第6章 幂函数、指数函数和对数函数（举一反三单元测试·培优卷）高一数学苏教版必修第一册

第6章 幂函数、指数函数和对数函数（举一反三单元测试·培优卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·全国·课后作业）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 2．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 5．（5分）（24-25高一下·浙江·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高三上·重庆·阶段练习）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一上·河南南阳·期末）我们已经学习和研究了对数函数（，且）的图象和性质．如果将解析式中的a，x互换位置，底数变为自变量，即可得到形如（，且）的函数．设（，且），则关于函数的图象或性质表述正确的是（   ） A．的图象只能出现在第一象限 B．的图象可以出现在第一、第二象限 C．的值域为R D．在区间和上单调递减 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．所有幂函数的图象均过点 B．若幂函数在区间上单调递减，则 C．幂函数一定具有奇偶性 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限 10．（6分）（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 11．（6分）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的值域为 . 13．（5分）（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 14．（5分）（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 16．（15分）（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 17．（15分）（24-25高一上·河北·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 18．（17分）（2025高一上·吉林·专题练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 19．（17分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（举一反三单元测试·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·全国·课后作业）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义判断即可. 【解答过程】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 2．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用指数函数的性质即可得答案. 【解答过程】对于函数，令， 解得，此时， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A. 3．（5分）（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果. 【解答过程】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 4．（5分）（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知幂函数是定义在上的奇函数，则的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义以及奇函数的性质求解即可. 【解答过程】是幂函数，所以,解得或； 当时，是定义在上的偶函数，不满足题意； 当时，是定义在上的奇函数，满足题意； 故选：C. 5．（5分）（24-25高一下·浙江·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数性质和排除法排除不符合选项即可得解. 【解答过程】因为， 所以定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数，排除A，C； 当时，，故，排除D. 故选：B． 6．（5分）（25-26高三上·重庆·阶段练习）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过中间值0和1，即可比较大小. 【解答过程】因为， 所以， 故选：B. 7．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解答过程】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以 ，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 8．（5分）（24-25高一上·河南南阳·期末）我们已经学习和研究了对数函数（，且）的图象和性质．如果将解析式中的a，x互换位置，底数变为自变量，即可得到形如（，且）的函数．设（，且），则关于函数的图象或性质表述正确的是（   ） A．的图象只能出现在第一象限 B．的图象可以出现在第一、第二象限 C．的值域为R D．在区间和上单调递减 【答案】D 【解题思路】利用换底公式得到，再根据对数函数的图象与性质判断即可. 【解答过程】，由得或， 所以函数的定义域为， 当时，，所以，图象位于第四象限； 当时，，所以，图象位于第一象限， 所以的图象出现在第一和第四象限，值域为，故ABC错误； 当时，单调递增，所以单调递减； 当时，单调递增，所以单调递减， 所以函数在区间和上单调递减，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．所有幂函数的图象均过点 B．若幂函数在区间上单调递减，则 C．幂函数一定具有奇偶性 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限 【答案】BD 【解题思路】根据幂函数的概念和性质逐项判断即可. 【解答过程】幂函数的图象不过点，A说法错误； 当幂函数在区间上单调递减时，，B说法正确； 对于幂函数，无奇偶性，C说法错误； 任何幂函数的图象都不经过第四象限，D说法正确； 故选：BD. 10．（6分）（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【解题思路】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【解答过程】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解题思路】对A，由真数大于0，解不等式组求定义域；对B和C，通过复合函数单调性判断；对D，由与关系判断. 【解答过程】对于A：令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B和C：函数， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； 对于D：因为， ， 所以， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的值域为 . 【答案】 【解题思路】先求函数的值域，再结合指数函数性质分析求解. 【解答过程】因为，当且仅当时，等号成立， 可知函数的值域为， 又因为在定义域内单调递减，则， 且，所以函数的值域为. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【解题思路】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【解答过程】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 【答案】 【解题思路】设至少需要经过天，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米， 木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，， 以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米， 由题意可得，可得， 所以，， 所以，，则， 故至少需要天. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据的单调性比较出大小； （2）利用对数函数单调性和中间值比较出； （3）利用指数函数和对数函数单调性和中间值比较出大小 【解答过程】（1）因为函数在上是增函数，又，所以． （2）由于，所以． （3）因为，， 所以． 16．（15分）（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由偶函数的性质可得； （2）由指数函数的单调性可得. 【解答过程】（1），则，结合题意得， 是偶函数，， 时，. （2）由（1）知 当， 当，的值域为. 17．（15分）（24-25高一上·河北·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【解题思路】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【解答过程】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 18．（17分）（2025高一上·吉林·专题练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)或 【解题思路】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义判断； （3）将转化为求解. 【解答过程】（1）由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）， 则，化简得， 解得或， 故实数的取值范围为或. 19．（17分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【解题思路】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $