第6章 幂函数、指数函数和对数函数（举一反三单元测试·拔尖卷）高一数学苏教版必修第一册

第6章 幂函数、指数函数和对数函数（举一反三单元测试·拔尖卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·安徽宣城·期末）幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 2．（5分）（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   5．（5分）（24-25高一下·湖北·阶段练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 6．（5分）（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 7．（5分）（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知函数，且满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 8．（5分）（2025·山西·模拟预测）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·云南·期末）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 10．（6分）（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 11．（6分）（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 13．（5分）（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 14．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，函数，若对任意的实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·吉林延边·期末）设函数，且. (1)求实数的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最小值. 16．（15分）（24-25高二上·河南·开学考试）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 17．（15分）（24-25高一上·四川泸州·期末）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min. (1)求； (2)小王想喝的温水，发现水的温度为，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少min？ (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要8min.现该电热水壶中水的温度为，经过98min后，此时壶中水的温度是多少？ 18．（17分）（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 19．（17分）（24-25高一上·河南新乡·期末）若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”. (1)若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由. (2)证明：函数是“超加性倾向函数”. (3)若函数是“超加性倾向函数”，求的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（举一反三单元测试·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·安徽宣城·期末）幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【解题思路】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【解答过程】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 2．（5分）（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小即可. 【解答过程】因为在上单调递增，且， 所以，得，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 所以. 故选：A. 3．（5分）（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先得出为奇函数，且知在上单调递增，再解不等式即可． 【解答过程】令，， 为奇函数，且知在上单调递增． ， 原不等式可转化为， ，解得． 故选：D． 4．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】利用函数的奇偶性和特殊点的函数值可确定正确选项. 【解答过程】， 所以为偶函数，图像关于轴对称，排除A、B选项. 又因为，故排除C， 故选：D. 5．（5分）（24-25高一下·湖北·阶段练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【解题思路】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【解答过程】解：因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立，所以该函数在是减函数， 所以，故A，B错误； ，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：D. 6．（5分）（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 【答案】B 【解题思路】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判断. 【解答过程】由，其定义域为R，关于原点对称， ，所以是奇函数. 又， 因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且， 所以在R上单调递减，则在R上单调递增， 那么在R上单调递增. 故单调递增且是奇函数. 故选： 7．（5分）（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知函数，且满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，探讨函数的及单调性，再利用此性质求解不等式. 【解答过程】依题意，，函数的定义域为， ， 函数是奇函数，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 于是函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 不等式， 则，即，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：C. 8．（5分）（2025·山西·模拟预测）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由于在R上单调递减，在单调递增， 当时，，故， 则在上单调递减，在单调递增， 故在上的最小值为，即； 由， 令，则，则或， 作出函数的图象如图： 由于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 故，解得，即， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·云南·期末）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 【答案】BC 【解题思路】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【解答过程】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC. 10．（6分）（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 【答案】AC 【解题思路】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断. 【解答过程】对于A，因，则，即值域为，A正确； 对于B，因，由得，即， ∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误； 对于C，由， 可得，    由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，故D错误. 故选：AC. 11．（6分）（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解题思路】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【解答过程】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】（说明写成也给分） 【解题思路】应用复合函数单调性结合指数函数单调性求解. 【解答过程】因为单调递减，单调递减，单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 13．（5分）（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】先根据幂函数单调性和对称性求得，然后探究函数的性质，利用单调性解不等式组即可求解. 【解答过程】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，函数，若对任意的实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围. 【解答过程】由函数， 当时，，即， 当时，，即，所以可知的值域为， ， 由题意可知，函数在的值域应是函数值域的子集， 故当时，解得， 当时，，此时无解， 当时，，此时无解， 综上综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·吉林延边·期末）设函数，且. (1)求实数的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1)，定义域为 (2)0 【解题思路】（1）根据题中条件，即可对数运算，得到的值；再根据真数大于零，列出不等式组求解，即可求出定义域； （2）由（1）将函数解析式整理得到，判断其在给定区间的单调性，即可得出最小值. 【解答过程】（1）因为， 由，得，则，解得； 又，解得， 所以的定义域为； （2）由（1）得， 因为，令， 令，则函数单调递增， 故，即时，取最小值， 故的最小值为0． 16．（15分）（24-25高二上·河南·开学考试）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1). (2). 【解题思路】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，确定结论； （2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. 【解答过程】（1）由题意，幂函数， 可得，     即，解得或，     当时，函数为奇函数，     当时，为非奇非偶函数，     因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，     解得，     所以a的取值范围为. 17．（15分）（24-25高一上·四川泸州·期末）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min. (1)求； (2)小王想喝的温水，发现水的温度为，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少min？ (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要8min.现该电热水壶中水的温度为，经过98min后，此时壶中水的温度是多少？ 【答案】(1) (2)至少需要等待60min (3) 【解题思路】（1）根据题意代入相应数据运算即可； （2）根据题意可知，，代入运算即可； （3）根据题意可得水的温度由冷却到，需要，再加热8min，结合题意求水温即可. 【解答过程】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min， 则，即，所以. （2）由题意可知：，， 可得，解得， 所以至少需要等待60min. （3）设水的温度由冷却到，需要， 则，解得， 此时电热水壶开始加热，需要8min加热至，且， 若水的温度由冷却到，可知需要60min， 显然，则， 所以经过98min后，此时壶中水的温度是. 18．（17分）（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【解答过程】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； （3）由题， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，； 当时，； 当时，. 19．（17分）（24-25高一上·河南新乡·期末）若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”. (1)若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由. (2)证明：函数是“超加性倾向函数”. (3)若函数是“超加性倾向函数”，求的值. 【答案】(1)不是“超加性倾向函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据新定义直接求解判断即可； （2）根据“超加性倾向函数”的定义直接证明即可； （3）根据“超加性倾向函数”的定义，对恒成立，等价于对恒成立，又对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立，进而利用不等式恒成立问题，求解参数即可. 【解答过程】（1）当时，，             . 因为是上的增函数，所以，             则，则不是“超加性倾向函数”. （2）因为，所以是上的增函数. 因为是上的增函数，所以是上的增函数， 因为，所以.     取任意的，， 则.             因为，，所以，，所以，， 所以， 所以，则，             故是“超加性倾向函数”. （3）因为是“超加性倾向函数”，所以对恒成立， 即对恒成立. 因为，所以，所以.             因为是“超加性倾向函数”， 所以对任意的，恒成立， 所以，即， 即对任意的，恒成立.             因为，，所以，，所以，， 所以，所以，解得.                 故. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $