专题4.3.1 等比数列的概念（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题4.3.1 等比数列的概念 教学目标 1、理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念。 2、能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题. 教学重难点 1.重点 能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解. 2.难点 能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题. 知识点01 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________；公比通常用字母表示（），即：． ①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可________； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个； ③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件； ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据________________．利用这种形式来判定，就便于操作了 【即学即练】 1．下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 2．已知数列满足，，，则 ． 知识点02 等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项． ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一． ③当时，、、成等比数列． ④是、、成等比数列的________________． 【即学即练】 1．已知三个实数成等比数列，且(为正常数)，则b的取值范围是 ． 2．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 知识点03 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： ①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意________，通过解方程，便可求出第四个量． 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵， ∴∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 【即学即练】 1．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（   ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点04 等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则，特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【即学即练】 1．已知在正项等比数列中，，，则（    ） A．的公比为2 B．的通项公式为 C． D．数列为递增数列 2．在等比数列 中，公比为 ，其前 项积为 ，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（        ） A． B． C． 的值是 中最大的 D．使 成立的最大自然数 等于198 知识点05 等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的________；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是________；②当且时，等比数列是________； ③当且时，等比数列是递减数列；④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是________． 【即学即练】 1．已知，是等比数列图象上的两点，则 ． 2．设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型01 等比数列的判断 【典例1】已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 . 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 【变式1】已知数列是公比为的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】已知等比数列满足，则（    ） A．公比 B． C．为等比数列 D．数列的公比为16 【变式3】在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由． 题型02 等比数列的通项公式及其应用 【典例1】已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ． 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【变式1】已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式2】已知数列的首项，若数列为等差数列，且其公差为，则数列的通项公式为 ． 【变式3】某公司于2022年初花费150万元购买了一台生产设备，其第一年的维护费用为4万元，且往后每年较上一年上涨10%，设备生产厂家为提高设备出售率，在每年的维护费用中给予补贴，第一年补贴5000元，且往后每年增加1000元，当该公司每年的最终维护费用超过8万元时，该生产设备下一年将不再使用，则该生产设备可以使用 年（参考数据：）． 题型03 等比数列的证明 【典例1】数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式. 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列． 4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可．　 【变式1】已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 【变式2】已知数列满足，若，则数列的通项公式为 . 【变式3】若数列满足，且．证明：数列为等比数列． 题型04 等比中项及应用 【典例1】数列为等差数列，，，且，，成等比数列，当最大时，n=（    ） A．8或9 B．9或10 C．10或11 D．11或12 （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． 【变式1】若依次成等差数列，依次成等比数列，则（   ） A．3 B． C．或3 D．或4 【变式2】已知数列为等比数列，为其前项积，若，则当取最小值时， ． 【变式3】在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为（    ） A．4 B．4或 C．6或 D．6 题型05 等比数列的实际应用 【典例1】如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题． 【变式1】有一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C．，，若数列为等比数列，公比为q，则 D． 【变式2】在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（    ） A．第三次得到的数列共9项 B． C．数列是等比数列 D．对每个正整数，以为边长能构成一个三角形 【变式3】金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸.我国南京金箔锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录.系列的矩形金箔共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的比值都相同；②每一序号的金箔（除外）对裁后，可以得到两张后一序号的金箔.比如1张金箔对裁后可以得到2张金箔.若金箔的较短边长为，则金箔的较长边长约为（    ） A． B． C． D． 题型06 等比数列性质的应用 【典例1】已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 【变式1】已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 【变式2】数列满足，，给出下列四个结论： ①不存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④存在正整数，且，使得. 其中所有正确结论的是（    ） A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 【变式3】已知为等比数列的前项和，为常数列，则（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是充要条件 D．是的既不充分也不必要条件 1．在数列中，已知，则（　　） A． B． C． D． 2．已知等差数列满足. (1)求的通项公式; (2)若等比数列，求的通项公式; 3．记为数列的前项和，已知，求的通项公式. 4．已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 5．已知单调递增的等差数列各项均为整数，其前项和为，且成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列为等比数列，，若恒成立，则的取值范围是 ． 7．已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 8．在正中，其边长为4，分别取各边的中点，作第2个正，再分别取正各边的中点，作第3个正，依此方法一直继续下去．则第个正三角形的面积为 ． 9．已知数列为等比数列，，则 ． 10．已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，请判断是否存在使得，若存在，求出的最大（小）值，若不存在，说明理由． 11．已知数列为等比数列，，若为数列的前项和，则满足的的最小值为 ． 12．已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为 ． 13．已知等比数列中，，则 ． 14．已知数列的前项和为，若，且，则 ． 15．在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3.1 等比数列的概念 教学目标 1、理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念。 2、能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题. 教学重难点 1.重点 能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解. 2.难点 能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题. 知识点01 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． ①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个； ③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件； ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了 【即学即练】 1．下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 【答案】ABC 【分析】根据等比数列的定义对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，数列为公比为1的等比数列，A正确； B选项，数列为公比为2的等比数列，B正确； C选项，数列为公比为的等比数列，C正确； D选项，，不是等比数列，D错误. 故选：ABC 2．已知数列满足，，，则 ． 【答案】128 【分析】由题意，根据等比数列的定义可知数列是首项为，公比为4的等比数列，由等比数列的通项公式可得，利用累乘法求得，令，计算即可求解. 【详解】由题意知，，即，又， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列， 所以， 当时，， 所以. 故答案为：128 知识点02 等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项． ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一． ③当时，、、成等比数列． ④是、、成等比数列的必要不充分条件． 【即学即练】 1．已知三个实数成等比数列，且(为正常数)，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一设，，得到的表达式，再结合基本不等式求解；解法二由等比中项的性质结合一元二次方程根与系数的关系由判别式求解. 【详解】解法一:设，，则由，可得． 当时，；当时，，于是或． 又∵，∴或，故． 解法二:由a，b，c成等比数列，知，又．∴且， 从而a、c可视为关于x的方程的两个实根． 令，解得． 又，故． 故答案为：. 2．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 【答案】C 【分析】设出等比数列的公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 故. 故选：C. 知识点03 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： ①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵， ∴∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 【即学即练】 1．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设各个图形的周长依次排成一列构成数列，观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，判断为等比数列，求出其通项，代入即得 【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的， 则从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 故数列是首项，公比为的等比数列，则，故. 故选：B. 2．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 知识点04 等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则，特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【即学即练】 1．已知在正项等比数列中，，，则（    ） A．的公比为2 B．的通项公式为 C． D．数列为递增数列 【答案】AC 【分析】应用等比数列的基本量运算求出公比及通项判断A，B，C，再结合对数运算计算判断单调性判断D. 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，，所以， 又，所以，即， 所以，，A，C正确，B错误； 对于D，，则数列为递减数列，D错误． 故选：AC． 2．在等比数列 中，公比为 ，其前 项积为 ，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（        ） A． B． C． 的值是 中最大的 D．使 成立的最大自然数 等于198 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的性质公式，结合已知条件，逐个计算判定即可. 【详解】因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， .分析选项知， ，故A中结论正确； ，故B中结论正确； ，故C中结论错误； ， ，故D中结论正确. 故选：ABD. 知识点05 等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是递增数列；②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列；④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是摆动数列． 【即学即练】 1．已知，是等比数列图象上的两点，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意知，，∴，∴， ∴． 故答案为： 2．设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】由等比数列的通项公式可得，， 当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足； 当是递减数列，可得或，故必要性不满足； 所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件. 故选：A 题型01 等比数列的判断 【典例1】已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】法一：设、，结合递推关系得到，再根据已知得，进一步有，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得，讨论的奇偶性写出通项公式即可. 【详解】法一：因为，所以. 设，则，所以. 设，则. 因为，，所以，， 所以，即，即，所以. 因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，. 法二：因为，所以， 由，，得，， 所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列， 当为奇数时，，即； 当为偶数时，，即. 综上，. 故答案为： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 【变式1】已知数列是公比为的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义逐个判断即可得解. 【详解】数列是公比为的等比数列， ①不是定值，故不是等比数列； ②为定值，故是公比为的等比数列； ③为定值，故是公比为的等比数列； ④为定值，故是公比为的等比数列；故等比数列的个数是3个. 故选：C 【变式2】已知等比数列满足，则（    ） A．公比 B． C．为等比数列 D．数列的公比为16 【答案】ACD 【分析】A选项，利用求出公比；B选项，求出，相加得到答案；C选项，，从而得到；D选项，，得到，D正确. 【详解】A选项，设公比为，由得，解得，A正确； B选项，因为，所以，B错误； C选项，因为，所以，则， 故，为等比数列，C正确； D选项，因为，所以， 所以，所以数列的公比为16，D正确． 故选：ACD 【变式3】在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由． 【答案】是等比数列，理由见解析 【分析】根据，构造数列的递推公式，再根据等比数列的定义判断数列是否为等比数列. 【详解】因为，所以当时，， 当时，，整理可得， 因为，又. 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列． 题型02 等比数列的通项公式及其应用 【典例1】已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】分析数列的单调性，确定时，的值，即可求的最大值. 【详解】因为为等比数列，且，所以， 由. 所以， 所以为的最大值，且. 故答案为：8 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【变式1】已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据条件得是公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式可得结果，设数列的公比为，列出方程，求出，即可得到通项公式. （2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】（1）设等差数列公差为， 因为，所以 所以是公差为2的等差数列， 所以， 因为成等差数列，所以， 设的公比为，其中， 所以，解得或， 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，不合题意， 综上，. （2）由（1）得，， 所以， 所以是公差为3的等差数列， 所以. 【变式2】已知数列的首项，若数列为等差数列，且其公差为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据条件列公差方程，解得结果， 即可. 【详解】依题意，即，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则． 故答案为： 【变式3】某公司于2022年初花费150万元购买了一台生产设备，其第一年的维护费用为4万元，且往后每年较上一年上涨10%，设备生产厂家为提高设备出售率，在每年的维护费用中给予补贴，第一年补贴5000元，且往后每年增加1000元，当该公司每年的最终维护费用超过8万元时，该生产设备下一年将不再使用，则该生产设备可以使用 年（参考数据：）． 【答案】10 【分析】由题意可得设备维护费用构成等比数列，补贴费用构成等差数列，求出两数列后即可得最终维护费用，再结合数列的单调性计算即可得解. 【详解】由题可知设备维护费用构成等比数列，记为， 补贴费用构成等差数列，记为， 则该公司每年最终维护费用为数列， 即， 有 ， 故数列为递增数列， 当时，， 当时，， 故该生产设备可以使用10年． 故答案为：10. 题型03 等比数列的证明 【典例1】数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）利用公式求通项，但要注意检验首项； （2）利用递推关系证明比值为常数，即可得证； （3）利用等比数列通项公式即可求解. 【详解】（1）当时，．当时，． 检验，当时符合．所以． （2）当时，，而， 所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3． （3）由（2）得：，所以. 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列． 4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可．　 【变式1】已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】BCD 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【详解】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 【变式2】已知数列满足，若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】变形为，再利用等比数列的定义可得答案. 【详解】因为，，所以，， 所以，而，且， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， . 故答案为：. 【变式3】若数列满足，且．证明：数列为等比数列． 【答案】证明见解析 【分析】根据已知的递推关系式应用等比数列定义证明等比数列即可. 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以， 所以，又， 所以数列为等比数列． 题型04 等比中项及应用 【典例1】数列为等差数列，，，且，，成等比数列，当最大时，n=（    ） A．8或9 B．9或10 C．10或11 D．11或12 【答案】B 【分析】根据给定条件，根据，，成等比数列，得到，再根据等差数列的求和通项公式和性质得到，分析出正负相邻的项，得解. 【详解】， 故，， ∴，， ∴最大时，或10， 故选：B. （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． 【变式1】若依次成等差数列，依次成等比数列，则（   ） A．3 B． C．或3 D．或4 【答案】C 【分析】根据等比中项和等差数列的性质，可分别求得的值，进而得到答案. 【详解】由于成等差数列，所以， 依次成等比数列，所以，则或 当时，， 当时，. 故选：C 【变式2】已知数列为等比数列，为其前项积，若，则当取最小值时， ． 【答案】3或4 【分析】根据等比数列的性质，求得，，得到时，；当时，；时，，即可求解. 【详解】由等比数列的前之积为，且， 可得，则，即， 所以，可得，所以，， 当时，；当时，；时，， 故当取最小值时或4． 故答案为：或. 【变式3】在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为（    ） A．4 B．4或 C．6或 D．6 【答案】B 【分析】设插入的第一个数为a，根据等比数列的性质，求出插入的另一个数，最后根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为． 由a，，20成等差数列，得．整理得，解得或． 当时，插入的两个数的和为． 当时，插入的两个数的和为． 故选：B 题型05 等比数列的实际应用 【典例1】如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形，可得第1，第2，…，第个三角形的面积满足，即是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的基本量运算即得答案. 【详解】设的面积为，后续各三角形的面积依次为，，，， 则，，，，可见， 即是首项为，公比为的等比数列，则， 于是，，， 故. 故选：D. 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题． 【变式1】有一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C．，，若数列为等比数列，公比为q，则 D． 【答案】BD 【分析】根据题中给出的信息，运用列举法分别求出数列中的项，发现数列是周期为6的周期数列，然后利用周期性即可判断选项AB，利用等比数列的定义结合新定义即可判断选项C，利用，列举，然后相加即可判断选项D． 【详解】由题意，斐波那契数列：， 各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为， 可得数列的各项分别为， 所以数列是周期为6的周期数列． 因为，所以，故A错误； 因为，且， 所以 ，故B正确； ，，若数列为等比数列，公比为q， 则，又， 则， 则，且，则，且，故C错误； 因为，，…，，， 将上面各式相加得， ， 即， 则， 即，故D正确， 故选：BD． 【变式2】在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（    ） A．第三次得到的数列共9项 B． C．数列是等比数列 D．对每个正整数，以为边长能构成一个三角形 【答案】AC 【分析】由数列的新定义可判断AB；根据递推关系构造数列，根据等比数列的定义判断C；根据等比数列的通项公式求出，再根据函数的单调性化简即可判断D. 【详解】第三次得到的数列，在第二次得到的数列的基础上增加4项，共9项，所以A正确； 由已知，，所以， 当时，设第次构造后得到的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为， 则，所以B不正确； 因，则，所以， 因，则， 所以，数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以C正确； 因为数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 函数在定义域上单调递增，所以对每一个正整数有， 假设以为边长能构成一个三角形，所以， 从而，即， 即，显然不成立，所以D不正确. 故选：AC 【变式3】金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸.我国南京金箔锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录.系列的矩形金箔共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的比值都相同；②每一序号的金箔（除外）对裁后，可以得到两张后一序号的金箔.比如1张金箔对裁后可以得到2张金箔.若金箔的较短边长为，则金箔的较长边长约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的基本量运算即可求解. 【详解】设矩形金箔较长边长分别为，矩形金箔较短边长分别为， 设，且，所以， 所以，所以为公比为的等比数列， 所以，所以. 故选：D. 题型06 等比数列性质的应用 【典例1】已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 【答案】2 【分析】根据条件得，再由，得，解方程即可,注意公比为正数的取舍问题. 【详解】因为与的等差中项为4，所以，又，各项为正数,所以公比为正数， 所以，解得:或(舍). 故答案为：2 利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 【变式1】已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 【答案】C 【分析】由等差数列和等比数列的性质与求和、求积，可得所求和． 【详解】等差数列的前项和为，等比数列的前项积为， 且，， 则． 故选：C． 【变式2】数列满足，，给出下列四个结论： ①不存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④存在正整数，且，使得. 其中所有正确结论的是（    ） A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 【答案】C 【分析】求出前四项可判断①；若存在使得，，成等比数列，得出相邻两项关系可判断②；由求出可判断③；由题意写出数列的前17项可判断④. 【详解】对于①，，，， 显然，成等差数列，故①错误； 对于②，若存在，使得，，成等比数列， 则，又，得， 即，解得， 由，， 得，且为整数， 所以，这与相邻两项为整数矛盾，故②错误； 对于③，因为，， 所以，所以，则成等差数列， 故存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列， 故③正确； 对于④，由题意知数列中的项：， 可得，故④正确. 故选：C. 【变式3】已知为等比数列的前项和，为常数列，则（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是充要条件 D．是的既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，可得， 所以即，所以不一定为常数列； 若为常数列，则成立， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 1．在数列中，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项公式. 【详解】等式两边同时加1，得， 所以数列是以首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故选：C. 2．已知等差数列满足. (1)求的通项公式; (2)若等比数列，求的通项公式; 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用等差中项得到的值，求出公差即可写出等差数列的通项公式； （2）由（1）得到的值得到的值，求出公比即可写出等比数列的通项公式. 【详解】（1）因为， ∴， ∴，∴， ∴； （2）由题可知，又∵， ∴， ∴， ∴. 3．记为数列的前项和，已知，求的通项公式. 【答案】 【分析】利用来求得的通项公式. 【详解】当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以． 4．已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 5．已知单调递增的等差数列各项均为整数，其前项和为，且成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的和计算得出，再应用等比中项列式求，再计算通项及求和即可得出选项. 【详解】由题可得，即， 设公差为，因为成等比数列，所以，即， 整理可得，各项均为整数,解得或（舍去）， 则，所以． 故选：C. 6．已知数列为等比数列，，若恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先应用等比数列基本量运算得出，再代入检验并结合数列单调性分析求解. 【详解】令，则，，解得， 则，即，所以， 即， 因为，所以， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，令， 则， 令， 则， 可知数列在当时为递增数列，则， 可知数列在当时为递增数列，则， 所以当，，不合题意； 故的取值范围为． 故答案为：． 7．已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）先根据递推公式得出，再计算得出等比的通项公式； （2）结合已知应用递推公式,根据等比数列定义证明等比数列. 【详解】（1）由得． 结合可猜想数列的通项公式为． （2）因为， 所以为正项递增数列，所以， 所以， 故数列是等比数列． 8．在正中，其边长为4，分别取各边的中点，作第2个正，再分别取正各边的中点，作第3个正，依此方法一直继续下去．则第个正三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据已知列出正三角形的面积，结合等比数列计算公比，再应用等比数列的通项公式计算. 【详解】依题意，记各个正三角形的面积构成数列， 依次为，由此可知，数列为等比数列，其公比， 所以第个正三角形的面积为． 故答案为：. 9．已知数列为等比数列，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由对数的运算以及等比数列下标和的性质可得，然后代入计算，即可求解. 【详解】由于， 则，所以． 故答案为： 10．已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，请判断是否存在使得，若存在，求出的最大（小）值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由等比通项列出方程组，求解得出数列的通项公式； （2）由（1）得出，判断其单调性，即可求解. 【详解】（1）依题意，解得或（舍）， 则，即． （2）由（1）知，则． 因为，即数列递减， 当时，，所以数列递减， 要使， 当时，， 当时，， 故满足的的最小值为6． 11．已知数列为等比数列，，若为数列的前项和，则满足的的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到，利用等差数列的求和公式，以及对数的运算性质，得到不等式，结合，即可求解. 【详解】由数列为等比数列，，可得， 因为为数列的前项和， 可得， 所以，即， 又因为，解得，故的最小值为． 故答案为：． 12．已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为 ． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程求得，得到，结合，，进而得到答案. 【详解】设等比数列的公比为，其中， 因为，可得，所以， 解得或（舍去），则， 又当时，，当时， 所以当取最大值时的值为． 故答案为：. 13．已知等比数列中，，则 ． 【答案】或 【分析】根据等比数列的性质可求的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得或． 当时，，所以； 当时，，所以． 故答案为：或. 14．已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】 【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. 【详解】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 15．在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明数列为等比数列，再根据首项和公比求数列的通项公式. 【详解】因为，所以，即， 则数列是等比数列，公比为． 又因为，所以或（舍去）， 则数列的通项公式为． 故选：A 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $