专题02 等差数列八大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题02 等差数列八大常考题型 题型一：等差数列通项公式基本量计算 题型二：等差中项及其应用 题型三：等差数列中的最大（小）项 题型四：递推关系证明等差数列 题型五：等差数列前项和的基本量计算 题型六：等差数列片段和性质 题型七：比值问题（含同角标和不同角标） 题型八：有关等差数列奇偶问题 题型一：等差数列通项公式基本量计算 1．设为等差数列，且，则（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】由等差数列的通项公式求解出基本量，计算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由于， ，， 解得，， 所以. 故选：C 2．已知等差数列满足，且，则首项 ． 【答案】 【分析】根据等差数列通项公式计算基本量即可. 【详解】由已知数列为等差数列， 所以， 解得， 故答案为：. 3．已知正项等差数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正项等差数列的公差为，利用已知条件求出可得答案. 【详解】设正项等差数列的公差为， 由，， 得，，则. 故选：C. 4．已知等差数列的公差为，且，则（   ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】由等差数列的性质得到，再结合通项公式即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 所以． 故选：B． 5．数列是首项为1且公差不为0的等差数列，若，则 （    ） A．20 B．39 C．41 D．58 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】由题意，设等差数列的公差为，其中， 因为，且，可得，解得， 所以. 故选：B. 6．设等差数列的前n项和为．若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据已知条件列出方程组求出，再求得解． 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 所以． 故选：B 7．等差数列的公差为2，且，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据等差数列通项公式，即可求解. 【详解】由条件可知，等差数列的公差， 则. 故选：C 8．已知等差数列满足：，，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解. 【详解】等差数列的公差为，由，， 得，解得， 所以数列的通项公式， 所以. 故选：A. 题型二：等差中项及其应用 9．在等差数列中，，，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质有，即可得. 【详解】由等差数列的性质有. 故选：C 10．已知数列的前n项和，且，数列，均为等差数列，又数列的前n项和为，且，则的值为 . 【答案】/ 【分析】利用等差中项列出①式和②式，消元后求出，进而求出数列的公差，利用与的关系求得，进而得到，最后求即可. 【详解】因数列为等差数列，则，即，化简得：① 又因数列也为等差数列，则，即② 将①代入②：，两边平方整理得：，再两边平方，可得，解得， 故数列 的公差为，故，解得， 当时，，显然时符合， 故数列的通项公式为：， 则， 则 . 故答案为：. 11．已知为等差数列，若，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】D 【分析】由等差中项可知等差数列连续三项的和，由此找到所求数列的和与已知条件的关系，即可得到答案. 【详解】已知为等差数列， ． 故选：D． 12．等差数列中，若，则的值为 ． 【答案】20 【分析】应用等差数列项的性质计算求解. 【详解】因为数列为等差数列，又因为 ，即， 则 . 故答案为：20. 13．已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项.求的通项公式； 【答案】 【分析】由等差中项的定义可得，求得，再由等差数列的通项公式代入计算，即可求解； 【详解】， ，又， ，， . 14．在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则的最小值是（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，利用基本不等式1的代换，可求的最小值. 【详解】由等差数列的性质得，且， 则=≥=， 当且仅当，即时取等号，即的最小值是 故选：A. 15．若四个正数，，，成等差数列，是和的等差中项，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列性质得到，，由基本不等式比较出大小. 【详解】由条件可知，，，，， 因为，当且仅当时，等号成立， 又，，，成等差数列，故时，等号成立， 所以． 故选：B 16．（多选）下列说法错误的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】ABD 【分析】ABD选项，举出反例；C选项，根据等差数列的定义和性质得到C正确. 【详解】A选项，1，2，3显然成等差数列，但是1，4，9显然不成等差数列，因此A不正确； B选项，0，0，0显然成等差数列，但是，，这三个式子没有意义， 因此B项不正确； C选项，因为，，成等差数列，所以， 因为， 所以，，成等差数列，因此C项正确； D选项，1，2，3显然成等差数列，但是，，， 显然，，不成等差数列，因此D项不正确． 故选：ABD． 题型三：等差数列中的最大（小）项 17．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 18．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 19．已知函数满足：对于任意正整数，．若使得不等式成立的最小正整数是2023，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，令得到，通过等差数列的通项公式求出，再根据列不等式求解即可. 【详解】设， 令得， 所以当为正整数时，由等差数列的通项公式， 得． 由题意知， 解得． 故答案为：. 20．数列满足是的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B． C．是数列的最大项 D．对于两个正整数的最大值为10 【答案】CD 【分析】根据等差数列的定义及通项公式，利用累加法及二次函数的性质，结合与的关系即可求解. 【详解】A选项，由，整理得， 故是公差为-2的等差数列，首项， 故， 由此可得， 累加得，， 由此可得，， 不是等差数列，故A不正确； BC选项，因为， 故当时，取得最大值，是数列的最大项，故B不正确，C正确； D选项，对于两个正整数，， 由……， 故时，取得最大值，最大值为10，故D正确. 故选：CD. 21．已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值，最大值3，理由见解析 【分析】（1）求，化简后由等差数列定义证明 （2）先求的通项公式后得出的通项公式，结合单调性求解 【详解】（1）证明：因为，， 所以当时， . 又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，则. 设函数，在区间和上单调递减， 结合函数的图象可知， 当时，取得最小值； 当时，取得最大值3. 22．已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值． 【答案】存在最小值， 【分析】由已知可求得数列的通项公式，令，可知且，可知数列的前9项都是负数，第10项为正数，即值存在最小值. 【详解】由已知可知等差数列的首项，公差 则数列的通项公式为 令，即，又，且 即数列的前9项都是负数，第10项为正数， 故当时，存在最小值. 23．已知等差数列的首项是正数，记为数列的前n项和，若，则下列结论中正确的有（　　） A． B． C．是先增后减数列 D．且为的最大值 【答案】ABD 【分析】先由题设得，进而得到公差，再逐个选项判断正误即可． 【详解】解：，， ， ，，数列是递减数列，且公差，故选项A、D正确，选项C错误； 又，选项B正确， 故选：ABD． 24．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】由，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断的正负，再利用通项与前n项和关系求解. 【详解】设数列的公差为d， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 所以， 当时，，当时，， 所以， 又因为， 所以，故中最大 ， 故选：D 题型四：递推关系证明等差数列 25．已知数列前n项和为，满足（，A为常数） (1)若，求的值； (2)若，，求数列的通项公式； (3)若，求证：数列为等差数列的充要条件为． 【答案】(1)6 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，令可得问题答案. （2）根据数列的前项和与的关系，探索的特点，求数列的通项公式. （3）从必要性和充分性两个方面证明. 【详解】（1）当时，， 令，则. （2）当时，. 即 当时，，又，所以. 又， 所以， 即， 所以， 所以当时，. 所以. （3）当时，. 先证必要性：数列为等差数列，公差为， 则，所以必要性成立； 再证充分性： ①. 因为，当时，. 当时，. 当时，② ①②得：③ 当时，④ ③④得：， 所以. 所以数列从第2项开始是等差数列，且公差. 又，所以数列为等差数列，所以充分性成立. 综上可知：当时，数列为等差数列的充要条件为． 26．对任意的正整数，数列满足，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)设数列的前项和为，求使的最小正整数的值. 【答案】(1)，. (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）由得，再得； （2）由进行凑配即可证明. （3）由（2）可得，再进行求和得，再解不等式可得. 【详解】（1）由题意得，，算得，. （2）由， 得， 记，则 得，，所以数列是首项为，公差为的等差数列. 故是等差数列. （3）由（2）得，即 ， 所以，，，,. 所以，即. 因此， 解得，故使的最小正整数的值为. 27．已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将  两边同时除以，得到，根据等差数列性质得到结果. （2）由（1）得，利用求出的通项公式. 【详解】（1）证明：将  两边同时除以，得，当 时， ， 所以  是以 1 为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）得 ，则，① 当 时，，② －②，得  ，整理得，则 ， 也符合 ，所以 ． 28．已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前2n项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题意得到，由，化简得到，求得，结合等差数列的定义推理得证. （2）由（1）可得，得到，结合裂项法，即可求解. 【详解】（1）依题意，，当时，得，则， 由，得，则，即， 当时，，于是，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）得， 则， 所以 . 29．已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足求数列中的最大项与最小项． 【答案】(1)证明见解析； (2)最大项，最小项. 【分析】（1）利用倒数法化简得到，从而得证； （2）先计算得到，从而分析的单调性可得结果. 【详解】（1）证明：由，两边取倒数，可得， 即，，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1），所以， 由则当时，， 所以的最大项为， 又当时，随着n增大，减小，故单调递增，故的最小项为. 30．已知数列满足，设数列的前n项和为，前n项积为，则下列说法错误的是（   ） A．数列是等差数列 B．数列的最大项为 C．使得取得最小值的n为7 D．有最小值，无最大值 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，求得，得到，可得判定A正确；由等差数列的通项公式，求得，结合且，可判定B错误；由通项公式，得到数列取值的正负，可判定C正确；求得的表达式，得到或时，且，当或时，，进而可判定D正确. 【详解】由数列满足，可得，则， 可得，即， 因为，可得， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以A正确； 由等差数列的通项公式，可得， 所以，因为，而， 所以不是数列的最大项，所以B错误； 当时，；当时，；当时，， 可得在时取得最小值，所以C正确； 由 ， 当或时，且，此时取得最小值； 当或时，，且无最大值，所以D正确. 故选：B. 31．已知数列的通项公式为，则（   ） A． B．中的最小项为 C．从第三项起，的每一项都大于它的前一项 D．数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】根据，写出相关项并确定最小项判断A、B、C，再应用等差数列的定义判断D. 【详解】， 对于A，，则，故A正确； 对于B，当时，中的最小项为，故B正确； 对于C，由上计算得，显然从第三项起，的每一项不一定大于它的前一项，故C错误； 对于D，由， 显然， 所以是公差为4的等差数列，故D正确. 故选：ABD. 32．设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式，. (1)证明：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项的和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知条件，变形给定等式，再利用等差数列的定义推理得证. （2）由（1）求出及，再利用裂项相消求和法及并项求和法求出. 【详解】（1）由是各项都为正数的递增数列，得， 而，则，整理得， 因此，所以数列是等差数列. （2）由（1）知，， 则， ， 所以 . 题型五：等差数列前项和的基本量计算 33．已知等差数列中，，则数列的前10项和为 . 【答案】10 【分析】先根据条件求出首项与公差，再根据等差数列通项公式得，最后利用分组求和法得结果. 【详解】设等差数列的公差为. ，， ，解得 ，则， 所以数列的前10项的和为 . 故答案为：10 34．记等差数列的前项和为．若，则（   ） A．28 B．48 C．64 D．84 【答案】B 【分析】设出首项和公差，再利用公式法求和即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 则，解得，， 可得，故B正确. 故选：B 35．设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 【答案】(1) (2)52 【分析】（1）设公差为，然后由等差数列的通项公式与前项和公式求解； （2）由（1）判断出前6项为正，然后由前项和公式计算. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）由（1）知，所以， . 36．设等差数列的前n项和为，若，则等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据等差数列的求和公式结合题设可求得，进而求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则，即，解得， 所以. 故选：C 37．《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 【答案】C 【分析】根据题意设第n个儿子的年龄为岁，易知是等差数列，，利用等差数列前n项和公式求出即可. 【详解】设第n个儿子的年龄为岁，由题可知是等差数列，设其公差为d，前n项和为， 易得，则 ， 解得， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选：C. 38．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，求最小的一份的数量.”此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数“100”可以修改为（    ） A．122 B．121 C．120 D．110 【答案】C 【分析】根据等差数列的求和公式及通项公式列方程求首项及公差可得解. 【详解】假设等差数列的公差为，首项为最小的一份，100修改为： 则，解得，， 因为要使得每个人获得的面包数都是整数个， 所以是的正整数倍，结合选项可知. 故选：C 39．在等差数列中，公差，为其前项和．若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．若，则的最小值为6 【答案】ACD 【分析】利用等差数列的基本量计算即可得通项公式，从而可判断各个选项. 【详解】由等差数列的性质及前项和公式，得， 因为，所以，即，所以． 所以． 因为，所以，解得或． 因为，所以，故A正确． ，故B错误． ，故C正确． 因为，所以当时，． 因为，所以当时，．故D正确． 故选：ACD． 40．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由得，解出，进而求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意有， 所以， 故选：B. 题型六：等差数列片段和性质 41．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质可得成等差数列，进而列方程求解即可. 【详解】由题知成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：D. 42．已知等差数列的前项和为.若，则 . 【答案】12 【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解. 【详解】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得. 故答案为：12 43．设是由正数组成的等差数列，是其前项和． (1)若，求的值； (2)若存在互不相等的三个正整数p，q，m，使得，证明：不等式成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据也是等差数列，得到，从而可求的值； （2）利用等差数列的性质以及求和公式可得，再利用基本不等式可证明题中不等式． 【详解】（1）在等差数列中，成等差数列， ，． （2）是等差数列，且，正整数p，q，m互不相等, ，即. 44．在等差数列中，，且是其前项和，则（    ） A．都小于都大于0 B．都小于都大于0 C．都小于都大于0 D．都小于都大于0 【答案】B 【分析】利用等差数列的前项和的性质求解即可. 【详解】等差数列中，，故，又，故， 所以,， 结合，可知都小于,都大于0. 故选：B 45．已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质可知、、成等差数列可求得的值. 【详解】由题意可得，， 因为等差数列的前项和为， 由等差数列片断和的性质可知、、成等差数列， 所以，所以. 故选：A. 46．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 【答案】D 【分析】第n环天石心块数为，上层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进而求得答案. 【详解】设第n环天石心块数为，上层共有n环，为的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇面形石板（块）. 故选：D 47．设为等差数列的前n项和，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为等差数列的前n项和，则成等差数列， 且，，则，则其公差为， 所以， 所以. 故答案为： 48．已知数列是等差数列，为数列的前项和，则下列说法中正确的是（   ） A．若，数列的前10项和或前11项和最大，则等差数列的公差 B．若，，则使成立的最大的为4039 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】对A，C，利用等差数列基本量运算求解判断；对B，根据等差数列的单调性结合前项和运算判断；对D，根据成等差数列，计算判断. 【详解】对于A，由，前10项和或前11项和最大，则，所以，，故A错误； 对于B，由，，则数列单调递减，且， ，所以， ，，则使得成立的最大的为4039，故B正确； 对于C，由，解得，， ，故C正确； 对于D，因为成等差数列，即成等差数列， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 题型七：比值问题（含同角标和不同角标） 49．设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先对目标式合理变形得到，再结合题意求值即可. 【详解】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A 50．设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 【答案】 【分析】根据等差数列前项和性质计算即可. 【详解】由题意得 所以. 故答案为： 51．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得，要使为整数，即为整数，计算即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 因为，所以， 因为，要使为整数，即为整数， 所以，共个， 即使得为整数的正整数的个数是. 故选：C 52．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】利用等差数列性质得，由即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 整理得，所以，故符合条件的可取1，2， 故选：C． 53．已知分别是等差数列与的前项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前项和公式可得，，由此即可求解. 【详解】分别是等差数列与的前项和，所以，同理可得：， 因为，所以 故选：C 54．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 55．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的性质得，又，利用即可求解. 【详解】由题意得， 所以，又， 所以， 故答案为：. 56．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及等差数列前n项和的特征，设，，再由求值即可. 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则. 故选：C 题型八：有关等差数列奇偶问题 57．若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】利用奇偶数项的和及等差数列的性质有，即可求项数. 【详解】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 故选：C 58．已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【答案】56 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【详解】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 59．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解. 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 60．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 61．若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【分析】根据，与联立求出，即可化简得到结果. 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 62．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质及前和公式求解. 【详解】在等差数列中，设， 依题意，，解得， 而，， 所以. 故选：D 63．设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列前项和性质得，再利用等差中项有，最后利用乘“1”法即可得到最值. 【详解】正项等差数列中，， . 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 64．已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若为递减数列，则下列结论正确的为（    ） A．数列为递减数列 B．数列是等差数列 C．若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举反例排除A，利用等差数列的求和公式判断B，利用等差数列奇数项与偶数项和，结合等差数列的性质判断C，利用等差数列的求和公式与等差数列的性质判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为数列是递减的等差数列，所以， 不妨举例数列为， 则9，这三项不构成递减数列，故A错误； 对于B，，是关于的一次函数， 因此是等差数列，故B正确； 对于C，数列前10项中，奇数项的和为， 偶数项的和， 所以，设，则，解得， 所以公差，故C正确； 对于D，，则， ，则， 所以，故D正确. 故选：BCD. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列八大常考题型 题型一：等差数列通项公式基本量计算 题型二：等差中项及其应用 题型三：等差数列中的最大（小）项 题型四：递推关系证明等差数列 题型五：等差数列前项和的基本量计算 题型六：等差数列片段和性质 题型七：比值问题（含同角标和不同角标） 题型八：有关等差数列奇偶问题 题型一：等差数列通项公式基本量计算 1．设为等差数列，且，则（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 2．已知等差数列满足，且，则首项 ． 3．已知正项等差数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的公差为，且，则（   ） A．9 B．11 C．13 D．15 5．数列是首项为1且公差不为0的等差数列，若，则 （    ） A．20 B．39 C．41 D．58 6．设等差数列的前n项和为．若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．等差数列的公差为2，且，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 8．已知等差数列满足：，，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型二：等差中项及其应用 9．在等差数列中，，，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 10．已知数列的前n项和，且，数列，均为等差数列，又数列的前n项和为，且，则的值为 . 11．已知为等差数列，若，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．72 12．等差数列中，若，则的值为 ． 13．已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项.求的通项公式； 14．在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则的最小值是（   ） A． B．4 C．3 D． 15．若四个正数，，，成等差数列，是和的等差中项，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 16．（多选）下列说法错误的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 题型三：等差数列中的最大（小）项 17．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 18．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 19．已知函数满足：对于任意正整数，．若使得不等式成立的最小正整数是2023，则的取值范围是 ． 20．数列满足是的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B． C．是数列的最大项 D．对于两个正整数的最大值为10 21．已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 22．已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值． 23．已知等差数列的首项是正数，记为数列的前n项和，若，则下列结论中正确的有（　　） A． B． C．是先增后减数列 D．且为的最大值 24．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型四：递推关系证明等差数列 25．已知数列前n项和为，满足（，A为常数） (1)若，求的值； (2)若，，求数列的通项公式； (3)若，求证：数列为等差数列的充要条件为． 26．对任意的正整数，数列满足，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)设数列的前项和为，求使的最小正整数的值. 27．已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 28．已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前2n项和. 29．已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足求数列中的最大项与最小项． 30．已知数列满足，设数列的前n项和为，前n项积为，则下列说法错误的是（   ） A．数列是等差数列 B．数列的最大项为 C．使得取得最小值的n为7 D．有最小值，无最大值 31．已知数列的通项公式为，则（   ） A． B．中的最小项为 C．从第三项起，的每一项都大于它的前一项 D．数列为等差数列 32．设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式，. (1)证明：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项的和. 题型五：等差数列前项和的基本量计算 33．已知等差数列中，，则数列的前10项和为 . 34．记等差数列的前项和为．若，则（   ） A．28 B．48 C．64 D．84 35．设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 36．设等差数列的前n项和为，若，则等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 37．《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 38．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，求最小的一份的数量.”此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数“100”可以修改为（    ） A．122 B．121 C．120 D．110 39．在等差数列中，公差，为其前项和．若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．若，则的最小值为6 40．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 题型六：等差数列片段和性质 41．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 42．已知等差数列的前项和为.若，则 . 43．设是由正数组成的等差数列，是其前项和． (1)若，求的值； (2)若存在互不相等的三个正整数p，q，m，使得，证明：不等式成立． 44．在等差数列中，，且是其前项和，则（    ） A．都小于都大于0 B．都小于都大于0 C．都小于都大于0 D．都小于都大于0 45．已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 46．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 47．设为等差数列的前n项和，且，，则 ． 48．已知数列是等差数列，为数列的前项和，则下列说法中正确的是（   ） A．若，数列的前10项和或前11项和最大，则等差数列的公差 B．若，，则使成立的最大的为4039 C．若，，则 D．若，，则 题型七：比值问题（含同角标和不同角标） 49．设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 50．设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 51．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 52．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 53．已知分别是等差数列与的前项和，且，则（   ） A． B． C． D． 54．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 55．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 56．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 题型八：有关等差数列奇偶问题 57．若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 58．已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 59．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 60．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 61．若等差数列的项数为，则 ． 62．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（   ） A． B． C． D． 63．设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 . 64．已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若为递减数列，则下列结论正确的为（    ） A．数列为递减数列 B．数列是等差数列 C．若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D．若，则 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $