析 37 （2）若，求 的值. 【解】如图，过点作于，过点作 于 ， 可设，则 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ，， ，， 易证 ， ， . 题型剖析 38 题型九：几何动态与相似三角形的综合 14.如图，在中， ， ，.点在边上以的速度由点 出发沿 向点匀速运动，同时点在边上以的速度由点出发沿 向点匀速运动.点到达 点时，点，同时停止运动，连接，设点 运动的时间为 . （1）求 的长. 【解】在中， ，， ， . （2）当为何值时，的面积为面积的 ？ 【解】如图，作于点，则 .由题意得，，， 则 .， 易得，， 即 ，.由题意得，，解得 ， ， 当的值为2或时，的面积为面积的 . （3）是否存在值，使得以，，为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出 的值；若不存在， 请说明理由. 【解】存在.， 当时，， ，解得； 当时，，，解得 . 综上所述，存在值使得以，，为顶点的三角形与相似，的值为或 . 题型剖析 39 1.［2024湖南邵阳新宁期中］已知，则 的值为( ) B A. B. C. D. 2.［2025湖南邵阳期中］如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部 分的三角形与 相似的是( ) A A. B. C. D. 针对训练 40 3.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面 镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中 看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为 ，同时量得小菲与镜子的水 平距离为，镜子与旗杆的水平距离为 ，则旗杆高度为( ) B A. B. C. D. 针对训练 41 4.如图，中，， ，的平分线与边的交点 为边的黄金分割点，则 _________. 【解析】， ， .又平分 ， ，，点是 的 黄金分割点， ． 针对训练 42 5.如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点 ， 若的面积是3，则 的面积是____. 27 【解析】 四边形是矩形， ， ，， ， ，，即， .故答案为27. 针对训练 43 6.如图，已知，它们依次交直线，于点， ， 和点，， ． （1）如果，，，求 的长； 【解】， . ，，，， ． （2）如果，，，求 的长． 【解】如图，过点作，交于点，交于点 ，则 ， . ， 易得,. ， ， ，， ． 针对训练 44 7.［2025湖南岳阳质检］如图，四边形 为平行四边 形，为边上一点，连接，，它们相交于点 ， 且 . （1）求证： ； 【证明】 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， . （2）若，，，求 的长. 【解】，，， ， ，，， . 针对训练 45 课堂总结 感谢聆听! $