精品解析：天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高一上学期第一次质量检测数学试卷

天津市第一中学滨海学校2025级高一数学学科 第一次质量检测试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知全集，集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】因为全集，集合，，则， 因此，. 故选：C. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答. 【详解】由题意得，因为全称命题的否定是特称命题， 故则命题的否定是. 故选：D 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可得，结合充分条件及必要条件的定义判断结论. 【详解】解不等式，可得， 所以不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集， 所以可以排除选项A，B，C， 因为由可推得，由不能推得， 所以使不等式成立的一个充分不必要条件为． 故选：D． 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否为同一函数. 【详解】对A,的值域为的值域为，不是同一函数，故错误； 对B,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对C,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对D,，二者的定义域、对应法则均相同，为同一函数，故正确. 故选：D 5. 已知、为正实数，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 对任意，若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用作差法可判断ABC选项，取，可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，若，则，则，A对； 对于B选项，若，则， 所以，，B对； 对于C选项，， 所以，，C对； 对于D选项，当时，，D错. 故选：ABC. 6. 设函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】代入计算，得到. 【详解】. 故选：B 7. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用1的代换结合基本不等式可求最小值. 【详解】.. 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 8. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则，即可以推导出，故充分性成立； 由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法可得结论. 【详解】由，可得，解得， 所以当时，，排除BD； 由，解得或， 所以时，，排除C. 故选：A. 10. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，再结合的性质求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意， 当时， 因为为二次函数，且函数在区间上单调递增， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：. 11. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 12. 已知函数，其中，下列结论正确的是（ ） A. 存在实数，使得函数为奇函数 B. 存在实数，使得函数为偶函数 C. 当时，的单调增区间为， D. 当时，若方程有三个不等实根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A、B利用奇偶性定义及解析式判断是否存在实数使或；C、D写出的分段函数性质，结合参数a的范围，应用二次函数的性质判断单调区间，进而确定时方程根的情况求参数范围. 【详解】由，显然当时有，但不存在实数使，A正确，B错误； 且在处连续，当时，易知：在上递增，递减，上递增，C正确； 由解析式，当时在上递增，递减，上递增， 又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点， 所以，又，可得，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分.） 13. 函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法，求得函数的定义域. 【详解】， 所以的定义域为. 故答案为： 14. 已知集合，且，则的值为_____________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系确定的值，结合元素的互异性验证. 【详解】由题意可得或，解得或或， 当时，，符合题意. 当时，，符合题意， 当时，，不满足集合中元素的互异性，不符合. 综上得或. 故答案为：或. 15. 已知函数为上的偶函数．则实数a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】借助偶函数定义计算即可得解. 【详解】， 故. 故答案为：. 16. 已知，若，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到或，从而求出的值，再检验即可. 【详解】因为，所以，又， 所以或， 解得或或， 当时，集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去； 当或时，经检验均符合题意； 综上可得或 故答案为：或 17. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先分情况讨论的符号，再由可得的取值范围. 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以若，则不等式可化为：，对一切恒成立，故满足题意； 若，则. 综上可知：. 故答案为： 18. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投______万元，获得总利润为______万元. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值，从而求出总利润. 【详解】设李明获得的利润为万元，则， 则 ， 当且仅当，因为，即当时，等号成立. 此时总利润为. 故答案为：；. 19. 对于任意的，表示不超过x的最大整数．18世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．给出下列四个结论： ①函数为奇函数； ②函数的值域为； ③对于任意的，不等式恒成立； ④不等式的解集为． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①，根据取整函数的定义结合奇函数的定义分析判断；对于②，根据取整函数的定义求解判断；对于③，根据取整函数的定义结合不等式的性质分析判断；对于④，先解一元二次不等式，再利用取整函数定义求解. 【详解】对于①，当时，，当，， 所以不是奇函数，所以①错误， 对于②，因为表示不超过的最大整数，所以当时，， 且可取遍任意整数，所以函数的值域为，所以②正确， 对于③，当时，设，，， ，，，则，， 则，则， 由，故，则恒成立，所以③正确， 对于④，由，得， 因为表示不超过的最大整数，所以，所以④正确. 故答案为：②③④. 20. 已知集合，若，且对任意的，，均有，则B中元素个数的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得集合，由可知与异号或其中至少有一个为，通过列举可得集合，即可求解. 【详解】因为集合， 所以 ， 由， 所以与异号或其中至少有一个为， 又，，， 所以元素个数尽量多的集合， 或， 或， 或， 所以集合中元素个数的最大值为. 故答案为：. 三、解答题（共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 21. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因式分解后求解即可得； （2）利用求根公式计算即可得； （3）将分式不等式变为整式不等式后求解即可得. 【小问1详解】 ，则， 即该不等式解集为； 【小问2详解】 由可得， 令，解得， 则对有或， 即该不等式解集为； 【小问3详解】 ， 即，解得， 即该不等式解集为. 22. 设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式，确定集合，在根据并集运算求并集即可. （2）根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 由，即. 当时，由，即. 所以. 【小问2详解】 因为， 若，则，由得：； 若，则，成立； 若，则，由得：. 综上，实数的取值范围是：. 23. 设函数. （1）解关于x的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）对a分类讨论：当时；当时；当时.分别求出对应的解集； （2）利用分离参数法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出a的取值范围. 【小问1详解】 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，所以由可化为：， 因为（当且仅当，即时等号成立）， 所以.所以a的取值范围为. 24. 已知函数是上的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）如果对，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即， ， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数是上的偶函数， 所以有， 因为，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知：函数在区间上单调递增， 而函数是偶函数，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为， 由恒成立，即， 也就是， 则，得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一中学滨海学校2025级高一数学学科 第一次质量检测试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知全集，集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知、为正实数，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 对任意，若，则 6. 设函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 7. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 8. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，其中，下列结论正确的是（ ） A. 存在实数，使得函数为奇函数 B. 存在实数，使得函数为偶函数 C. 当时，的单调增区间为， D. 当时，若方程有三个不等实根，则 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分.） 13. 函数的定义域是___________. 14. 已知集合，且，则的值为_____________. 15. 已知函数为上的偶函数．则实数a的值是________． 16. 已知，若，则的值为_______． 17. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是____________ ． 18. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投______万元，获得总利润为______万元. 19. 对于任意的，表示不超过x的最大整数．18世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．给出下列四个结论： ①函数为奇函数； ②函数的值域为； ③对于任意的，不等式恒成立； ④不等式的解集为． 其中所有正确结论的序号是________． 20. 已知集合，若，且对任意的，，均有，则B中元素个数的最大值为________． 三、解答题（共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 21. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 22. 设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 23. 设函数. （1）解关于x的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 24. 已知函数是上的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）如果对，都有成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $