第四章 指数函数与对数函数（举一反三单元测试·拔尖卷）高一数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数（举一反三单元测试·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 4．（5分）（25-26高一上·全国·课前预习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）以下运算中正确的是（　　） A．若，则 B． C． D． 10．（6分）（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 11．（6分）（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（   ） A．有最小值2 B．m的取值范围是 C． D．方程有4个不同的解 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·北京·期中）计算 ． 13．（5分）（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 14．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知（且）是指数函数，若“，不等式恒成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·新疆·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 16．（15分）（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 17．（15分）（24-25高一上·河南周口·期末）已知是偶函数． (1)求的值； (2)用单调性的定义证明在上单调递增； (3)解关于的不等式． 18．（17分）（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根，且． (1)求的取值范围； (2)求的值． 19．（17分）（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数（举一反三单元测试·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【解答过程】由，得，，则，因此， 所以. 故选：C. 2．（5分）（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数的运算性质和特殊值法判断即可. 【解答过程】对于A，取，，， ，， 则，故A错误； 对于B，取，，， ，， 则，故B错误； 对于C，由对数的运算性质可知，，故C正确； 对于D，对数的底数不能为负数，则表示错误，故D错误； 故选：C. 3．（5分）（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【解题思路】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案. 【解答过程】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和， 由题意：， . 于是， 所以. 故选：C. 4．（5分）（25-26高一上·全国·课前预习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性定义可排除选项C，D；结合指数函数的性质可得：当时，，即可排除选项B，进而求解. 【解答过程】因为，所以为奇函数，故选项C，D错误； 当时，，故选项B错误，选项A正确. 故选：A. 5．（5分）（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据幂函数的单调性可比较，再由指数函数的单调性可得， 再由对数函数的单调性可得，即可得解. 【解答过程】因为为增函数，所以. 因为为减函数，所以，则. 又为减函数，所以， 故，即. 故选：B. 6．（5分）（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 7．（5分）（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，证明函数在上单调递减，根据单调性列不等式即可求解. 【解答过程】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 8．（5分）（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有 ，然后利用函数单调性求解范围即可． 【解答过程】作出函数的图象如下图所示：    若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以 ，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）以下运算中正确的是（　　） A．若，则 B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】对于A利用对数换底公式以及对数运算即可判断，对于B利用对数运算即可判断，对于C根据指数和对数运算即可判断，对于D利用指数和对数的换底公式即可判断. 【解答过程】对于A：由，得，故A正确； 对于B：原式，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确． 故选：ACD. 10．（6分）（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解题思路】对于A，根据对数函数的定义域以及单调性，可得答案；对于B，由对数函数的定义域建立不等式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的最值，分情况讨论，可得答案；对于D，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的单调性，分情况讨论建立不等式，可得答案. 【解答过程】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 11．（6分）（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（   ） A．有最小值2 B．m的取值范围是 C． D．方程有4个不同的解 【答案】ACD 【解题思路】由题意作出函数的图像，由图像即可判断AB；根据偶函数的性质及二次函数的对称性，结合图象即可判断C；令，数形结合即可判断D． 【解答过程】解：由题意作出函数的图像，如图所示： 可得，，，， 所以有最小值2，故A正确； 有四个不等的实数解，，，，可得，故B错误； 因为为偶函数，所以图象关于轴对称， 又的对称轴为直线， 所以由对称性可知，，可得，故C正确； 令，则方程可化为方程， 结合图像得有4个解，且，，，， 因为有最小值2，所以只有当时，有4个不同的x与之对应， 故方程有4个不同的解，故D正确， 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·北京·期中）计算 ． 【答案】 【解题思路】由对数的运算性质进行求解． 【解答过程】 ， 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知（且）是指数函数，若“，不等式恒成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据函数为指数函数求参数，得，问题转化为在上恒成立，由函数的单调性有在上恒成立，判断左侧单调性，即可求参数范围. 【解答过程】由指数函数定义得，又且，所以，，则． “，不等式能成立”为假命题， 则“，不等式恒成立”为真命题． 注意到，所以不等式在上恒成立． 又在R上单调递增，所以，即在上恒成立． 设函数，， 由，得，所以单调递增，则， 即，解得， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·新疆·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用根式与指数幂间的关系及根式、指数幂的运算律，即可求解； （2）利用换底公式及指对幂的运算律，即可求解. 【解答过程】（1） . （2） . 16．（15分）（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将条件式子进行平方； （2）将（1）中式子进行平方得出； （3）将进行平方，计算即可. 【解答过程】（1）因为， 所以，得； （2）因为， 所以，则； （3）因为， 所以， 则. 17．（15分）（24-25高一上·河南周口·期末）已知是偶函数． (1)求的值； (2)用单调性的定义证明在上单调递增； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据偶函数的性质根据即可求解， （2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可求解， （3）根据一元二次不等式的解的特征，结合分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）因为是偶函数，其定义域为， 所以，即， 所以（负值舍去）．                         当时，，满足，是偶函数， 所以． （2）由（1）知． ，且，有 ，                           由，得， 所以，即， 所以在上单调递增． （3）由（1）知，故原不等式为， 可得．      若，得，原不等式的解集为，          若，原不等式等价于， 因为，所以原不等式的解集为，           若，原不等式等价于， 当时，原不等式的解集为，                  当，即时，原不等式的解集为，          当，即时，原不等式的解集为． 18．（17分）（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根，且． (1)求的取值范围； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合函数图像，即可求出的取值范围； （2）是方程的两根，则有，即，是方程的两根，根据韦达定理得，进而可求的值． 【解答过程】（1）由，得，作出的大致图象， 如图所示， 结合图像可知的取值范围是． （2）由知，是方程的两根，所以， 故，即； 又是方程的两个根，即方程的两个根， 所以，所以． 19．（17分）（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【解答过程】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. （2）由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $