专题10 全等三角形的热考模型（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题10 全等三角形的七大热考模型 目录 2 类型一、倍长中线模型 2 类型二、截长补短模型 2 类型三、一线三等角模型 2 类型四、手拉手模型 2 类型五、半角模型 2 类型六、对角互补模型 2 类型七、婆罗摩笈多模型 3 3 类型一、倍长中线模型 1.倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 辅助线作法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE 结论 ，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE 【总结】 1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角； 2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断； 3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题. 2.倍长类中线模型 条件：在△ABC中，D是BC的中点 图示： 作法：延长FD至点E，使FD=DE，连接CE 结论：， BF=CE且BF∥CE 重难点一 倍长中线模型 1．（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 2．（23-24七年级下·陕西·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 4．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 重难点二 倍长类中线模型 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）构造全等三角形常见的辅助线：倍长法与作平行线． (1)如图1，在中，，其中，，计算线段的取值范围； 方法一：延长至点，使，连接；方法二：过点作，交的延长线于点，请你从以上两种方法中选一种方法证明，并求出的取值范围； (2)如图2，在中，点，在上，，，若平分，求证：； (3)如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 6．（2025·河南南阳·一模）【问题情景】如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． （1）在上述过程中，证明的依据是__________，的范围为__________； 【思考探究】（2）如图3，在中，，M为中点，D、E分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，M为中点，连结，，． ①判断：的形状，并说明理由； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结，M为中点，且D，E在同侧，连结，．若，，直接写出：和的面积之差为__________． 7．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是______． A．                    B．                    C．                    D． （2）边上的中线的取值范围是______ 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【拓展提升】 如图③，在中，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则______． 类型二、截长补短模型 模型思路：证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长的部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段. 截长法 补短法 题目 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 辅助线作法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 延长AC到点E，使AB=AE，连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 重难点一 截长法 8．（23-24八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 9．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，， ，求的长． 10．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等角对等边．数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，其中大边对大角．思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法． 问题具化：如图1，在中，，求证：； 问题解决：如图2，在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接．请你补全余下的证明过程； 问题拓展： 如图3，在中，是的平分线，，则___________度． 重难点二 补短法 11．（22-23八年级上·广东阳江·期中）如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．试判断∠B与∠C之间的关系． (1)用截长来解 (2)用补短来解 12．（21-22八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 13．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．       (1)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题； (2)如图4，四边形中，E是上一点，，，，探究之间的数量关系，并证明． (3)活学活用 如图5，是四边形的对角线，，求证：． (4)思维拓展 如图6，在中，，点D是的中点，交于点E，点O在上，，请直接写出，，三者之间的数量关系 ． 类型三、一线三等角模型 一线三等角模型 已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC 图示 结论 一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 重难点一 一线三等角模型 14．（23-24八年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）数学模型学习与应用： 学习：如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到，．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (1)应用：如图2，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）； (2)拓展：如图3，在（2）的条件下，若，且是等边三角形，试判断的形状，并说明理由． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 17．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 重难点二 构造一线三垂直模型 18．（25-26八年级上·河南开封·阶段练习）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______． 【变式运用】（2）如图3，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】（3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 19．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 20．（24-25八年级下·辽宁丹东·开学考试）我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究． (1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为 ； (2)类比探究：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； (3)拓展应用：如图3，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 21．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）问题提出： （1）如图1，在等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 问题探究： （2）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，求点的坐标． 问题解决： （3）如图3，地铁某线路原计划按的方向施工，由于在方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将方向改为或方向，则可以绕开此区域．已知，平分，，的长为1千米，以点为原点，所在直线为轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线与直线平行，请帮助施工队计算出和所在直线的函数表达式．［温馨提示：若点，，则线段的中点坐标为］ 类型四、手拉手模型 模型介绍：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 模型特点：共顶点，等顶角. 常见模型种类： 【小结】 1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右. 2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE. 重难点一 等腰三角形手拉手模型 22．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接． (1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)试说明：与的位置关系． 23．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：__________________； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 24．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______． (2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，为等腰直角三角形，，，求证：． 25．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 重难点二 等边三角形手拉手模型 26．（24-25九年级上·四川广元·期末）【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形． ①当点在线段上时，过点作于点．求证： ②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______． 27．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 28．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图，点C在线段上，分别以、为边在的同一侧作等边和等边，与相交于点O，交于点M，交于点N． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接．若M为的中点，，求的长． 29．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·期中）探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图1，已知，均为等边三角形、点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接、，若，则______度； (3)如图3，已知点E在等边三角形外，点E、点B位于线段的异侧，连接、．若，猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 类型五、半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 30．（2025·山东·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 31．（2025八年级上·全国·专题练习）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造 （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 32．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 类型六、对角互补模型 模型1 两90°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个. 2.模型引申 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.[来源:学科网ZXXK] 提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF 结论：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③. 模型2. 含120°、60°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE. 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 2.模型引申 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③. 33．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 34．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 35．（21-22八年级·全国·假期作业）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 类型七、婆罗摩笈多模型 题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，点I为DG中点 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，CH⊥BE 图示 辅助线作法 延长IC到点P，使PI=IC，连接PG 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 结论 CH⊥BE(知中点得垂直) BE=2IC DI=IG(知垂直得中点) BE=2IC 36．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．某同学是这样思考的： (1)延长至点E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ．中线的取值范围是 ． (2)问题解决：如图2 ，在中，点D是边的中点，点M在边上 ，点N在边上，若．求证：． (3)问题拓展： 如图3 ，在中，点D是边的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，探索与的数量关系和位置关系，并说明理由． 37．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）基础研究： （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：_______（用字母表示）： 问题解决： （2）如图2，以的边，为边向外作和，，，，M是中点，连接，．求证． 拓展应用： （3）将上述图形中的某一个直角三角形旋转，如图3，与均为等腰直角三角形．，连接，，若M为的中点，连接，求证：． 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）【模型初现】 （1）如图1，在中，，，，平分交于点D，于点E，则________ 【模型归纳】 （2）如图2，是的角平分线，，，点E在上，．探索线段，和之间的数量关系，并加以证明； 【模型应用】 （3）如图3，点E是等边外一点，连接，，，恰好满足．已知平分交于点D，若，求的长． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点D，E．结论：． 模型分析：      (1)填空： ①如图1，若，则______； ②如图2，，，点的坐标为，则点的坐标为______． (2)这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那么这两个三角形还会全等吗？如图3现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线经过点D，A，E三点，且 ．请判断与是否全等，并说明理由． (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，则______． 40．（24-25八年级上·安徽·期中）综合与实践 模型再现 如图1，在中，，垂足分别为，探究图中与之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，从而可得出结论，他的结论应是：____________； 直接运用 （1）请你写出上述结论，并填空： 已知，则____________；____________． 类比探究 （2）如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为． ①猜想与，之间的数量关系，并说明理由； ②已知，求四边形的面积． 拓展应用 （3）如图3，在等腰中，，则点坐标为：____________；若点（不与点重合）在坐标平面内，若与全等，则点的坐标为：____________． 41．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图1，若与均为等腰直角三角形，， ①求证：； ②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高， ①的度数为 ②线段之间的数量关系，并说明理由． 42．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1） 如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2） 如图2，中，的平分线交于点D．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 43．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读理解】 ①中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． ②我们规定：有两组边分别相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形． 【模型感知】 如图1， ，则和 (填“是”或“不是”)兄弟三角形． 【性质探索】 在上一问的条件下，若P为的中点，连接， ①试说明； ②延长交于点 G， 求证； 【应用拓展】 如图2，四边形是一片草坪， 是等腰直角三角形，，为锐角， 已知，的面积为计划修建一条经过点A的笔直小路，其中点G在边上，的延长线经过中点F．若小路每米造价700元，则修建小路的总造价为 元． 44．（24-25六年级下·山东济南·期末）已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． (1)模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； (2)拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 全等三角形的七大热考模型 目录 2 类型一、倍长中线模型 2 类型二、截长补短模型 2 类型三、一线三等角模型 2 类型四、手拉手模型 2 类型五、半角模型 2 类型六、对角互补模型 2 类型七、婆罗摩笈多模型 3 3 类型一、倍长中线模型 1.倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 辅助线作法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE 结论 ，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE 【总结】 1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角； 2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断； 3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题. 2.倍长类中线模型 条件：在△ABC中，D是BC的中点 图示： 作法：延长FD至点E，使FD=DE，连接CE 结论：， BF=CE且BF∥CE 重难点一 倍长中线模型 1．（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【详解】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵，（对顶角相等） ∴； 故答案为：对顶角相等；． （2）由题意可得：， ∵， 即， ∴． 故答案为：． （3）延长交的延长线于点F，如图： ∵，， ∴ 在和中． ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·陕西·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)AD (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 4．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 重难点二 倍长类中线模型 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）构造全等三角形常见的辅助线：倍长法与作平行线． (1)如图1，在中，，其中，，计算线段的取值范围； 方法一：延长至点，使，连接；方法二：过点作，交的延长线于点，请你从以上两种方法中选一种方法证明，并求出的取值范围； (2)如图2，在中，点，在上，，，若平分，求证：； (3)如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）选方法一来证明，利用证明，选择方法二来证明，利用来证明，再利用三角形的三边关系求解； （2）延长到点使，连接，先证明，再证明，即可求证； （3）延长至点，使，连接，先证明，再根据等腰三角形的判定与性质证明． 【详解】（1）解：选方法一来证明： 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴； 选择方法二来证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：如图，延长到点使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2025·河南南阳·一模）【问题情景】如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． （1）在上述过程中，证明的依据是__________，的范围为__________； 【思考探究】（2）如图3，在中，，M为中点，D、E分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，M为中点，连结，，． ①判断：的形状，并说明理由； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结，M为中点，且D，E在同侧，连结，．若，，直接写出：和的面积之差为__________． 【答案】（1）SAS，；（2）；（3）①为等腰直角三角形，理由见解析；②4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． （1）由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， （2）延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， （3）①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴， 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， （2）解：延长至点，使得，连结，， ∵M为中点， ∴， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：； （3）①为等腰直角三角形，理由： 延长至点，使得，连结，， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，， ∴， ∵M为中点， ∴， 在和中，， ， ，， ∴， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，，， 设， ， ∵， ， ，， ∴同理可得， ∵， ∴，， 分别过，作，，，为垂足， ∴，， ， ∴设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是______． A．                    B．                    C．                    D． （2）边上的中线的取值范围是______ 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【拓展提升】 如图③，在中，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则______． 【答案】【问题情境】（1）C；（2）；【初步运用】见解析；【拓展提升】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的三边关系、等角对等边、平行线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 问题情境：（1）根据全等三角形的判定方法即可求解； （2）根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可求解； 初步运用：延长到，使，连接，通过证明得到，，进而得到，再根据等角对等边得到，等量代换即可证明； 拓展提升：延长到，使，连接，通过证明得到，，根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，设，根据线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】问题情境： 解：（1）是的中线， ， 在和中， ∴， ∴由已知和作图得到，依据是， 故选：C； （2）由（1）得，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 故答案为：； 初步运用： 证明：延长到，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 拓展提升： 解：延长到，使，连接，如图所示： ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：4． 类型二、截长补短模型 模型思路：证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长的部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段. 截长法 补短法 题目 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 辅助线作法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 延长AC到点E，使AB=AE，连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 重难点一 截长法 8．（23-24八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 在上取．连接，可得，得出，再证明即可解决问题． 【详解】证明：在上取，连接，   ，，且， ， ，， ∵，， ， ， ， ． 9．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，， ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 10．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等角对等边．数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，其中大边对大角．思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法． 问题具化：如图1，在中，，求证：； 问题解决：如图2，在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接．请你补全余下的证明过程； 问题拓展： 如图3，在中，是的平分线，，则___________度． 【答案】问题解决：见解析；问题拓展： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 问题解决：证明，得出，根据，即可得出答案； 问题拓展：在上取点E，使，连接，证明，得出，，，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：问题解决：在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 问题拓展：在上取点E，使，连接，如图所示： ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 重难点二 补短法 11．（22-23八年级上·广东阳江·期中）如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．试判断∠B与∠C之间的关系． (1)用截长来解 (2)用补短来解 【答案】(1) (2)∠ACD＝2∠B 【分析】（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图1，只要证得△ADE≌△ADC（SAS），利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可求证； （2）延长AC到F，使AF＝AB，连接DF，如图2，只要证得△ADB≌△ADF（SAS），利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可求证． 【详解】（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图1， 在△ADE与△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴∠AED＝∠C，ED＝CD， ∵AB＝AC+CD， ∴， ∵AB＝AE+BE， ∴BE＝ED， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵∠AED＝∠C， ∴； （2）延长AC到F，使AF＝AB，连接DF，如图2， 在△ADB与△ADF中， ， ∴△ADB≌△ADF（SAS）， ∴∠B＝∠F， ∵AB＝AC+CD， ∴AB＝AF＝AC+CF， ∴CD＝CF， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴∠ACD＝2∠B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟记三角形的性质是解题的关键． 12．（21-22八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 【答案】见解析 【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证． 【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN， 在△APN和△APC中 ∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP， ∴△APN≌△APC， ∴PC=PN， ∵△BPN中有PB－PN＜BN， 即PB－PC＜AB－AC； 补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM， 在△ABP和△AMP中， ∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP， ∴△ABP≌△AMP， ∴PB=PM， 又∵在△PCM中有CM＞PM－PC， 即AB－AC＞PB－PC． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键． 13．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．       (1)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题； (2)如图4，四边形中，E是上一点，，，，探究之间的数量关系，并证明． (3)活学活用 如图5，是四边形的对角线，，求证：． (4)思维拓展 如图6，在中，，点D是的中点，交于点E，点O在上，，请直接写出，，三者之间的数量关系 ． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论； （2）先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明，得到，，再根据等腰三角形的判定和外角性质证得，则，进而可得结论； （3）如图5所示：延长到E，使，连接，先根据已知和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，再利用三角形的内角和定理推导出，进而证明得到，，证明是等边三角形得到，进而可得结论； （4）如图6，连接，过点O作，根据含30度角的直角三角形的性质得到，，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质 ，再求得，进而得到，然后由得结论． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 证明：在上截取，使得，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴； （3）解：如图5所示：延长到E，使，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴； （4）解：如图6，连接，过点O作，    ∵，， ∴，， ∵点D是的中点，， ∴，又， ∴，又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题型，主要考查了三角形的内角和外角性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，涉及知识点较多，解答的关键学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于考试压轴题． 类型三、一线三等角模型 一线三等角模型 已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC 图示 结论 一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 重难点一 一线三等角模型 14．（23-24八年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解： ， . 又，， . 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）数学模型学习与应用： 学习：如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到，．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (1)应用：如图2，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）； (2)拓展：如图3，在（2）的条件下，若，且是等边三角形，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键． （1）由“”可证，可得，即可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 的长度为； （2）解：是等边三角形， 理由如下：由（1）知：， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【答案】(1)见解析； (2)50 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和（）综合． （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； 【详解】（1）解：证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ∴． （2）类比（1）可知，，， ，，，， 则 ． 17．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 【答案】（1）；（2）3；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键． （1）根据等边三角形的性质及和角关系，可得； （2）根据正方形的性质及和角关系，可得，由全等三角形的性质即可求得的长； （3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明，由全等三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 重难点二 构造一线三垂直模型 18．（25-26八年级上·河南开封·阶段练习）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）9或12或24 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，再由证即可；证，得，，即可解决问题； （2）过点作，垂足为，结合（1）的结果可进行计算； （3）首先求得，分三种情况讨论：当时，过点作，交的延长线于点，当时，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，分别通过证明三角形全等得到的长度，然后利用三角形面积计算公式解答即可． 【详解】解：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； ②，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：；； （2）过点作，垂足为，如图3， ，， 由（1）知，， ； （3）过点作于点，则，， ， 分三种情况： ①如图4，当时，过点作，交的延长线于点， ，，， ， ， ； ②如图5，当时，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，， 同①：， ， ， ； ③如图6，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点， 同①：， ，，设，则， ，， ， ， ， 故的面积为9或12或24． 19．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明见解析． （2），证明见解析． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 20．（24-25八年级下·辽宁丹东·开学考试）我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究． (1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为 ； (2)类比探究：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； (3)拓展应用：如图3，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)的坐标为或 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解； （2）过作轴于，先求出直线与坐标轴的交点与的坐标，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，得出点的坐标，根据待定系数法求出直线对应的函数表达式，再求出直线与轴的交点坐标即可； （3）过作轴于，交直线于，根据题意，设，，①当在上方时，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，据此列出二元一次方程组，解方程组即可；②当在下方时，同理列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：． （2）解：过作轴于，如图： 在中，令得，令得， ∴，， 即，， ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线对应的函数表达式为，把，代入得， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为； 令，得， ∴． （3）解：过作轴于，交直线于， 根据题意，设，， ①当在上方时，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 即， 解得， ∴的坐标为； ②当在下方时，如图： 同理可得， 解得， ∴的坐标为 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）问题提出： （1）如图1，在等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 问题探究： （2）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，求点的坐标． 问题解决： （3）如图3，地铁某线路原计划按的方向施工，由于在方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将方向改为或方向，则可以绕开此区域．已知，平分，，的长为1千米，以点为原点，所在直线为轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线与直线平行，请帮助施工队计算出和所在直线的函数表达式．［温馨提示：若点，，则线段的中点坐标为］ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）所在直线的解析式为：；所在直线的解析式为： 【分析】（1）根据题意可得，，推出，结合，利用即可证明结论； （2）先求出的坐标，过点作轴，交轴于点，证明，即可得解； （3）求出点坐标和直线的解析式，延长交轴与点，延长至点，使，设，过点分别作轴，得到，表示出的坐标，利用的中点在直线上，求出的坐标，再用待定系数法求解析式即可． 【详解】问题提出： （1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； 问题探究： （2）解：， 当时：； 当时：； ∴，， ∴， 过点作轴，交轴于点， 同上法可证：， ∴， ∴， ∴； 问题解决： （3）解：由题意得：， ∵射线与直线平行， 设直线的解析式为：， 则：，解得：； ∴； 延长交轴与点，延长至点，使，设，过点分别作轴， 由问题提出可知：， ∴， ∴， ∴的中点坐标为：， 由题意可知在直线上， ∴， 解得：， ∴，， 设的解析式为：， 则：， 解得：， ∴所在直线的解析式为：； 设的解析式为：， 则：， 解得：， ∴所在直线的解析式为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及一次函数与几何的综合应用．根据问题提出，理解并掌握一线三直角的全等模型，然后通过构建全等模型探究和解决问题是解题的关键． 类型四、手拉手模型 模型介绍：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 模型特点：共顶点，等顶角. 常见模型种类： 【小结】 1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右. 2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE. 重难点一 等腰三角形手拉手模型 22．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接． (1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)试说明：与的位置关系． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义证明结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ，即 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 23．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：__________________； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法为解题的关键． 初步把握：利用证出，即可解答； 深入研究：利用证出，再利用角的等量代换解答即可； 拓展延伸：利用证出，再利用角的等量代换解答即可． 【详解】初步把握：解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究：解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴； 拓展延伸：解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴， ∴． 24．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______． (2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，为等腰直角三角形，，，求证：． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)证明过见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）根据题意可得，再运用“边角边”即可判定，由此即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，再运用“边角边”即可判定，由此即可求解； （3）如图所述，以为边作等腰直角三角形，，，可证点三点共线，再根据等腰三角形，全等三角形的判定即可求证． 【详解】（1）解：已知与都是等腰三角形，，，且， ∴，即， 在与中， ， ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴． （3）解：如图所述，以为边作等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 25．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质， (2)42° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等式的性质）． 即． 又∵， ∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 重难点二 等边三角形手拉手模型 26．（24-25九年级上·四川广元·期末）【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形． ①当点在线段上时，过点作于点．求证： ②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；②． 【分析】（1）由和都是等边三角形得，，，进而推出，证明即可得证； （2）由和都是等边三角形得，，，从而推出，进而证明得，即可得证； （3）如图，当点在线段上或当点在线段的延长线上时，证明，可得，结合证明从而得出结论． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：①和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， ， ． ②如图，当点在线段的延长线上时， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题关键． 27．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）作于，于，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，结合三角形面积公式可得，再由角平分线的判定定理即可得证； （3）作交的延长线于，求出，从而可得，由（1）可得，即可得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）证明：如图，作于，于， ， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上，即平分； （3）解：如图，作交的延长线于， ， ∵、均为等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 28．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图，点C在线段上，分别以、为边在的同一侧作等边和等边，与相交于点O，交于点M，交于点N． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接．若M为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据，得出，理由三角形内角和得出，最后求出即可； （3）过点C作于点E，于点H，先证明，得出平分，求出，根据三线合一得出，求出，根据直角三角形性质得出． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 同理：， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． （3）解：过点C作于点E，于点H，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵为等边三角形，M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，等边三角形的性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 29．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·期中）探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图1，已知，均为等边三角形、点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接、，若，则______度； (3)如图3，已知点E在等边三角形外，点E、点B位于线段的异侧，连接、．若，猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)180，详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点， （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明，证明，得到，进而得到答案； （3）在线段上取一点H，使得，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可得到答案． 掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1），理由如下： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，理由如下， 如图3，在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 类型五、半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 30．（2025·山东·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 31．（2025八年级上·全国·专题练习）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造 （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】[问题发现]（1）；（2）见解析；[问题应用] 【分析】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． ［问题发现］（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； ［问题应用］根据旋转的性质得到，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）证明：由（1）得， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的周长为． 32．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 类型六、对角互补模型 模型1 两90°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个. 2.模型引申 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.[来源:学科网ZXXK] 提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF 结论：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③. 模型2. 含120°、60°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE. 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 2.模型引申 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③. 33．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，，根据，，得，可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，，可证，得； （3）过点作于点，过点作于点，证明，得出． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下． 证明：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 理由：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 34．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 35．（21-22八年级·全国·假期作业）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析 【分析】（1）根据题意，采用截取等长的方法，在上截，构造，再利用等腰三角形的性质求解； （2）巧妙利用（1）的结论和方法进行延伸，延长，结合等边三角形的性质，同时构造两个全等三角形，进而找到边长关系． 【详解】 解：（1）方法1：在上截，连接，如图， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴． 方法2：延长到点，使得，连接，如图， ∵平分， ∴． 在和中，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）、、之间的数量关系为：， 如图2所示，延长到点，使，连接， 由（1）可知， ∵， ∴为等边三角形．，， ∵， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形、等边三角形关系与性质，关键是要采用截长补短的方法，添加适当的辅助线构造出全等三角形． 类型七、婆罗摩笈多模型 题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，点I为DG中点 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，CH⊥BE 图示 辅助线作法 延长IC到点P，使PI=IC，连接PG 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 结论 CH⊥BE(知中点得垂直) BE=2IC DI=IG(知垂直得中点) BE=2IC 36．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．某同学是这样思考的： (1)延长至点E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ．中线的取值范围是 ． (2)问题解决：如图2 ，在中，点D是边的中点，点M在边上 ，点N在边上，若．求证：． (3)问题拓展： 如图3 ，在中，点D是边的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，探索与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出． 【详解】（1）解：延长至点E，使得，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ， ， ； 故答案为：；； （2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示： 同（1）得：， ，， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ； （3）解：，，理由如下：      延长至，使，连接，如图3所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 延长交于， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 37．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）基础研究： （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：_______（用字母表示）： 问题解决： （2）如图2，以的边，为边向外作和，，，，M是中点，连接，．求证． 拓展应用： （3）将上述图形中的某一个直角三角形旋转，如图3，与均为等腰直角三角形．，连接，，若M为的中点，连接，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）延长，使得，连接，延长交于，由（1）可得：，得出，，证明，得出，再求出，即可得证； （3）延长，使得，连接，延长交于，由（1）可得，得出，，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故李海证明用到的判定定理是； （2）证明：如图：延长，使得，连接，延长交于， ， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长，使得，连接，延长交于， ， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）【模型初现】 （1）如图1，在中，，，，平分交于点D，于点E，则________ 【模型归纳】 （2）如图2，是的角平分线，，，点E在上，．探索线段，和之间的数量关系，并加以证明； 【模型应用】 （3）如图3，点E是等边外一点，连接，，，恰好满足．已知平分交于点D，若，求的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）6 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是关键． （1）先证得，得到，进而求出的长度，即可求解； （2）证明，则，根据三角形的外角性质和等角对等边可证得，从而求证； （3）在上找一点，使得．证明，则易得是等边三角形．即可得到，进而代数即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 平分， ． ， ． 又， ． ． ， ∵，， ∴， ∴ （2）证明：是的角平分线， ． ， ． ． ， ， ， ． （3）解：在上找一点，使得． 是等边三角形，， ． ， ． ． 平分， ． ， 是等边三角形． ， ， ∵， ∴， ∴ 39．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点D，E．结论：． 模型分析：      (1)填空： ①如图1，若，则______； ②如图2，，，点的坐标为，则点的坐标为______． (2)这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那么这两个三角形还会全等吗？如图3现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线经过点D，A，E三点，且 ．请判断与是否全等，并说明理由． (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，则______． 【答案】(1)①8；② (2)，理由见解析 (3)5 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过作轴于，过作轴于，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）如图4，过作于，的延长线于．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：①直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：8； ②如图2， 过作轴于，过作轴于， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ，， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ，，， ， ，， ； （3）如图4，过作于，的延长线于． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， 同理，，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 40．（24-25八年级上·安徽·期中）综合与实践 模型再现 如图1，在中，，垂足分别为，探究图中与之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，从而可得出结论，他的结论应是：____________； 直接运用 （1）请你写出上述结论，并填空： 已知，则____________；____________． 类比探究 （2）如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为． ①猜想与，之间的数量关系，并说明理由； ②已知，求四边形的面积． 拓展应用 （3）如图3，在等腰中，，则点坐标为：____________；若点（不与点重合）在坐标平面内，若与全等，则点的坐标为：____________． 【答案】，（1），；（2）①，见解析；②；（3），或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，坐标与图形，利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键． （1）利用一线三垂直模型证明得到，则，再利用三角形面积公式分别求出的面积即可得到答案； （2）①利用一线三垂直模型证明，得到，则；②利用三角形面积公式求出，，，，再由进行求解即可． （3）同理，根据一线三垂直模型结合等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （1）∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，，，， ∴ ． （3）解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 如图所示， 当公共边为时， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∴ 同理可得， ∴ ∴ 当为公共边时，且时， 同理可得 ∴ ∴ 当为公共边时，且时， 同理可得 ∴ ∴ 综上所述，的坐标为：或或 故答案为：，或或． 41．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图1，若与均为等腰直角三角形，， ①求证：； ②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高， ①的度数为 ②线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①利用即可证明；②延长交于F，设交于G，由全等三角形的性质可得，再导角可证明，据此可得答案； （2）①根据（1）②的结论可得答案；②同理可证明，则，由三线合一定理可得，证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①∵与均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴； ②如图所示，延长交于F，设交于G， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①同（1）②可证明， ∵A、E、D三点共线， ∴； ②，证明如下： 同理可证明， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵为中边上的高， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 42．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1） 如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2） 如图2，中，的平分线交于点D．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等： （1）利用垂直平分线的判定，得出点在的垂直平分线上，点D在的垂直平分线上，即可证明； （2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可； 【详解】解：（1）连接 ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线 即； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 43．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读理解】 ①中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． ②我们规定：有两组边分别相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形． 【模型感知】 如图1， ，则和 (填“是”或“不是”)兄弟三角形． 【性质探索】 在上一问的条件下，若P为的中点，连接， ①试说明； ②延长交于点 G， 求证； 【应用拓展】 如图2，四边形是一片草坪， 是等腰直角三角形，，为锐角， 已知，的面积为计划修建一条经过点A的笔直小路，其中点G在边上，的延长线经过中点F．若小路每米造价700元，则修建小路的总造价为 元． 【答案】模型感知：是；性质探索：①见解析；②见解析；应用拓展： 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识． 模型感知：证明满足定义即可； 性质探索：①延长到点E，使得，证明，得到，则，证明，得到，则，即可得到结论；②根据全等的性质和角之间的关系即可 ；②由全等三角形的性质和余角的性质即可得到结论； 应用拓展：构造正方形和正方形，过点作于点，根据得到，证明，得到，即可得到答案． 【详解】模型感知（1）∵， ∴， ∵， ∴和是兄弟三角形， 故答案为：是 性质探索：①延长到点E，使得， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ②延长交于点G， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 应用拓展：∵，是等腰直角三角形， ∴， 如图，构造正方形和正方形，过点作于点，    由（3）可知， ∵为的中点， ∴平分的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴修建小路的总造价为元； 故答案为：． 44．（24-25六年级下·山东济南·期末）已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． (1)模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； (2)拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得可得出，证可得，可得； （2）同（1）证可得，可得出结论； （3）由，得到，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】（1）解：的数量关系为：，理由如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $