专题06 二次函数几何综合（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题6 二次函数几何综合 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数几何综合：面积定值问题 1 题型二、二次函数几何综合：线段最值问题 3 题型三、二次函数几何综合：面积最值问题 6 题型四、二次函数几何综合：周长最值问题 8 题型五、二次函数几何综合：其他最值问题 10 题型六、二次函数几何综合：直角三角形存在性问题 10 题型七、二次函数几何综合：等腰三角形存在性问题 10 题型八、二次函数几何综合：特殊四边形存在性问题 10 题型九、二次函数几何综合：其他几何综合问题 10 题型十、二次函数几何综合：无图二次函数问题 10 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、二次函数几何综合：面积定值问题 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点．并且已知， (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点F是抛物线的顶点，求的长； (3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线的解析式，进而求出点坐标，根据抛物线的解析式求出顶点坐标，两点间的距离公式求出的长即可； （3）根据，求出，进而求出点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点， ，解得， 抛物线的解析式为． （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点F的坐标为． 令，则，当时，解得 ，． 设直线的解析式为． 把代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，，即点E的坐标为， ． （3）存在． 设点P的坐标为． ， ， ． 当时，， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，， 解得， ∴点P的坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 2．（25-26九年级上·海南·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点C为抛物线与y轴的交点． (1)如图，若该抛物线经过点； ①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ②连接，求的面积． (2)对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，则______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线与轴的另一个交点的坐标为； (2) 【分析】本题考查一元二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式，二次函数图象与轴的交点． （1）根据题意可得，把点代入可得，从而可得抛物线的解析式，然后根据对称性求出点B坐标；由点和点的坐标可得，在抛物线的解析式中，令，可得点的坐标，从而可得，代入三角形的面积公式计算即可； （2）抛物线开口向下，比较点到对称轴的距离和点到对称轴的距离，即可得和的大小关系． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∵该抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 设点， ∵抛物线的对称轴是直线，点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，抛物线与轴的另一个交点的坐标为． （2）解：抛物线开口向下，对称轴是直线， ∵是正数， ∴，， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点C． (1)求点和点以及顶点的坐标； (2)的面积． 【答案】(1)，， (2)的面积为3 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图象与性质，求三角形面积等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． （1）分别令和即可求出点和点的坐标，再把二次函数的一般式变成顶点式，即可求出顶点的坐标； （2）先求出直线的解析式，设抛物线对称轴与线段交于点，把点的坐标写出来，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， 令，则， ； 令，则， 解得， 由图可知，，． ， 顶点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 把，代入中得， 解得， 直线的解析式为． 如图所示，设抛物线对称轴与线段交于点， 则的横坐标与的横坐标相同， 即． 把代入中得， ， ， ． 4．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，点在抛物线上． (1)将化成顶点式． (2)直接写出的面积． 【答案】(1) (2)2或6 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数与三角形的综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）二次函数的顶点形式为，据此即可获得答案； （2）首先确定点坐标，易得，再确定点的坐标为或，然后根据，分情况计算，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴将化成顶点式为； （2）解：对于抛物线， 当时，可有，即， ∴， 将点代入， 可得，解得， ∴点的坐标为或， 当点的坐标为时， 可有， 当点的坐标为时， 可有， 综上所述，的面积为2或6． 题型二、二次函数几何综合：线段最值问题 5．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，二次函数图象交坐标轴于点，．点为线段上一动点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积； 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)线段的最大值为；此时的面积 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，，表示出，根据二次函数的性质求得的最大值，进而根据三角形的面积公式，即可求解； 【详解】（1）解：∵二次函数图象交坐标轴于点，． ∴， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：连接， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 则，， ∴， ， ∴当时，取最大值为， ∴． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知二次函数图象的顶点为，直线与该二次函数的图象交于两点，其中点的坐标为，点在轴上． (1)求的值及此二次函数的表达式； (2)为线段上的一个动点（点与点不重合），过点作轴的垂线与二次函数的图象交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）因为直线过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将代入求解即可； （2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，即可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， ∵二次函数图象的顶点为， ∴设二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：∵点的横坐标为，轴， ∴点E的横坐标为x， ∵点E在抛物线上，点P在线段上（点与点不重合）， ∴点E的纵坐标为，点P的纵坐标为，， ∴， 即． 7．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 8．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，直线与抛物线：交于点，点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值： (3)如图，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时，根据的不同取值，试探究抛物线与直线交点个数的情况． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)当时，的最大值为； (3)抛物线与直线有两个交点时，的取值范围为；抛物线与直线有一个交点时，的取值范围为或，抛物线与直线无交点时，的取值范围为或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式为，因为点的横坐标为，且点在抛物线上，点的坐标为，又因为轴，所以点和点的纵坐标相等，把代入，可得，所以有，把这个次函数整理成顶点式解析式即可得到的最大值和此时的值； （）设平移后的抛物线解析式为，求出直线上横坐标为和的两点和点的坐标，找到临界点，时有两个公共点，求出的最小值，当平移后的抛物线与直线有唯一公共点时，求出从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵交于点，点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设的解析式为，代入点，点坐标得， ，解得， ∴的解析式为， ∵点在抛物线上，点的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 把代入得， ∴点， ∴ ， ∵点为直线下方的抛物线上一动点， ∴， ∴当时，的最大值为； （3）解：设的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，直线对应点为， 当时，，直线对应点为， 设抛物线的图象向上平移个单位得到抛物线为， 如图，当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个公共点， ∴，解得：， 当抛物线与直线有唯一的公共点时， ，即， ∴， 解得， 当抛物线经过点时，抛物线与线段有两个公共点， 抛物线过点时，， 解得； ∴当时，若抛物线与直线有两个交点时， ∴的取值范围为； 若抛物线与直线有一个交点时， ∴的取值范围为或， 若抛物线与直线无交点时， ∴的取值范围为或． 题型三、二次函数几何综合：面积最值问题 9．（25-26九年级上·山西忻州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点在直线上方的抛物线上，连接，，求四边形面积的最大值，及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)面积最大为，此时 【分析】本题主要考查了二次函数解析式求解、一次函数的解析式求解和二次函数综合应用，准确分析计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，表示出的面积，再求出最大值即可． 【详解】（1）将，代入中， 得，解得， ∴． （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴交于点，设，则， ， 由题可得， ， 当时，的面积有最大值，此时， 的面积为， 四边形的面积最大值为． 当的面积最大时，四边形的面积最大，最大为，此时． 10．（25-26九年级上·广东·期中）已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数与x轴的交点问题，二次函数的最值，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）令，求出一元二次方程的根，进而求得； （2）设点，根据B，C坐标，求出的函数关系式，过点P作y轴平行线交于D，设点P坐标，表示出点D坐标，进而求得的长，从而表示出的面积，进而表示出四边形的面积函数关系式，配方求得最大值即可． 【详解】（1）解：由得， ， ，， ，， ； （2）如图1， 设点， 点，， 的解析式是：， 如图，过点P作y轴平行线交于D， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ． 11．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）如图1，抛物线与轴交于点A，（A点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点在直线上方运动时（不含、点），设面积为S，写出S与点横坐标的函数关系，并写出的取值范围． (3)求（2）的条件下，S的最大值．在 【答案】(1) (2)，x的取值范围为 (3)S的最大值为6 【分析】本题主要考查二次函数的综合，掌握二次函数图像的性质、待定系数法求解析、数形结合和正确的做出辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）过点P作轴交于E点，根据题意，求出直线的解析式，进而求出点P的坐标和E的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据二次函数顶点式的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 又∵，， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于E点， ∵点横坐标为， ∴设，， ∴， ∴ ， ∵点在直线上方运动， ∴x的取值范围为； （3）解：由（2）得， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为6． 12．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)直接写出坐标：点___________，点___________； (2)若点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求面积的最大值； (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】解方程，可得：，，所以点的坐标是，点的坐标是； 过点作轴，交于点，利用待定系数法求出直线的解析式是，设点的坐标为，可得：点的坐标是，所以，根据三角形面积公式可得：，根据二次函数的性质可以求出面积的最大值； 当为直角三角形时，应分两种情况讨论，一种情况是当时，另一种情况是当时． 【详解】（1）解：解方程， 分解因式可得：， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 当时，， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 当时，， 则点的坐标是， ， ， 面积最大值是； （3）解：如下图所示，当时， 则有轴， 点和点关于对称轴对称， 点的坐标是，抛物线的对称轴是， 点的坐标是； 如下图所示，当时，过点作轴， ， ， ，， ， 设，则， 点的坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：(与点重合，舍去)，， 当时，， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． 题型四、二次函数几何综合：周长最值问题 13．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，己知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 14．（21-22九年级下·海南海口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为该抛物线对称轴上一点，求周长的最小值； (3)连接，，求的面积； 在该抛物线上是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)；点的坐标为或，理由见解析． 【分析】先由题意得出，的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； 交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，求出的长则可得出答案； 根据可得出答案； 过点作交抛物线于点，设直线的解析式为，得出，联立直线和抛物线的解析式得，可求出点的坐标；同理求出，即可得出答案， 【详解】（1）解：， 点的坐标是， 又对称轴为直线， 设点的坐标是， 则有， 解得：， 点的坐标是， 将点、的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，当交直线于点P时，的周长最小， 由知，抛物线的对称轴直线是， 当时，， 点的坐标为， ， 又点的坐标是， ， 在中，， 在中，， 周长； （3）解：如下图所示，连接、、， 当时，， 点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ； 设直线的解析式为， 把点，代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 如下图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为， 把点代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 联立直线和抛物线的解析式可得：， 解得：(与点重合，舍去)或， 点的坐标是 ， ； 如下图所示，过点作直线交抛物线于点， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入解析式，可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：(与点重合，舍去)或， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，勾股定理，坐标与图形等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． 15．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 16．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段练习）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点D是该抛物线的顶点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)请在y轴上找一点E，使的周长最小，求出点E的坐标； (3)直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或1或2 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的定义等知识点． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求顶点，则，则当取得最小值时，的周长最小，过点作轴的对称点，则，连接，，此时与轴交点即为点由对称可得，根据两点间线段最短可得，再求出直线的解析式，令即可求解． （3）分，，三种情况讨论，利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式，得 ， 解得， 这个二次函数的表达式是； （2）解：， ∴顶点， ∴， ∴当取得最小值时，的周长最小， 过点作轴的对称点，则，连接，，此时与轴交点即为点 由对称可得，根据两点间线段最短可得 设直线， 则代入，， ∴， 解得， ∴直线， 当时，， ∴； （3）解：对于，当， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 如图： 设，， 则，， 当时，①， 解得，（舍去）， ②， 解得，（舍去）， 当时，，此时N在x轴上， ， 解得或（舍去 当时，， ， 解得或（舍去， 当是等腰三角形时，的值为或或1或2． 题型五、二次函数几何综合：其他最值问题 17．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）若抛物线（，为常数）的顶点的横坐标比抛物线的顶点的横坐标大2． (1)求的值． (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若，求的最大值． （ii）当，且时，始终有，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2)（i）；（ii） 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为2，结合题意得出，计算即可得解； （2）（i）由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解； （ii）由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为2， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大2， ∴， ∴； （2）解：（i）点在二次函数的图象上，， 点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； （ii）由（i）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 整理可得：， 解得：， ∵， ∴， 即， ∴， 则当时，始终有，则． 18．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知抛物线（b，c为常数）的图象经过点和． (1)求抛物线的表达式及对称轴． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），且，求t的值． (3)将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，当时，平移后的抛物线函数值y的最大值与最小值的和为12，求m的值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 ，对称轴为直线 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求出B，C的坐标，然后根据为AB=2AC列方程求出t的值解答即可； （3）根据题已得到平移后的解析式，然后在得到最大值与最小值，根据题意列方程求出m值即可． 【详解】（1）解：已知抛物线 的图象经过点和，将这两点代入抛物线方程，可得， 解得：， 所以抛物线的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：令y=0，则 解得 1， 所以抛物线与x轴的交点为和． 因为过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， 所以B，C两点的纵坐标为t，即， 解得， 所以， 因为，所以， 解得或． （3）解：将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，得到 新抛物线的对称轴为：，则当时，y随x的增大而增大， 当 时，y的最大值为 ， y的最小值为 ， 因为y的最大值与最小值的和为12， 所以 解得或（舍去）． 19．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数（a是常数）． (1)当时，求二次函数的对称轴． (2)若点都在二次函数的图象上． ①证明：． ②求的最大值． 【答案】(1)直线 (2)①证明见解析；②的最大值为4 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，当时，二次函数为，从而可以判断得解； （2）①依据题意，由点都在二次函数的图象上，则对称轴是直线，则，进而可以计算得解； 依据题意可得，，进而根据二次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，二次函数为， 对称轴是直线； （2）证明：由题意，点都在二次函数的图象上， 对称轴是直线． ． ． 由题意可得， ． 当时，的最大值为4． 题型六、二次函数几何综合：直角三角形存在性问题 20．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线：为常数，且)，直线：为常数，且)，若，则 解决问题：抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是抛物线上一动点，且在直线的上方不与，重合，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标或 (3) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据垂线间的关系，可得的解析式，根据解方程组，可得P点坐标； （3）根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值． 【详解】（1）解：将，两点坐标代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在，点P的坐标或， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 当时， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， 解得（舍），， 即； 当时， 同理得，直线的解析式为 联立直线与抛物线，得， 解得（舍），， 即 综上所述：是以为直角边的直角三角形，点P的坐标或； （3）解：如图：过点M作x轴的垂线交于点Q， ， 设，则 ∴， ∴， 当时，S取最大值，即， 由勾股定理，得， 设M到的距离为h， ∴， ∴， ∴点M到直线的距离的最大值是． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键． 21．（2023·海南海口·模拟预测）如图，抛物线交轴于点和点，交于轴点，为抛物线顶点，点在抛物线上． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； 求四边形的面积； (2)如图，直线垂直于轴于点，点是线段上的动点除、外过点作轴的垂线交抛物线于点，连接、． 当是直角三角形时，求出所有满足条件的点的横坐标． 如图，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点横坐标；为定值，定值为 【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式； ②结合二次函数性质求得顶点，，然后利用割补法求图形面积； （2）①设点D的坐标为（），根据两点间的距离公式得到，，，分三种情况讨论：若，若， 若，根据勾股定理构造方程求解即可； ②设，结合一次函数图象的性质分析求解 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，， ∴，解得 ∴该抛物线的函数表达式为：； ②∵， ∴顶点， ∵，， ∴，且∥x轴， ∵， ∴； （2）解：①∵点P在线段上，过点作轴的垂线交抛物线于点， ∴设点D的坐标为（）， ∵，， ∴， ， ， 当是直角三角形时， 若，则， ∴， 整理得， 解得或（均不合题意，舍去）； 若，则， ∴， 整理得， 解得（不合题意，舍去）或； 当时，，与点Q重合，不合题意，舍去； 若，则， ∴， 整理得， 因式分解，得 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或， ∵当时，， ∴不合题意，舍去 ∵当时，， ∴D点横坐标为， 综上可知：D点横坐标． ②设， 由A、D的坐标得，直线的表达式为：， 当时，； 由点B、D的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 则是为定值，定值为8． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式等知识点，数形结合以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 22．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 题型七、二次函数几何综合：等腰三角形存在性问题 23．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 24．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为， (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论，即可求解；熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入， 得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解： 令， 得， ∴，， ∴， 令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解： ∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当时， 如图所示有，， ②当时， 过点C作，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ③当时， 由四边形为矩形知， ， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，面积与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 25．（2020·四川巴中·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求面积的最大值，及此时点D的坐标． (3)若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积取得最大值为， (3)存在，当是等腰三角形时，则点或或或或． 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质及等腰三角形的性质、两点距离公式是解题的关键． （1）把点和点分别代入解析式进行求解即可； （2）过点作轴交于点，求出直线，设， ，那么，由于，则，再利用二次函数的性质求解即可； （3）可求，直线，由，可得直线，可设点，然后由题意可分①当，②当，③，进而根据两点距离公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可把点和点分别代入解析式得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，当， ∴， 过点作轴交于点， 设直线， ∴， 解得：， ∴直线， 设， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴当时，的面积取得最大值为，此时； （3）解：直线l上存在点P，使是等腰三角形，理由如下： ∵的横坐标为， ∴纵坐标为：， ∴ ∵，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， ∵， ∴设直线， 代入， 则，解得：， ∴直线， 可设点，则有： ∵点，， ∴①当时，则有：， 解得：， ∴， ∴点； ②当时，则有：， 解得：， ∴或， ∴点或； ③当时，则有：， 解得：， ∴或， ∴点或； 综上所述：当是等腰三角形时，则点或或或或． 26．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后配成顶点式即可； （）由是等腰直角三角形，则有，设点的坐标为，则点，则，，得出，然后解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴相交于点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵； ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：如图，∵轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为，则点， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点的坐标为或． 题型八、二次函数几何综合：特殊四边形存在性问题 27．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)如图1，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折，得到四边形，若四边形为菱形，求点的坐标； (3)如图2，点是位于第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值，以及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)最大值4，点的坐标为 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；设直线，代入即可求解； （2）由题意得，设点坐标为，则，求解即可； （3）设点，则点的坐标为，得，即可求解. 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， ； 设直线．将点，代入可得． ， ； （2）如图1，将沿翻折，得到四边形． ，，四边形为菱形， ， 点在直线上， 可设点坐标为． ， ，解得或（舍去）， 点； （3）如图2， 点在抛物线上， 可设点， 点的坐标为， ， ， 抛物线开口向下， 当时，线段有最大值，最大值为4，此时点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质的应用，菱形的性质，一次函数的性质，翻折等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性，会用铅锤法求最值是解题的关键． 28．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点M是抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为．当的面积最大时，求点M的坐标； (3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点坐标为或或． 【分析】此题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求解析式，与面积有关的综合问题，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）将、、代入抛物线求解即可； （2）过点作轴交于点，可求直线，则，，那么，再由，建立二次函数关系式，再配方求解最值即可； （3）设，，分三种情况，、或为对角线时，求解即可． 【详解】（1）解：将、、代入抛物线可得， ，解得 则抛物线解析式为： （2）解：过点作轴交于点， 设直线， 代入点得， 解得， ∴直线， ∵点M的横坐标为 ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 配方得 ∵， ∴当时，面积取得最大值，此时； （3）解：存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， 设，， 、 当以为对角线时，由平行四边形的性质可得： 解得（舍去）或 即； 当以为对角线时，由平行四边形的性质可得： 解得（舍去）或 即； 当以为对角线时，由平行四边形的性质可得： ，解得或 当时，，即 当时，，即； 综上，存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点坐标为或或． 29．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，已知抛物线（）与轴交于点，，与轴交于点． (1)用含的代数式表示，． (2)如图2，点与点关于抛物线的对称轴对称，点为对称轴上且位于顶点下方的一点，连接，，，若． ①直接写出点的坐标； ②过点作轴的平行线，交抛物线于点，（点在点左侧），将该抛物线沿直线翻折，翻折后抛物线的顶点为，若四边形是正方形，求的值． (3)如图3，若，点，是抛物线上两动点（点在点左侧），运动过程中始终保持，当时，连接，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)，； (2)①点的坐标为；②； (3)． 【分析】（1）利用抛物线与轴交点式，将、两点代入，展开后对比系数得出、与的关系． （2）①通过对称性得到角相等，推出直线的表达式，结合对称轴求出点横坐标，代入表达式得坐标；②根据菱形与正方形的关系，结合抛物线方程、根与系数关系及正方形条件列方程求解． （3）先确定抛物线表达式，求出长度，取中点构造平行四边形，利用平行四边形面积关系，结合点坐标求出相关三角形面积，进而得到四边形面积． 【详解】（1）解：抛物线过，， 该抛物线的函数表达式为， 即， ，； （2）解：①如图1，连接交轴于点． 由对称性知， ， ， 直线的函数表达式为， ，， 点的横坐标为， 将代入中，得， 点的坐标为； ②如图2，由轴对称性可知四边形为菱形． 当时，菱形为正方形， 设点的坐标为，点的坐标为， 在中，令， 得， 则，是该一元二次方程的两个根， ，， 故， 当时，， ， ， 化简，得， ， 解得（，舍去）， 故； （3）解：， 抛物线为， 则点的坐标为， ， 如图3，取的中点，连接，， ， ，， 四边形、四边形均为平行四边形， ， ， 过点作轴的垂线，过点作轴的平行线，两直线交于点， 设点，则点， 将点代入二次函数的表达式，得 ， 解得， ，， 的中点为， 连接，则， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括抛物线表达式的确定、对称性的应用、菱形与正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及三角形面积的计算等，熟练掌握二次函数的性质和相关几何图形的判定与性质是解题的关键． 30．（20-21九年级上·广东珠海·期中）如图，已知点的坐标为．直线与轴，轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过，，三点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点，从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 【答案】(1)，顶点； (2)； (3)或时，以为直角边的是等腰直角三角形． 【分析】求出直线与轴，轴的交点的坐标分别为点，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 利用待定系数法求出的解析式，根据点是与抛物线的对称轴的交点求出点的坐标，可得的长度，再设点，则点，根据平行四边形的性质可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标； 当以为直角边的是等腰直角三角形时，需要分两种情况讨论：情况一、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点；情况二、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点时． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得：， 解得：， 点，， 抛物线过点，点， 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， ， 抛物线为：， 时，， 顶点； （2）解：如下图所示， 设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 轴交于点， 则点的横坐标为， 把代入， 可得：， ， ， 设点，则点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：(与点重合，舍去)或， ； （3）解：设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，以为直角边的是等腰直角三角形 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质知识． 题型九、二次函数几何综合：其他几何综合问题 31．（20-21九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线经过点，和． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上一动点，且在直线的下方，连接，交于点Q，求的最大值； (3)如图2，点D是抛物线的顶点，点是抛物线在第二象限图象上的点，且，连接，，你能在线段上找到一点N，使得平分四边形的面积吗？如果能，请算出它的坐标；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能； 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴交于点G，先求出直线的解析式为，设，则，根据，得出，从而得出，求出最大值即可； （3）连接，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为：，设直线与x轴的交点为F，则，根据，求出四边形的面积，根据平分四边形的面积，得出，最后求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：将，和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：过点P作轴交于点G，如图所示： 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为； （3）解：存在点N，使得平分四边形的面积，理由如下： 连接，如图所示： ∵M点在抛物线上，且， ∴， 解得或， ∵点M在第二象限， ∴不符合题意舍去， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， 解得：， 设直线与x轴的交点为F，则， ∴， ∴ ， ∵平分四边形的面积， ∴， ∵， ∴N点在F点上方， ∴， 设N点的纵坐标为h， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意数形结合． 32．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）【阅读定义】 由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． (1)抛物线与抛物线是否可以围成“月牙线”？请说明理由； 【尝试应用】 (2)抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”， 与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，． ①求的值； ②已知点和点在“月牙线”上，且若的最大值为2，求取得最大值时的长． 【答案】(1)可以，理由见解析； (2)①；② 【分析】（1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据交点坐标相同且抛物线的开口方向相同，即可知两抛物线可以围成“月牙线”； （2）①求出抛物线与轴的交点，代入的两点式展开即可求解；②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的最大值为2，代入抛物线解析式即可求出的值，从而可得线段的长度． 本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． 【详解】（1）解：可以． 理由： 求与轴交点：令，得或， 求与轴交点：令，得或， 则、与轴有相同的交点； ∵二次项系数，二次项系数， ∴、开口方向相同； 综上，抛物线与抛物线可以围成“月牙线”． （2）①求与轴交点：令，得或， ∵与轴交点相同， ∴设 ， ∴ ． ②由①知， ∴的顶点为， ∵的顶点为，， ∴， 则在下方， 又∵， ∴ ， 最大值， 整理得， 解得，（舍去）， 求与轴交点：令，得， ∴， 同理，， 故． 33．（2025九年级·四川攀枝花·专题练习）给定一个函数，如果函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做给定函数的不动点． (1)求一次函数的不动点的坐标； (2)二次函数的两个不动点分别为点，（在的左侧），将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标． (3)已知二次函数的两个不动点的坐标分别为，． ①求，的值； ②如图，设抛物线与线段围成的封闭图形记作，点为一次函数的不动点，以线段为边向下作正方形，当，两点中只有一个点在图形的内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)不动点的坐标为； (2)； (3)①；②的取值范围为或． 【分析】（1）联立一次函数与成方程组求解即可； （2）联立二次函数与成方程组，解之即可得出点、的坐标，由点、在直线上，可得出为等腰直角三角形，过点作，垂足为点，再根据等腰直角三角形的性质即可得出点的坐标； （3）①根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值；联立一次函数与成方程组，解之即可得出点的坐标，点在线段上时，根据正方形的性质可得出点、的坐标，分只有点在图形的内部及只有点在图形的内部两种情况找出关于的不等式组，解之即可得出结论对于只写答案不写过程的可以直接代入点、的坐标，利用极限法找出的取值范围；点在的延长线时，根据正方形的性质可找出点、的坐标，由点在上方及点在图形的内部找出关于的不等式组，解之即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 一次函数的不动点的坐标为． （2）解：根据题意得：， 解得：，， ， 点、在直线上， ， 为等腰直角三角形． 如图：过点作，垂足为点， ，， ，， ． （3）解：①∵二次函数的两个不动点的坐标分别为、， ，解得：． ②，解得：， 点的坐标为． 如图2：点在线段上时， 四边形为正方形，点、在直线上，， ∴点，点． 只有点在图形的内部时，有，该不等式组无解， 此种情况不存在； 只有点在图形的内部时，有，解得：； 如图3：点在的延长线时， 四边形为正方形，点、在直线上，， ，． 点在图形的内部时，有，解得：． 综上所述：的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用、等腰直角三角形、正方形的性质、不等式组的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 题型十、二次函数几何综合：无图二次函数问题 34．（2024·广东·模拟预测）已知抛物线，为实数． (1)当y有最小值0时，求x的值； (2)求证：不论为何值，抛物线的顶点都在同一条直线l上，并写出直线l的解析式． 【答案】(1) (2)直线l的解析式为，证明见解析 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，求二次函数顶点坐标是中考的重点内容，同学们应熟练掌握． （1）运用顶点式求出二次函数的顶点坐标，即可得出的值； （2）根据二次函数的顶点坐标，得出顶点坐标的横纵坐标，即可得出有关x，y的函数关系式，从而证明结论． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． ， ∴当时，y有最小值． 令，解得， ∴当y有最小值0时，； （2）证明：由（1）知抛物线的顶点坐标为． 设，， 消去m，得， ∴不论m为何值，抛物线的顶点都在同一条直线l上，直线l的解析式为． 35．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，当面积最大时，求的坐标； (3)若直线与抛物线交于两点（都不与重合），直线，分别与轴交于点，设两点的纵坐标分别为，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查待定系数法求一元二次函数解析式、三角形面积、一元二次函数的最值、一次函数图象与抛物线交点问题： （1）代入A、B两点坐标，利用待定系数法即可求解； （2）连接，设，利用即可表示出的面积，利用二次函数的性质求其最值即可； （3）将抛物线的解析式配为，设，，根据可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，从而可得，可得，在联立和抛物线的方程消去y得到关于x的方程，利用韦达定理即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：令，则， ∴， 如图，连接，设， ， ， ， ∴当时，面积最大， 时，， ∴； （3）证明：该抛物线的解析式为， ∵直线与抛物线交于两点， ∴可设， ∵， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴， ∴． 令， 整理得， ∴． ∴． 36．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若函数图象经过点，求的值； (2)若该二次函数图象经过，两点，求的最小值； (3)在第（2）问的条件下，当时，的取值范围是，且，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象点的坐标特征将点代入，然后求解即可； （2）根据，两点的纵坐标相同，可确定该抛物线的对称轴为直线，再利用二次函数的对称轴公式得，可得，继而得到，再根据二次函数的最值可得结论； （3）由（2）知：二次函数解析式为，对称轴为直线，且当时，取得最小值，当时，，然后分三种情况：当时；当时； 当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点， ∴， ∴或， ∴的值为或； （2）∵二次函数图象经过，两点，且这两点的对称轴相同， ∴对称轴为直线， 又∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为； （3）由（2）知：，则二次函数解析式为，对称轴为直线， 当时，取得最小值，最小值为：， 当时，， ∵当时，的取值范围是，且， 当时，则，的取值范围是， ∴， ∴，矛盾； 当时，则， ∴， 当时，得：， 解得：或， ∴； 当时，的取值范围是，不符合题意； 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的增减性等知识点，掌握二次函数的图象与性质、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 37．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）已知抛物线，点在抛物线上，其中． (1)若，点在抛物线上，求m的值； (2)若抛物线经过平面直角坐标系原点O和点，顶点为M，且，求顶点M的坐标； (3)若，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)顶点M的坐标 (3) 【分析】本题考查了抛物线解析式的确定，抛物线与特殊三角形的综合，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质和抛物线与特殊三角形的关系是解题的关键． （1）根据题意将，点代入中求解，即可解题； （2）根据题意得到抛物线的对称轴是直线，，设对称轴与x轴交于点N，得到是等腰三角形，再利用直角三角形性质得到，分情况当时，当时，并结合点在抛物线上，分析得出顶点坐标，即可解题； （3）由题意得，时，，结合进而得到，求出的值，得到，再根据推出顶点纵坐标为，设，再结合，建立方程组求解，即可解题． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得， ， ； （2）解：抛物线经过平面直角坐标系原点， 抛物线的对称轴是直线，， 设对称轴与x轴交于点N， 有是等腰三角形， ， ， 当时，； 当时，开口向下，顶点是最高点， ， 不合题意，舍去， 故顶点M的坐标； （3）解：由题意得，时，， ， ， 解得（不合题意，舍去），， ， 则 ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， （或）． 38．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 39．（2024·安徽·模拟预测）抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴直线与交于点D． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方的抛物线上的一点，连接，求四边形的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点与点代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则 ，根据、即可建立函数关系式求解； （3）作轴，设点，可求出；当时，，推出；分类讨论当点在轴上方时和当点在轴下方时两种情况即可求解； 【详解】（1）解：将点与点代入得： ， 解得：， （2）解：作轴交于点，如图所示： 由（1）可知：,； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：； 当时，； ∴； ∴； 设点，则 ∴， ∵， ∴当，有最大值，且最大值为； （3）解：作轴，如图所示： 设点， 则； ∵， ∴； ∴当时，； 由可得， ∴当点在轴上方时，， 解得：（舍去）； 当点在轴下方时，， 解得：（舍去）； ∴点的坐标为或； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与面积、三角函数的综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． 40．（2024·湖北·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P，根据，可得，从而得到，进而得到，再求出直线的解析式，即可求解； （3）过点P作轴，交于点E，求出直线的解析式为，再由，可得，从而得到，再由点M，N的横坐标分别为m，，可得，从而得到，再由二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，， ∴点，， 将点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）解：将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P． 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线， 联立， 解得，， ∴点； （3）解：过点P作轴，交于点E． 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵设，则， ∴， ∵点M，N的横坐标分别为m，， ∴， ∴， 当时，，解得或； 当时，，解得或． ∴当时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式理解坐标与图形性质是解题的关键． 41．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为 (4)或或 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答； （4）设，利用平行四边形的性质，分以为对角线，以为对角线，以为对角线三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； （3）解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 则 ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：设， 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 综上，存在点E坐标为或或时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 二次函数几何综合 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数几何综合：面积定值问题 1 题型二、二次函数几何综合：线段最值问题 3 题型三、二次函数几何综合：面积最值问题 6 题型四、二次函数几何综合：周长最值问题 8 题型五、二次函数几何综合：其他最值问题 10 题型六、二次函数几何综合：直角三角形存在性问题 10 题型七、二次函数几何综合：等腰三角形存在性问题 10 题型八、二次函数几何综合：特殊四边形存在性问题 10 题型九、二次函数几何综合：其他几何综合问题 10 题型十、二次函数几何综合：无图二次函数问题 10 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、二次函数几何综合：面积定值问题 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点．并且已知， (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点F是抛物线的顶点，求的长； (3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·海南·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点C为抛物线与y轴的交点． (1)如图，若该抛物线经过点； ①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ②连接，求的面积． (2)对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，则______（填“”“”或“”）． 3．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点C． (1)求点和点以及顶点的坐标； (2)的面积． 4．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，点在抛物线上． (1)将化成顶点式． (2)直接写出的面积． 题型二、二次函数几何综合：线段最值问题 5．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，二次函数图象交坐标轴于点，．点为线段上一动点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积； 6．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知二次函数图象的顶点为，直线与该二次函数的图象交于两点，其中点的坐标为，点在轴上． (1)求的值及此二次函数的表达式； (2)为线段上的一个动点（点与点不重合），过点作轴的垂线与二次函数的图象交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）． 7．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 8．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，直线与抛物线：交于点，点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值： (3)如图，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时，根据的不同取值，试探究抛物线与直线交点个数的情况． 题型三、二次函数几何综合：面积最值问题 9．（25-26九年级上·山西忻州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点在直线上方的抛物线上，连接，，求四边形面积的最大值，及此时点的坐标． 10．（25-26九年级上·广东·期中）已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 11．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）如图1，抛物线与轴交于点A，（A点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点在直线上方运动时（不含、点），设面积为S，写出S与点横坐标的函数关系，并写出的取值范围． (3)求（2）的条件下，S的最大值．在 12．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)直接写出坐标：点___________，点___________； (2)若点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求面积的最大值； (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 题型四、二次函数几何综合：周长最值问题 13．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，己知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 14．（21-22九年级下·海南海口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为该抛物线对称轴上一点，求周长的最小值； (3)连接，，求的面积； 在该抛物线上是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，说明理由． 15．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 16．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段练习）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点D是该抛物线的顶点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)请在y轴上找一点E，使的周长最小，求出点E的坐标； (3)直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值． 题型五、二次函数几何综合：其他最值问题 17．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）若抛物线（，为常数）的顶点的横坐标比抛物线的顶点的横坐标大2． (1)求的值． (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若，求的最大值． （ii）当，且时，始终有，直接写出的值． 18．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知抛物线（b，c为常数）的图象经过点和． (1)求抛物线的表达式及对称轴． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），且，求t的值． (3)将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，当时，平移后的抛物线函数值y的最大值与最小值的和为12，求m的值． 19．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数（a是常数）． (1)当时，求二次函数的对称轴． (2)若点都在二次函数的图象上． ①证明：． ②求的最大值． 题型六、二次函数几何综合：直角三角形存在性问题 20．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线：为常数，且)，直线：为常数，且)，若，则 解决问题：抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是抛物线上一动点，且在直线的上方不与，重合，求点到直线的距离的最大值． 21．（2023·海南海口·模拟预测）如图，抛物线交轴于点和点，交于轴点，为抛物线顶点，点在抛物线上． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； 求四边形的面积； (2)如图，直线垂直于轴于点，点是线段上的动点除、外过点作轴的垂线交抛物线于点，连接、． 当是直角三角形时，求出所有满足条件的点的横坐标． 如图，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由． 22．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 题型七、二次函数几何综合：等腰三角形存在性问题 23．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 24．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的所有点的坐标． 25．（2020·四川巴中·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求面积的最大值，及此时点D的坐标． (3)若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 题型八、二次函数几何综合：特殊四边形存在性问题 27．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)如图1，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折，得到四边形，若四边形为菱形，求点的坐标； (3)如图2，点是位于第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值，以及此时点的坐标． 28．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点M是抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为．当的面积最大时，求点M的坐标； (3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，已知抛物线（）与轴交于点，，与轴交于点． (1)用含的代数式表示，． (2)如图2，点与点关于抛物线的对称轴对称，点为对称轴上且位于顶点下方的一点，连接，，，若． ①直接写出点的坐标； ②过点作轴的平行线，交抛物线于点，（点在点左侧），将该抛物线沿直线翻折，翻折后抛物线的顶点为，若四边形是正方形，求的值． (3)如图3，若，点，是抛物线上两动点（点在点左侧），运动过程中始终保持，当时，连接，，直接写出四边形的面积． 30．（20-21九年级上·广东珠海·期中）如图，已知点的坐标为．直线与轴，轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过，，三点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点，从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 题型九、二次函数几何综合：其他几何综合问题 31．（20-21九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线经过点，和． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上一动点，且在直线的下方，连接，交于点Q，求的最大值； (3)如图2，点D是抛物线的顶点，点是抛物线在第二象限图象上的点，且，连接，，你能在线段上找到一点N，使得平分四边形的面积吗？如果能，请算出它的坐标；如果不能，请说明理由． 32．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）【阅读定义】 由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． (1)抛物线与抛物线是否可以围成“月牙线”？请说明理由； 【尝试应用】 (2)抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”， 与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，． ①求的值； ②已知点和点在“月牙线”上，且若的最大值为2，求取得最大值时的长． 33．（2025九年级·四川攀枝花·专题练习）给定一个函数，如果函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做给定函数的不动点． (1)求一次函数的不动点的坐标； (2)二次函数的两个不动点分别为点，（在的左侧），将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标． (3)已知二次函数的两个不动点的坐标分别为，． ①求，的值； ②如图，设抛物线与线段围成的封闭图形记作，点为一次函数的不动点，以线段为边向下作正方形，当，两点中只有一个点在图形的内部时，直接写出的取值范围． 题型十、二次函数几何综合：无图二次函数问题 34．（2024·广东·模拟预测）已知抛物线，为实数． (1)当y有最小值0时，求x的值； (2)求证：不论为何值，抛物线的顶点都在同一条直线l上，并写出直线l的解析式． 35．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，当面积最大时，求的坐标； (3)若直线与抛物线交于两点（都不与重合），直线，分别与轴交于点，设两点的纵坐标分别为，求证：为定值． 36．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若函数图象经过点，求的值； (2)若该二次函数图象经过，两点，求的最小值； (3)在第（2）问的条件下，当时，的取值范围是，且，求的取值范围． 37．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）已知抛物线，点在抛物线上，其中． (1)若，点在抛物线上，求m的值； (2)若抛物线经过平面直角坐标系原点O和点，顶点为M，且，求顶点M的坐标； (3)若，且，求抛物线的解析式． 38．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 39．（2024·安徽·模拟预测）抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴直线与交于点D． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方的抛物线上的一点，连接，求四边形的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 40．（2024·湖北·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 41．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $