第27章 圆与正多边形（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版五四制九年级下册

第27章 圆与正多边形 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 4．下列命题正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．两圆的公共弦垂直平分连心线 D．等边三角形外接圆的面积是内切圆面积的4倍 【答案】D 【分析】本题考查了圆的有关性质，熟练掌握垂径定理，确定圆的条件，弧、弦、圆心角的关系，正多边形与圆，两圆的连心线的性质是解答本题的关键．根据根据垂径定理，确定圆的条件，两圆的连心线的性质，正多边形与圆的关系解答即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误； B．要加在同圆或等圆中（这个前提条件），故原说法错误； C．两圆的连心线垂直平分公共弦，故原说法错误； D．如图，为等边三角形，为等边三角形的外接圆与内切圆， ∴， ∴， ∴， ∴的外接圆的面积为，的内切圆的面积为， ∴等边三角形外接圆的面积是内切圆面积的4倍，故原说法正确； 故选：D． 5．边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数，正多边形的性质，根据题意画出图形，过点O作交与点M，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，，最后根据余弦的定义求解即可得出答案． 【详解】解：如图，正十边形的中心角， 过点O作交与点M， ∴，，． ∴， ∴ 故选：A． 6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（　　） A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC 【答案】B 【分析】作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝；即可得出结论． 【详解】作DE⊥BC于E，如图所示： 则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2， ∴CE＝4＝DE， 当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4； 当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A， 设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x， 在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2， 解得：x＝； ∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤； 故选B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键． 二、填空题（本题共12小题，每小题4分，共48分．） 7．已知圆与圆内切，，圆半径为，那么圆的半径为 ． 【答案】 【分析】两圆内切，则圆心之间的距离等于大圆半径减去小圆半径． 【详解】解：∵圆与圆内切， ∴大圆半径小圆半径， ∵圆A半径为， ∴圆的半径为， 故答案为：14． 【点睛】本题考查两圆的位置关系，当两圆内切，圆心之间的距离等于大圆半径减去小圆半径． 8．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 9．若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据弦分圆周长为两部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， ∴这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形， ∴这条弦的长度为． 故答案为：． 10．在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙ ．（填“内”、“外”、“上”） 【答案】上 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质等知识，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为⊙的直径， ∴点O为的中点，半径为， ∴， ∴点C在⊙上， 故答案为：上． 11．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理的应用，过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于，交与连接， 由题意得：， ∴， ∴，，， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴水位上升； 如图，过作于，交与连接， 由题意得：， ∴， ∴，，， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴水位上升； 综上可知：水位上升或， 故答案为：或． 12．正边形的边长与半径的夹角为，那么 ． 【答案】6 【分析】先根据正边形的边长与半径的夹角为求出一个内角的度数，再根据正多边形的各角都相等可列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：正边形的边长与半径的夹角为， 一个内角的度数，即， 解得． 故答案为：6 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键． 13．如果两圆的半径分别为5或2，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是 ． 【答案】外切 【分析】根据圆心距d，以及两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系． 【详解】解：∵， ∴这两个圆外切． 故答案为：外切． 【点睛】被踢主要考查了圆于圆之间的位置关系，解题的管家是掌握：当时，两圆外离；当时，两圆外切；当时，两圆内切；当时，两圆内离；当时，两圆相交． 14．在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本概念，网格与勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图找出圆心，再运用网格与勾股定理性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接， 结合网格特征，得出， ∴， ∴该圆弧所在圆的半径为， 故答案为：． 15．已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 16．如图，已知⊙A、⊙B、⊙C两两相切，连接圆心构成△ABC，如果AC=3，BC=5，AB=6，那么⊙C的半径长为 . 【答案】1 【分析】根据相切两圆的性质得到，,,利用数量关系即可求解. 【详解】依题意得，, ∴ 故填：1. 【点睛】此题主要考查圆相切的关系，解题的关键是熟知相切两圆的性质. 17．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可． 【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK， 过圆心O，， 设的半径为 ∴ 整理得： 解得： 不符合题意，舍去， ∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键． 18．如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点，连接、．记、、的面积分别为、、，如果是和的比例中项，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，比例中项等知识．解题的关键在于灵活运用所学知识，利用参数解决问题． 先证得，即可求证；可得，再由结合即可推出，设，可得，代入比例式即可得．解方程即可解决问题． 【详解】解：如图，作于H， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵，，，， ∴， 设，则， 解得：，（负值不合题意已经舍去） 又∵， ∴ ∴， 故答案为． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴，即C是的中点． 20．如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． (1)求证：点为的中点； (2)若，求． 【答案】(1)详见解析 (2)2 【分析】（1）利用垂径定理的推论证明即可． （2）利用垂径定理，勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的直径，， ，即点为的中点． （2）解：是的直径，， ， ， ， ， ， ． 21．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：，AD交OC于点E．已知OE＝3，EC＝2 （1）求弦AD的长； （2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长． 【答案】（1）8；（2） 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到CO⊥AD，AE＝DE，然后根据勾股定理即可求得AE，进而求得AD； （2）根据平行线分线段成比例定理即可求得结论． 【详解】解：（1），得CO⊥AD，AE＝DE． 在△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE＋CE＝5， 得AE＝，            所以AD＝AE＋DE＝8； （2）由CFAB，得， 则． 【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 22．已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结． （1）求证：； （2）联结，当时，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质; （2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形． 【详解】证明：（1）连结， ∵M、N分别是和的中点， ∴OM，ON为弦心距， ∴OM⊥BC，ON⊥AD， ， 在中，， ， 在Rt△OMG和Rt△ONG中， ， ， ∴， ; （2）设OG交MN于E， ， ∴， ∴，即， ， 在△CMN和△ANM中 ， ， ， ∵CN∥OG， ， ， ， ∴AM∥CN， 是平行四边形， ， ∴四边形ACNM是矩形． 【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键． 23．如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由四边形是菱形，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论； （2）由E为弧中点，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：为弧中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在CE的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）由题意得，，根据，可知，，再利用待定系数法即可求解； （2）①设平移后的解析式为，且经过，可得；由题意可知，其在轴负半轴，则，可得，，平移后的对称轴为直线，根据切线的性质可知，求出，即可求解； ②连接交轴于，由（1）可知原抛物线的解析式为，根据，结合解直角三角形求得，即，进而求得，直线的解析式为，可得，过点作，则轴，结合解直角三角形可知，新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，即，新抛物线解析式为：，由题意知，代入解析式求得的值，即可求得解析式，进而可得顶点坐标． 【详解】（1）解：令时，，即， ∴， ∵， ∴，， 将，代入， 得：，解得：， 即：，； （2）①设平移后的解析式为，且经过， ∴，即：； 令，则，即：， 又∵在轴负半轴，则，即， ∴，， 平移后的对称轴为直线 ∵它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切， ∴，即， 解得：，则， ∴平移后新抛物线的解析式； ②连接交轴于， 由（1）可知原抛物线的解析式为， ∵， ∴，则， ∵，则， ∴，即， 设直线的解析式为，代入，， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， 可得：，解得：或， ∴， 过点作，则轴， ∴， 设，则， ∴新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 即，新抛物线解析式为：， 又∵， ∴，则， 解得：，（舍去）， ∴平移后的新抛物线解析式为：， ∴新抛物线的顶点坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析，二次函数的平移问题，解直角三角形，切线的性质，理解题意，作出草图，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． 25．如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角得出，，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证； （2）设，，则，由（1）可得则，等量代换得出，进而证明，得出，在中，，则，解方程即可求解； （3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，证明，得出，设，根据，得出，可得，，连接交于点，证明在与中，，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴, ∴ ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，点边中点， 设，，则 由（1）可得 ∴， ∴， 又∵ ∴, ∴ 即， ∵， 在中，， ∴， ∴ 解得：或（舍去） ∴； （3）解：①当时，点与点重合，舍去； ②当时，如图所示，延长交于点P，    ∵点是的中点，， ∴， 设， ∵ ∴， ∴， 设， ∵ ∴，   ∴， ∴， ∴， 连接交于点，    ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明是解题的关键． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 圆与正多边形 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 2．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．两圆的公共弦垂直平分连心线 D．等边三角形外接圆的面积是内切圆面积的4倍 5．边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（　　） A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC 二、填空题（本题共12小题，每小题4分，共48分．） 7．已知圆与圆内切，，圆半径为，那么圆的半径为 ． 8．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 9．若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 10．在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙ ．（填“内”、“外”、“上”） 11．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ． 12．正边形的边长与半径的夹角为，那么 ． 13．如果两圆的半径分别为5或2，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是 ． 14．在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为 ． 15．已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 16．如图，已知⊙A、⊙B、⊙C两两相切，连接圆心构成△ABC，如果AC=3，BC=5，AB=6，那么⊙C的半径长为 . 17．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 18．如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点，连接、．记、、的面积分别为、、，如果是和的比例中项，则的长为 ． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 20．如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． (1)求证：点为的中点； (2)若，求． 21．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：，AD交OC于点E．已知OE＝3，EC＝2 （1）求弦AD的长； （2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长． 22．已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结． （1）求证：； （2）联结，当时，求证：四边形为矩形． 23．如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在CE的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 25．如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $