期中复习5大类型46个考点（举一反三期中专项训练）九年级数学上学期浙教版

期中复习5大类型46个考点（前4章） 【浙教版】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 二次函数的定义】 2 【考点2 二次函数的图象与性质】 4 【考点3 二次函数的图象与性质】 6 【考点4 二次函数的图象与性质】 8 【考点5 二次函数的图象与性质】 11 【考点6 二次函数的图象与的性质】 14 【考点7 二次函数图象与系数的关系】 18 【考点8 二次函数图象与几何变换】 23 【考点9 二次函数与一元二次方程】 26 【考点10 简单事件的概率】 29 【考点11 圆的相关概念】 32 【考点12 垂径定理】 34 【考点13 圆心角、弧、弦的关系】 39 【考点14 三角形的外接圆与外心】 43 【考点15 圆周角定理】 47 【考点16 圆内接四边形】 51 【考点17 正多边】 56 【考点18 弧长】 58 【考点19 扇形的面积】 61 【考点20 圆锥的侧面积】 66 【考点21 成比例线段】 68 【考点22 平行线分线段成比例】 71 【考点23 相似三角形的判定】 74 【考点24 相似三角形的性质】 78 【考点25 根据位似变换求值】 82 【实际应用篇】 85 【考点26 二次函数的应用】 85 【考点27 相似三角形的应用】 91 【作图篇】 95 【考点28 作位似图形】 95 【考点29 在网格中作相似三角形】 101 【几何计算与证明篇】 106 【考点30 利用圆中的相关性质求角度】 106 【考点31 利用圆中的相关性质求线段长度】 112 【考点32 利用圆中的相关性质进行证明】 114 【考点33 求圆中的弧长或扇形面积】 118 【考点34 利用平行线分线段成比例求线段长度】 120 【考点35 证明相似三角形】 126 【考点36 利用相似三角形的判定和性质求值】 129 【考点37 利用相似三角形的判定和性质证明】 134 【压轴篇】 138 【考点38 利用二次函数的性质求最值】 138 【考点39 二次函数中的存在性问题】 148 【考点40 由点与圆的位置关系求最值】 157 【考点41 动点的运动轨迹长度计算】 166 【考点42 动态图形的扫过的面积的计算】 177 【考点43 利用相似求坐标】 181 【考点44 相似三角形-动点问题】 187 【考点45 相似三角形-最值问题】 193 【考点46 相似三角形-综合与实践】 203 【基础概念易错篇】 【考点1 二次函数的定义】 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键． 根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数； ②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；   ③，符合二次函数的定义，故③是二次函数；   ④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．   所以，是二次函数的有①②③，   故答案为①②③．   2．已知函数是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】根据定义得：形如 是常数，且的函数是二次函数，列方程可求得答案． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数中，是常数，本题关键点为． 3．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 根据二次函数的定义得出二次项系数、一次项系数、常数项，再相加计算即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是， ∴二次项系数、一次项系数、常数项的和为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为；（1）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A、两直角边的和为的直角三角形， 设两直角边分别为，则， ∴ ∴ ∴面积与斜边的关系是二次函数，故此选项符合题意； B、关系式为：，是一次函数，故此选项不符合题意； C、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【考点2 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 3．已知二次函数的图象开口向上，则实数a可以为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象．熟练掌握二次项系数大于0，二次函数图象开口向上是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴实数a可以为2， 故答案为：2． 4．对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】先判断出二次函数图像对称轴为轴，再根据二次函数的性质判断出关于轴对称即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴， 取时，函数值相等， 关于轴对称， ， 当取时，函数值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出关于轴对称是解题的关键． 【考点3 二次函数的图象与性质】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 3．二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，再结合的取值范围可得当时，取得最大值，再分别计算出当时和当时的值，即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取得最大值，当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得，可得，再结合进一步解答即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴； 故答案为： 【考点4 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 3．老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ． 【答案】y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一） 【分析】根据顶点在x轴上，开口方向向下，可以确定该函数的形式为y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），即可确定答案. 【详解】解：根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），写出一个满足该形式的解析式即可，如y＝﹣（x﹣1）2,答案不唯一. 故答案为y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于熟记并灵活运用二次函数解析式——顶点式. 4．（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 【考点5 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，则下列大小比较正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线得到当时，随的增大而增大，再根据，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∴当时，有最大值为 ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴，即 故选：D． 2．当时，二次函数有最大值，则实数的值为(    ) A． B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；求出二次函数对称轴为直线，再分，，三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m， ①时，取得最大值， 解得； ②时，取得最大值为，不合题意； ③时，取得最大值，， 解得． 故选：C． 3．若二次函数的图像在这一段位于轴的上方，在这一段位于轴的下方，则值为 ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的解析式可求得抛物线的对称轴为，由二次函数的对称性可知当时，函数图象位于轴的上方，结合题意可知当时，，从而可求得的值． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为， 当时，函数图象位于轴的上方， 当时，函数图象位于轴的上方， 当时，函数图象位于轴的下方， 当时，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的性质得到当时，是解题的关键． 4．如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．    （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ． （2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线图像的性质，解一元二次方程，掌握抛物线的轴对称性，利用其对称性，求相应点的坐标是解答本题的关键． （1）由题意知，抛物线的对称轴，顶点，得到，进而可以得到点，的坐标，代入，得到． （2）由题意知，抛物线的对称轴，顶点，得到，进而可以得到点，的坐标，代入，得到． 【详解】解：（1）抛物线中， 令，则， 对称轴，顶点 对称轴与轴交于点的坐标是， ， 正方形中，,是对角线 ， 由题意知，点，关于对称轴轴对称， ，或， 将代入抛物线中， 得，解得． 故答案为 （2）抛物线中， 令，则， 对称轴，顶点 对称轴与轴交于点的坐标是， ， 正方形中，,是对角线 ， 由题意知，点，关于对称轴轴对称， ，或， 将代入抛物线中， 得， 解得，（舍去）； 故答案为． 【考点6 二次函数的图象与的性质】 1．（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数的增减性及最值问题，当自变量的取值范围在对称轴一边时，则根据增减性求出最值；当自变量的取值范围在对称轴两边时，则顶点取到最大值或最小值．首求先根据函数的对称轴求出a的值，然后根据函数的增减性求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称， ∴，解得， 则二次函数， 当时，函数有最小值； ∵当时，y有最小值， ∴， 解得， 故选C． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知点和都在这个二次函数的图象上，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得该二次函数的图象的开口向下，由此即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项B错误；求出当时，的值即可判断选项C正确；根据二次函数的增减性即可判断选项D正确． 【详解】解：∵二次函数中的， ∴该二次函数的图象的开口向下，则选项A正确； 二次函数化成顶点式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标是，则选项B错误； 当时，，解得或， ∴该二次函数的图象与轴的交点坐标是和，则选项C正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点和都在这个二次函数的图象上，且， ∴，则选项D正确； 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，为常数）． （1）当时，该函数图象的对称轴为直线 ； （2）当时，的最大值为；当时，的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、待定系数法等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）将代入二次函数，然后根据对称轴公式即可解答； （2）先确定对称轴在y轴左侧，得出，．根据时，的最大值为，根据顶点坐标的纵坐标为，建立方程，求得，代入代数式即可求解． 【详解】（1）当时，， ∴该函数图象的对称轴为直线． 故答案为：． （2）∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，且， ∴对称轴在y轴左侧． ∴，． ∴，解得（正值舍去）． ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为：直线， 如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点7 二次函数图象与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 ． ①图象与轴的交点为，；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点及运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点为，故①不符合题意， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，故③符合题意； 当时，根据图象可知，，故④符合题意； 当时，根据图象可知，随的增大而减小，故⑤不符合题意； 故答案为：②③④． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断的符号；再根据的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则二次函数可得，开口向上， 又二次函数的对称轴为直线，在轴左侧， 故二次函数的图象大致为： 故选：． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数的最小值为； ；若，则；若，则；⑤一元二次方程的两个根为和 ．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据、两点写出抛物线的交点式化简得，再配成顶点式，即可判断①；由和，即可判断②；当时，，根据二次函数的性质，即可判断③；利用二次函数的对称性及增减性即可判断④；由可知，，则可化为，，解方程即可判断⑤． 【详解】解：抛物线解析式化成交点式为， 即， 配成顶点式得， 当时，二次函数有最小值为，所以①正确； ∵对称轴为直线， ∴ ∴， 由得到， ∴ 故②错误， 当时，， 当，，所以③错误； 点的坐标为，点关于直线的对称点为， 若，则或，所以④错误； 由可知，，则可化为， ， 方程整理得：， 解得，，所以⑤正确． 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 先利用交点式表示抛物线解析式得到，则，，于是可对①②③进行判断；利用配方法得到，则当时，有最小值，所以，于是可对④进行判断；过点作于点，如图，利用等腰直角三角形得到，即，则可对⑤进行判断；利用勾股定理得到，，，根据等腰三角形的性质，当时，，当时，，然后分别解方程求出的值，从而可对⑥进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 即， ∵， ∴，所以②正确； ∵抛物线开口向上， ， ，即， ， ，所以①正确； ∵， ∴，故，所以③错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最小值， ， 即，所以④正确； 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，即， 解得，所以⑤正确； ∵，，， ，，， 当时，， 解得，（舍去）， 当时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为或，所以⑥错误． 故答案为：①②④⑤． 【考点8 二次函数图象与几何变换】 1．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如果二次函数平移后的顶点恰好落在直线上，求平移后的图像与y轴交点的纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的平移，设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】设平移后的解析式为， ∵平移后的顶点恰好落在直线上， ∴， ∴解析式为， 令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为， 设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z， ∵， ∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为． 故答案为：． 2．将抛物线向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，则所得抛物线的解析式 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可． 【详解】 ， 所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）． ∵向右平移三个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）． ∵再绕原点O旋转180°， ∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上 ∴所得抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 3．如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是 ． 【答案】0＜b＜4． 【分析】利用折叠的性质确定翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4），再求出抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）和抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），从而利用函数图象得到当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点． 【详解】解：二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4） 当y=0时，y=-（x-2）2+4=0，解得x1=0，x2=4，则抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， 抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0）， 所以当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点． 故答案是：0＜b＜4． 【点睛】考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．其中正确的为（    ） ①； ②当时，代数式的最小值为3； ③对于任意实数，不等式一定成立； ④，为该二次函数图象上任意两点，且，当时，一定有． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用．由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得 ，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意； 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称． ∴， ∴，故①符合题意； ∴， ∴ ， ， ∵， ∴当时，取最小值，故②不符合题意； ∵， ∴对称轴为直线， ∵， 当时，函数取最小值， 当时，函数值为， ∴， ∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， 当时，满足， ∴， ∴， 当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意； 综上：符合题意的有①③④； 故选：C． 【考点9 二次函数与一元二次方程】 1．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）设一元二次方程的两实根分别为，，且，则，满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、因式分解法解一元二次方程以及图形的平移，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．由的两根分别为1、2，可得出抛物线与x轴交于点，将其往下平移m个单位可得到新抛物线，观察函数图象即可得出，此题得解． 【详解】解：∵的两根分别为1、2， ∴抛物线与x轴交于点． ∴将抛物线往下平移m个单位可得到新抛物线，且一元二次方程的两实根分别为，，如图所示， ∴由图象可知：． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的根的关系，理解抛物线与轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解是解题的关键．根据抛物线与轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点、两点， ∴当 ，即时，解得：或 由即得到或． 解得：，， 故答案为，． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，依据题意，当为锐角三角形时，则，进而计算可以得解．能根据锐角三角形的性质进行判断是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，得；当时，得：， ∴，， ∴， ∵过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为， 当时，， 解得：或， ∴点， ∵为锐角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ）                                         A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 根据函数的图象与轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：由表中数据可知：当时，； 当时，， ∴当时，在与之间， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 【考点10 简单事件的概率】 1．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；     B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·北京·模拟预测）不透明袋子中仅有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法与树状图法，根据题意列表得共有种等可能的结果，其中两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下， 红 绿 红 （红，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （绿，绿） 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的结果有种， ∴两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的概率是， 故选：． 3．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图确定所有等可能的情况和符合条件的情况是解题的关键． 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况，找出符合条件的情况，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的情况，其中指针指向颜色相同的扇形的有3种， 则转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为． 故答案为：． 4．（2023·甘肃兰州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850 盖面朝上频率 下面有三个推断： ①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的； ②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可． 【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确； ②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确． 故答案为：①③． 【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键． 5．（2022·山西太原·一模）在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】要判断这种方法是否公平，只要看所选取的方法，使这两个队优先选择比赛场地的可能性是否相等即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由上图可知， 甲班优先选择场地的概率， 乙班优先选择场地的概率， 故这两个队优先选择比赛场地的可能性相等， 这种选择场地的方法对两个班级公平． 【点睛】本题主要考查了游戏规则公平性的判断，会画树状图求等概率事件的概率是做出本题的关键． 【考点11 圆的相关概念】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形与圆，圆的认识，正确记忆相关知识点是解题关键．根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是弦，故①正确， 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是弧的一种特殊情况，但弧不一定是半圆，故②错误， 当平面上的三点在同一条直线上时，不能确定一个圆，只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故③错误， 根据圆内接正多边形中心角公式：(n为边数)，可知圆的内接正六边形的中心角为，故④正确， 正确的个数为， 故选：． 2．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 3．（25-26九年级上·陕西·期中）已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，直径的定义，解题的关键是熟记圆的相关定义并灵活运用．根据直径的定义直接求解即可． 【详解】解： 是中最长的弦， 是中的直径， 的直径为， ． 故选：B ． 4．（2024·广东广州·模拟预测）如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形内角和定理，等边对等角等知识，由平行线的性质得出的度数，由等边对等角得出的度数，由角的和差得出的度数，然后由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【考点12 垂径定理】 1．如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 2．（2024·西藏拉萨·一模）如图，点A、C、B、D分别是上四点， ，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等和圆周角定理，根据垂径定理由得到，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 4．（2025·重庆·二模）如图，内接于半径为的，于点，延长交于点，为的中点，连接交于点，若，，，则 ， ． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，利用圆周角定理及推论得出，，利用垂径定理求出 ，，，由，得出，利用，列式求出或，结合，得，得出，再利用，即可求出；连接，，，，延长交于点，利用为的中点，得出垂直平分，可得，，求出，再利用，，求出，在中，求出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 得（负值舍）； 如图，连接，，，，延长交于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 得（负值舍）， 在中，， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查圆周角定理及推论，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 【考点13 圆心角、弧、弦的关系】 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是 ． 【答案】/ 【分析】连接，如图，先根据等边三角形的性质得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到，所以，所以封闭图形ABCD的周长的长，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算，弧长公式：其中n为圆心角的度数，R为圆的半径也考查了等边三角形的性质． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 封闭图形的周长的长 故答案为： 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆心角，弧，弦之间的关系，先证明可判断A，B，再证明，可判断D，进一步记圆心为，连接，可判断C. 【详解】解：∵A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，， ∴， ∴，故A，B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故D不符合题意； 如图，记圆心为，连接， ∵不一定相等， ∴不一定相等；故C符合题意； 故选：C 3．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理等知识，根据弦、弧的关系及圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：∵于E，于F， ∴，， 故A、B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 只有时，， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为弧的中点，点在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，作 于点，易得四边形为矩形，有，结合弧、弦、圆心角之间的关系，以及等腰三角形性质得到，，利用勾股定理得到，进而求出，最后结合垂径定理求解，即可解题． 【详解】解：连接，，过点作于点，过点作于点，作于点， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形，有， 为弧的中点， . ， ，半圆的直径为，， ，即与圆心重合，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，垂径定理，等腰三角形性质，弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【考点14 三角形的外接圆与外心】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、，则， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为（    ） A． B． C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点．先证明可得，可得到是等边三角形，再根据根据含30度角的直角三角形性质可得长，结合已知即可得出，再由垂径定理即可求得，作于点M，再根据含30度角的直角三角形性质可得，然后利用勾股定理即可求得AB． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形， ， ∵， ，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 作于点M，   ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 【答案】B 【分析】分别作与角平分线，交点为．由三线合一可知与为、垂直平分线；再由垂径定理可知圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点；连，若半径最短，则，由为底边，底角的等腰三角形，可求得． 【详解】如图，分别作与角平分线，交点为， 和都是等边三角形， 与为、垂直平分线，， 又圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点； 连接， 若半径最短，则， 又，， ， ， 在直角中， ， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的“三线合一”的性质、三角形的外接圆圆心、点到直线的距离、垂线段最短以及解直角三角形等知识，注重数形结合思想的应用是解题的关键． 【考点15 圆周角定理】 1．（24-25九年级下·广东·期中）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角求得，根据圆内接四边形的性质得出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度的直角三角形等知识，首先根据“等边对等角”的性质求出的度数，再结合圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵内接于，为的直径， ∴， ∴； 故选B． 3．（2025·重庆永川·模拟预测）如图，是圆O的内接三角形，是直径，与的平分线交于点P，与圆O交于点D，的延长线与圆O交于点F，连接， 则 的长为 ；的长为 ． 【答案】 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据直角三角形的性质得，作，然后根据直角三角形的性质得，，接下来，并表示，结合列出方程，求出可得答案；连接，结合说明，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴. ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 过点P作，交于点G， ∴， ∴． 设， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 即， 解得， ∴； 连接，可知， ∵， ∴， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，角平分线的定义等，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且，连接．点M为弧AP上一点（不与A，P重合），过P作于D点．    （1）的形状为 ； （2）若，，则 ． 【答案】 等腰直角三角形 【分析】（1）由，可知为直径，则，由，可得，进而可得结论； （2）由题意知，，如图，作的延长线于，则四边形是矩形，证明，则，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）解：由题意知，， 如图，作的延长线于，则四边形是矩形，    ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点16 圆内接四边形】 1．如图，，是的两条弦，且，点，分别在弧，弧上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，最后依据圆内接四边形的性质求出的度数． 本题主要考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 【答案】C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质，熟知相关定理，正确画出图形，结合图形分情况讨论是正确解答此题的关键． 根据题意画出图形，分点D在和上两种情况利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解： 内接于，， ， 分点D在和上两种情况∶ ①点D在上时，如图所示： 四边形是圆内接四边形，； ， ； ②点D在上时，如图所示： ， ， 综上所述，的度数是或， 故选：C． 3．如图，线段为的直径， ．若，与的延长线交于F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等弧对等角求出，再利用圆内接四边形对角互补求出，最后利用三角形内角和定理即可得到答案． 本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ ， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 同理， ∴， 故选：A． 4．（2025·河南商丘·二模）如图，内接于，为的直径，点为上的点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接、，证明、是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，由直径所对的圆周角是得，结合圆内接四边形性质得，将绕点逆时针旋转得到，证得是等腰直角三角形，则，根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， 、是等腰直角三角形， ，， 即是等腰直角三角形， ， 为的直径， ， 则圆内接四边形中，， 将绕点逆时针旋转得到， 此时，，，， ，， 又， 点是在上，是等腰直角三角形， 结合勾股定理得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是等腰直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是、圆内接四边形的性质、旋转性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握旋转性质． 【考点17 正多边】 1．（24-25九年级下·福建·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理和菱形面积的计算，连接，令与交于点，则，，，，有为等边三角形，即可求得，和，结合面积公式即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，令与交于点， 则，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形为菱形， ∴四边形的面积是， 故选：D． 2．（2025·山西长治·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆的综合，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得是等边三角形，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴； 故选C． 【考点18 弧长】 1．如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，弧长，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由旋转得，从而证得是等边三角形，得到，即旋转角为，再根据勾股定理求出，根据弧长公式即可解答． 【详解】解：∵点D是的斜边的中点， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴由旋转可得， ∵点D是的中点， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C 3．（2025·河南郑州·二模）中国古代人信奉天圆地方，圆被赋予了吉祥、丰收的意义，圆形门又叫圆月门，如十五满月一样给人柔和愉悦的感觉．小妹测量一个圆月门（如图），她测得门下矩形的边高为米，的长为米，小妹测得圆月门最宽的地方（圆的直径）为米，由于年代久远，上面的砖容易脱落，小妹想做一个等大的木质模具（不包含），固定支撑圆月门．圆月门的其他部分已测量，只有弧的长度未知，根据所测量的数据，计算出优弧的长为 米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定与性质，熟知相关性质、判定定理以及计算公式是解题的关键．令圆心为，连接、、，根据题干易得， 从而得到是等边三角形， 进而得出，最后利用弧长的计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，令圆心为，连接、、， 的直径为米， 的半径为米，即（米）， 又的长为米， ， 是等边三角形， ， 优弧的长为：（米）． 故答案为： ． 4．（2025·甘肃定西·三模）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是弧上两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，求弧长，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用弧长公式计算即可求解，掌握圆内接四边形的性质和弧长公式是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴， ∴这块扇形玉石的周长， 故答案为：． 【考点19 扇形的面积】 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及扇形面积公式的应用，解题的关键是通过构造全等三角形，将不规则阴影部分的面积转化为扇形面积与规则三角形面积的差来计算． 先利用菱形性质得、，点为中点，故，进而得；构造等边，结合证，将转化为；再用勾股定理算、（即扇形半径）；最后用扇形面积公式算，减去得阴影面积． 【详解】解：如图，连接，在上取点，使，连接， 在菱形中，，点O是对角线的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ ∴ ， ∴． 故答案为：． 2．（2025·广东深圳·三模）如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及扇形面积公式，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先利用三角形外角性质求出，再由等腰三角形性质得出，进而求出圆心角，最后根据扇形面积公式计算扇形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的扇形面积， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，理解图示，掌握扇形面积的计算是关键． 如图所示，延长交于点，与交于点，可得，则，由代入计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，与交于点， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是圆环的面积， ∵，， ∴， 故选：B ． 4．如图，在中，分别交于点D，E，连接，若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点E是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 【考点20 圆锥的侧面积】 1．（2025·四川绵阳·二模）小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗如图所示，若漏斗的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则扇形卡纸的面积至少是（    ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：依题意，圆锥的底面圆的半径为，高为， ∴这个圆锥的母线长， 则这个圆锥的侧面积． 故选：C． 2．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，扇形弧长的计算，理解题意，掌握弧长公式的计算是关键． 根据矩形的性质，等边对等角得到是等腰直角三角形，，，，由弧长公式得到，结合圆的周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴的长度， 设围成圆锥后，底面圆的半径为， ∴， 解得，， ∴该圆锥底面半径为1， 故选：A ． 3．（24-25九年级上·四川德阳·期末）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则此圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式、圆锥的展开图、求圆锥的高，由弧长公式求得扇形半径，进而求得底面圆的半径为，再利用求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ∵扇形的弧长等于底面圆的周长， ∴底面圆的半径为， ， 故答案为：． 4．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【考点21 成比例线段】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题关键是通过比例的变形，整体代入求值．根据可得，，代入求值即可． 【详解】解： ， ，， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，即，然后计算即可解答． 【详解】解：由题意知，，即， 解得：，. 故选C． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点E是平行四边形边上一点，、延长线交于点F，下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．根据平行四边对角相等和对边平行，得到相似三角形，再利用平行线分线段成比例和相似三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ，，， A、∵， ∴，该选项说法正确，故不符合题意； B、∵， ∴， ，该选项说法正确，故不符合题意； C、， ， 又， ， ，该选项说法正确，故不符合题意； D、∵ ∴ ∴， ∵， ∴，该选项说法错误，故符合题意． 故选：D． 【考点22 平行线分线段成比例】 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，逐项分析即可． 【详解】解: A、由平行可得，变形为与已知不符合，故选项A不正确； B、由平行可得，变形为，与已知符合，故选项B正确； C、由平行可得与已知不符合，故选项C不正确； D、由平行可得与已知不符合，故选项D不正确； 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，由得到，即可得到，由平行四边形得到，，进而得到． 【详解】∵ ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴与相似的三角形有2个． 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 4．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 【考点23 相似三角形的判定】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的关系来求解的面积． 【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方， 设与的面积分别为和，相似比为k， 则有， 由题可知，已知， 将其代入到中，可得， 即． 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，若和的面积之比为，则与的对应角的角平分线之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，面积比为．设相似比为k， ∴ ∴ ∴与的对应角的角平分线之比 故选：A． 3．（2020·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得，进而得出，再根据比例的性质解答即可． 【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M， ∵DF∥CH， ∴△DFG∽△HCG， ∴ ， ∵DM∥BH， ∴△DMG∽△HBG， ∴ ， ∵CH=BH， ∴DF=DM， 又∵矩形 △MDE∽△CDF， ∴ ∴ ∴   ∴DF＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：D． 【考点24 相似三角形的性质】 1．如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接并延长与轴交于点，根据位似变换的性质，点即为位似中心，然后设，表示出、，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据点在轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长与轴交于点，则点即为位似中心，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， 又∵正方形和正方形的边、都与轴垂直， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∵点在轴负半轴上， ∴点． 故选：A． 2．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则          【答案】5 【分析】根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线， 得出，进而得出②，两式相加即可得出结论． 【详解】解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴ ∴ ∴，即①； ∵CE是∠ACB的外角平分线， ∴ ∴，即②； ①+②，得． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，过点作于点H，交于点，交于点，由题意得可得菱形边长为3，，由勾股定理求出，由菱形的性质以及折叠的性质可证明四边形是矩形，以及四边形为矩形，则，由平行线分线段成比例定理可得，再结合折叠可得，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点H，交于点，交于点， ∵菱形的周长和面积分别为12和6， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点25 根据位似变换求值】 1．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 2．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，点是四边形对角线、的交点，与互补，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定；先作，即可求出，再根据相似三角形的对应边成比例得，进而得，然后说明，再结合可得答案. 【详解】解：过点O作交于点M， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 3．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似变换、矩形的性质及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积比确定其位似比，注意有两种情况．根据相似图形的性质即可完成． 【详解】解：由题意可知，， 矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， 矩形与矩形相似，且相似比为， 点的坐标是或， 即点的坐标是或， 故答案为：或． 4．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴负半轴和轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系．根据平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系，即可求解． 【详解】 解：∵在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍， ∴矩形与矩形是位似图形，点与点是对应点，， ∵点的坐标为, ∴点的坐标为， ∵将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，， ， ∵矩形的对角线交点 ，即， 故答案为：． 【实际应用篇】 【考点26 二次函数的应用】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点，点）以及点，点落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分与第2根栏杆未涂色部分长度相等，则求的长度． 【答案】米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式． 设为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：，代入，，设，则，再将和点坐标分别代入拋物线解析式求解即可． 【详解】解：设为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： ∵中间被4根栏杆五等分，， ∴，， 设抛物线解析式为：， 将代入得：， 设， 则， 将点和点坐标分别代入拋物线解析式得：， 解得． 米． 2．（24-25九年级上·内蒙古·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这20天中第几天销售利润为18000元； (3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 【答案】(1) (2)第5天的销售利润为18000元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数、一次函数的应用． （1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据函数的性质求最值即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为， 把和代入可得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）设总利润为w元， 则， 当时，则， 解得：， ∴第5天的销售利润为18000元， 答：第5天的销售利润为18000元； （3）不能，理由如下： 由（2）可得， ∵，， ∴当时，w最大，最大值， ∵， ∴最大利润不能超过18000元． 3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，平移规律： （1）先根据题意建立平面直角坐标系，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，以为原点，为轴，建立如图所示直角坐标系， ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 【答案】任务一，, ；任务二，；任务三，水流能流到圆柱形水杯内，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． 任务一，根据题意得出，的横坐标为，，求得点的坐标，即可求解； 任务二，待定系数法求解析式，即可求解； 任务三，圆柱形水杯最左端到点的距离是，将代入二次函数解析式，比较大小即可求解． 【详解】解：任务一，圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为， ∴ ∵，，轴， ∴的横坐标为， ∴该抛物线顶点坐标为， 故答案为：, ． 任务二，设抛物线解析式为 将点代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 任务三，水流能流到圆柱形水杯内，理由如下， 圆柱形水杯最左端到点的距离是， 当时，， ， 水流能流到圆柱形水杯内． 【考点27 相似三角形的应用】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，得到，代入数据计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴即， ∴． 答：的长为； （2）解：∵，， ∴， 由题意可得， ∴， ∴即， ∴． 答：的长为． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）魏晋南北朝时期，中国数学在测量学方面取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．求山高． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知可知，即得，，得到，，进而可得，求出再代入比例式即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵为高， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， 答：山高为． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．设，，通过证明和，得到和，再代入数据列出方程组，求出的值即可解答． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， 联立①和②解得（负值已舍去）， ∴， 答：大厦主体建筑的高度是． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】6.6米 【分析】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于G，交于Q，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，得米，，米，设米，则米，再证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于G，交于Q， 由题意得，，，， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， ∵小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴米， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴（米）． 答：路灯的高度约为6.6米． 【作图篇】 【考点28 作位似图形】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． (1)请画出； (2)与的周长之比为______； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据位似的性质解答即可； （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵，与位似，且位似比是． ∴与的周长之比为 （3）解：∵，与位似，且位似比是． 又∵点M的坐标为 ∴点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． (1)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (2)与的相似比是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了位似变换的作图，根据坐标确定位似比是解答此题的关键． （1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据相似比等于位似等于相应线段之比，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，为所求． （2）解：∵A的坐标为．点的坐标为， ∴与的相似比是位似比为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 【答案】(1)见解析，点 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图、利用相似三角形确定线段比例点以及构造相似三角形的作图，解题的关键是熟练运用位似性质、相似三角形的判定与性质进行作图和推理． （1）根据位似图形性质，以原点为位似中心，位似比，将各顶点坐标变换后在第三象限找点作图，再确定坐标； （2）通过构造格点三角形，利用相似三角形对应边成比例找到点，再依据相似性质说明； （3）利用格点构造角相等，依据相似三角形判定（两角分别相等）确定点，通过作特定格点连线找到交点． 【详解】（1）解：作出的位似图形如图所示，点； （2）解：作出的点如图所示． 理由：如图，∵， ∴， ∴； （3）解：作出的点如图所示． 作法：（1）将边绕着点逆时针旋转得到； （2）将线段平移，使得点与点重合，此时点的对应点为点； （3）连接交于点，则点为所求． 证明：将边绕着点逆时针旋转得到， ，， ， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在和中， ， ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画出一个以点C为位似中心，且与位似的（位似比不为1）； (2)在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质画图即可． （2）取格点N，使，且，连接交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，取格点N，，且，连接交于点M， 此时， ∴， 则点M即为所求． 【考点29 在网格中作相似三角形】 1．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质， （1）取线段中点即格点D，连接即可； （2）取格点G、F，连接交于点E，根据则，得出，则，再结合，证明，所以相似比为． 【详解】（1）解：如下图，线段即为所求作； （2）解：即为所求作． 2．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了在网格中画图问题，解题关键是根据相似三角形的性质确定边长和利用相似或全等画等角. （1）根据相似三角形对应边成比例，利用格点画出对应直角边成比例即可； （2）根据网格画出，且与不相似． 【详解】（1）如图1，格点如图所示(答案不唯一)， （2）如图2，格点如图所示(答案不唯一)． 3．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了格点图中画相似三角形、中心对称图形和轴对称图形． （1）作平行四边形，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的点A、B、C在格点上，格点D、E分别在边上．按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画线段的垂直平分线，分别交于点F、G． (2)在图②中过点B作交于点M． (3)在图③中，连结，过点C作交于点N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点中作图，作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据线段垂直平分线的定义作出图形即可； （2）取格点J，最直线交于点M，直线即为所求； （3）取格点P，Q，连接交于点N，作直线即可． 【详解】（1）解：如图①中，直线即为所求； （2）如图②中，直线即为所求； （3）如图③中，直线即为所求． 【几何计算与证明篇】 【考点30 利用圆中的相关性质求角度】 1．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 【详解】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 2．（24-25九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，，E是上一点，延长交于点D． (1)如图①，当点E是弦的中点时，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等． （1）根据垂径定理，可得，根据三角形内角和即可求出，再根据圆周角定理得出，进而求出的度数； （2）如图②，连接，根据，，可得，则，根据，可得，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而即可求解； 【详解】（1）解：∵是直径，点E是弦的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂直平分线的判定与性质，作出适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，首先证明，推出，即可解决问题； （2）连接，根据，所以只要求出的度数即可． 【详解】（1）证明：如图， 连接， 是的直径， ，即， ， 垂直平分． ． ． ， ． ． （2）解：如图， 连接， ， ． ． 是的直径， ． ． 4．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考出了圆的垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图1：连接，由垂径定理的推理可得，再结合已知条件可得，设，则．然后在运用勾股定理求解即可． （2）如图2，连接交于点H，由（1）知，则，易证可得，即，进而得到，最后由三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质可得即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， 直径弦， ． ， ， ， ． 设，则． 在中，，即，解得， ∴． （2）解：如图2，连接交于点H， 由（1）知， ． ，， ， ， ， ， ． 【考点31 利用圆中的相关性质求线段长度】 1．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长． 【答案】， ， 【分析】本题考查主要圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握直径所对的圆周角是直角的性质是解题关键． 根据直径所对的圆周角等于可得，利用勾股定理可求出的长，利用角平分线的定义及圆周角定理可得，，可得是等腰直角三角形，即可求出、的长． 【详解】解：为直径， ， ，， ， 是的角平分线， ， 和是所对的圆周角， ， 同理可得：， ， 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 【考点32 利用圆中的相关性质进行证明】 1．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）作，推出，进而得平分，即可求证； （2）证得，，进而得，再证即可； 【详解】（1）证明：作， ， ， ∴平分， ， （2）证明：如图所示： ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 2．如图，在中，弦弦于E，弦弦 于F点，与相交于M点． (1)求证：； (2)如果，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）连结，结合垂直定义，以及同角的余角相等推出，再结合圆周角定理求解，即可解题； （2）连接，作于H，于K，利用垂径定理得到，结合圆周角定理推出，证明，得到，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）证明：连结，如图1所示， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （2）解：连接，作于H，于K，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 即的半径为． 【考点33 求圆中的弧长或扇形面积】 1．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，已知弦，相交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等弦对等弧即可证明； （2）连接，根据垂直的定义得到，则有，利用圆周角定理得到，则有，根据得到，最后利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， 又∵的半径为4， ∴． 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以为直径的与交于点． (1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于一点，即为点E，再过点A作一个等于的角，然后连接并延长，交于点M，即可作答． （2）先由垂径定理得，根据圆周角定理得出，再结合勾股定理得出，算出，然后根据代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，作图如图所示． ； （2）解：由（1），得， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∴， ∴． 如图，连接，过点O作于点H． 则， ∴， ， ∴， ， ， 则． 【点睛】本题考查了作一个已知角以及圆周角定理，垂径定理，扇形面积，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点34 利用平行线分线段成比例求线段长度】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，中点的性质等知识点； （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线分线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 【详解】（1）证明：∵，点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点D作交于点H，    ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点D是边上的一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理先得到，进而得到，则，即可求出的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 3．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质． （1）由，推出； （2）由，推出，可得结论； （3）由，得到，推出，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点35 证明相似三角形】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，于点，连接，过点作交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由矩形的性质得，则、，再根据垂直的性质可得，进而得到；再根据角的和差可得，最后根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵于点，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定． （1）在中，根据勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明即可； （）由，得，，根据，，再根据相似三角形的判定方法即可得证； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 4．如图，四边形中，平分，，E为的中点． (1)求证：； (2)连接交于点F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，再结合，即可证明，再利用相似三角形对应边成比例，即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，由（1），推出，结合，得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【考点36 利用相似三角形的判定和性质求值】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点O，过点O作，分别交边、于点E、F． (1)求线段的长； (2)如果的面积等于4，求梯形的面积． 【答案】(1)线段的长为4 (2)梯形的面积为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和梯形面积的计算．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）因为，所以，由相似三角形对应边成比例得出，进而得到，又因为，所以，根据相似三角形对应边成比例求出，同理求出，最后得出． （2）由，且相似比为，根据三角形面积比等于相似比的平方，结合的面积求出的面积，再根据与、高相同，底的比例关系，求出与的面积，最后将四个三角形的面积相加即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 同理，， ， ． （2）解：由（1）知，且相似比为， ， ， 与的高相同，底的比为， ， 同理，， 梯形的面积． 3．（25-26九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： (1)的长度； (2)三角形与三角形的面积之比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）由平行四边形对边平行且相等，可得，，，，由平行线的性质得，，证明，根据对应边长成比例即可求解； （2）证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解： ， ，， ， ， ． 即三角形与三角形的面积之比为． 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)求的值； (2)求的值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和全等三角形性质和判定，勾股定理； （1）先证明，根据相似三角形的判定和性质求出，再证明从而得出， （2）求出长度后再通过勾股定理求出长度． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 又∵； ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴． 【考点37 利用相似三角形的判定和性质证明】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图1，点D、E分别为的边上的两点，，将绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、（如图2）． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的判定和性质．由平行线分线段成比例求得，利用旋转的性质求得，推出，据此计算即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵绕点逆时针旋转某个角度得， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，E是平行四边形的边的延长线上的一点，连接，交于点O，交于点F，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，，然后根据相似三角形的性质可进行求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，，，是三个相连的正方形，连接，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及勾股定理的简单应用．分别计算相关三角形的对应边的比例关系，根据相似三角形的判定定理证明，利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】证明：设正方形的边长为， 则，，， ， 又， ， ． 4．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)当点E为中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据条件证明，得到，再证明，得到，等量代换即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，利用对应边成比例，再根据中位线的性质定理，等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴； （2）证明：如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ， ∵点为中点， ∴， ∴． 【压轴篇】 【考点38 利用二次函数的性质求最值】 1．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ，               解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴，                   ，    ， ∴； （3）设直线为，由得， ∴， ∴，             设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接，    由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，，              在中， ，                                               即当时，，此时， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，有点A、B在函数的图像上， (1)若，，①写出抛物线的对称轴为_____，②直接写出与的大小关系_____； (2)现有一动点P从点A出发，沿x轴方向水平运动到与y轴平行且经过点B的直线L上，再沿着直线L运动到点B，点P运动的总路径为d．当所在直线经过第二、四象限时， ①求a的取值范围； ②求d关于a的函数关系式． (3)关于x的二次函数：，若在（1）的条件下，当时，存在，求t的最小值． 【答案】(1)①；②； (2)①；②； (3) 【分析】（1）①将，代入，然后根据二次函数的性质即可解答；②由题意可得，然后代入函数解析式求得、，然后比较即可； （2）①由题可得：，设直线的解析式为，将A、B代入可得，再根据所在直线经过第二、四象限列出关于a的不等式求解即可；②先分别求出水平距离、垂直距离，然后求和即可解答； （3）先用x表示出，设，当时，存在，再根据二次函数的性质以及存在的定义列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为； 故答案为：． ②∵点A、B在函数的图像上，， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）解：点A、B在函数的图像上，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵所在直线经过第二、四象限时， ∴， 解得：． ②由①中的结论得，， 由题意得，点P运动的水平距离为， 竖直距离为， 所以总路径． （3）解：在（1）条件下时，， ∵当时，存在， ∴当时，存在，即， 设，当时，存在， ∵抛物线的对称轴为，开口向下， ∴在，w随x的增大而减小， ∵当时，存在， ∴当时，，即， ∴t的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、比较函数值的大小、一次函数的性质、求一次函数解析式、二次函数与不等式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 3．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，M是的顶点． (1)求a，b的值及点 M 的坐标； (2)将抛物线 平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线的对称轴为直线． ①当 平移路程最短时，直接写出的解析式； ②动点在抛物线上，当时，的最小值为2，求 h的值； ③我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．连接，与线段只有一个交点 F，且与上的整点个数比为，直接写出h的取值范围． 【答案】(1)，点M的坐标为 (2)①；②h的值为6或；③ 【分析】本题考查二次函数的性质，平移以及整点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键， （1）根据题意将点代入求出的值即可得到函数解析式，再将函数解析式化成顶点式即可得到M的坐标； （2）①要使平移路程最短，即顶点到轴的垂直距离最短，根据抛物线顶点坐标求出平移后的顶点坐标，进而得到的解析式；②根据抛物线的对称轴和开口方向，分情况讨论动点在不同区间时的最小值，从而求出的值；③先求出线段的表达式，得到整点个数，再根据与上的整点个数比为，得到点的横坐标，结合图象求出的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入中， 解得：，； ∴的解析式为：， ∴点M的坐标为：； （2）解：①当抛物线向上平移1个长度单位时，平移路程最短，此时抛物线的顶点坐标为：， ∴的解析式为：； ②由题意可知的解析式为：， 当，时，随的增大而增大， ∴当时，取最小值2，即， 解得：（舍），； 当，时，当时，的最小值为0，不符合题意； 当，时，随的增大而减小， ∴当时，取最小值2，即， 解得：（舍），； 综上所述，h的值为6或； ③设直线解析式为，将，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， ∵， ∴线段AB上的整点为：，，，，，，， ∵与上的整点个数比为5 ∶ 2， ∴上有5个整点，上有2个整点， ∴与线段的交点的横坐标在范围内有交点， 将代入中， 解得：，； 将代入中， 解得：， ． 当时，图象如下图所示，符合与线段只有一个交点； 当时，图象如下图所示，不符合与线段只有一个交点，故舍去． ∴h的取值范围是． 4．如图①，平面直角坐标系中，抛物线 与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； (2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； (3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不变，这个四边形的面积为16 【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为： 直线， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； （2）解：∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组 整理得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为； （3）解：如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴． 综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用参数构建方程是解题的关键． 【考点39 二次函数中的存在性问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 3．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，已知抛物线经过点、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，的面积最大为． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后用m表示出点M和点N，然后用点N的纵坐标减去点M的纵坐标即可解答； （3）根据的面积等于，据此列出二次函数解析式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式：，即． （2）解：设直线的解析式为：， 把、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， 即. （3）解：存在， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∵， 当时，有最大值为， 所以当时，的面积最大为． 4．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)点纵坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，则，当时，，求出；当时，，求出；当，时，，求出． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ， （2）解：当时，， ， 设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ∴设直线的解析式为， 解得， ∴直线的解析式为， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ． （3）解：设直线的解析式为， 当时， 解得：或， ， ， 当时，， 解得：或（舍）， ； 当时，， 解得或（舍）， ； 当时，， ， 解得：或（舍）， ， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 【考点40 由点与圆的位置关系求最值】 1．（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查了圆的性质，三角形面积的计算，以及三角函数等知识，作辅助圆是解决问题的关键． （1）根据点与圆上点的最值问题解答即可； （2）根据题意可得总费用，连接，求出，再作于点E，于点G，作于H，求出，即可得到当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小，求出解题即可． 【详解】（1）当点C在与的交点时，点C到的距离最小，则的面积最小． ，的半径为2， ， ， 面积的最小值， 故答案为：6； （2）由题意得：， ， 总费用 ， 连接 ，， ， ， ， ， 作于点E，于点G， ， 作于H， 又， ， 当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小， 边上的高， ， ， 总费用（元）， 答：总费用的最小值为元． 2．在中，，，．如图（1），将绕A点旋转得到．连接、． (1)当点D落在延长线时，______． (2)在旋转过程中，当A、C、D三点共线时，求的长． (3)如图（2），点F为的中点，直线与直线相交于点G．在旋转过程中，求写出线段的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意得到，由旋转的性质得到，然后利用等腰三角形三线合一性质求解即可； （2）根据题意分点C在线段上和点A在线段上两种情况讨论，分别利用勾股定理求解即可； （3）过点B作交于点H，根据题意证明出，得到，然后得到，然后得到点D在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，然后根据圆上一点到圆外一点距离的最值分别求出的最大值和最小值，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，当点D落在延长线时， ∴ ∵将绕A点旋转得到 ∴ ∴； （2）如图所示，当点C在线段上时，连接， ∵，， ∴ 由旋转可得， ∴ ∵ ∴； 如图所示，当点A在线段上时，连接， ∴ ∵ ∴； 综上所述，的长为或； （3）如图所示，过点B作交于点H ∴ ∵ ∴ ∵由旋转可得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵由旋转可得， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵点F是的中点 ∴是的中位线 ∴ 由旋转可得，点D在以点A为圆心，长为半径的圆上运动 ∴如图所示，当点A，C，D三点共线，且点C在线段上时，的长度最小 ∴此时， ∴； 如图所示，当点A，C，D三点共线，且点A在线段上时，的长度最大， ∴此时 ∴ ∴综上所述，线段的取值范围为． 【点睛】此题考查了三角形旋转综合题，旋转的性质，勾股定理，圆的性质，全等三角形的性质和判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 3．如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的最小值； (3)若与垂直，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，即可得证； （2）根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上，进而勾股定理求得的长，当在线段上时，取得最小值，即可求解； （3）根据题意作出图形，延长交于点，得出，，勾股定理求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和均为边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是的中点， ∴， ∵点关于的对称点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 连接，如图所示， ∵是的中点，是等边三角形 ∴， ∴， 当在线段上时，取得最小值， ∴的最小值为 （3）解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴，， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的距离，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，菱形的判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．点为平面直角坐标系中一点，点为图形上一点，我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“包容度”．如图，半径为2，与轴，轴分别交于点，，点． (1)在点视角下，的“包容度”为_________，线段的“包容度”为_________； (2)点为轴上一点，若在点视角下，线段的“包容度”为2，写出的取值范围； 【答案】(1)4，2 (2)m的取值范围为或 【分析】（1）连接，连接并延长交于点，利用图形的“包容度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论； （2）分三种情况讨论解答：当点在线段（不含端点）上时，不合题意；当点在点B的右侧时，求出的范围即可得到结论；当点在点A的左侧时，利用勾股定理求得的大小，从而得到点的坐标，结论可得． 【详解】（1）解：连接，连接并延长，交于点，如图， 则为点P到的长度的最大值与最小值， ∴在点P视角下，的“包容度”为； ∵半径为2，与x轴分别交于点， ∴， ∵点P坐标为， ∴． ∴． ∴点P到线段AB的最大长度为5，最小值为3， ∴在点P视角下，线段的“包容度”为； 故答案为：4，2； （2）由（1）知：， 当点在线段（不含端点）上时， ∵， ∴，不合题意； 当点在点B的右侧时， ∵， ∴点P到的最小距离为3． 当时，， ∴，不合题意； ∴； 当点在点A的左侧时， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴， 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了点和圆的位置关系，勾股定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，本题是新定义型题目，连接并熟练运用新定义是解题的关键． 【考点41 动点的运动轨迹长度计算】 1．（2025·河南周口·模拟预测）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，，将三角形绕点逆时针方向旋转（）角，观察图形的变化，并完成探究活动活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点． （1）问题1：和的数量关系是______，位置关系是______． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． （2）问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，，求证：． 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先证，得到，，再根据和内角和推导，证即可得出结论； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证； （3）由（2）知点，则点G的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧上，再根据α的变化求圆心角即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是含有的直角三角尺， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 故答案为：，； （2）证明：是直角三角形，是的中点， ， 由（1）知， 是直角三角形， ， ； （3）解：由（2）知，， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧， 连接，， 旋转角从变化到， 此时点的运动路线就是， 取中点，连接， ，，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 的长度为， 即点经过路线的长度为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、弧长公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025·广东广州·一模）如图，边长为的正方形内部有一点，点在边的上方，，，连接、、． (1)求证：； (2)延长交所在直线于点； ①若，时，求的面积； ②若，当从到的变化过程中，求点经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用四边形是正方形，得出，，再证明，即可证明； （2）①设交于点，交于点，先证明证明，再证明和是等腰直角三角形，求出，，求出，再证明，得出，结合，即可求解； ②连接，取的中点，连接、．先证明，得出在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，求出、，利用，判定，则可求出，当旋转角从变化到时，在上运动，求出，利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ∵， ∴， ， 在和中，， ； （2）解：①如图，设交于点，交于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ， ∴， 又， ； ②如图，连接，取的中点，连接、． 四边形是正方形， ， 点是的中点， ，， 同①可知， 点是的中点， ， ∴在以为圆心，为半径的上， 如图，过作于， 当时， ， ， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， 当旋转角从变化到时，在上运动， ，，， ， ∴点经过路线的长度为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 3．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知正方形的四个顶点在上 (1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： (2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 【答案】(1)见解析 (2)或，理由见解析 (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质和圆周角定理，利用证明两三角形全等即可； （2）当点E在弧上时，过点作于点，证明，即可得到四边形是正方形，然后根据线段的和差解答；当点E在弧上时，在上取点，使，连接，根据全等三角形的对应边相等得到，，，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论； （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，可以得到，即可得到点N在以为直径的圆F上，然后根据弧长公式计算解答即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，， 与都对应弧， ， 在和中， ； （2）解：满足或，理由如下： 如图，当点在弧上,过点作于点， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即； 当点在弧上时，在上取点，使，连接， 由（1）， ，，， 在正方形中，， ， ， ， 是等腰直角三角形三角形， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴点N在以为直径的圆F上， ∵最大为， ∴最大为，即最大圆心角为， ∴点N的运动路径为． 4．（2025·河北唐山·二模）如图1是某种笔记本电脑支架，如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节及的度数来控制托盘的高度，笔记本机身和屏幕分别用线段表示．已知，，，不计材料厚度． (1)若，． ①为使屏幕与桌面保持垂直，________________°； ②在①的条件下，求此时点H到桌面的距离； (2)从（1）的条件开始，保持，并逐渐增大的度数，直到托盘与平行时停止，求出点G移动的路径长．【（1）②、（2）的结果保留根号或】 【答案】(1)①120，② (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）①延长交于点，利用四边形内角和求解即可；②过点作，，则四边形是矩形，利用锐角三角函数分别求出，，进而得出，即可求解 （2）连接，由（1）得，在中，求出，当时，，即可得到的度数从增大到，绕点C顺时针旋转了，利用弧长公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，延长交于点， ， ， ， ，， ， ； ②如图，过点作，， 则四边形是矩形， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， ， 即点到桌面的最大距离为； （2）解：连接，由（1）得， ∴在中，， 当时，， ∴的度数从增大到，绕点C顺时针旋转了， ∴点G移动的路径长为． 【考点42 动态图形的扫过的面积的计算】 1．如图1，一扇门，宽度，A到墙角的距离，设，A，在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡，边靠在墙的位置． (1)求的度数； (2)打开门后，门角上的点在地面扫过的痕迹为弧，设弧与两墙角线围成区域（如图的面积为，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，解题的关键是理解门打开过程中相关线段和角度的变化关系． （1）通过分析门打开前后的线段关系，利用三角函数求出的度数． （2）先确定扇形的半径和圆心角，再根据扇形面积公式和三角形面积公式求出围成区域的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解： 2．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)将绕着原点顺时针旋转得到，请画出，并写出点的坐标；并求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析， (2)见解析，点的坐标为； 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作，点的坐标 （2）解：如图，即为所作， 点的坐标为； ∵ ∴线段在旋转过程中扫过的面积 3．（2025·河南·模拟预测）如图1，直线分别交坐标轴于，两点，的中线交轴于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转到的位置，求线段所扫过的图形的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、三角形中线的性质以及旋转图形面积的计算，解题的关键是利用坐标轴交点和中线性质确定点坐标来求直线方程，通过旋转性质将线段扫过面积转化为扇形面积差计算． （1）先求直线与坐标轴交点得到、坐标，又根据是的中线，得到点的坐标为．设直线的解析式为，再用待定系数法求直线解析式； （2）设以点为圆心，长为半径的圆，分别交，于点，，由旋转性质知，得到扇形与扇形为全等图形，线段所扫过的图形面积即为与弧所围成的圆环的面积，通过计算得结果． 【详解】（1）解： 与轴交于点A，与轴交于点， 点A的坐标为，． 将代入，得，解得． 点的坐标为． 又是的中线， ，点的坐标为． 设直线的解析式为， 将点的坐标为代入上式，得，解得． 直线的解析式为； （2）解：如图，设以点为圆心，长为半径的圆，分别交，于点，， 由旋转的性质，可知， 扇形与扇形为全等图形． 线段所扫过的图形面积即为与弧所围成的圆环的面积． ，， ， 线段所扫过的图形面积为． 【考点43 利用相似求坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 2．如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 【答案】(1)5;(2) A（﹣5，0），B（﹣1，2）. 【分析】（1）根据勾股定理求出AO即可； （2）由AO，即可得出A的坐标；证△BDO∽△ABO，得出比例式，代入求出OD、BD，即可得出B的坐标． 【详解】解：（1）在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OB＝，AB＝2， 由勾股定理得：OA＝＝5， （2）∵OA＝5， ∴A的坐标是（﹣5，0）， ∵BD⊥OA， ∴∠BDO＝∠ABO＝90°， ∵∠BOD＝∠BOD， ∴△BDO∽△ABO， ∴， ∴ ， 解得：OD＝1，BD＝2， 即B的坐标是（﹣1，2）， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似，线段长度与坐标，掌握勾股定理与相似的判定是解题的关键. 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使与相似，且以为直角边，若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或或或或或 【分析】本题考查了解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质． （1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出，的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标； （2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （3）先求出，，再根据以为直角边，得到或，最后根据与相似得到比例式计算即可，注意分类讨论． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴，， ∴，； （2）解：将代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点E为线段的中点，，B的横坐标为0， ∴点E的横坐标为， ∵点E为直线上一点， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵以为直角边， ∴或， ①当时，点在轴上，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； ②当时，，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； 综上所述，存在点M，使与相似，且以为直角边，点M的坐标为或或或或或或或． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【答案】(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． 【考点44 相似三角形-动点问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 【答案】能，或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，点D、E、F为顶点的三角形能与相似． 3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ，． （2）解：①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）解：的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 4．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 【考点45 相似三角形-最值问题】 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是转化思想的运用． （1）①根据矩形的性质证明即可；②连接，由勾股定理求得，由于，则当点共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，证明，则，故，则当点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，证明，则，由于，则当点三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点共线时，取得最小值为； （2）解：延长至点，使得，连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：延长至点，使得，连接，    ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， ∵在矩形中，， ∴， ∴的最小值为． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，点为上一定点，；点分别是线段，直线上的动点，求四边形周长的最小值，并求此时的长． 【答案】最小值为12， 【分析】本题考查利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质．正确作出图形是解题的关键． 作点D关于的对称点，点A关于的对称点，连接，分别交、于E、F，连接交于G，此时，四边形周长，四边形周长最小值，利用勾股定理求出的长即可；再证明，得，从而求得，即可求出的长． 【详解】解：作点D关于的对称点，点A关于的对称点，连接，分别交、于E、F，连接交于G，如图， 则，，，，， ∴，则最小值为 ， ∵， ∴四边形周长， ∴四边形周长最小值， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）如图①，已知和为等腰直角三角形，，则与线段的数量关系为 ___________ ， 与线段的位置关系为 ___________ ． （2）如图②，，，试探究线段与线段的数量关系及位置关系，并加以证明． （3）如图③，，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】（1）证明则，，再结合三角形内角和定理可得； （2）证明，则、，证明，则、， 由，可得，即； （3）如图，过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则、，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，； 如图：设相交于F，、相交于G， ∵，， ∴，即． 故答案为：，． （2）解：，，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图，过点C作，在上取点E使，连接， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为16， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识等知识点．熟练运用相关知识是解题的关键． 4．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知，如图，在平行四边形中，，，，M是边上一点，将沿直线对折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，延长与交于点E，当时，求的面积； (3)当射线交线段于点F时，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠可知：，由平分，得到，进一步有．由四边形是矩形，得到，由得到的长； （2）由四边形是矩形，得到．由折叠可知：，得到，故．设，则．在中，由，得到．故，由，即可得到结论； （3）如图2，过点A作于点H，则，故，由，，故当点N、H重合（即）时，最大，此时M、F重合，B、N、M三点共线，（如图3），而，故可求出的最大值． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ∴， ∵平分， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ； （2）解：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， 设，则． 在中，， ∴， 解得：， ， ， ∴． （3）解：如图2，过点A作于点H， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴， ，， ∴当点N、H重合（即）时，最大，最小，最小，最大，此时M、F重合，B、N、M三点共线，（如图3）， 由折叠性质得：， ， ， 在和中， ， ， ∴， 的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，合理构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【考点46 相似三角形-综合与实践】 1．（2025·江苏扬州·二模）综合与探究：如图，四边形为正方形，M为线段上一动点，且，连接． (1)如图1，若，将正方形沿折叠，使得点A的对应点落在正方形内． ① ；（用含字母a的代数式表示） ②当M为中点时，如图2，连接并延长交于D，求证：． (2)如图3，作，交射线于点N，猜想并证明的数量关系． (3)当点M在射线上时，作交射线于点N，射线与射线相交于点E，若，请直接写出的值． 【答案】(1)①，见解析 (2)，证明见解析 (3)3 【分析】（1）①利用折叠性质直接求解即可； ②连接，先证明，得到， 再在中，利用勾股定理求解即可； （2）证明得到，由可得结论； （3）点M在线段上，作于点Q，可得，由，，得到，则，故3，则3；当点M在线段的延长线上，过E作交延长线于R，先证明，是等腰直角三角形，，，再证明得到，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 由折叠性质得； 故答案为：； ②证明：如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质得，，， ∴，又， ∴， ∴， 设， ∵M为中点，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 解得，则， ∴； （2）解：． 证明： ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，点M在线段上，作于点Q，则， ∵正方形 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴3， ∴3； 当点M在线段的延长线上，过E作交延长线于R， 则，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、折叠性质等知识，熟练运用全等三角形的性质和相似三角形的性质是解答的关键． 2．（2025·河南新乡·二模）综合与实践 如图1，和都是等腰直角三角形（），，连接，取 的中点 F，连接． (1)如图1，当点D，E分别在边上时，线段和的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)将绕点A 旋转，在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2 中的情况给予证明；否则，请说明理由． (3)在（2）的条件下，当点 D 落在直线上时，若直线与直线相交于点 P，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)结论成立，见解析 (3)或 【分析】（1）根据直角三角形斜边的性质解答即可； （2）分别延长至点G，至点H，使，，可得垂直平分，垂直平分，从而得到，再证明，，，然后根据三角形中位线定理可得，，从而得到，，，即可解答； （3）根据题意可得，设，然后分两种情况讨论，结合勾股定理以及相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解∶∵，点 F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即； 故答案为：， （2）解：如图，分别延长至点G，至点H，使，， ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点 F是的中点， ∴分别为的中位线， ∴，， ∴，，， ∴， 即； （3）解：由（2）得，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 设， 如图，此时， 在中，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，此时， 在中，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或 ． 【点睛】本题主要查了直角三角形斜边的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握直角三角形斜边的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）综合与实践 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且于点P． (1)求证：． (2)如图2，取的中点G，连接，过点P作，交于点H，连接． ①求证：． ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）①由，得，再证明即可推出结论；②先得出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ， ， ， ， ． （2）解：①证明：，， ，即，． ，， ， ； ②，， ， ． 四边形是正方形， ， ． 是的中点， ． ， ， ， ． 在中，． 4．（2025·河南开封·一模）综合与实践在中，． 问题发现 （1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________． 类比探究 （2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由． 迁移应用 （3）如图3，将绕点旋转一定的角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】（1），（2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致，理由见解析（3） 【分析】（1）根据旋转性质得根据勾股定理列式解得故；运用三角形内角和性质，得出，即，即可作答． （2）根据旋转性质得，根据两边成比例，夹角相等得，即，，得，则，即进行作答即可． （3）如图，过点作于点，根据勾股定理得，再证明，得，因为所以，得．即可作答． 【详解】（1）∵将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，， ∴ ∴， ∴ ∴与之间的数量关系是， 延长交于一点， ∵，， ∴， 即， ∴与的位置关系是， 故答案为：，； （2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致， 理由如下： 如图，延长交于点， 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到， ， ， ， ， ，． （3）如图，过点作于点， ， ， ， 又 ， ， ， 由（2）可知． 【点睛】本题考查了旋转性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习5大类型46个考点（前4章） 【浙教版】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 二次函数的定义】 2 【考点2 二次函数的图象与性质】 2 【考点3 二次函数的图象与性质】 3 【考点4 二次函数的图象与性质】 4 【考点5 二次函数的图象与性质】 5 【考点6 二次函数的图象与的性质】 5 【考点7 二次函数图象与系数的关系】 6 【考点8 二次函数图象与几何变换】 8 【考点9 二次函数与一元二次方程】 8 【考点10 简单事件的概率】 9 【考点11 圆的相关概念】 10 【考点12 垂径定理】 11 【考点13 圆心角、弧、弦的关系】 12 【考点14 三角形的外接圆与外心】 13 【考点15 圆周角定理】 14 【考点16 圆内接四边形】 15 【考点17 正多边】 17 【考点18 弧长】 17 【考点19 扇形的面积】 18 【考点20 圆锥的侧面积】 20 【考点21 成比例线段】 20 【考点22 平行线分线段成比例】 21 【考点23 相似三角形的判定】 22 【考点24 相似三角形的性质】 23 【考点25 根据位似变换求值】 24 【实际应用篇】 25 【考点26 二次函数的应用】 25 【考点27 相似三角形的应用】 27 【作图篇】 29 【考点28 作位似图形】 29 【考点29 在网格中作相似三角形】 31 【几何计算与证明篇】 33 【考点30 利用圆中的相关性质求角度】 33 【考点31 利用圆中的相关性质求线段长度】 34 【考点32 利用圆中的相关性质进行证明】 35 【考点33 求圆中的弧长或扇形面积】 35 【考点34 利用平行线分线段成比例求线段长度】 36 【考点35 证明相似三角形】 37 【考点36 利用相似三角形的判定和性质求值】 38 【考点37 利用相似三角形的判定和性质证明】 40 【压轴篇】 41 【考点38 利用二次函数的性质求最值】 41 【考点39 二次函数中的存在性问题】 43 【考点40 由点与圆的位置关系求最值】 44 【考点41 动点的运动轨迹长度计算】 46 【考点42 动态图形的扫过的面积的计算】 48 【考点43 利用相似求坐标】 49 【考点44 相似三角形-动点问题】 50 【考点45 相似三角形-最值问题】 52 【考点46 相似三角形-综合与实践】 53 【基础概念易错篇】 【考点1 二次函数的定义】 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有 ． 2．已知函数是二次函数，则 ． 3．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 4．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【考点2 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象开口向上，则实数a可以为 ． 4．对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【考点3 二次函数的图象与性质】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． 【考点4 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ． 4．（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 【考点5 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，则下列大小比较正确的是（） A． B． C． D． 2．当时，二次函数有最大值，则实数的值为(    ) A． B．或 C．或 D．或或 3．若二次函数的图像在这一段位于轴的上方，在这一段位于轴的下方，则值为 ． 4．如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．    （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ． （2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 ． 【考点6 二次函数的图象与的性质】 1．（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知点和都在这个二次函数的图象上，则 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，为常数）． （1）当时，该函数图象的对称轴为直线 ； （2）当时，的最大值为；当时，的最大值为，则 ． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则 ． 【考点7 二次函数图象与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 ． ①图象与轴的交点为，；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数的最小值为； ；若，则；若，则；⑤一元二次方程的两个根为和 ．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是 ． 【考点8 二次函数图象与几何变换】 1．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如果二次函数平移后的顶点恰好落在直线上，求平移后的图像与y轴交点的纵坐标的最小值为 ． 2．将抛物线向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，则所得抛物线的解析式 ． 3．如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．其中正确的为（    ） ①； ②当时，代数式的最小值为3； ③对于任意实数，不等式一定成立； ④，为该二次函数图象上任意两点，且，当时，一定有． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点9 二次函数与一元二次方程】 1．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）设一元二次方程的两实根分别为，，且，则，满足（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ）                                         A． B． C． D． 【考点10 简单事件的概率】 1．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 2．（2025·北京·模拟预测）不透明袋子中仅有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的概率是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 ． 4．（2023·甘肃兰州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850 盖面朝上频率 下面有三个推断： ①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的； ②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53． 其中正确的是 ．（填序号） 5．（2022·山西太原·一模）在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级 （填“公平”或“不公平”）． 【考点11 圆的相关概念】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26九年级上·陕西·期中）已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·模拟预测）如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【考点12 垂径定理】 1．如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（2024·西藏拉萨·一模）如图，点A、C、B、D分别是上四点， ，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 4．（2025·重庆·二模）如图，内接于半径为的，于点，延长交于点，为的中点，连接交于点，若，，，则 ， ． 【考点13 圆心角、弧、弦的关系】 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是 ． 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·天津河西·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为弧的中点，点在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点．若，，则的长为 ． 【考点14 三角形的外接圆与外心】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为（    ） A． B． C．13 D．14 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 【考点15 圆周角定理】 1．（24-25九年级下·广东·期中）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 3．（2025·重庆永川·模拟预测）如图，是圆O的内接三角形，是直径，与的平分线交于点P，与圆O交于点D，的延长线与圆O交于点F，连接， 则 的长为 ；的长为 ． 4．如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且，连接．点M为弧AP上一点（不与A，P重合），过P作于D点．    （1）的形状为 ； （2）若，，则 ． 【考点16 圆内接四边形】 1．如图，，是的两条弦，且，点，分别在弧，弧上，若，则的度数为 ． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 3．如图，线段为的直径， ．若，与的延长线交于F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南商丘·二模）如图，内接于，为的直径，点为上的点，且，则的值为 ． 【考点17 正多边】 1．（24-25九年级下·福建·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 2．（2025·山西长治·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【考点18 弧长】 1．如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南郑州·二模）中国古代人信奉天圆地方，圆被赋予了吉祥、丰收的意义，圆形门又叫圆月门，如十五满月一样给人柔和愉悦的感觉．小妹测量一个圆月门（如图），她测得门下矩形的边高为米，的长为米，小妹测得圆月门最宽的地方（圆的直径）为米，由于年代久远，上面的砖容易脱落，小妹想做一个等大的木质模具（不包含），固定支撑圆月门．圆月门的其他部分已测量，只有弧的长度未知，根据所测量的数据，计算出优弧的长为 米． 4．（2025·甘肃定西·三模）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是弧上两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是 ． 【考点19 扇形的面积】 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ． 2．（2025·广东深圳·三模）如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，分别交于点D，E，连接，若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【考点20 圆锥的侧面积】 1．（2025·四川绵阳·二模）小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗如图所示，若漏斗的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则扇形卡纸的面积至少是（    ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 2．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25九年级上·四川德阳·期末）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则此圆锥的高为 ． 4．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【考点21 成比例线段】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，那么（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 3．（25-26九年级上·广东·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点E是平行四边形边上一点，、延长线交于点F，下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【考点22 平行线分线段成比例】 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 4．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【考点23 相似三角形的判定】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，若和的面积之比为，则与的对应角的角平分线之比为（   ） A． B． C． D． 3．（2020·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【考点24 相似三角形的性质】 1．如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则          3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，延长交于，且，则的长 ． 4．（2025·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 【考点25 根据位似变换求值】 1．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 2．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，点是四边形对角线、的交点，与互补，，，，，则的长为 ． 3．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 4．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴负半轴和轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 【实际应用篇】 【考点26 二次函数的应用】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点，点）以及点，点落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分与第2根栏杆未涂色部分长度相等，则求的长度． 2．（24-25九年级上·内蒙古·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这20天中第几天销售利润为18000元； (3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 【考点27 相似三角形的应用】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）魏晋南北朝时期，中国数学在测量学方面取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．求山高． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 4．（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【作图篇】 【考点28 作位似图形】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． (1)请画出； (2)与的周长之比为______； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． (1)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (2)与的相似比是______． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画出一个以点C为位似中心，且与位似的（位似比不为1）； (2)在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【考点29 在网格中作相似三角形】 1．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 2．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 3．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的点A、B、C在格点上，格点D、E分别在边上．按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画线段的垂直平分线，分别交于点F、G． (2)在图②中过点B作交于点M． (3)在图③中，连结，过点C作交于点N． 【几何计算与证明篇】 【考点30 利用圆中的相关性质求角度】 1．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 2．（24-25九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，，E是上一点，延长交于点D． (1)如图①，当点E是弦的中点时，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 4．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 【考点31 利用圆中的相关性质求线段长度】 1．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长． 2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【考点32 利用圆中的相关性质进行证明】 1．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 2．如图，在中，弦弦于E，弦弦 于F点，与相交于M点． (1)求证：； (2)如果，求的半径． 【考点33 求圆中的弧长或扇形面积】 1．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，已知弦，相交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以为直径的与交于点． (1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 【考点34 利用平行线分线段成比例求线段长度】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 2．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点D是边上的一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，．求的长． 3．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 【考点35 证明相似三角形】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，于点，连接，过点作交于点．求证：． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 4．如图，四边形中，平分，，E为的中点． (1)求证：； (2)连接交于点F，求证：． 【考点36 利用相似三角形的判定和性质求值】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点O，过点O作，分别交边、于点E、F． (1)求线段的长； (2)如果的面积等于4，求梯形的面积． 3．（25-26九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： (1)的长度； (2)三角形与三角形的面积之比． 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)求的值； (2)求的值为______． 【考点37 利用相似三角形的判定和性质证明】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图1，点D、E分别为的边上的两点，，将绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、（如图2）． 求证：． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，E是平行四边形的边的延长线上的一点，连接，交于点O，交于点F，求证：． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，，，是三个相连的正方形，连接，，．求证：． 4．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)当点E为中点时，求证：． 【压轴篇】 【考点38 利用二次函数的性质求最值】 1．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 2．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，有点A、B在函数的图像上， (1)若，，①写出抛物线的对称轴为_____，②直接写出与的大小关系_____； (2)现有一动点P从点A出发，沿x轴方向水平运动到与y轴平行且经过点B的直线L上，再沿着直线L运动到点B，点P运动的总路径为d．当所在直线经过第二、四象限时， ①求a的取值范围； ②求d关于a的函数关系式． (3)关于x的二次函数：，若在（1）的条件下，当时，存在，求t的最小值． 3．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，M是的顶点． (1)求a，b的值及点 M 的坐标； (2)将抛物线 平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线的对称轴为直线． ①当 平移路程最短时，直接写出的解析式； ②动点在抛物线上，当时，的最小值为2，求 h的值； ③我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．连接，与线段只有一个交点 F，且与上的整点个数比为，直接写出h的取值范围． 4．如图①，平面直角坐标系中，抛物线 与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； (2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； (3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 【考点39 二次函数中的存在性问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 3．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，已知抛物线经过点、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 4．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【考点40 由点与圆的位置关系求最值】 1．（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 2．在中，，，．如图（1），将绕A点旋转得到．连接、． (1)当点D落在延长线时，______． (2)在旋转过程中，当A、C、D三点共线时，求的长． (3)如图（2），点F为的中点，直线与直线相交于点G．在旋转过程中，求写出线段的取值范围． 3．如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的最小值； (3)若与垂直，求的长． 4．点为平面直角坐标系中一点，点为图形上一点，我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“包容度”．如图，半径为2，与轴，轴分别交于点，，点． (1)在点视角下，的“包容度”为_________，线段的“包容度”为_________； (2)点为轴上一点，若在点视角下，线段的“包容度”为2，写出的取值范围； 【考点41 动点的运动轨迹长度计算】 1．（2025·河南周口·模拟预测）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，，将三角形绕点逆时针方向旋转（）角，观察图形的变化，并完成探究活动活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点． （1）问题1：和的数量关系是______，位置关系是______． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． （2）问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，，求证：． 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 2．（2025·广东广州·一模）如图，边长为的正方形内部有一点，点在边的上方，，，连接、、． (1)求证：； (2)延长交所在直线于点； ①若，时，求的面积； ②若，当从到的变化过程中，求点经过的路径长． 3．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知正方形的四个顶点在上 (1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： (2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 4．（2025·河北唐山·二模）如图1是某种笔记本电脑支架，如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节及的度数来控制托盘的高度，笔记本机身和屏幕分别用线段表示．已知，，，不计材料厚度． (1)若，． ①为使屏幕与桌面保持垂直，________________°； ②在①的条件下，求此时点H到桌面的距离； (2)从（1）的条件开始，保持，并逐渐增大的度数，直到托盘与平行时停止，求出点G移动的路径长．【（1）②、（2）的结果保留根号或】 【考点42 动态图形的扫过的面积的计算】 1．如图1，一扇门，宽度，A到墙角的距离，设，A，在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡，边靠在墙的位置． (1)求的度数； (2)打开门后，门角上的点在地面扫过的痕迹为弧，设弧与两墙角线围成区域（如图的面积为，求的值 2．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)将绕着原点顺时针旋转得到，请画出，并写出点的坐标；并求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 3．（2025·河南·模拟预测）如图1，直线分别交坐标轴于，两点，的中线交轴于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转到的位置，求线段所扫过的图形的面积． 【考点43 利用相似求坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 2．如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使与相似，且以为直角边，若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【考点44 相似三角形-动点问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【考点45 相似三角形-最值问题】 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，点为上一定点，；点分别是线段，直线上的动点，求四边形周长的最小值，并求此时的长． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）如图①，已知和为等腰直角三角形，，则与线段的数量关系为 ___________ ， 与线段的位置关系为 ___________ ． （2）如图②，，，试探究线段与线段的数量关系及位置关系，并加以证明． （3）如图③，，则的最大值为___________． 4．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知，如图，在平行四边形中，，，，M是边上一点，将沿直线对折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，延长与交于点E，当时，求的面积； (3)当射线交线段于点F时，求的最大值． 【考点46 相似三角形-综合与实践】 1．（2025·江苏扬州·二模）综合与探究：如图，四边形为正方形，M为线段上一动点，且，连接． (1)如图1，若，将正方形沿折叠，使得点A的对应点落在正方形内． ① ；（用含字母a的代数式表示） ②当M为中点时，如图2，连接并延长交于D，求证：． (2)如图3，作，交射线于点N，猜想并证明的数量关系． (3)当点M在射线上时，作交射线于点N，射线与射线相交于点E，若，请直接写出的值． 2．（2025·河南新乡·二模）综合与实践 如图1，和都是等腰直角三角形（），，连接，取 的中点 F，连接． (1)如图1，当点D，E分别在边上时，线段和的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)将绕点A 旋转，在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2 中的情况给予证明；否则，请说明理由． (3)在（2）的条件下，当点 D 落在直线上时，若直线与直线相交于点 P，，请直接写出的值． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）综合与实践 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且于点P． (1)求证：． (2)如图2，取的中点G，连接，过点P作，交于点H，连接． ①求证：． ②若，，求的长． 4．（2025·河南开封·一模）综合与实践在中，． 问题发现 （1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________． 类比探究 （2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由． 迁移应用 （3）如图3，将绕点旋转一定的角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $