第1章 二次函数基础过关测试卷-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

第1章 二次函数基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数中二次项系数的正负决定图象开口方向是解题的关键． 根据二次函数解析式得到二次项系数，由此即可求解． 【详解】解：二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上， 故选：C ． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 3．已知二次函数，当时，函数值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将代入二次函数解析式，即可求出函数值． 【详解】解：当时，， 故选：C． 4．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入抛物线的方程中求出y的值即可． 本题考查二次函数图象点的坐标特征，解题的关键将代入抛物线中，本题属于基础题型． 【详解】解：将代入， ∴， ∴抛物线与y轴的交点为， 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答． 本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向． 【详解】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误． 故选：A． 6．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 7．二次函数的图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性即可得到函数图象的对称轴． 【详解】解： ， 令，则或， 函数图象与x轴的交点坐标为，， 函数图象的对称轴为直线， 故选：D． 8．一同学掷铅球，时间（秒）与高度（米）之间的关系为．若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等，则铅球位于最高处的时刻是（    ） A．第7秒 B．第8秒 C．第10.5秒 D．第21秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．本题先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出跑弹所在高度最高时的值． 【详解】解：∵此在第7秒与第14秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴铅球位于最高处的时刻是第秒， 故选：C． 9．如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．直接从图上可以分析：时，图象在轴的下方，共有2部分：一是的左边轴的下方 部分，即时图象；二是的右边轴的下方部分，即时函数图象． 【详解】解：观察图象可知，抛物线与轴两交点为，， ，图象在轴的下方，所以答案是或． 故选：B． 10．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（  ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图像与性质，解决问题的关键是数形结合．根据图象判断出两个函数的系数的符号，即可求解． 【详解】解：A、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项正确； B、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； C、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； D、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； 故选：A． 11．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，用m表示出二次函数的对称轴，然后根据题意列出m的一元一次方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴， ∵当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴． 故选：C． 12．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．作抛物线关于x轴的对称图形，得到一个新抛物线，其解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线的图像与性质，轴对称变换，解题的关键是找到对称轴，并熟知关于轴对称的点的坐标特征． 若抛物线关于轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【详解】解：抛物线关于轴作轴对称变换，则所得抛物线为，即． 故答案为：． 14．如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据图示，由交点横坐标即可求解． 【详解】解：根据题意，关于的方程的解为， 故答案为： ． 15．若点在抛物线上，则 （填“>”，“=”或“＜”） 【答案】 【分析】本题考查了本题考查了二次函数的增减性，根据题意确定对称轴直线和开口方向即可求解． 【详解】解：由题意得：抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故答案为： 16．抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)二次函数图象与轴的交点坐标为 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键． （1）把点代入计算即可求解； （2）二次函数，令，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点， ∴将代入， ∴； （2）解：二次函数，令，则有， 解得， 故二次函数图象与x轴的交点坐标为． 18．（8分）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)，，， (2)77 (3)或 【分析】（1）形如的函数称为二次函数，根据此定义即可判断； （2）把代入解析式进行计算即可得解； （3）当代入解析式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：二次函数化为一般形式， 其中，，； （2）解：当时，； （3）解：当时，即， 解得或． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义以及求函数值，关键是要牢记二次函数的定义． 19．（8分）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】(1)4s； (2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． （2）解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．（8分）某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)18元 (2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键． 21．（8分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为9米．设花圃的宽为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）求花圃面积的最大值． 【答案】（1）与的函数关系式为，自变量的取值范围为；（2）花圃面积的最大值为45平方米． 【分析】（1）先根据篱笆的长求出BC的长，再根据长方形的面积公式即可得；根据“墙的最大可用长度为9米”列出不等式，即可求出x的取值范围； （2）根据（1）的结论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得：米，且 即 解得 故与的函数关系式为，自变量的取值范围为； （2）由（1）知， 由二次函数的性质可知，当时，S随x的增大而减小 则当时，S取最大值，最大值为（平方米） 故花圃面积的最大值为45平方米． 【点睛】本题考查了根据实际问题求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，依据题意，正确求出函数的解析式和自变量x的取值范围是解题关键． 22．（10分）已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． (1)求二次函数的表达式． (2)判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． (3)若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)在，理由见详解 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出二次函数的图象与直线交于点，再代入，进行计算，即可作答． （2）先求出二次函数的顶点坐标，再把代入，得，即可作答． （3）结合二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． ∴令，则， 解得， 即把代入， 得， 解得； ∴； （2）解：在，理由如下： ∵二次函数， ∴令，则， ∴ ∴对称轴是直线， 把代入， 顶点坐标为， 把代入， 得， ∴二次函数图象的顶点在直线上， （3）解：由（2）得二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上， ∴当时，则． 23．（10分）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） (2)若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？ 【答案】(1) (2)野兔不能成功越过木桩，野兔至少需要再向前走开始起跳才可成功越过木桩 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先求出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时，的值，再根据比较大小，得到野兔不能成功越过木桩，然后设起跳点向前移动米，新抛物线为：，要求当时，即可求解； 【详解】（1）解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，即为， ∴可设该抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， ∵， ∴野兔不能成功越过木桩， 设起跳点向前移动米，新抛物线为：， 要求当时，即 化简得：， 解得：， ∴由题意得：野兔至少需要再向前走开始起跳才可成功越过木桩； 24．（12分）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，当时，函数值是（   ） A． B． C．0 D．1 4．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 6．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．一同学掷铅球，时间（秒）与高度（米）之间的关系为．若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等，则铅球位于最高处的时刻是（    ） A．第7秒 B．第8秒 C．第10.5秒 D．第21秒 9．如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 10．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（  ） A．   B．   C．    D．   11．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．7 D．10 12．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．作抛物线关于x轴的对称图形，得到一个新抛物线，其解析式为 ． 14．如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为 ． 15．若点在抛物线上，则 （填“>”，“=”或“＜”） 16．抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 18．（8分）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 19．（8分）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 20．（8分）某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 21．（8分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为9米．设花圃的宽为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）求花圃面积的最大值． 22．（10分）已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． (1)求二次函数的表达式． (2)判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． (3)若，请直接写出的取值范围． 23．（10分）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） (2)若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？ 24．（12分）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$