期中复习6大类型47个考点（举一反三期中专项训练）九年级数学上学期沪科版

期中复习6大类型47个考点（前3章） 【沪科版】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 二次函数的定义】 2 【考点2 二次函数的图象与性质】 4 【考点3 二次函数的图象与性质】 6 【考点4 二次函数的图象与性质】 8 【考点5 二次函数的图象与性质】 11 【考点6 二次函数的图象与的性质】 14 【考点7 二次函数图象与系数的关系】 18 【考点8 二次函数图象与几何变换】 23 【考点9 二次函数与一元二次方程】 26 【考点10 反比例函数的相关概念】 29 【考点11 反比例函数的图象】 31 【考点12 反比例函数图象的对称性】 34 【考点13 反比例函数的性质】 36 【考点14 反比例函数k的几何意义】 38 【考点15 待定系数法求反比例函数的解析式】 43 【考点16 成比例线段】 47 【考点17 平行线分线段成比例】 50 【考点18 相似三角形的判定】 53 【考点19 相似三角形的性质】 56 【考点20 根据位似变换求值】 61 【考点21 正弦、余弦、正切的定义】 64 【考点22 特殊角的三角函数的值】 67 【考点23 锐角的三角函数间的关系】 70 【考点24 解直角三角形的相关计算】 72 【计算篇】 76 【考点25 含特殊角的三角函数值的计算】 76 【实际应用篇】 78 【考点26 二次函数的应用】 78 【考点27 反比例函数的应用】 84 【考点28 相似三角形的应用】 89 【考点29 解直角三角形的应用】 93 【作图篇】 99 【考点30 作位似图形】 99 【考点31 在网格中作相似三角形】 105 【几何证明与计算篇】 109 【考点32 反比例函数中的面积问题】 109 【考点33 利用平行线分线段成比例求线段长度】 116 【考点34 证明相似三角形】 121 【考点35 利用相似三角形的判定和性质求值】 125 【考点36 利用相似三角形的判定和性质证明】 129 【考点37 求锐角三角函数值】 133 【考点38 三角形中解直角三角形】 140 【考点39 在四边形中解直接三角形】 145 【压轴篇】 151 【考点40 利用二次函数的性质求最值】 151 【考点41 二次函数中的存在性问题】 161 【考点42 反比例函数与几何综合】 170 【考点43 利用相似求坐标】 180 【考点44 相似三角形-动点问题】 185 【考点45 相似三角形-最值问题】 192 【考点46 相似三角形-综合与实践】 201 【考点47 构造直角三角形解直角三角形】 212 【基础概念易错篇】 【考点1 二次函数的定义】 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键． 根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数； ②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；   ③，符合二次函数的定义，故③是二次函数；   ④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．   所以，是二次函数的有①②③，   故答案为①②③．   2．已知函数是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】根据定义得：形如 是常数，且的函数是二次函数，列方程可求得答案． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数中，是常数，本题关键点为． 3．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 根据二次函数的定义得出二次项系数、一次项系数、常数项，再相加计算即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是， ∴二次项系数、一次项系数、常数项的和为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为；（1）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A、两直角边的和为的直角三角形， 设两直角边分别为，则， ∴ ∴ ∴面积与斜边的关系是二次函数，故此选项符合题意； B、关系式为：，是一次函数，故此选项不符合题意； C、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【考点2 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 3．已知二次函数的图象开口向上，则实数a可以为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象．熟练掌握二次项系数大于0，二次函数图象开口向上是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴实数a可以为2， 故答案为：2． 4．对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】先判断出二次函数图像对称轴为轴，再根据二次函数的性质判断出关于轴对称即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴， 取时，函数值相等， 关于轴对称， ， 当取时，函数值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出关于轴对称是解题的关键． 【考点3 二次函数的图象与性质】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 3．二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，再结合的取值范围可得当时，取得最大值，再分别计算出当时和当时的值，即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取得最大值，当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得，可得，再结合进一步解答即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴； 故答案为： 【考点4 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 3．老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ． 【答案】y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一） 【分析】根据顶点在x轴上，开口方向向下，可以确定该函数的形式为y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），即可确定答案. 【详解】解：根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），写出一个满足该形式的解析式即可，如y＝﹣（x﹣1）2,答案不唯一. 故答案为y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于熟记并灵活运用二次函数解析式——顶点式. 4．（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 【考点5 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，则下列大小比较正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线得到当时，随的增大而增大，再根据，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∴当时，有最大值为 ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴，即 故选：D． 2．当时，二次函数有最大值，则实数的值为(    ) A． B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；求出二次函数对称轴为直线，再分，，三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m， ①时，取得最大值， 解得； ②时，取得最大值为，不合题意； ③时，取得最大值，， 解得． 故选：C． 3．若二次函数的图像在这一段位于轴的上方，在这一段位于轴的下方，则值为 ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的解析式可求得抛物线的对称轴为，由二次函数的对称性可知当时，函数图象位于轴的上方，结合题意可知当时，，从而可求得的值． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为， 当时，函数图象位于轴的上方， 当时，函数图象位于轴的上方， 当时，函数图象位于轴的下方， 当时，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的性质得到当时，是解题的关键． 4．如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．    （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ． （2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线图像的性质，解一元二次方程，掌握抛物线的轴对称性，利用其对称性，求相应点的坐标是解答本题的关键． （1）由题意知，抛物线的对称轴，顶点，得到，进而可以得到点，的坐标，代入，得到． （2）由题意知，抛物线的对称轴，顶点，得到，进而可以得到点，的坐标，代入，得到． 【详解】解：（1）抛物线中， 令，则， 对称轴，顶点 对称轴与轴交于点的坐标是， ， 正方形中，,是对角线 ， 由题意知，点，关于对称轴轴对称， ，或， 将代入抛物线中， 得，解得． 故答案为 （2）抛物线中， 令，则， 对称轴，顶点 对称轴与轴交于点的坐标是， ， 正方形中，,是对角线 ， 由题意知，点，关于对称轴轴对称， ，或， 将代入抛物线中， 得， 解得，（舍去）； 故答案为． 【考点6 二次函数的图象与的性质】 1．（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数的增减性及最值问题，当自变量的取值范围在对称轴一边时，则根据增减性求出最值；当自变量的取值范围在对称轴两边时，则顶点取到最大值或最小值．首求先根据函数的对称轴求出a的值，然后根据函数的增减性求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称， ∴，解得， 则二次函数， 当时，函数有最小值； ∵当时，y有最小值， ∴， 解得， 故选C． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知点和都在这个二次函数的图象上，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得该二次函数的图象的开口向下，由此即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项B错误；求出当时，的值即可判断选项C正确；根据二次函数的增减性即可判断选项D正确． 【详解】解：∵二次函数中的， ∴该二次函数的图象的开口向下，则选项A正确； 二次函数化成顶点式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标是，则选项B错误； 当时，，解得或， ∴该二次函数的图象与轴的交点坐标是和，则选项C正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点和都在这个二次函数的图象上，且， ∴，则选项D正确； 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，为常数）． （1）当时，该函数图象的对称轴为直线 ； （2）当时，的最大值为；当时，的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、待定系数法等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）将代入二次函数，然后根据对称轴公式即可解答； （2）先确定对称轴在y轴左侧，得出，．根据时，的最大值为，根据顶点坐标的纵坐标为，建立方程，求得，代入代数式即可求解． 【详解】（1）当时，， ∴该函数图象的对称轴为直线． 故答案为：． （2）∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，且， ∴对称轴在y轴左侧． ∴，． ∴，解得（正值舍去）． ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为：直线， 如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点7 二次函数图象与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 ． ①图象与轴的交点为，；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点及运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点为，故①不符合题意， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，故③符合题意； 当时，根据图象可知，，故④符合题意； 当时，根据图象可知，随的增大而减小，故⑤不符合题意； 故答案为：②③④． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断的符号；再根据的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则二次函数可得，开口向上， 又二次函数的对称轴为直线，在轴左侧， 故二次函数的图象大致为： 故选：． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数的最小值为； ；若，则；若，则；⑤一元二次方程的两个根为和 ．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据、两点写出抛物线的交点式化简得，再配成顶点式，即可判断①；由和，即可判断②；当时，，根据二次函数的性质，即可判断③；利用二次函数的对称性及增减性即可判断④；由可知，，则可化为，，解方程即可判断⑤． 【详解】解：抛物线解析式化成交点式为， 即， 配成顶点式得， 当时，二次函数有最小值为，所以①正确； ∵对称轴为直线， ∴ ∴， 由得到， ∴ 故②错误， 当时，， 当，，所以③错误； 点的坐标为，点关于直线的对称点为， 若，则或，所以④错误； 由可知，，则可化为， ， 方程整理得：， 解得，，所以⑤正确． 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 先利用交点式表示抛物线解析式得到，则，，于是可对①②③进行判断；利用配方法得到，则当时，有最小值，所以，于是可对④进行判断；过点作于点，如图，利用等腰直角三角形得到，即，则可对⑤进行判断；利用勾股定理得到，，，根据等腰三角形的性质，当时，，当时，，然后分别解方程求出的值，从而可对⑥进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 即， ∵， ∴，所以②正确； ∵抛物线开口向上， ， ，即， ， ，所以①正确； ∵， ∴，故，所以③错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最小值， ， 即，所以④正确； 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，即， 解得，所以⑤正确； ∵，，， ，，， 当时，， 解得，（舍去）， 当时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为或，所以⑥错误． 故答案为：①②④⑤． 【考点8 二次函数图象与几何变换】 1．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如果二次函数平移后的顶点恰好落在直线上，求平移后的图像与y轴交点的纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的平移，设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】设平移后的解析式为， ∵平移后的顶点恰好落在直线上， ∴， ∴解析式为， 令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为， 设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z， ∵， ∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为． 故答案为：． 2．将抛物线向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，则所得抛物线的解析式 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可． 【详解】 ， 所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）． ∵向右平移三个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）． ∵再绕原点O旋转180°， ∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上 ∴所得抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 3．如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是 ． 【答案】0＜b＜4． 【分析】利用折叠的性质确定翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4），再求出抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）和抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），从而利用函数图象得到当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点． 【详解】解：二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4） 当y=0时，y=-（x-2）2+4=0，解得x1=0，x2=4，则抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， 抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0）， 所以当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点． 故答案是：0＜b＜4． 【点睛】考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．其中正确的为（    ） ①； ②当时，代数式的最小值为3； ③对于任意实数，不等式一定成立； ④，为该二次函数图象上任意两点，且，当时，一定有． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用．由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得 ，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意； 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称． ∴， ∴，故①符合题意； ∴， ∴ ， ， ∵， ∴当时，取最小值，故②不符合题意； ∵， ∴对称轴为直线， ∵， 当时，函数取最小值， 当时，函数值为， ∴， ∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， 当时，满足， ∴， ∴， 当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意； 综上：符合题意的有①③④； 故选：C． 【考点9 二次函数与一元二次方程】 1．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）设一元二次方程的两实根分别为，，且，则，满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、因式分解法解一元二次方程以及图形的平移，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．由的两根分别为1、2，可得出抛物线与x轴交于点，将其往下平移m个单位可得到新抛物线，观察函数图象即可得出，此题得解． 【详解】解：∵的两根分别为1、2， ∴抛物线与x轴交于点． ∴将抛物线往下平移m个单位可得到新抛物线，且一元二次方程的两实根分别为，，如图所示， ∴由图象可知：． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的根的关系，理解抛物线与轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解是解题的关键．根据抛物线与轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点、两点， ∴当 ，即时，解得：或 由即得到或． 解得：，， 故答案为，． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，依据题意，当为锐角三角形时，则，进而计算可以得解．能根据锐角三角形的性质进行判断是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，得；当时，得：， ∴，， ∴， ∵过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为， 当时，， 解得：或， ∴点， ∵为锐角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ）                                         A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 根据函数的图象与轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：由表中数据可知：当时，； 当时，， ∴当时，在与之间， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 【考点10 反比例函数的相关概念】 1．（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：不是反比例函数，不符合题意； B：是反比例函数，符合题意； C：不是反比例函数，不符合题意； D：不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 2．已知是反比例函数，则函数的图像在第 象限． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键． 先根据反比例函数定义，列方程且，求出，得到函数，再由，得出图像在第二、四象限． 【详解】因为是反比例函数， 所以． 解得． 又因为，满足条件． 所以反比例函数的表达式为， 因为，当时，函数的图像在第二、四象限． 综上，函数的图像在第二、四象限． 故答案为：二、四． 3．（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是直接代入验证．把各选项点的横纵坐标相乘，看是不是等于，若等于，则说明在函数图象上，否则不在函数图象上． 【详解】解：， ， A、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； B、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； C、因为，所以在函数图形上，此选项正确； D、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； 故选C． 4．（2026·江西·模拟预测）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据实际意义以及函数的解析式，确定函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：结合物理知识可得， ∴压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，同时自变量是正数． 故选：D． 【考点11 反比例函数的图象】 1．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）已知，则函数和的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握图象的形状和所在象限． 根据一次函数的性质和反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴函数的图象是在第二、四象限的双曲线， ∵，， ∴的图象是经过一、三、四象限的直线， 只有选项C符合要求． 故选： C． 2．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，先求出经过点的反比例函数的解析式分别为，结合已知两点分布在曲线的两侧，即可作答． 【详解】解：设经过点的反比例函数的解析式分别为 把两点分别代入，得出 ∴ 即经过点的反比例函数的解析式分别为 ∵已知两点分布在曲线的两侧，、 ∴ 则（答案不唯一） 故答案为： 【考点12 反比例函数图象的对称性】 1．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数图象的交点，利用中心对称图形的性质即可解决． 【详解】解：∵直线与双曲线均是关于原点中心对称的图象， ∴它们的交点也关于原点对称， 由其中一个交点坐标是，可知另外一个交点为． 故选：C． 2．如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，扇形面积；根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据点，即可求出圆的半径． 【详解】解：∵圆和反比例函数一个交点， ∴可知圆的半径 ， ∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是圆的面积， ∴． 故选：C． 3．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【详解】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 4．如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，勾股定理的应用，判断出只有或两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用． 由对称性可知为的中点，则当为等腰三角形时只能有或，设点坐标为，可分别表示出和，从而可得到关与的方程，可求得，可求得点坐标． 【详解】解：反比例函数图象关于原点对称， 、两点关于对称， 为的中点，且， 当为等腰三角形时有或， 设点坐标为， ，， ，，， 当时，则有，解得或10，此时点坐标为或； 当时，则有，解得或，此时点坐标为或； 综上可知点的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【考点13 反比例函数的性质】 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象位于第一、三象限，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象过第一、三象限 C．若，则 D．点、是图象上的两点，，则 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数（为常数，）的图象与性质，包括图象经过的点、所在象限、函数的单调性等．根据反比例函数性质逐个选项分析即可． 【详解】A．当时，，所以图象必经过点，正确，故本选项不符合题意； B．，，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意； C．当时，，因为反比例函数图象在每一个象限内随的增大而减小，所以若，则，错误，故本选项符合题意； D．，，所以图象过第一、三象限，即、同号，所以，则，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．已知点和在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】：解：∵时，， ∴这两点分别位于两个象限，且位于第二、四象限， ∴， 故答案为：． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先确定反比例函数图象所在象限及单调性． 根据判断点、在第四象限，点在第二象限． 利用单调性得出、、的大小关系即可． 【详解】∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴点，在第四象限，且在第四象限随的增大而增大， ∴ ，而第四象限的值大于， ∴． 故答案为： ． 【考点14 反比例函数k的几何意义】 1．（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】通过作辅助线，利用反比例函数中的几何意义，结合平行四边形的性质，求出平行四边形的面积．本题主要考查反比例函数的几何意义和平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 【详解】解：延长交轴于点，则轴于，连接． 点在上， ； 点在上， ； 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 2．如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数比例系数的几何意义． 作轴于D，如图，则，然后根据k的几何意义确定k的值． 【详解】解：作轴于D，如图， ∵轴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 而， ∴． 故选：C． 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一点，点是轴正半轴上一点，直线交反比例函数的图象于点，且，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴，垂足为，证明出，得到，然后根据反比例函数值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数值的几何意义，全等三角形的性质和判定，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 在和中， ， ， ， 的面积为， ， ， 故答案为：． 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 【考点15 待定系数法求反比例函数的解析式】 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，先求出、两点的坐标，可得，，证明，求出的长，得出点坐标，进一步求得点的坐标，把点坐标代入反比例函数的解析式求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的中心点的坐标为，即， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 即的值为． 故选：D． 【点睛】本题考查确定反比例函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上一点的直线轴，分别交反比例函数（）和（）的图象于点，，且，．则的值为（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，进而求得，由求得，即可求得，然后利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：过点M作轴于点，且， ∴， ∵， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·广东深圳·三模）如图，为等腰三角形，，与反比例函数交于点，若恰好为中点，的面积为16，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用、等腰三角形的性质、求反比例函数解析式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作轴于点D，设点C的坐标为，可得点A的坐标为，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，再由的面积为16，求得k的值即可． 【详解】解：如图：过点A作轴于点D， 设点C的坐标为， ∵恰好为中点， ∴点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为16， ∴，即，解得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在反比例函数的图象上，对角线与相交于原点，若菱形的面积为，点的坐标是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例与几何图形，勾股定理，由菱形的性质及勾股定理可得，进而得，得到，设（），由可得，即得，即可得，再代入反比例函数解析式即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，, ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 即， ∴, ∴， 设（）， ∵点关于原点对称， ∴， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点16 成比例线段】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题关键是通过比例的变形，整体代入求值．根据可得，，代入求值即可． 【详解】解： ， ，， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，即，然后计算即可解答． 【详解】解：由题意知，，即， 解得：，. 故选C． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点E是平行四边形边上一点，、延长线交于点F，下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．根据平行四边对角相等和对边平行，得到相似三角形，再利用平行线分线段成比例和相似三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ，，， A、∵， ∴，该选项说法正确，故不符合题意； B、∵， ∴， ，该选项说法正确，故不符合题意； C、， ， 又， ， ，该选项说法正确，故不符合题意； D、∵ ∴ ∴， ∵， ∴，该选项说法错误，故符合题意． 故选：D． 【考点17 平行线分线段成比例】 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，逐项分析即可． 【详解】解: A、由平行可得，变形为与已知不符合，故选项A不正确； B、由平行可得，变形为，与已知符合，故选项B正确； C、由平行可得与已知不符合，故选项C不正确； D、由平行可得与已知不符合，故选项D不正确； 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，由得到，即可得到，由平行四边形得到，，进而得到． 【详解】∵ ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴与相似的三角形有2个． 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 4．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 【考点18 相似三角形的判定】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的关系来求解的面积． 【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方， 设与的面积分别为和，相似比为k， 则有， 由题可知，已知， 将其代入到中，可得， 即． 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，若和的面积之比为，则与的对应角的角平分线之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，面积比为．设相似比为k， ∴ ∴ ∴与的对应角的角平分线之比 故选：A． 3．（2020·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得，进而得出，再根据比例的性质解答即可． 【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M， ∵DF∥CH， ∴△DFG∽△HCG， ∴ ， ∵DM∥BH， ∴△DMG∽△HBG， ∴ ， ∵CH=BH， ∴DF=DM， 又∵矩形 △MDE∽△CDF， ∴ ∴ ∴   ∴DF＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：D． 【考点19 相似三角形的性质】 1．如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接并延长与轴交于点，根据位似变换的性质，点即为位似中心，然后设，表示出、，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据点在轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长与轴交于点，则点即为位似中心，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， 又∵正方形和正方形的边、都与轴垂直， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∵点在轴负半轴上， ∴点． 故选：A． 2．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则          【答案】5 【分析】根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线， 得出，进而得出②，两式相加即可得出结论． 【详解】解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴ ∴ ∴，即①； ∵CE是∠ACB的外角平分线， ∴ ∴，即②； ①+②，得． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，过点作于点H，交于点，交于点，由题意得可得菱形边长为3，，由勾股定理求出，由菱形的性质以及折叠的性质可证明四边形是矩形，以及四边形为矩形，则，由平行线分线段成比例定理可得，再结合折叠可得，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点H，交于点，交于点， ∵菱形的周长和面积分别为12和6， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点20 根据位似变换求值】 1．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 2．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，点是四边形对角线、的交点，与互补，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定；先作，即可求出，再根据相似三角形的对应边成比例得，进而得，然后说明，再结合可得答案. 【详解】解：过点O作交于点M， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 3．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似变换、矩形的性质及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积比确定其位似比，注意有两种情况．根据相似图形的性质即可完成． 【详解】解：由题意可知，， 矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， 矩形与矩形相似，且相似比为， 点的坐标是或， 即点的坐标是或， 故答案为：或． 4．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴负半轴和轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系．根据平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系，即可求解． 【详解】 解：∵在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍， ∴矩形与矩形是位似图形，点与点是对应点，， ∵点的坐标为, ∴点的坐标为， ∵将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，， ， ∵矩形的对角线交点 ，即， 故答案为：． 【考点21 正弦、余弦、正切的定义】 1．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, 故选：． 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、坐标与图形等知识点，能根据题意画出示意图及熟知余切的定义是解题的关键． 先根据题意画出图形，再结合余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：过点P作y轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴． 在中，，即． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 由交于点E，得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：交于点E， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，旋转的性质．分两种情况讨论：过点E作于点M，求出，即可． 【详解】解：如图，当D在的延长线上时，过点E作于点M，连接， 由旋转，得，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当D在的延长线上时，过点E作于点M，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【考点22 特殊角的三角函数的值】 1．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解： ，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3．（2025·福建龙岩·二模）如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数等；连接，由线段垂直平分线的性质得，结合菱形的性质及等边三角形的判定方法得是等边三角形，由特殊角的三角形函数即可求解；掌握菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数是解题的关键． 【详解】解：连接， 于点E，E为的中点， ， 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，已知直线分别与轴和轴相交于点和点，且直线的解析式为，于点，与轴正半轴的夹角为，则等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查锐角三角函数和一次函数的知识，根据题意，直线的解析式为，求出，的坐标，得到，的值，根据，得到的角度，根据，三角形的内角和，求出，即可． 【详解】解：直线的解析式为， ∴当，；当，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点23 锐角的三角函数间的关系】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 2．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 3．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 4．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5 【答案】D 【分析】根据锐角的同角三角函数之间的关系进行化简可得答案. 【详解】解：由，得. 所以. 解得tanα＝2.5． 故选D． 【点睛】本题考查了锐角的三角函数，熟练掌握同角三种函数之间的关系是解本题的关键. 【考点24 解直角三角形的相关计算】 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 2．一个三角形的两边之长分别为5、，这两边夹角的余弦值为，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形．根据题意画出图形，如图，，，，过点作于点D，则，通过解直角三角形求出，进而根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，，，， 过点作于点D，则， ∴， ， ∴． 故选：B 3．（2025·湖北·模拟预测）在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形中的折叠，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的性质及折叠的性质，用勾股定理列方程解决问题． 过作于，由四边形是菱形，可得是等边三角形，又，即得，在中，，，从而，设，则，，在中，由勾股定理即可得答案． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是菱形，边长为， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 4．在中，，，，点D为边中点，将绕A旋转，点B，C对应点分别为点E，F，若点F在射线上，则 【答案】 【分析】过点A作于点H，设，利用勾股定理列出x的方程求得x，进而求得三角形的面积便可求得比值． 【详解】解：如图所示，过点A作 于点H， ∵，是斜边的中线，，， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， 由旋转性质知，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理列出方程求得． 【计算篇】 【考点25 含特殊角的三角函数值的计算】 1．（25-26九年级上·山东·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解决本题的关键． （1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方、乘法，再算加减法，即可求解； （2）先将特殊角三角函数值代入，再利用平方差公式进行分母有理化和完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（2024·广东·模拟预测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，实数的运算顺序和法则，是解题的关键． （1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入，再计算得出答案； （2）直接利用零指数幂、二次根式性质、特殊角的三角函数值分别求出每一部分的值，再计算得出答案. 【详解】（1）解： ； （2） 3．（2025·广东深圳·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：原式． 4．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【实际应用篇】 【考点26 二次函数的应用】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点，点）以及点，点落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分与第2根栏杆未涂色部分长度相等，则求的长度． 【答案】米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式． 设为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：，代入，，设，则，再将和点坐标分别代入拋物线解析式求解即可． 【详解】解：设为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： ∵中间被4根栏杆五等分，， ∴，， 设抛物线解析式为：， 将代入得：， 设， 则， 将点和点坐标分别代入拋物线解析式得：， 解得． 米． 2．（24-25九年级上·内蒙古·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这20天中第几天销售利润为18000元； (3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 【答案】(1) (2)第5天的销售利润为18000元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数、一次函数的应用． （1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据函数的性质求最值即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为， 把和代入可得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）设总利润为w元， 则， 当时，则， 解得：， ∴第5天的销售利润为18000元， 答：第5天的销售利润为18000元； （3）不能，理由如下： 由（2）可得， ∵，， ∴当时，w最大，最大值， ∵， ∴最大利润不能超过18000元． 3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，平移规律： （1）先根据题意建立平面直角坐标系，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，以为原点，为轴，建立如图所示直角坐标系， ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 【答案】任务一，, ；任务二，；任务三，水流能流到圆柱形水杯内，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． 任务一，根据题意得出，的横坐标为，，求得点的坐标，即可求解； 任务二，待定系数法求解析式，即可求解； 任务三，圆柱形水杯最左端到点的距离是，将代入二次函数解析式，比较大小即可求解． 【详解】解：任务一，圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为， ∴ ∵，，轴， ∴的横坐标为， ∴该抛物线顶点坐标为， 故答案为：, ． 任务二，设抛物线解析式为 将点代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 任务三，水流能流到圆柱形水杯内，理由如下， 圆柱形水杯最左端到点的距离是， 当时，， ， 水流能流到圆柱形水杯内． 【考点27 反比例函数的应用】 1．学校为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 ，待加热到 ，饮水机 自动停止加热，水温开始下降，水温 与通电时间 x（分）的关系如图所示（图 中的曲线是双曲线的一部分），解答下列问题： (1)当 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)求图中 a 值 (3)一天早上 ，王老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能 喝到不超过的温开水，应在什么时间段内接水？ 【答案】(1) (2) (3)他应在时间段内接水 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用； （1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得与的关系式； （2）将代入，即可得到的值； （3）要想喝到不超过的开水，加20分钟即可接水，一直到； 【详解】（1）解：当时，设与的关系式为， 将，代入得：， 解得：， ∴当时，与的关系式为， （2）解：当时，设与的函数关系式为：， 将代入，得： 解得：， ∴当时，与的函数关系式为：； 将代入，得：； （3）解：依题意，得：， 解得：． ∵， ∴， ∴他应在时间段内接水． 2．（2025·吉林·三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 【答案】(1)8 (2) (3)氧气的密度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据代入，可求m； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入（2）中解析式可求结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）根据题意，设所求的函数解析式为， 由图可知，该函数过点， ． 所求函数的解析式为． （3） 该容器的体积V为，． 答：氧气的密度为． 3．（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如表： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘B与点O的距离； (4)当托盘 B 向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 【答案】(1)详见解析 (2)y与x的函数关系式为： (3)当砝码质量为时，活动托盘B与点O的距离是 (4)在移动前托盘B中的砝码质量 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图象，正确得出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由图象猜测y与x之间是反比例函数关系， ∴设，将代入，得， 解得， ∴， ∴y与x的函数关系式为：； （3）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，活动托盘B与点O的距离是； （4）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量． 【考点28 相似三角形的应用】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，得到，代入数据计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴即， ∴． 答：的长为； （2）解：∵，， ∴， 由题意可得， ∴， ∴即， ∴． 答：的长为． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）魏晋南北朝时期，中国数学在测量学方面取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．求山高． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知可知，即得，，得到，，进而可得，求出再代入比例式即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵为高， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， 答：山高为． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．设，，通过证明和，得到和，再代入数据列出方程组，求出的值即可解答． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， 联立①和②解得（负值已舍去）， ∴， 答：大厦主体建筑的高度是． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】6.6米 【分析】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于G，交于Q，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，得米，，米，设米，则米，再证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于G，交于Q， 由题意得，，，， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， ∵小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴米， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴（米）． 答：路灯的高度约为6.6米． 【考点29 解直角三角形的应用】 1．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差． （2）通过解，求出，通过解，求出，再通过 ，代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， ，， ∴， ∴， 答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ， ，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴ 答：长． 2．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 4．（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1)14分米 (2)2分米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； （2）如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 【作图篇】 【考点30 作位似图形】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． (1)请画出； (2)与的周长之比为______； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据位似的性质解答即可； （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵，与位似，且位似比是． ∴与的周长之比为 （3）解：∵，与位似，且位似比是． 又∵点M的坐标为 ∴点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． (1)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (2)与的相似比是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了位似变换的作图，根据坐标确定位似比是解答此题的关键． （1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据相似比等于位似等于相应线段之比，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，为所求． （2）解：∵A的坐标为．点的坐标为， ∴与的相似比是位似比为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 【答案】(1)见解析，点 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图、利用相似三角形确定线段比例点以及构造相似三角形的作图，解题的关键是熟练运用位似性质、相似三角形的判定与性质进行作图和推理． （1）根据位似图形性质，以原点为位似中心，位似比，将各顶点坐标变换后在第三象限找点作图，再确定坐标； （2）通过构造格点三角形，利用相似三角形对应边成比例找到点，再依据相似性质说明； （3）利用格点构造角相等，依据相似三角形判定（两角分别相等）确定点，通过作特定格点连线找到交点． 【详解】（1）解：作出的位似图形如图所示，点； （2）解：作出的点如图所示． 理由：如图，∵， ∴， ∴； （3）解：作出的点如图所示． 作法：（1）将边绕着点逆时针旋转得到； （2）将线段平移，使得点与点重合，此时点的对应点为点； （3）连接交于点，则点为所求． 证明：将边绕着点逆时针旋转得到， ，， ， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在和中， ， ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画出一个以点C为位似中心，且与位似的（位似比不为1）； (2)在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质画图即可． （2）取格点N，使，且，连接交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，取格点N，，且，连接交于点M， 此时， ∴， 则点M即为所求． 【考点31 在网格中作相似三角形】 1．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质， （1）取线段中点即格点D，连接即可； （2）取格点G、F，连接交于点E，根据则，得出，则，再结合，证明，所以相似比为． 【详解】（1）解：如下图，线段即为所求作； （2）解：即为所求作． 2．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了在网格中画图问题，解题关键是根据相似三角形的性质确定边长和利用相似或全等画等角. （1）根据相似三角形对应边成比例，利用格点画出对应直角边成比例即可； （2）根据网格画出，且与不相似． 【详解】（1）如图1，格点如图所示(答案不唯一)， （2）如图2，格点如图所示(答案不唯一)． 3．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了格点图中画相似三角形、中心对称图形和轴对称图形． （1）作平行四边形，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的点A、B、C在格点上，格点D、E分别在边上．按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画线段的垂直平分线，分别交于点F、G． (2)在图②中过点B作交于点M． (3)在图③中，连结，过点C作交于点N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点中作图，作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据线段垂直平分线的定义作出图形即可； （2）取格点J，最直线交于点M，直线即为所求； （3）取格点P，Q，连接交于点N，作直线即可． 【详解】（1）解：如图①中，直线即为所求； （2）如图②中，直线即为所求； （3）如图③中，直线即为所求． 【几何证明与计算篇】 【考点32 反比例函数中的面积问题】 1．（2025·江西·模拟预测）如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用正方形性质求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式即可； （2）设点的坐标为，再根据的面积恰好等于正方形的面积的，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：，，四边形为正方形， ， ， 把代入得：， ， 反比例函数解析式为； 把，代入一次函数得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：设点的坐标为， ， ， 解得：， 当时，； 当时，； 或． 2．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移个单位长度与的图象交于点，连接、． ①求的面积． ②若直线的解析式为，请直接写出成立时的取值范围． 【答案】(1)； (2)①6；②或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）①先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点B坐标，根据三角形的面积公式列式，代入数据计算即可．②根据与反比例函数的交点坐标结合函数图象进行判断即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， 解得， ， 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：①把直线向上平移个单位得到解析式为， 当时，， ∴直线与轴交点坐标为， ． 连接， 联立方程组， 解得，舍去， ， ， ． ②，， 由图像可知或时，． 3．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标轴上，，，直线交，分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，图形面积计算与点坐标求解，矩形的性质等知识点的应用，掌握这些是解题的关键． （1）由题意将代入即可得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； （2）根据图象即可求得； （3）将代入反比例函数解析式可得出N的坐标，求出四边形的面积，求出的值，即可求出P的坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 将代入得：， 把M的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； （2）当时，x的取值范围是或； （3）把代入得：， 即， ， 由题意得：， ， ， 点P的坐标是或． 4．（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的解析式 (2)①；②的值不发生变化，为18 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出点，，即可求出的面积，设点D的坐标为，，根据的面积是的面积的3倍，求出m的值，即可解答． ②过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 将代入，得 ，解得， ∴双曲线的解析式． （2）①当时，， 令，得， ∴，即， 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为，，则 ， ∵的面积是的面积的3倍， ∴，解得， 即， ∴． ②的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴， ∴， 即 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴ 即的值不发生变化，为18． 【考点33 利用平行线分线段成比例求线段长度】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，中点的性质等知识点； （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线分线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 【详解】（1）证明：∵，点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点D作交于点H，    ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点D是边上的一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理先得到，进而得到，则，即可求出的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 3．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质． （1）由，推出； （2）由，推出，可得结论； （3）由，得到，推出，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点34 证明相似三角形】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，于点，连接，过点作交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由矩形的性质得，则、，再根据垂直的性质可得，进而得到；再根据角的和差可得，最后根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵于点，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定． （1）在中，根据勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明即可； （）由，得，，根据，，再根据相似三角形的判定方法即可得证； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 4．如图，四边形中，平分，，E为的中点． (1)求证：； (2)连接交于点F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，再结合，即可证明，再利用相似三角形对应边成比例，即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，由（1），推出，结合，得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【考点35 利用相似三角形的判定和性质求值】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点O，过点O作，分别交边、于点E、F． (1)求线段的长； (2)如果的面积等于4，求梯形的面积． 【答案】(1)线段的长为4 (2)梯形的面积为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和梯形面积的计算．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）因为，所以，由相似三角形对应边成比例得出，进而得到，又因为，所以，根据相似三角形对应边成比例求出，同理求出，最后得出． （2）由，且相似比为，根据三角形面积比等于相似比的平方，结合的面积求出的面积，再根据与、高相同，底的比例关系，求出与的面积，最后将四个三角形的面积相加即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 同理，， ， ． （2）解：由（1）知，且相似比为， ， ， 与的高相同，底的比为， ， 同理，， 梯形的面积． 3．（25-26九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： (1)的长度； (2)三角形与三角形的面积之比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）由平行四边形对边平行且相等，可得，，，，由平行线的性质得，，证明，根据对应边长成比例即可求解； （2）证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解： ， ，， ， ， ． 即三角形与三角形的面积之比为． 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)求的值； (2)求的值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和全等三角形性质和判定，勾股定理； （1）先证明，根据相似三角形的判定和性质求出，再证明从而得出， （2）求出长度后再通过勾股定理求出长度． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 又∵； ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴． 【考点36 利用相似三角形的判定和性质证明】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图1，点D、E分别为的边上的两点，，将绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、（如图2）． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的判定和性质．由平行线分线段成比例求得，利用旋转的性质求得，推出，据此计算即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵绕点逆时针旋转某个角度得， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，E是平行四边形的边的延长线上的一点，连接，交于点O，交于点F，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，，然后根据相似三角形的性质可进行求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，，，是三个相连的正方形，连接，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及勾股定理的简单应用．分别计算相关三角形的对应边的比例关系，根据相似三角形的判定定理证明，利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】证明：设正方形的边长为， 则，，， ， 又， ， ． 4．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)当点E为中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据条件证明，得到，再证明，得到，等量代换即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，利用对应边成比例，再根据中位线的性质定理，等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴； （2）证明：如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ， ∵点为中点， ∴， ∴． 【考点37 求锐角三角函数值】 1．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得； （2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到； ②由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等等，解（2）的关键在于把求出的最小值转换成求出的最小值，进而转换成求出的最小值． 2．（2024·浙江宁波·一模）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）    (1)请在图1中画出的高，计算得__________． (2)请在图2中在线段上找一点E，使． 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了作图-格点作图，平移的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）格点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，到点P，连接，交于点； （2）线段向左平移2个单位长度，得到线段，线段交于点． 【详解】（1）就是所求作的高，如图所示，    ∵，，， ∴， ∴ 故答案为： （2）如图所示，点E就是求作的点，    3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求矩形对角线的长． (2)过点O作于点E，连接．记，求的值． 【答案】(1)矩形对角线的长为4 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理以及解直角三角形等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据矩形的性质求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出，求出即可； （2）根据勾股定理求出，然后根据等腰三角形的性质求得，然后解直角三角形求得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形对角线的长为4； （2）解：由勾股定理，得， ∵，于点E， ∴， ∴． 4．（2025·吉林长春·一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，四边形的面积为24，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理以及求角的余弦值，解题的关键是利用平行四边形性质得到边的关系，再结合矩形判定条件证明，通过面积公式和勾股定理求解三角函数值． （1）利用平行四边形性质和已知边相等关系，证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一得到直角，从而证明是矩形． （2）先根据已知边的关系求出，再由四边形面积求出高，最后利用勾股定理求出，进而得到的值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又 ， ，且， 四边形是平行四边形 ，， ，即 四边形是矩形． （2）解： ， ， 由（1）知四边形是矩形， ， 设 四边形的面积为24， ，解得， ∴， ∴在中， ． 故答案为：． 【考点38 三角形中解直角三角形】 1．（2025·浙江温州·三模）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据题意得出，进一步得出，再由点F在的垂直平分线上得出，据此求出的度数即可解决问题． （2）由的长得出的长，再进一步求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， 点F在BC的垂直平分线上， ， ， ， 是等边三角形． （2）解：，， 在中， 在中， ． 2．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，E为的中点，连结，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形． （1）利用正切函数的定义求得，利用勾股定理求得，据此求解即可； （2）利用勾股定理求得，再利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 在中，， ； （2）解：为的中点， ． 在中，， ． 3．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）由，，得出，再结合勾股定理及即可求解； （2）过点作于点，利用中线得，设，则，利用，列式求解，再求，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵是斜边上的中线， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知：如图，平分，于点D． (1)尺规作图：作直线，使，与相交于点E．（请保留作图痕迹） (2)在上题条件下已知，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图一复杂作图，角平分线的定义，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键 是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. （1）在的左侧作，交于点即可； （2）过点作于点，解直角三角形求出，，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：在的左侧作，交于点， 直线即为求作的； 理由：由作法可知：， ； （2）解：过点作于， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点39 在四边形中解直接三角形】 1．（2025·湖南永州·一模）如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）根据三角形中位线的性质求解即可； （2）根据角的正切值，得到，由三角形中位线定理得到，证明四边形为平行四边形，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ， ， 是的中位线， ； （2）解：是的中位线， ， ， ， 在中，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， 在中， ． 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理、解直角三角形等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）设，则，先求出，，则有，得到，继而求出（负值已舍去），根据，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：设，则， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ，，， ，即， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 即OE的长为． 3．（2025·四川凉山·模拟预测）在学习“特殊平行四边形”时，小华同学进行了这样的操作：如图1，在平行四边形中，作对角线的垂直平分线分别交、、于点、、，交、的延长线于点、，连接，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，若，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，根据，证明四边形为平行四边形．再根据，证明平行四边形为菱形； （2）根据菱形的性质得出，，，解直角三角形求出，再根据求出菱形的性质即可． 【详解】（1）解：菱形．理由如下： 在平行四边形中，， ． 垂直平分， ，， ， ． ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为菱形． （2）解：在菱形中，，，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定和性质，解直角三角形的相关即可，熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 【答案】(1)； (2) ；，理由见解析； 的长为． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形． （）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （）延长至点，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； 过作于，根据三线合一性质可求出，由可得，在中，根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：； （2）解： ， 理由：延长至点，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故的长为． 【压轴篇】 【考点40 利用二次函数的性质求最值】 1．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ，               解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴，                   ，    ， ∴； （3）设直线为，由得， ∴， ∴，             设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接，    由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，，              在中， ，                                               即当时，，此时， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，有点A、B在函数的图像上， (1)若，，①写出抛物线的对称轴为_____，②直接写出与的大小关系_____； (2)现有一动点P从点A出发，沿x轴方向水平运动到与y轴平行且经过点B的直线L上，再沿着直线L运动到点B，点P运动的总路径为d．当所在直线经过第二、四象限时， ①求a的取值范围； ②求d关于a的函数关系式． (3)关于x的二次函数：，若在（1）的条件下，当时，存在，求t的最小值． 【答案】(1)①；②； (2)①；②； (3) 【分析】（1）①将，代入，然后根据二次函数的性质即可解答；②由题意可得，然后代入函数解析式求得、，然后比较即可； （2）①由题可得：，设直线的解析式为，将A、B代入可得，再根据所在直线经过第二、四象限列出关于a的不等式求解即可；②先分别求出水平距离、垂直距离，然后求和即可解答； （3）先用x表示出，设，当时，存在，再根据二次函数的性质以及存在的定义列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为； 故答案为：． ②∵点A、B在函数的图像上，， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）解：点A、B在函数的图像上，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵所在直线经过第二、四象限时， ∴， 解得：． ②由①中的结论得，， 由题意得，点P运动的水平距离为， 竖直距离为， 所以总路径． （3）解：在（1）条件下时，， ∵当时，存在， ∴当时，存在，即， 设，当时，存在， ∵抛物线的对称轴为，开口向下， ∴在，w随x的增大而减小， ∵当时，存在， ∴当时，，即， ∴t的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、比较函数值的大小、一次函数的性质、求一次函数解析式、二次函数与不等式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 3．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，M是的顶点． (1)求a，b的值及点 M 的坐标； (2)将抛物线 平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线的对称轴为直线． ①当 平移路程最短时，直接写出的解析式； ②动点在抛物线上，当时，的最小值为2，求 h的值； ③我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．连接，与线段只有一个交点 F，且与上的整点个数比为，直接写出h的取值范围． 【答案】(1)，点M的坐标为 (2)①；②h的值为6或；③ 【分析】本题考查二次函数的性质，平移以及整点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键， （1）根据题意将点代入求出的值即可得到函数解析式，再将函数解析式化成顶点式即可得到M的坐标； （2）①要使平移路程最短，即顶点到轴的垂直距离最短，根据抛物线顶点坐标求出平移后的顶点坐标，进而得到的解析式；②根据抛物线的对称轴和开口方向，分情况讨论动点在不同区间时的最小值，从而求出的值；③先求出线段的表达式，得到整点个数，再根据与上的整点个数比为，得到点的横坐标，结合图象求出的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入中， 解得：，； ∴的解析式为：， ∴点M的坐标为：； （2）解：①当抛物线向上平移1个长度单位时，平移路程最短，此时抛物线的顶点坐标为：， ∴的解析式为：； ②由题意可知的解析式为：， 当，时，随的增大而增大， ∴当时，取最小值2，即， 解得：（舍），； 当，时，当时，的最小值为0，不符合题意； 当，时，随的增大而减小， ∴当时，取最小值2，即， 解得：（舍），； 综上所述，h的值为6或； ③设直线解析式为，将，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， ∵， ∴线段AB上的整点为：，，，，，，， ∵与上的整点个数比为5 ∶ 2， ∴上有5个整点，上有2个整点， ∴与线段的交点的横坐标在范围内有交点， 将代入中， 解得：，； 将代入中， 解得：， ． 当时，图象如下图所示，符合与线段只有一个交点； 当时，图象如下图所示，不符合与线段只有一个交点，故舍去． ∴h的取值范围是． 4．如图①，平面直角坐标系中，抛物线 与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； (2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； (3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不变，这个四边形的面积为16 【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为： 直线， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； （2）解：∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组 整理得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为； （3）解：如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴． 综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用参数构建方程是解题的关键． 【考点41 二次函数中的存在性问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 3．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，已知抛物线经过点、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，的面积最大为． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后用m表示出点M和点N，然后用点N的纵坐标减去点M的纵坐标即可解答； （3）根据的面积等于，据此列出二次函数解析式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式：，即． （2）解：设直线的解析式为：， 把、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， 即. （3）解：存在， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∵， 当时，有最大值为， 所以当时，的面积最大为． 4．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)点纵坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，则，当时，，求出；当时，，求出；当，时，，求出． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ， （2）解：当时，， ， 设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ∴设直线的解析式为， 解得， ∴直线的解析式为， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ． （3）解：设直线的解析式为， 当时， 解得：或， ， ， 当时，， 解得：或（舍）， ； 当时，， 解得或（舍）， ； 当时，， ， 解得：或（舍）， ， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 【考点42 反比例函数与几何综合】 1．已知菱形对角线，，以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，双曲线恰好经过边的中点，过直线上的点P作直线轴，交双曲线于点Q． (1)求的值及直线的函数解析式； (2)双曲线与直线交于M、N两点，试求线段的长； (3)是否存在点P，使以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，，， 【分析】（1）根据菱形的性质得到，于是得到B，C，D的坐标，求得的中点，于是求得，由待定系数法即可求出直线的解析式为； （2）列方程得到，于是得到，，如图1，过点N、M分别作x轴、y轴的垂线交于点E，根据勾股定理即可得到结论； （3）由直线轴可得轴，，当时，以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形，设，，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形为菱形 ，， ，，， 中点为，在反比例函数上， ， ， 设直线的解析式为，B、C两点坐标代入， ， 解得：，， ； （2）令，解得， 当时，； 当时，， ∴，， 如图1，过点N、M分别作x轴、y轴的垂线交于点E， 可得，， 由勾股定理可得 （3）由直线轴可得：轴， ， 当时，以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形， 设，， ①当点Q在点P上方时：，解得， 可得：，； ②当点Q在点P下方时：，解得， 可得， 综上所述：以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，，， 【点睛】本题考查了菱形的性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴，轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空：________； 【深入探究】 （2）求证：点在直线上； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（）；（）见解析；（），理由见解析． 【分析】（）由于点是反比例函数的图象上一点，则，根据即可求出的值； （）设，，由轴，轴，则，，求出直线的解析式为，当时，，从而求解； （）连接交于点，证明四边形是矩形，则，，，所以，，故有，由，则可得，则，然后通过平行线的性质即可求解． 【详解】解：（）由于点是反比例函数的图象上一点， 则， 又∵， ∴， 答案：； （）由（）知：， 设，， ∵轴，轴， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上； （），理由如下： 如图，连接交于点， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，等边对等角，矩形的判定与性质，一次函数的性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，矩形在平面直角坐标系中，，边与y轴交于点E，M为边上的点，以M为圆心，为半径作的一部分弧，交于点F，连接，且与弧相切，平分，反比例函数的图象经过点M，交于点N． (1)求反比例函数的解析式及点N的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，点N的坐标为 (2)存在点，点P的坐标为 【分析】（1）连接，证明，即可得到，然后根据勾股定理求出长，再在中，利用勾股定理求出长，得到点M的坐标，求出反比例函数解析式，即可求得点N的坐标； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而得到，求出点G的坐标，进而得到直线的解析式，根据三角形三边关系的应用得到当B，M，P三点共线时，取得最大值，计算解答即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴，， 连接， ∵与弧相切， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点的纵坐标为， ∴横坐标为， ∴点N的坐标为； （2）解：∵是矩形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当点P在直线上，根据三角形三边的关系可得， 当B，M，P三点共线时，取得最大值， 即点P的横坐标为10， 当时，， ∴存在点，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系，待定系数法求函数解析式，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．如图1，等边三角形的边长为m，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限． (1)若，以的某个顶点为旋转中心，将顺时针旋转，得到三角形与拼成一个菱形，请在图中画出该菱形，并写出菱形的第四个顶点C的坐标； (2)如图2，若菱形的顶点A在双曲线上，将菱形向下平移2个单位长度，点C恰好落在双曲线上，求k的值； (3)如图3，直线分别与直线相交于点C，D，E，若C，D，E三点中有两点关于第三点对称，直接写出m的值为 ． 【答案】(1)图见解析，或或 (2) (3)或 【分析】本题为图形变换与函数综合题，考查了等边三角形的性质、菱形的性质，勾股定理，反比例函数的性质，待定系数法，中心对称图形，中点坐标公式等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键，本题中还要注意分类思想的运用． （1）过点A作轴于点H，先求出点A的坐标为，画出的3个菱形，第四个顶点为C或或，当时，点A的坐标为，即可求出点C的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）由（1）知，点，，平移后点C的坐标为，将平移后点C的坐标和点A的坐标代入反比例函数即可求解； （3）先根据待定系数法求出直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，联立和①式求出点；同理求出点E、D的坐标为：、．由中点坐标公式得分点C是第三个点，点E是第三个点，点D是第三个点，分别解出（舍去），，，问题得解． 【详解】（1）解：过点A作轴于点H， ∵三角形为等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴ ， ∴点A的坐标为， 画出的3个菱形如图所示，3个菱形第四个顶点分别为C或或， 当时，点A的坐标为， 则点C的坐标为，即， 同理可得，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：由（1）知，点A的坐标为，则点C的坐标为，即， ∴向下平移2个单位长度后点C的坐标为， 将平移后点C的坐标和点A的坐标代入反比例函数表达式得，， 解得或0（舍去）， ∴； （3）解：由点O、A的坐标得直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为，直线的表达式为， 联立和①式得， 解得：，即点； 同理可得，点E、D的坐标为：、． 当点C是第三点时，即E、D关于点C对称，则点C是D、E的中点， 由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）； 当点E是第三个点，同理可得：， 解得：； 当点D是第三个点，同理可得：， 解得：， 综上，或． 故答案为：或 【点睛】本题为图形变换与函数综合题，考查了等边三角形的性质、菱形的性质，勾股定理，反比例函数的性质，待定系数法，中心对称图形，中点坐标公式等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键，本题中还要主要分类思想的运用． 【考点43 利用相似求坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 2．如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 【答案】(1)5;(2) A（﹣5，0），B（﹣1，2）. 【分析】（1）根据勾股定理求出AO即可； （2）由AO，即可得出A的坐标；证△BDO∽△ABO，得出比例式，代入求出OD、BD，即可得出B的坐标． 【详解】解：（1）在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OB＝，AB＝2， 由勾股定理得：OA＝＝5， （2）∵OA＝5， ∴A的坐标是（﹣5，0）， ∵BD⊥OA， ∴∠BDO＝∠ABO＝90°， ∵∠BOD＝∠BOD， ∴△BDO∽△ABO， ∴， ∴ ， 解得：OD＝1，BD＝2， 即B的坐标是（﹣1，2）， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似，线段长度与坐标，掌握勾股定理与相似的判定是解题的关键. 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使与相似，且以为直角边，若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或或或或或 【分析】本题考查了解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质． （1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出，的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标； （2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （3）先求出，，再根据以为直角边，得到或，最后根据与相似得到比例式计算即可，注意分类讨论． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴，， ∴，； （2）解：将代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点E为线段的中点，，B的横坐标为0， ∴点E的横坐标为， ∵点E为直线上一点， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵以为直角边， ∴或， ①当时，点在轴上，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； ②当时，，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； 综上所述，存在点M，使与相似，且以为直角边，点M的坐标为或或或或或或或． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【答案】(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． 【考点44 相似三角形-动点问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 【答案】能，或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，点D、E、F为顶点的三角形能与相似． 3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ，． （2）解：①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）解：的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 4．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 【考点45 相似三角形-最值问题】 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是转化思想的运用． （1）①根据矩形的性质证明即可；②连接，由勾股定理求得，由于，则当点共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，证明，则，故，则当点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，证明，则，由于，则当点三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点共线时，取得最小值为； （2）解：延长至点，使得，连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：延长至点，使得，连接，    ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， ∵在矩形中，， ∴， ∴的最小值为． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，点为上一定点，；点分别是线段，直线上的动点，求四边形周长的最小值，并求此时的长． 【答案】最小值为12， 【分析】本题考查利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质．正确作出图形是解题的关键． 作点D关于的对称点，点A关于的对称点，连接，分别交、于E、F，连接交于G，此时，四边形周长，四边形周长最小值，利用勾股定理求出的长即可；再证明，得，从而求得，即可求出的长． 【详解】解：作点D关于的对称点，点A关于的对称点，连接，分别交、于E、F，连接交于G，如图， 则，，，，， ∴，则最小值为 ， ∵， ∴四边形周长， ∴四边形周长最小值， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）如图①，已知和为等腰直角三角形，，则与线段的数量关系为 ___________ ， 与线段的位置关系为 ___________ ． （2）如图②，，，试探究线段与线段的数量关系及位置关系，并加以证明． （3）如图③，，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】（1）证明则，，再结合三角形内角和定理可得； （2）证明，则、，证明，则、， 由，可得，即； （3）如图，过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则、，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，； 如图：设相交于F，、相交于G， ∵，， ∴，即． 故答案为：，． （2）解：，，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图，过点C作，在上取点E使，连接， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为16， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识等知识点．熟练运用相关知识是解题的关键． 4．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知，如图，在平行四边形中，，，，M是边上一点，将沿直线对折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，延长与交于点E，当时，求的面积； (3)当射线交线段于点F时，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠可知：，由平分，得到，进一步有．由四边形是矩形，得到，由得到的长； （2）由四边形是矩形，得到．由折叠可知：，得到，故．设，则．在中，由，得到．故，由，即可得到结论； （3）如图2，过点A作于点H，则，故，由，，故当点N、H重合（即）时，最大，此时M、F重合，B、N、M三点共线，（如图3），而，故可求出的最大值． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ∴， ∵平分， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ； （2）解：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， 设，则． 在中，， ∴， 解得：， ， ， ∴． （3）解：如图2，过点A作于点H， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴， ，， ∴当点N、H重合（即）时，最大，最小，最小，最大，此时M、F重合，B、N、M三点共线，（如图3）， 由折叠性质得：， ， ， 在和中， ， ， ∴， 的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，合理构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【考点46 相似三角形-综合与实践】 1．（2025·江苏扬州·二模）综合与探究：如图，四边形为正方形，M为线段上一动点，且，连接． (1)如图1，若，将正方形沿折叠，使得点A的对应点落在正方形内． ① ；（用含字母a的代数式表示） ②当M为中点时，如图2，连接并延长交于D，求证：． (2)如图3，作，交射线于点N，猜想并证明的数量关系． (3)当点M在射线上时，作交射线于点N，射线与射线相交于点E，若，请直接写出的值． 【答案】(1)①，见解析 (2)，证明见解析 (3)3 【分析】（1）①利用折叠性质直接求解即可； ②连接，先证明，得到， 再在中，利用勾股定理求解即可； （2）证明得到，由可得结论； （3）点M在线段上，作于点Q，可得，由，，得到，则，故3，则3；当点M在线段的延长线上，过E作交延长线于R，先证明，是等腰直角三角形，，，再证明得到，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 由折叠性质得； 故答案为：； ②证明：如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质得，，， ∴，又， ∴， ∴， 设， ∵M为中点，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 解得，则， ∴； （2）解：． 证明： ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，点M在线段上，作于点Q，则， ∵正方形 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴3， ∴3； 当点M在线段的延长线上，过E作交延长线于R， 则，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、折叠性质等知识，熟练运用全等三角形的性质和相似三角形的性质是解答的关键． 2．（2025·河南新乡·二模）综合与实践 如图1，和都是等腰直角三角形（），，连接，取 的中点 F，连接． (1)如图1，当点D，E分别在边上时，线段和的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)将绕点A 旋转，在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2 中的情况给予证明；否则，请说明理由． (3)在（2）的条件下，当点 D 落在直线上时，若直线与直线相交于点 P，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)结论成立，见解析 (3)或 【分析】（1）根据直角三角形斜边的性质解答即可； （2）分别延长至点G，至点H，使，，可得垂直平分，垂直平分，从而得到，再证明，，，然后根据三角形中位线定理可得，，从而得到，，，即可解答； （3）根据题意可得，设，然后分两种情况讨论，结合勾股定理以及相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解∶∵，点 F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即； 故答案为：， （2）解：如图，分别延长至点G，至点H，使，， ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点 F是的中点， ∴分别为的中位线， ∴，， ∴，，， ∴ 即； （3）解：由（2）得，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 设， 如图，此时， 在中，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，此时， 在中，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或 ． 【点睛】本题主要查了直角三角形斜边的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握直角三角形斜边的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）综合与实践 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且于点P． (1)求证：． (2)如图2，取的中点G，连接，过点P作，交于点H，连接． ①求证：． ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）①由，得，再证明即可推出结论；②先得出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ， ， ， ， ． （2）解：①证明：，， ，即，． ，， ， ； ②，， ， ． 四边形是正方形， ， ． 是的中点， ． ， ， ， ． 在中，． 4．（2025·河南开封·一模）综合与实践在中，． 问题发现 （1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________． 类比探究 （2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由． 迁移应用 （3）如图3，将绕点旋转一定的角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】（1），（2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致，理由见解析（3） 【分析】（1）根据旋转性质得根据勾股定理列式解得故；运用三角形内角和性质，得出，即，即可作答． （2）根据旋转性质得，根据两边成比例，夹角相等得，即，，得，则，即进行作答即可． （3）如图，过点作于点，根据勾股定理得，再证明，得，因为所以，得．即可作答． 【详解】（1）∵将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，， ∴ ∴， ∴ ∴与之间的数量关系是， 延长交于一点， ∵，， ∴， 即， ∴与的位置关系是， 故答案为：，； （2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致， 理由如下： 如图，延长交于点， 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到， ， ， ， ， ，． （3）如图，过点作于点， ， ， ， 又 ， ， ， 由（2）可知． 【点睛】本题考查了旋转性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点47 构造直角三角形解直角三角形】 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 2．阅读下列内容，并解答问题： 三角形的一个面积公式 小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络搜索学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下： 在中，已知，，，则的面积为. 请你完成以下活动： 问题探究： （1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立；    问题解决： （2）如图2，在中，，，.则的面积是______.    【答案】（1）证明见解析；（2）9 【分析】（1）过点作于点，解，求出AD，即可；（2）同理求出AD的长度，运用求解即可. 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，    在中，. ∵， ∴. （2）在△ABC中， ∵，，， ∴. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，解题的关键是做辅助线，通过解直角三角形表示出三角形对应边上的高. 3．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=    （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）作AH⊥BC，则△ABH中，根据勾股定理即可求得AH的长，即可求得sinB； （2）作DE⊥BC，则根据勾股定理可以求得BE的长，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求△BCD的面积． 【详解】   （1）作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ 在 中， ∴ （2）作,垂足为, 在中， ，令 , ， 则 ， 又在中，， 则 ， 于是 ，即 ， 解得 ， ∴. 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键． 4．一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 【答案】 【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可． 【详解】解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F． ∵∠A＝∠C＝60°， ∴DE＝30•sin60°＝15≈25.9808m， BF＝20•sin60°＝10≈17.3205m， ∴ ＝×50×25.9808＋×50×17.3205≈． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，对于一个任意四边形，在求面积时，一般是构建直角三角形，利用求和的方法来求面积，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习6大类型47个考点（前3章） 【沪科版】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 二次函数的定义】 2 【考点2 二次函数的图象与性质】 3 【考点3 二次函数的图象与性质】 3 【考点4 二次函数的图象与性质】 4 【考点5 二次函数的图象与性质】 5 【考点6 二次函数的图象与的性质】 5 【考点7 二次函数图象与系数的关系】 6 【考点8 二次函数图象与几何变换】 8 【考点9 二次函数与一元二次方程】 8 【考点10 反比例函数的相关概念】 9 【考点11 反比例函数的图象】 10 【考点12 反比例函数图象的对称性】 11 【考点13 反比例函数的性质】 12 【考点14 反比例函数k的几何意义】 12 【考点15 待定系数法求反比例函数的解析式】 14 【考点16 成比例线段】 15 【考点17 平行线分线段成比例】 16 【考点18 相似三角形的判定】 17 【考点19 相似三角形的性质】 18 【考点20 根据位似变换求值】 19 【考点21 正弦、余弦、正切的定义】 20 【考点22 特殊角的三角函数的值】 20 【考点23 锐角的三角函数间的关系】 21 【考点24 解直角三角形的相关计算】 22 【计算篇】 22 【考点25 含特殊角的三角函数值的计算】 22 【实际应用篇】 23 【考点26 二次函数的应用】 23 【考点27 反比例函数的应用】 25 【考点28 相似三角形的应用】 27 【考点29 解直角三角形的应用】 28 【作图篇】 30 【考点30 作位似图形】 30 【考点31 在网格中作相似三角形】 31 【几何证明与计算篇】 33 【考点32 反比例函数中的面积问题】 33 【考点33 利用平行线分线段成比例求线段长度】 34 【考点34 证明相似三角形】 36 【考点35 利用相似三角形的判定和性质求值】 37 【考点36 利用相似三角形的判定和性质证明】 38 【考点37 求锐角三角函数值】 39 【考点38 三角形中解直角三角形】 40 【考点39 在四边形中解直接三角形】 41 【压轴篇】 43 【考点40 利用二次函数的性质求最值】 43 【考点41 二次函数中的存在性问题】 45 【考点42 反比例函数与几何综合】 47 【考点43 利用相似求坐标】 49 【考点44 相似三角形-动点问题】 50 【考点45 相似三角形-最值问题】 51 【考点46 相似三角形-综合与实践】 53 【考点47 构造直角三角形解直角三角形】 55 【基础概念易错篇】 【考点1 二次函数的定义】 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有 ． 2．已知函数是二次函数，则 ． 3．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 4．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【考点2 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象开口向上，则实数a可以为 ． 4．对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【考点3 二次函数的图象与性质】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． 【考点4 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ． 4．（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 【考点5 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，则下列大小比较正确的是（） A． B． C． D． 2．当时，二次函数有最大值，则实数的值为(    ) A． B．或 C．或 D．或或 3．若二次函数的图像在这一段位于轴的上方，在这一段位于轴的下方，则值为 ． 4．如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．    （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ． （2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 ． 【考点6 二次函数的图象与的性质】 1．（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知点和都在这个二次函数的图象上，则 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，为常数）． （1）当时，该函数图象的对称轴为直线 ； （2）当时，的最大值为；当时，的最大值为，则 ． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则 ． 【考点7 二次函数图象与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 ． ①图象与轴的交点为，；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数的最小值为； ；若，则；若，则；⑤一元二次方程的两个根为和 ．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是 ． 【考点8 二次函数图象与几何变换】 1．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如果二次函数平移后的顶点恰好落在直线上，求平移后的图像与y轴交点的纵坐标的最小值为 ． 2．将抛物线向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，则所得抛物线的解析式 ． 3．如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．其中正确的为（    ） ①； ②当时，代数式的最小值为3； ③对于任意实数，不等式一定成立； ④，为该二次函数图象上任意两点，且，当时，一定有． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点9 二次函数与一元二次方程】 1．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）设一元二次方程的两实根分别为，，且，则，满足（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ）                                         A． B． C． D． 【考点10 反比例函数的相关概念】 1．（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知是反比例函数，则函数的图像在第 象限． 3．（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·江西·模拟预测）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（   ） A． B． C． D． 【考点11 反比例函数的图象】 1．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）已知，则函数和的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 4．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 【考点12 反比例函数图象的对称性】 1．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 4．如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【考点13 反比例函数的性质】 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象过第一、三象限 C．若，则 D．点、是图象上的两点，，则 3．已知点和在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【考点14 反比例函数k的几何意义】 1．（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为 ． 2．如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一点，点是轴正半轴上一点，直线交反比例函数的图象于点，且，若的面积为，则的值为 ． 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【考点15 待定系数法求反比例函数的解析式】 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）．则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上一点的直线轴，分别交反比例函数（）和（）的图象于点，，且，．则的值为（   ） A．12 B． C．16 D． 3．（2025·广东深圳·三模）如图，为等腰三角形，，与反比例函数交于点，若恰好为中点，的面积为16，则的值为 ． 4．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在反比例函数的图象上，对角线与相交于原点，若菱形的面积为，点的坐标是，则的值为 ． 【考点16 成比例线段】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，那么（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 3．（25-26九年级上·广东·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点E是平行四边形边上一点，、延长线交于点F，下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【考点17 平行线分线段成比例】 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 4．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【考点18 相似三角形的判定】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，若和的面积之比为，则与的对应角的角平分线之比为（   ） A． B． C． D． 3．（2020·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【考点19 相似三角形的性质】 1．如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则          3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，延长交于，且，则的长 ． 4．（2025·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 【考点20 根据位似变换求值】 1．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 2．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，点是四边形对角线、的交点，与互补，，，，，则的长为 ． 3．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 4．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴负半轴和轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 【考点21 正弦、余弦、正切的定义】 1．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 4．（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 【考点22 特殊角的三角函数的值】 1．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 2．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 3．（2025·福建龙岩·二模）如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，已知直线分别与轴和轴相交于点和点，且直线的解析式为，于点，与轴正半轴的夹角为，则等于 ． 【考点23 锐角的三角函数间的关系】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 2．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 3．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 4．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5 【考点24 解直角三角形的相关计算】 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 2．一个三角形的两边之长分别为5、，这两边夹角的余弦值为，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C．2 D． 3．（2025·湖北·模拟预测）在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ． 4．在中，，，，点D为边中点，将绕A旋转，点B，C对应点分别为点E，F，若点F在射线上，则 【计算篇】 【考点25 含特殊角的三角函数值的计算】 1．（25-26九年级上·山东·期中）计算 (1) (2) 2．（2024·广东·模拟预测）计算 (1) (2) 3．（2025·广东深圳·模拟预测）计算： 4．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【实际应用篇】 【考点26 二次函数的应用】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点，点）以及点，点落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分与第2根栏杆未涂色部分长度相等，则求的长度． 2．（24-25九年级上·内蒙古·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这20天中第几天销售利润为18000元； (3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 【考点27 反比例函数的应用】 1．学校为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 ，待加热到 ，饮水机 自动停止加热，水温开始下降，水温 与通电时间 x（分）的关系如图所示（图 中的曲线是双曲线的一部分），解答下列问题： (1)当 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)求图中 a 值 (3)一天早上 ，王老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能 喝到不超过的温开水，应在什么时间段内接水？ 2．（2025·吉林·三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 3．（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如表： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘B与点O的距离； (4)当托盘 B 向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 【考点28 相似三角形的应用】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）魏晋南北朝时期，中国数学在测量学方面取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．求山高． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走，求大厦主体建筑的高度（不含顶部的“明珠”部分的高度） 4．（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【考点29 解直角三角形的应用】 1．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 2．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 4．（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【作图篇】 【考点30 作位似图形】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． (1)请画出； (2)与的周长之比为______； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． (1)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (2)与的相似比是______． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画出一个以点C为位似中心，且与位似的（位似比不为1）； (2)在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【考点31 在网格中作相似三角形】 1．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 2．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 3．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的点A、B、C在格点上，格点D、E分别在边上．按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画线段的垂直平分线，分别交于点F、G． (2)在图②中过点B作交于点M． (3)在图③中，连结，过点C作交于点N． 【几何证明与计算篇】 【考点32 反比例函数中的面积问题】 1．（2025·江西·模拟预测）如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 2．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移个单位长度与的图象交于点，连接、． ①求的面积． ②若直线的解析式为，请直接写出成立时的取值范围． 3．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标轴上，，，直线交，分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 4．（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【考点33 利用平行线分线段成比例求线段长度】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 2．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点D是边上的一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，．求的长． 3．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 【考点34 证明相似三角形】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，于点，连接，过点作交于点．求证：． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 4．如图，四边形中，平分，，E为的中点． (1)求证：； (2)连接交于点F，求证：． 【考点35 利用相似三角形的判定和性质求值】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点O，过点O作，分别交边、于点E、F． (1)求线段的长； (2)如果的面积等于4，求梯形的面积． 3．（25-26九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： (1)的长度； (2)三角形与三角形的面积之比． 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)求的值； (2)求的值为______． 【考点36 利用相似三角形的判定和性质证明】 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图1，点D、E分别为的边上的两点，，将绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、（如图2）． 求证：． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，E是平行四边形的边的延长线上的一点，连接，交于点O，交于点F，求证：． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，，，是三个相连的正方形，连接，，．求证：． 4．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)当点E为中点时，求证：． 【考点37 求锐角三角函数值】 1．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 2．（2024·浙江宁波·一模）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）    (1)请在图1中画出的高，计算得__________． (2)请在图2中在线段上找一点E，使． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求矩形对角线的长． (2)过点O作于点E，连接．记，求的值． 4．（2025·吉林长春·一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，四边形的面积为24，则________． 【考点38 三角形中解直角三角形】 1．（2025·浙江温州·三模）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 2．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，E为的中点，连结，，，． (1)求的长． (2)求的值． 3．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知：如图，平分，于点D． (1)尺规作图：作直线，使，与相交于点E．（请保留作图痕迹） (2)在上题条件下已知，，求的长． 【考点39 在四边形中解直接三角形】 1．（2025·湖南永州·一模）如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 3．（2025·四川凉山·模拟预测）在学习“特殊平行四边形”时，小华同学进行了这样的操作：如图1，在平行四边形中，作对角线的垂直平分线分别交、、于点、、，交、的延长线于点、，连接，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，若，求四边形的面积． 4．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 【压轴篇】 【考点40 利用二次函数的性质求最值】 1．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 2．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，有点A、B在函数的图像上， (1)若，，①写出抛物线的对称轴为_____，②直接写出与的大小关系_____； (2)现有一动点P从点A出发，沿x轴方向水平运动到与y轴平行且经过点B的直线L上，再沿着直线L运动到点B，点P运动的总路径为d．当所在直线经过第二、四象限时， ①求a的取值范围； ②求d关于a的函数关系式． (3)关于x的二次函数：，若在（1）的条件下，当时，存在，求t的最小值． 3．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，M是的顶点． (1)求a，b的值及点 M 的坐标； (2)将抛物线 平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线的对称轴为直线． ①当 平移路程最短时，直接写出的解析式； ②动点在抛物线上，当时，的最小值为2，求 h的值； ③我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．连接，与线段只有一个交点 F，且与上的整点个数比为，直接写出h的取值范围． 4．如图①，平面直角坐标系中，抛物线 与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； (2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； (3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 【考点41 二次函数中的存在性问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 3．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，已知抛物线经过点、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 4．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【考点42 反比例函数与几何综合】 1．已知菱形对角线，，以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，双曲线恰好经过边的中点，过直线上的点P作直线轴，交双曲线于点Q． (1)求的值及直线的函数解析式； (2)双曲线与直线交于M、N两点，试求线段的长； (3)是否存在点P，使以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴，轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空：________； 【深入探究】 （2）求证：点在直线上； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，矩形在平面直角坐标系中，，边与y轴交于点E，M为边上的点，以M为圆心，为半径作的一部分弧，交于点F，连接，且与弧相切，平分，反比例函数的图象经过点M，交于点N． (1)求反比例函数的解析式及点N的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，等边三角形的边长为m，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限． (1)若，以的某个顶点为旋转中心，将顺时针旋转，得到三角形与拼成一个菱形，请在图中画出该菱形，并写出菱形的第四个顶点C的坐标； (2)如图2，若菱形的顶点A在双曲线上，将菱形向下平移2个单位长度，点C恰好落在双曲线上，求k的值； (3)如图3，直线分别与直线相交于点C，D，E，若C，D，E三点中有两点关于第三点对称，直接写出m的值为 ． 【考点43 利用相似求坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 2．如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使与相似，且以为直角边，若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【考点44 相似三角形-动点问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【考点45 相似三角形-最值问题】 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，点为上一定点，；点分别是线段，直线上的动点，求四边形周长的最小值，并求此时的长． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）如图①，已知和为等腰直角三角形，，则与线段的数量关系为 ___________ ， 与线段的位置关系为 ___________ ． （2）如图②，，，试探究线段与线段的数量关系及位置关系，并加以证明． （3）如图③，，则的最大值为___________． 4．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知，如图，在平行四边形中，，，，M是边上一点，将沿直线对折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，延长与交于点E，当时，求的面积； (3)当射线交线段于点F时，求的最大值． 【考点46 相似三角形-综合与实践】 1．（2025·江苏扬州·二模）综合与探究：如图，四边形为正方形，M为线段上一动点，且，连接． (1)如图1，若，将正方形沿折叠，使得点A的对应点落在正方形内． ① ；（用含字母a的代数式表示） ②当M为中点时，如图2，连接并延长交于D，求证：． (2)如图3，作，交射线于点N，猜想并证明的数量关系． (3)当点M在射线上时，作交射线于点N，射线与射线相交于点E，若，请直接写出的值． 2．（2025·河南新乡·二模）综合与实践 如图1，和都是等腰直角三角形（），，连接，取 的中点 F，连接． (1)如图1，当点D，E分别在边上时，线段和的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)将绕点A 旋转，在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2 中的情况给予证明；否则，请说明理由． (3)在（2）的条件下，当点 D 落在直线上时，若直线与直线相交于点 P，，请直接写出的值． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）综合与实践 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且于点P． (1)求证：． (2)如图2，取的中点G，连接，过点P作，交于点H，连接． ①求证：． ②若，，求的长． 4．（2025·河南开封·一模）综合与实践在中，． 问题发现 （1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________． 类比探究 （2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由． 迁移应用 （3）如图3，将绕点旋转一定的角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【考点47 构造直角三角形解直角三角形】 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 2．阅读下列内容，并解答问题： 三角形的一个面积公式 小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络搜索学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下： 在中，已知，，，则的面积为. 请你完成以下活动： 问题探究： （1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立；    问题解决： （2）如图2，在中，，，.则的面积是______.    3．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=    （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 4．一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $