专题4.1 数列的概念（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题4.1 数列的概念 教学目标 1.了解数列的有关概念（项、项的表示）。 2.了解数列的表示方法（列表、图象、通项公式）。 3.了解数列是特殊的函数。 教学重难点 1.重点 由数列的前几项写出数列的一个通项公式，递推公式的应用，前项和公式与通项的关系 2.难点 数列单调性的判断、求数列的最大项与最小项. 知识点01 数列的概念 一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的_________,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的_________,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做_________. 数列的一般形式是,,…,,…,简记为. 【即学即练】 1．下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 2．下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 知识点02 数列的分类 1.根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数_________的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数_________的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2.根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列． 常数数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 【即学即练】 1．（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 2．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）． A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… 知识点03 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． （1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的．如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是，也可以是． （3）数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项． （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的_________，又是这个数列中_________． 【即学即练】 1．下列命题： ①已知数列，，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项； ②数列，，，，…的一个通项公式是； ③已知数列，，且，则； ④已知，则数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知数列的前项之和为且，若已经算出，，则猜想等于（    ） A． B． C． D． 知识点04 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故． 【即学即练】 1．已知数列的前项和为，，则 . 2．已知为数列的前项和，，则（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 知识点05 数列的表示方法 1.通项公式法（解析式法）： 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． 2.列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列． 1 2 … … … … 3.图象法： 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 具体方法：以_________为横坐标，相应的_________为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群_________，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 4.递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且_________与它的_________（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 递推公式也是给出数列的一种方法．如：数列：，1，5，9，13，…， 可用递推公式：，表示．数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…， 可用递推公式：，，表示． 【即学即练】 1．已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．数列1，，，…的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 知识点06 数列与函数的关系 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为. 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列_________，，…，，…就是数列. 另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个_________. 【即学即练】 1．已知满足对一切正整数均有且恒成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的通项公式为（其中是常数），若数列为严格增数列，则的取值范围为 ． 题型01 数列的有关概念和分类 【典例1】下列说法中，不正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不能有例外． 【变式1】下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【变式2】若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【变式3】（多选）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列的一个通项公式为 题型02 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 【典例1】下列给出的命题中正确的有（    ） A．数列和数列是相同数列 B．数列的一个通项公式是 C．已知数列的前项和，则 D．已知数列满足，，则 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 （1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等． （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． （3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号． （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 【变式1】数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 题型03 数列通项公式的简单应用 【典例1】已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 1.利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 2.判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．　　　 【变式1】如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【变式3】若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 题型04 递推公式的应用 【典例1】已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项． 【变式1】如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C． D．不存在正整数，使得为质数 【变式2】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为.利用下图所揭示的的性质，则在等式中， . 【变式3】已知数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出，接着复制该项后，再添加该项的后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加3的后继数4，…，如此继续，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型05 前项和公式与通项的关系 【典例1】记为正项数列的前项和，且，则（   ） A． B． C． D． 已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式． 【变式1】已知数列的前项和，则（    ） A．191 B．192 C．193 D．194 【变式2】已知数列的前项和，则等于（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 【变式3】已知数列的前项和为，，，，则 ． 题型06 数列单调性的判断 【典例1】若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列． （2）作商比较法：ⅰ．当时，则 ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列； ⅱ．当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． 【变式1】已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07 求数列的最大项与最小项 【典例1】已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项． 【变式1】已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【变式2】已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 题型08 周期数列 【典例1】已知数列的前项和为，若，且，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 形如:,,, 这些考虑周期性，需要多列举几项寻找规律 【变式1】已知数列中，，，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2】在数列中，，，对所有的正整数n都有，则 ． 【变式3】已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是 ．又，则 ． 2．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D． 3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 4．已知数列满足：，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．设数列满足，，数列的前项的和为，前项的积为，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．若数列满足，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 9．已知数列0，，，，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（    ） A．8项 B．9项 C．10项 D．11项 10．在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 11．已知数列的前项和（），则下列正确的是（   ） A．为递增数列 B． C． D． 12．已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 13．下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 14．已知数列的前n项和为，且，，则 . 15．数列（    ） A．既有最大项，又有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．既无最大项，又无最小项 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 数列的概念 教学目标 1.了解数列的有关概念（项、项的表示）。 2.了解数列的表示方法（列表、图象、通项公式）。 3.了解数列是特殊的函数。 教学重难点 1.重点 由数列的前几项写出数列的一个通项公式，递推公式的应用，前项和公式与通项的关系 2.难点 数列单调性的判断、求数列的最大项与最小项. 知识点01 数列的概念 一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项. 数列的一般形式是,,…,,…,简记为. 【即学即练】 1．下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】B 【分析】根据数列的定义和概念逐项判断即可. 【详解】选项A：数列除了递增数列和递减数列，还有常数列（所有项都相等）、摆动数列（项的大小交替变化）等， 所以一个数列不是递增数列，不一定就是递减数列，A说法错误； 选项B：对于数列，它的第项为，B说法正确； 选项C：数列是按一定顺序排列的一列数，数列1，0，，，和数列，，0，1排列顺序不同， 所以这两个数列不是相同数列，C说法错误； 选项D：数列0，2，4，6，的通项公式为， 而表示的数列为2，4，6，8，，首项不同，D说法错误. 故选：B 2．下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 【答案】BCD 【分析】根据数列的概念判断A，应用通项公式计算判断B，应用已知项求出通项公式计算判断C，D. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关， 故数列与数列是两个不同的数列，故A错误； 对于B，令，解得或（舍去）， 故110是该数列的第11项，故B正确； 对于C，数列，的一个通项公式是， 故第8个数是，故C正确； 对于D，数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：BCD. 知识点02 数列的分类 1.根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2.根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列． 常数数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 【即学即练】 1．（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】直接根据数列中数据变化情况来判断即可. 【详解】选项C、D既是无穷数列又是递增数列， 而选项A是递减数列，选项B是摆动数列． 故选：CD. 2．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）． A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… 【答案】BD 【分析】按已知条件逐一分析各个选项即可得解. 【详解】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误； 对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确； 对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误； 对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确. 故选：BD. 知识点03 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． （1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的．如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是，也可以是． （3）数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项． （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 【即学即练】 1．下列命题： ①已知数列，，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项； ②数列，，，，…的一个通项公式是； ③已知数列，，且，则； ④已知，则数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】①令从而判断是否是数列的项，结合数列单调性判断；②找规律即可判断；③先求出通项公式，然后代入求解；④根据数列的单调性定义判断. 【详解】对于①，令，易知最大项为第1项．①正确； 对于②，数列变为 可知是一个符合的通项公式，②正确； 对于③，，且．③正确； 对于④，由，则数列是递增数列，④正确． 故选：A 2．已知数列的前项之和为且，若已经算出，，则猜想等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出，归纳推理出即可得解. 【详解】，，，， 同理可得， 观察1，，，，…，猜想． 故选：D. 知识点04 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故． 【即学即练】 1．已知数列的前项和为，，则 . 【答案】 【分析】利用前项和与通项公式的关系求解通项公式即可. 【详解】当时，， 当时，， 此时，不符，故. 故答案为： 2．已知为数列的前项和，，则（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】利用，得，当时，由即可推出即可得解. 【详解】当时，，因为，所以． 当时，由得， 两式相减可得，即． 因为，所以， 可得，所以2024． 故选：D. 知识点05 数列的表示方法 1.通项公式法（解析式法）： 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． 2.列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列． 1 2 … … … … 3.图象法： 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 4.递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 递推公式也是给出数列的一种方法．如：数列：，1，5，9，13，…， 可用递推公式：，表示．数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…， 可用递推公式：，，表示． 【即学即练】 1．已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】利用数列的通项公式依次求得，从而得解. 【详解】因为， 所以， 则该数列的前4项和. 故选：A. 2．数列1，，，…的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入即可结合选项逐一排除. 【详解】当时，对于B中， 当时，对于C中，对于D中， 四个选项中只有同时满足，，. 故选：A 知识点06 数列与函数的关系 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为. 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列. 另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列. 【即学即练】 1．已知满足对一切正整数均有且恒成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意整理可得对一切正整数恒成立，根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为满足对一切正整数均有且恒成立， 即恒成立，化为， 可知对一切正整数恒成立，所以， 故选：C. 2．已知数列的通项公式为（其中是常数），若数列为严格增数列，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意对任意恒成立，从而可得答案. 【详解】由数列为严格增数列，得恒成立， 因此对任意恒成立，而，当且仅当时取等号，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 题型01 数列的有关概念和分类 【典例1】下列说法中，不正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 【答案】ABD 【分析】根据数列的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，不表示数列，故A错误； 对于B，数列具有有序性，故B错误； 对于C，数列的项可以相等，故C正确； 对于D，当时，数列和数列表示同一数列，故D错误. 故选：ABD. 判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不能有例外． 【变式1】下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【答案】 ②④⑤ ②⑤ ④ 【分析】由数列的定义及数列的分类可得结论. 【详解】①是集合，不是数列，③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按照一定顺序排列起来， 根据数列定义知：是数列的是②④⑤；是有穷数列的是②⑤；是无穷数列的是④． 故答案为：②④⑤；②⑤；④． 【变式2】若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可. 【详解】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 【变式3】（多选）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列的一个通项公式为 【答案】AD 【分析】利用数列的概念、通项公式一一判定选项即可. 【详解】对于选项A，因为数列是一类特殊的函数，其自变量， 所以数列的图象是一群孤立的点，故A正确； 对于选项B，常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误； 对于选项C，当时，，故C错误； 对于选项D，因为， 所以该数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：AD. 题型02 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 【典例1】下列给出的命题中正确的有（    ） A．数列和数列是相同数列 B．数列的一个通项公式是 C．已知数列的前项和，则 D．已知数列满足，，则 【答案】BCD 【分析】由数列的定义可判断A选项错误；由数列的通项公式可判断B选项正确；由数列的递推式：时，，计算可判断C选项正确；由数列的递推式，计算可判断D选项正确. 【详解】对于A选项，根据数列的定义，数列具有顺序性，所以A选项错误； 对于B选项，将代入通项公式，得到的数列是，所以B选项正确； 对于C选项，根据前项和公式，可以得到，所以C选项正确； 对于D选项，根据递推式，可以得到，所以D选项正确. 故选：BCD. 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 （1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等． （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． （3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号． （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 【变式1】数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列中数据特征得到通项公式. 【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该含有， 满足， 所以数列的一个通项公式可以为，其余选项不适合， 故选：B. 【变式2】若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察前几项的规律即可求解. 【详解】由，，，， 可得的一个通项公式为. 故选：B. 【变式3】数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的前项进行猜想，由此求得正确答案. 【详解】将，，，可以写成成，，， 所以的通项公式为. 故选：C 题型03 数列通项公式的简单应用 【典例1】已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是数列的第10项． 【分析】（1）利用给定的递推公式，代值计算即可. （2）利用方程的正整数解即可得解. 【详解】（1）数列中，，， 所以. （2）若为数列中的项，则， 即，整理得，而，解得， 所以是数列的第10项. 1.利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 2.判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．　　　 【变式1】如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据累加法求解出的通项公式，由此可求的值. 【详解】由题意可知， 所以， 所以, 所以，所以， 当时，符合的情况， 所以，所以， 故选：D. 【变式2】已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【答案】D 【分析】令通项公式等于项的值，解出的值即可. 【详解】令，则. 则146是该数列的第12项, 故选：D. 【变式3】若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用数列的通项公式可逐项分析判断各个选项. 【详解】对于选项A，B，令，解得， 所以数列前6项为正数项，从第7项开始后面的项均为负数项，故A，B正确； 对于C，由，当时，数列取到最大值， 而对函数，当时，取到最大值，故C错误； 对于D，令，解得或（舍去），即是该数列的第10项，故D正确. 故选：ABD. 题型04 递推公式的应用 【典例1】已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意确定之间的关系以及与的关系即可得所求. 【详解】由题意可知， ， ， ， 所以. 故选：C. 递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项． 【变式1】如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C． D．不存在正整数，使得为质数 【答案】BCD 【分析】根据每层的球的个数可得，利用累加法求得，即可求得的值，判断A，B；根据，可判断C；根据，结合数的奇偶性，可判断D. 【详解】依题意因为， 以上n个式子累加可得︰, 又满足上式，所以,故，故A错误； 因， 所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，故当且为整数时，， 此时必为偶数，则为整数，且为合数， 则不存在正整数，使得为质数，D正确， 故选：BCD 【变式2】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为.利用下图所揭示的的性质，则在等式中， . 【答案】2020 【分析】由题意可得，再结合累加法即可求解 【详解】由题意，， 所以， ， 。 ， 所以， 所以， 所以， 所以， 由， 所以， 所以， 故答案为： 【变式3】已知数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出，接着复制该项后，再添加该项的后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加3的后继数4，…，如此继续，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题中规律得到，将所求的逐步转化得到即可得到答案. 【详解】由，，，， 可得，所以， 故． 故选：A 题型05 前项和公式与通项的关系 【典例1】记为正项数列的前项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令可得的值，当时，由得出，两式作差可推导出数列为常数列，求出数列的通项公式，即可得解. 【详解】因为为正项数列的前项和，且， 令可得，故， 当时，， 两式相减得到，即，故， 于是为常数列，故，故，故. 故选：B. 已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式． 【变式1】已知数列的前项和，则（    ） A．191 B．192 C．193 D．194 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用的关系列式计算即得. 【详解】因为，则， 故选：C 【变式2】已知数列的前项和，则等于（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】C 【分析】根据即可求解. 【详解】由可得， 故选：C 【变式3】已知数列的前项和为，，，，则 ． 【答案】 【分析】由，取，，由此求出，，再求即可. 【详解】因为，， 取可得，，所以， 取可得，，所以， 所以， 故答案为：. 题型06 数列单调性的判断 【典例1】若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据求的取值范围. 【详解】由，可得， 两式相减可得：， 又，所以. . 因为数列为递增数列， 所以，故. 故答案为： 判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列． （2）作商比较法：ⅰ．当时，则 ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列； ⅱ．当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． 【变式1】已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数解析式得到数列的通项公式，由分段函数的单调性法则列出不等式，从而求得实数的取值范围. 【详解】由题意知， 因为数列是递增数列， 所以当时，，即； 当时，，且， 所以，即，即， 所以或． 综上可得的取值范围为． 故选：C. 【变式2】函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知分段函数在每段上为增函数，且，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】由题意可知分段函数在每一段上为增函数，且， 即，解得， 故实数a的取值范围是． 故选：D. 【变式3】设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用递增数列的定义列式求解即得. 【详解】由数列为递增数列，得，，而， 则，，而恒成立，则， 所以正实数的取值范围为. 故选：A 题型07 求数列的最大项与最小项 【典例1】已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用作商法判断数列单调性，得出数列的最小值即可得解. 【详解】由，则， 令，则，由，解得， 所以当时，，当时，， 即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 又，，所以，即为数列的最小值， 故当取得最小值时，. 故选：B 可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项． 【变式1】已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】D 【分析】由，先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案. 【详解】当时，； 由 ①得，当时， ②， ①②得， ， 即， 又也符合该式， 故. 所以， 由，得，解得； 又，所以， 则， 由，解得， 又，所以，则 ， 因此的最大项为， 故选：D. 【变式2】已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，当n2时，，当n2时，，从而可得到n＝2时， 最大. 【详解】， 当n2时，，即； 当n＝2时，，即； 当n2时，，即. 所以， ， 所以数列中的最大项为 或 ，且. 故选：A. 【变式3】已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【答案】(1)； (2)最大项为，最小项为. 【分析】（1）根据题干已知条件并结合公式，即可计算出数列的通项公式. （2）由（1）可得数列是单调递增数列，进而求出负数项、正数项对应的n值，再由单调性求出数列中的最大项和最小项. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则数列是单调递增数列， 由，得，即当时，，当时，， 而，因此当时，，且数列单调递减，即； 当时，，且数列单调递减，即， 所以数列中的最大项为，最小项为. 题型08 周期数列 【典例1】已知数列的前项和为，若，且，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由，得，可得数列的周期，利用周期性求和的方法，即可得解. 【详解】由，得，所以数列是周期为4的数列， 所以由，，得，， 所以， 所以， 故选：D． 形如:,,, 这些考虑周期性，需要多列举几项寻找规律 【变式1】已知数列中，，，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由递推公式确定数列周期即可求解； 【详解】因为， 由，，得， 由，，得， 由，，得， 由，，得， 由，，得， 由，，得， 由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列， 所以． 故选：C 【变式2】在数列中，，，对所有的正整数n都有，则 ． 【答案】24 【分析】根据给定条件，求出数列周期，进而求出. 【详解】数列中，由，得，则， 因此，数列是周期数列，周期为6， 所以. 故答案为：24 【变式3】已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意得到数列周期性，进而直接求解. 【详解】由题意：，，，，… 依次类推：. 所以. 故选：C 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是 ．又，则 ． 【答案】 n 78 【分析】找规律得到，并根据得到. 【详解】由已知可得，，，，， 所以递推公式可以写成． 所以． 故答案为：，78 2．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用时，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意可得 ①， 所以时， ②， ①-②得，所以， 所以. 故选：C. 3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【答案】C 【分析】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解. 【详解】解：如图， 称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 故选：C. 4．已知数列满足：，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据数列的递推公式列出数列的前几项. 【详解】由题意：，，. 故选：B 5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意依次计算可判断选项正误. 【详解】由题： .则ACD错误，B正确. 故选：B 6．设数列满足，，数列的前项的和为，前项的积为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用递推公式逐项计算可判断A选项；根据数列的前项的值可判断数列的周期性，可判断B选项；利用数列的周期性计算可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为数列满足，，则， ，，，A对； 对于B选项，由A选项可知，数列是以3为周期的周期数列， 即对任意，，B对； 对于C选项，因为，且， 则，C对； 对于D选项，因为， 则，D错. 故选：ABC. 7．已知数列满足，，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用累加法结合可求答案. 【详解】因为，所以，，，， 以上各式相加可得，即. 因为，所以. 故选：A 8．若数列满足，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】通过递推公式罗列数列中前几项，找出数列的周期性计算即可. 【详解】由，得： 可知是以3为周期的数列，所以. 故选：D. 9．已知数列0，，，，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（    ） A．8项 B．9项 C．10项 D．11项 【答案】B 【分析】观察数列可得通项公式为，解不等式可得结果. 【详解】根据规律可得该数列的通项公式为， 由得，． ∵，∴该数列中小于1的项有9项． 故选：B. 10．在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据递推公式写出数列前项的值，即可求出的值； （2）对为奇数和偶数两种情况讨论，结合递推公式求出、，结合可求得的值. 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意； ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上， 11．已知数列的前项和（），则下列正确的是（   ） A．为递增数列 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据与的关系求出，逐一判断选项即得. 【详解】∵，∴令得， 当时，①， ②， 由①-②可得：， 因当时，，故. 因时，单调递增，且，故为递增数列， 即A，B都正确，C，D都错误. 故选：AB. 12．已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分析数列前项的规律，用表示即可得答案. 【详解】根据题意，数列的前几项为：…， 即，，，， 故数列的一个通项公式可以为. 故选：B. 13．下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于，故数列是递增数列； 对于B，由于，故数列是递增数列； 对于C，由于，，故数列不是递增数列； 对于D，由于， 当时，，，即， 又，所以数列是递增数列． 故选：ABD. 14．已知数列的前n项和为，且，，则 . 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】，，， 当时， 两式相减得，而， 则. 故答案为：. 15．数列（    ） A．既有最大项，又有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．既无最大项，又无最小项 【答案】A 【分析】结合指数函数及反比例函数单调性和值域即可判断． 【详解】， 根据指数函数及反比例函数的单调性可知， 在时为减数列且为负，在时也为减数列且为正， 故数列最小项为第10项，最大项为第11项．∴A正确. 故选：A. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $