精品解析：河南省驻马店市 西平县师灵镇第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级上学期9月月考数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与x轴交点的横坐标是（ ） A. 2， B. ，3 C. 2，3 D. ， 3. 在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（ ）． A. 且 B. C. D. 4. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 5. 已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②；③和4是关于的方程的两个根；④当时，；⑤，其中正确的结论的个数是（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 8. 将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正），二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 5、 B. 5、 C. 5、1 D. 5、4 9. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 10. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 12. 抛物线与轴的交点坐标是_____． 13. 如图，琪琪的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则长为________． 14. 已知抛物线，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． 15. 已知点，，都在二次函数的图像上，那么，，的大小关系是______（请用“＜”连接）． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． （2）已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． （3）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 18. （10 分）2025 年 9 月 21 日早晨 7∶30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕．来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市．据统计，全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人． （1）求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率； （2）某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套 224 元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出 30 套．比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低 8 元，每日可多卖出 5 套，每日最多可打包 70 套，已知平均每日收到货款为 10920 元，则每套降价多少元？ 19. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出y的取值范围______． （3）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于二次函数的值，直接写出n的取值范围______． 20. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D点，E为第三象限内抛物线上一点，且． （1）直接写出A、B、C三点的坐标：A ；B ；C ； （2）求点E的坐标； （3）平面内，直线AB经过A、B，在抛物线上有一动点N，记的面积为S，若点N符合条件的位置有且只有3个，求S的值． 21. 已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到． （1）画出，并写出A的对应点为的坐标______． （2）是的边上一点，经旋转后点P的对应点的坐标是______． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． （3）探究在抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期9月月考数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意． 故选：D． 2. 抛物线与x轴交点的横坐标是（ ） A. 2， B. ，3 C. 2，3 D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解此题的关键． 令，则，计算即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交点的横坐标是2，， 故选：A． 3. 在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（ ）． A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设一元二次方程的两个根为，，由题意得，，，由根与系数的关系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判别式求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， 由题意得，，， 由根与系数的关系可得，，， 解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是． 故选：B． 4. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC． 【详解】解：依题意旋转角∠A′CA=40°， 由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°， 由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°． 故选A． 5. 已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解之即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 6. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②；③和4是关于的方程的两个根；④当时，；⑤，其中正确的结论的个数是（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．将点和代入二次函数的解析式可得，则可得，再根据当时，其对应的函数值可得，则可得，，即①和②正确；根据二次函数的对称性可得当时和当时，，由此即可判断③错误；根据当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，以及当和时，即可判断④正确；将点代入二次函数的解析式可得，则可得，即⑤正确． 【详解】解：将点和代入二次函数得：， 解得， ∴， ∵当时，其对应的函数值， ∴， 解得， ∴，则结论①正确； ∵，， ∴，则结论②正确； 由表格可知，当时，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等，即， ∴和3是关于的方程的两个根，则结论③错误； ∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 由表格可知，当和时，， ∴当时，，则结论④正确； 将点代入得：， 将点代入得：， ∴， ∵， ∴， ∴，则结论⑤正确； 综上，正确的结论的个数是4个， 故选：C． 7. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2）逐项判断即可． 【详解】解：A．方程中，未知数x的次数为1，属于一元一次方程，不符合条件； B．方程中，分母中含有未知数，属于分式方程，不符合条件； C．方程中，未知数x的最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，符合题意； D．方程中的未知数x的次数为3，属于一元三次方程，不符合条件． 故选C． 8. 将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正），二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 5、 B. 5、 C. 5、1 D. 5、4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式为， ∴二次项系数和一次项系数分别是5、， 故选：B． 9. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 10. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的判断，掌握定义是解题的关键， 根据二次函数的定义：形如（为常数且），逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是一次函数，故A错误； B、是二次函数，故B正确； C、不是二次函数，故C错误； D、是反比例函数，故D错误； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， 故答案为：． 12. 抛物线与轴的交点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征． 令求出值，即可写出坐标． 【详解】解：当， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 13. 如图，琪琪的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键．设，则，根据题意列方程为：，解方程即可得出答案． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 墙长， 长为． 故答案为：． 14. 已知抛物线，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性．根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 15. 已知点，，都在二次函数的图像上，那么，，的大小关系是______（请用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．先求出对称轴，利用对称性求出的对称点为，再根据二次函数的图象和性质得到当时，y随x的增大而减小，即可得出结论． 【详解】解： 对称轴， ∴的对称点为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）将方程整理后，运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 所以， 开方，得， 所以； 【小问2详解】 解：， 整理，得， 因式分解，得， 所以或， 所以，． 17. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． （2）已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． （3）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1）①③ （2）或 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程解的定义，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可； （3）利用配方法，非负数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①是黄金方程，理由： ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是黄金方程； ②不是黄金方程，理由： ∵ ∴ ∴， ∴， 故不是黄金方程； ③是黄金方程， ∴， ∴， ∴是黄金方程， 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：∵是关于的黄金方程， ∴， ∴， ∴原方程为， ∵是此黄金方程的一个根， ∴，即 ∴， 解得或； 【小问3详解】 解：∵关于的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为4． 18. （10 分）2025 年 9 月 21 日早晨 7∶30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕．来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市．据统计，全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人． （1）求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率； （2）某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套 224 元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出 30 套．比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低 8 元，每日可多卖出 5 套，每日最多可打包 70 套，已知平均每日收到货款为 10920 元，则每套降价多少元？ 【答案】（1）全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为 （2）每套降价56元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为，根据全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每套降价个8元，则平均每日可卖出套，根据每日最多可打包 70 套，列出一元一次不等式，得a的取值范围，根据平均每日收到货款为 10920 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（舍去）， 答：全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：设每套降价个8元，则平均每日可卖出套，根据题意可得： ， 整理得：， 解得：，， 由题意知：， 解得：， 所以取7， 此时，， 答：每套降价56元． 19. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出y的取值范围______． （3）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于二次函数的值，直接写出n的取值范围______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的综合问题等知识． （1）利用待定系数法求二次函数的解析式． （2）画出二次函数的图象，利用数形结合的思想求解即可． （3）利用数形结合的方法求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过点和， 设二次函数的解析式为∶， 将代入得∶， 解得∶， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 函数图象如图所示： 根据函数图象可知：当时，． 【小问3详解】 解：∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于二次函数的值， ∴把函数看作函数向下移动个单位满足题意， 则． 20. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D点，E为第三象限内抛物线上一点，且． （1）直接写出A、B、C三点的坐标：A ；B ；C ； （2）求点E的坐标； （3）平面内，直线AB经过A、B，在抛物线上有一动点N，记的面积为S，若点N符合条件的位置有且只有3个，求S的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，，求出对应的x、y的值，即可求出A、B、C的坐标； （2）过D作于F，过E作于G，则可求，，设，则，，证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）根据待定系数法求出直线解析式为，根据的面积为S，且点N符合条件的位置有且只有3个，判断出在直线右上方存在两个点，左下方只存在一个点，过左下方符合题意的N作直线的平行线，则此平行线与抛物线只有一个交点，设此平行线的解析为，联立方程组，整理得，则此方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可求出，代入方程并求出解，从而求出点N的坐标，过N作轴交于M，则可求出M的坐标，然后根据割补法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴ 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点， 过D作于F，过E作于G，则， ∵， ∴， 设， 则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴点E的坐标为 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， ∵的面积为S，且点N符合条件的位置有且只有3个， ∴在直线右上方存在两个点，左下方只存在一个点， 过左下方符合题意的N作直线的平行线，则此平行线与抛物线只有一个交点， 设此平行线的解析式为， 联立方程组， 整理得， ∴， 解得， ∴， 解得， 当时，， ∴， 过N作轴，交于M， 则， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与图形的面积等知识，明确题意，添加合适辅助线是解题的关键． 21. 已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由对称轴方程求得b的值，由点A坐标代入抛物线解析式即可求得c的值； （２）①方法一：由A、B的坐标可得对称轴方程是关于b、m的关系式，由m的取值范围即得；方法二：把A、B坐标分别代入抛物线解析式可得b、m关系式，由m的取值范围，即得b的取值范围；②方法一：可将点的坐标代入抛物线的解析式，进而建立关于，m的不等式，解不等式即得；方法二：根据y的变化趋势，得出到对称轴的距离的大小关系，建立关于，b的不等式，解不等式即得 【小问1详解】 解：∵抛物线L的对称轴为直线x= 解得 ∵抛物线 经过点， 【小问2详解】 ①方法一：∵抛物线L经过，， ∴抛物线L的对称轴为直线 ∴． ∵， ∴， ∴b的取值范围为． 方法二：将代入 得， ∴， 又∵抛物线L过点， 由，可知， ∴， ∵， ∴， ∴． ②方法一∶将代入 得， ∴． 由①可知，， ∴， ， ， ， 又∵ , , ∴m的最大值为 方法二：∵抛物线L的对称轴为直线 则点到直线的距离点到直线的距离 ∵抛物线L的开口向下， ∴距离抛物线对称轴越远的点，函数值越小， ∴当时， 即 整理，得 ， ， 又， ， 由①可知，， ， ， ∴m的最大值为 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，对称性增减性，二次函数与方程与不等式，是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到． （1）画出，并写出A的对应点为的坐标______． （2）是的边上一点，经旋转后点P的对应点的坐标是______． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，； 故答案为：； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据旋转的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：点． 故答案为： 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． （3）探究在抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），抛物线的顶点坐标为 （2） （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及轴对称的性质，待定系数法求函数解析式等知识点． （1）将点B的坐标代入抛物线解析式中，可求得m值，然后利用顶点坐标公式，求得抛物线的顶点坐标； （2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称，连接，交抛物线于点P，则此时最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而求得点P坐标； （3）先求出长，设，由，得到，再解方程即可． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 【小问2详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， 连接交抛物线对称轴于点P，如图，则此时的值最小， 将代入中，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入求得， ∴P点坐标为； 【小问3详解】 解：存在， 对于，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴或， 当时， 解得：， ∴或； 当时， 解得：， ∴或， 综上：存在点M，使得的面积等于3，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $