九年级数学上学期第一次月考卷（高效培优·提升卷）（范围：二次函数与反比例函数+比例线段与相似三角形的判定）数学沪科版九年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 3 4 6 7 8 9 10 A A B B C D D D C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 14 12.D 13.1 14. 1 m=-2或-11<m≤-6 DA 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(6分) 【答案】y=x2-x-2 【详解】解：：二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1,0)，1，-2)， 1-b+c=0 1+b+c=-2’ b=-1 解得， c=-2' .二次函数的解析式为y=x2-x-2. 16.(8分) 【答案】(1)DF=12.5 (2)DF=12 【详解】(1)：AB∥CD∥EF, AC BD CEDF' AC=3,CE=5,BF=20, 320-DF DF 解得DF=12.5; (2)AB∥CD∥EF,AC:CE=2:3, 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC BD 2 CE DF3 BF=20, 20-DF2 DF3' 解得DF=12. 17.(10分) 【答案】(1)-1,0)、(3,0)： (2)先向右平移1个单位，再向下平移4个单位. 【详解】(1)解：二次函数的解析式y=x2-2x-3, 令y=0,得到x2-2x-3=0, 解得：x=-1,x2=3: 则此二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(-1,0)、(3,0)： (2)解：将二次函数y=x2-2x-3化为顶点式为y=(x-1)2-4, .将y=x2的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，可得到二次函数y=x2-2x-3的图象. 18.(10分) 【答案】(1)k<3 (2)0<a<2 【详解】（①）解：：反比例函数y--3的图象位于第二、四象限， k-3<0, 解得k<3, :k的取值范围是k<3: (2)解：：反比例函数图象经过第四象限的两点(2a+2,y),（a+4,y2),且片<2， a+4>2a+2, 解得a<2, 又：a>0, :a的取值范围是0<a<2. 19.(10分) 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)y=-2x2+120x+32000,当y取最大值时，该款冬装应降价30元 (2)该款冬装最多降价60元 【详解】(1)解：设该冬装降价x元，每周可获利润y元，则销售量为200+2x)件， 依题意，得： y=(240-x-80)(200+2x) =(160-x)(200+2x =-2x2+120x+32000, .y与x之间的函数表达式为：y=-2x2+120x+32000. y=-2x2+120x+32000=-2(x-30)2+33800, :-2<0, :.抛物线图像开口向下， :当x=30时，y取得最大值 即当y取最大值时，该款冬装应降价30元： (2)解：当y=32000时，-2(x-30)+33800=32000, 解得：x=0,x2=60, 由(2)可知，抛物线图像开口向下， :每天的销售利润不低于32000元， .0≤x≤60， 要减少库存， “该款冬装最多降价60元 20.(10分) 【答案】(1)见解析； 品 【详解】(1)：DG∥BE,点D是BC中点， CD CG1 BD-EG=1' .CG=EG, 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点F是AD中点，DG‖BE, AEAF1 EG FD1' .AE EG, ∴AE=CG=EG, AE AE I EC EG+CG2 (2)过点D作DH∥BE交AC于点H, y E H F B O :BD:DC=1:4,DH∥BE, HE BD 1 CH DC4' :CH =4HE, :AF:FD=3:2,DH∥BE, .AE=AF 3 HE DF 2 AE -3HE. 2 AE EC= 3HE:HE+4HE)=3:10, :AE:EC的值为0 21.(12分) 【答案】(1)x=2;(2,-1) (2)见解析 (3)x≤2 【详解】(1)因为二次函数y=(x-22-1, 所以对称轴为x=2,顶点坐标为(2，-1)， 故答案为：x=2;(2,-1 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当y=0时，（x-22-1=0, 解得x=1或x2=3, 则二次函数与x轴的交点坐标为1,0)，3,0)， 当x=0时，y=(0-2)2-1=3, 则二次函数与y轴交点为(0,3)， 所以作图如下： 3 -3-2-1八234.5 -2 -3 -4 5 (3)由(2)知，当x≤2时，y随x的增大而减小， 故答案为：x≤2. 22.(12分) 【答案】y=8 (2)y=2x (3)见详解 【详解】(1)解：：0A的中点是P,点A的坐标为(8,4)， P(4,2). k :双曲线y=(x>0)经过点P; k=4×2=8, 8 y= (2)解：：△A0B为直角三角形， .AB∥x轴， “A,Q两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式y=8得：x=2, 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0(2,4). 设直线OQ的解析式为y=ar, 4=2a, 解得：a=2. ·直线0Q的解析式为y=2x; (3)证明：Q(2,4),点A的坐标为(8,4)， BQ=2,0B=4,AB=8, BQ2_1B041 OB42’AB82’ BOBO OB AB 又：∠OBQ=∠ABO, ∴△BOQ△BAO 23.(12分) 【等案1my=字--2 (2)M(2,-2) 3)存在，(1，)或1，万-2或1，-万-2 【详解】(1)解：将点A4,0),B(-2,0,点54 7 代入y=ax2+bx+c中， 16a+4b+c=0 4a-2b+c=0, 25a+5b+c=4 1 a= 4 1 解得b= 2 C=-2 --2 (2)当x=0时，y=-2, C(0,-2), 设直线AC的解析式为y=x-2, 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .4k-2=0, 解智发=引 1 y=2-2, 过点M作MGIy轴交AC于点G, NO CO A MN MG N九M :M点横坐标为t, -小- ON OC 2 2 MN MG 1 -2-2+t+2 t-2)2+1 2 4 2 当1=2时， 有最小值2，此时M2,-2: N (3)存在点P,使得△PBC是等腰三角形，理由如下： 1,1 :y=x2-。x-2, 4 2 ·对称轴为直线x=1, 设P1,m), :.BP=V9+m2,CP=V1+(m+2)2,BC=2√2， 当BP=CP时，V9+m2=V1+(m+22,解得m=1, P1,1; 当BP=BC时，V9+m2=2√2，m无解： 当CP=BC时，V1+(m+2=22,解得m=7-2或m=-√7-2， .p1,7-2或，-V7-2: 综上所述：P点坐标为1，或1,7-2或1，-V7-2. 7/7 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第21章~第22.2章二次函数与反比例函数、比例线段与相似三角形的判定 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．如果，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点，分别在的边，上，那么添加下列一个条件后，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，的图象与的图象分别交于A，B两点．若的面积为6，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．抛物线的图象上有三点， ，，则，，大小关系（　　） A． B． C． D． 7．已知点P是线段的一个黄金分割点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知抛物线，（，均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 9．如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在之间（不包含3和4），如图，根据图象判断以下结论中不正确的是（   ） A． B． C．抛物线的顶点坐标为 D．若，则 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知，则 ． 12．如图，已知，补充一个条件： ，可使． 13．如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为 ． 14．抛物线的对称轴为直线． （1） ， （2）若抛物线在内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分）已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 16．（8分）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 17．（10分）已知二次函数． (1)求此二次函数的图象与x轴的交点坐标． (2)将的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数的图象． 18．（10分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 19．（10分）小赵经营一家网店，销售一款成本为80元的冬装．他销售一段时间后发现，当售价为240元时，每周可销售200件，售价每下降1元，可多销售2件．设该冬装降价元，每周可获利润元． (1)试用含的式子表示，并求当取最大值时，该款冬装应降价多少元？ (2)小赵准备减少库存，且每周的利润不低于32000元，则该款冬装最多降价多少元？ 20．（10分）在中，点在边上，点在边上，与交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 21．（12分）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标______，______； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； (3)当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围______． 22．（12分）如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求证：． 23．（12分）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第21章~第22.2章二次函数与反比例函数、比例线段与相似三角形的判定 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A 2．如果，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 设 A、，该选项不成立； B、，该选项成立； C、，该选项成立； D、，该选项成立； 故选：A． 3．已知抛物线，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为y轴，， ∴当时，y有最小值，最小值为0， 当时，y有最大值，最大值为， ∴当时，， 故选：B． 4．如图，点，分别在的边，上，那么添加下列一个条件后，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，， ∴，故本选项不符合题意； B、添加，不能判断，故本选项不符合题意； C、∵， 则，又， ∴，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，的图象与的图象分别交于A，B两点．若的面积为6，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：设点A在第一象限，点B在第三象限， 联立与，得， 解得 ∴，， ∵与y轴交于点， ∴ ∴， 经检验：是方程的解． 故选C． 6．抛物线的图象上有三点， ，，则，，大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，图象关于直线对称， 因为点，，在二次函数的图象上，且， 故， 故选：D． 7．已知点P是线段的一个黄金分割点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点P是线段的一个黄金分割点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，已知抛物线，（，均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【详解】解：根据图象并结合已知条件可知不等式的解集为：或或． 故选：D． 9．如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，设，交于点M，过点M作于点N，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 由平移得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， ∴当时，； （2）当时，设，交于点P，过点P作于点Q，如图所示， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 即只有C选项符合题意， 故选：C． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在之间（不包含3和4），如图，根据图象判断以下结论中不正确的是（   ） A． B． C．抛物线的顶点坐标为 D．若，则 【答案】C 【详解】解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，，， 设抛物线的解析式为， ∴，， ∴，由图象知， ∴， ∴，故选项A正确； 当时，， ∴点C的坐标为， ∵点C的纵坐标在之间，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项B正确； ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线的顶点为， ∵，， ∴，， ∴， ∴顶点坐标为，故选项C不正确； ∵， ∴， ∴对于函数，当时的函数值大于当时的函数值， ∵，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∴， ∴， ∴，故选项D正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知，则 ． 【答案】 【详解】解：设，则，，， ∴， 故答案为：． 12．如图，已知，补充一个条件： ，可使． 【答案】 【详解】解：补充： ∵， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．抛物线的对称轴为直线． （1） ， （2）若抛物线在内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 1 或 【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵抛物线，在内与轴只有一个交点，且， ∴抛物线， 当顶点在x轴上时， ，； 当顶点不在x轴上时， 把，分别代入， 得，解得，，解得， ∵关于对称轴的对称点为，在范围内，关于对称轴的对称点为，在范围外，且抛物线在内与轴只有一个交点， ∴． 综上：或． 故答案为：或． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分）已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【详 解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 16．（8分）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， ，，， ， 解得； （2），， . ， ， 解得． 17．（10分）已知二次函数． (1)求此二次函数的图象与x轴的交点坐标． (2)将的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数的图象． 【答案】(1)、； (2)先向右平移1个单位，再向下平移4个单位． 【详解】（1）解：二次函数的解析式， 令，得到， 解得：； 则此二次函数的图象与轴的交点坐标分别为、； （2）解：将二次函数化为顶点式为， ∴将的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，可得到二次函数的图象． 18．（10分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， k的取值范围是； （2）解：反比例函数图象经过第四象限的两点，，且， ， 解得， 又， a的取值范围是． 19．（10分）小赵经营一家网店，销售一款成本为80元的冬装．他销售一段时间后发现，当售价为240元时，每周可销售200件，售价每下降1元，可多销售2件．设该冬装降价元，每周可获利润元． (1)试用含的式子表示，并求当取最大值时，该款冬装应降价多少元？ (2)小赵准备减少库存，且每周的利润不低于32000元，则该款冬装最多降价多少元？ 【答案】(1)，当取最大值时，该款冬装应降价30元 (2)该款冬装最多降价60元 【详解】（1）解：设该冬装降价元，每周可获利润元，则销售量为件， 依题意，得： ， ∴与之间的函数表达式为：． ， ∵， ∴抛物线图像开口向下， ∴当时，y取得最大值． 即当取最大值时，该款冬装应降价30元； （2）解：当时，， 解得：，， 由（2）可知，抛物线图像开口向下， ∵每天的销售利润不低于元， ∴， ∵要减少库存， ∴该款冬装最多降价60元． 20．（10分）在中，点在边上，点在边上，与交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）∵， 点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点D作交于点H， ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的值为． 21．（12分）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标______，______； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； (3)当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【详解】（1）因为二次函数， 所以对称轴为，顶点坐标为， 故答案为：；． （2）当时，， 解得或， 则二次函数与轴的交点坐标为， 当时，， 则二次函数与y轴交点为， 所以作图如下： （3）由（2）知，当时，y随x的增大而减小， 故答案为：． 22．（12分）如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【详解】（1）解：的中点是，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ． （2）解：为直角三角形， ∴轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为； （3）证明：，点的坐标为， ，，， ，， ， 又， ． 23．（12分）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【详解】（1）解：将点，，点代入中， ， 解得， ； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， ， 点横坐标为， ，， 当时，有最小值，此时； （3）存在点，使得是等腰三角形，理由如下： ， 对称轴为直线， 设， ，，， 当时，，解得， ； 当时，，无解； 当时，，解得或， 或； 综上所述：点坐标为或或． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $