4.3数列（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.3数列 题型一数列的概念与辨析 题型二根据规律写出数列中的某项 一题型三数列周期性的应用 题型四数列中的最大最小项 基础达标题 题型五根据数列的单调性求参 题型六累加法求通项 数列 题型七累乘法求通项 题型八利用通项与前n项和关系求通项 儿题型九构造法求通项 题型一数列与最值问题 能力提升题 题型二数列与对数结合 拓展培优题 基础达标题 题型一数列的概念与辨析 1.(24-25高二下.上海进才中学.期中)设a1、a2、、a8是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列， S={k=|a1a2+|a3a4+asa6+a7ag},则集合s中所有元素的和为一 a2 23 a4 as 21 as 2 4 5 6 7 8 4 2 3 5 4 6 1 8 6 3 2 4 5 7 6 8 8 2 3 6 4 5 8 10 2 6 4 7 5 8 12 4 6 3 7 5 8 14 1/6 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 2 6 3 4 8 16 2.(23-24高二上上海中学期末)已知an是离√n最近的整数，如a2=1,a3=2,则无穷数列{an}中共有 项的值等于100. 题型二根据规律写出数列中的某项 1.以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数， 则这个数为 12345…20142015201620172018 3579….4029403140334035 81216………806080648068 2028…………1612416132 2.数列1,5,3，√13，√17，…中，按此规律，35是数列的第 项 3.根据下面所给数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： ①数列0,3，-8,15，-24，…的一个通项公式an=一 ②数列5,3,1,1,3，…的一个通项公式an=- 题型三数列周期性的应用 1.24-25商二下上海奉贤中学月考)已知数列(a}满足4=2二=4，则其前2023项的和为 2.(23-24高二上上海新川中学期末)数列{an}满足：a1=2an=1-(n=23,4…),则 a2024= 3.(24-25高二上·上海延安中学.期中)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,,即a1=a2=1,an=am1+an2(n≥3，n∈N),此数列在现代物理“准晶 体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列{b},则数列{b}的前 2026项的和为() A.1350 B.676 C.1351 D.1352 题型四数列中的最大最小项 1.(24-25高二下上海吴松中学期末已知数列{an}的通项公式是an=(+1)(品)，数列(an}最大 项是」 2.(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知数列an中，满足 2/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 an=-n2+9n-18,前n项和为Sn'若对于所有m<mn∈N,m,n>0),则SnSm的最大值是_， 3.24-25高二下.上海建平中学期末)设数列{an}的前n项和Sn=塑 2 (1)求{an}的通项公式： (2)求数列{nan}的最小的项 题型五根据数列的单调性求参 1.(24-25高二下.上海大学附属中学.期中)已知数列an=kn2-3n-2为严格增数列，则实数k的取值范围为， 2.(24-25高二上·上海嘉定区第二中学.期中)已知an=|g”-1，若数列{an}为严格增数列，则实数q的取 值范围是 3.(24-25高二上上海延安中学·月考)已知数列{an}满足：a1>0,a#1=2an十云-3.若数列{an}为严 格增数列，则a1的取值范围是」 故答案为：(0，支)U(2,+∞ 题型六累加法求通项 1.(24-25高二上·上海甘泉外国语中学.期中)若数列{an}满足a1=1,且a#1=an+2n（其中n≥1， n∈N),则{an}的通项公式是 2.(23-24高二上·上海七宝中学.期中)已知数列{an},a1=1,对任意正整数k,a2k1,a2k,a2k+1成等差 数列，公差为2k,则a100= 3.己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,又数列{bn}满足b1=2,且b+1=an十bn,分别求 数列{an}及{bn}的通项公式。 题型七累乘法求通项 1.(2-23高二上黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期中数列an满足a1=1,柔=浩(neN,n≥2)， 则an= 2.(24-25高二下上海奉贤中学月考)已知数列an}满足1=1，+1=22an,则{an}的通项公式为 3.(22-23高三下江苏南京中华、东外、镇江三校)已知数列an}中a1=1,其前n项和记为Sn,且满足 3(S1+S2+···+Sn)=(n+2)Sn SH (1)求数列+}的通项公式； 2)设无穷数列b1,b2,bn:对任意自然数m和n,不等式bm+n-mnl<m均成立，证明：数列 bn是等差数列. 题型八利用通项与前项和关系求通项 1.(25-26高二上·上海华东师范大学附属东昌中学·期中)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2”+2023n, 3/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则a2= 2.(18-19高一上海七宝中学期末)对于正项数列an,定义Hn=a+2a+++为an的“光阴”值，现知 某数列的“光阴”值为Hn=品2，则数列a的通项公式为。 3.(24-25高二下.上海徐汇区期末)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+a(n为正整数)，其中a为非零 实数。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{Sn}的前三项依次成等比数列，求实数a的值. 题型九构造法求通项 1.(24-25高二上·上海嘉定区第一中学.期末)无穷数列{an}满足a1=1,3a+1十an=4,则数列{an3}的 所有项和S= 2.(24-25高二上上海第六十中学.月考)已知数列{an}中，a1=支，at1=3an+1,则am一 3.已知数列{an}满足a1=3,at1=an十2Wan十1+1，则数列{an}的通项公式为一 B 能力提升题 题型一数列与最值问题 1.(25-26高二上·上海闵行区华东师范大学第二附属中学闵行紫竹分校期中)已知数列{an}满足 am1=an十景，a1>0,则a2025十a2026的最小值为 2.(24-25高二下-上海宝山区.期末)数列{an}、{bn}满足a#1=1-2b另b#1=2anbm,若 b=-好(>0)，=a2…a,则b,(2024)的最大值为 3.(24-25高二下.上海宝山中学月考)已知函数f(x)=x2-竞.若数列{an}的前n项和为Sm,且满足 Sn=f(aH1),a2=a21,则a1的最大值为() A.23 B.12 C.20 D.5 题型二数列与对数结合 1.(25-26高二上上海中学已知数列an的前n项的和Sn满足Sn=a1十lg景(n≥2)，则 a2026+a2024a2025的值约为】 ·(保留2位有效数字，用科学记数法表示) 2.(21-22高三上安徽六安一中、阜阳一中、合肥八中等校)数列an}中的前n项和Sn=2”+2,数列 1g2n的前n项和为Tr则T20=（） 4/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.190 B.192 C.180 D.182 3.(22:23高二上上海实验学校：期中)已知数列{an}满足a1=2,a#1=3an十2nEN. (1)求{an}的通项公式和前n项和Sn 2设n=1og,后（an+21)+1,若不等式15(1+安)(1+房)…(1+会)≥k10n+15,对于任意 n∈N都成立，求正数k的最大值， 拓展培优题 1.(25-26高二上·上海西中学.开学考)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn,且满足an·Sn=9.现 有如下命题：①a2<2,②存在正整数N,当n≥N时，都有an<20·下列判断正确的是()· A.①②均为真命题 B.①②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 2.(24-25高二下·上海杨浦区·模拟)已知无穷数列{an}是各项均为正数的严格减数列.若存在实数p∈(0,1， 对任意正整数n都有a+1≤pan成立，则称数列{an}具有“性质p”；若存在实数q∈(O,1),对任意正实数x ,数列{an}至多有一项属于开区间（gx,x,则称数列{an}具有“性质Q”.则数列{an}具有“性质P"是具有 “性质Q"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.《24-25高二下上海大学附属中学)已知数列{an}满足a1=1,a#1=ana弱，给出下列四个结论： ①数列{an}每一项an都满足(0<an≤1，n为正整数)： ②数列{an}的前n项和，Sn<2; ③数列{an}每一项都满足an≤帝成立； ④数列{}每一项n都满足an≥（③）1(n为正整数. 其中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.②④ C.①③④ D.①② 4.(24-25高二上·上海格致中学)已知数列{an}共有5项，满足a1>a2>a3>a4>a5≥0，且对任意 ij(1≤i≤j≤5)有a1aj仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：①a5=0;②4a4=a1;③数列 {an}是等差数列；④集合A={x|x=a;十a,1≤i≤j≤5}中共有9个元素.则其中真命题的序号是() A.①②③④B.①④ C.②③ D.①③④ 5/6 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(23-24高二下.上海华东师范大学第二附属中学.期末)在数列{an}中，若存在两个连续的三项a1,a+1, a+2与j,a+1,aj+2相同0≠)，则称{an}是3阶可重复数列.已知给定项数为m(m∈N,m≥4)的 数列{an},其中a;∈{0,1i=1,2…,m)一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是一 6.已知数列{an}是首项为1，公差不为0的等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且cn=abn (neN,n≥1). (1)若数列{an}的公差为1，且b1=1,在①b3=a4,②a3=3b3,③a2=4b2这三个条件中任选一个作为 条件，判断此时数列{c}是否是递增数列，并说明理由；选一· 2)若a2,a5,a14成等比数列，数列(bn}的前n项和为Sn=9-9(品)”，求数列{cn}的通项公式。 7.记无穷数列a}的前n项中最大值为Mn,最小值为m,令bn=“” (1)若an=2”-3n,请写出b1,b2,b3,b4的值： (2)求证：“数列{an}是严格增的等差数列"是“数列{bn}是严格增的等差数列的充要条件. 6/6 4.3数列 题型一 数列的概念与辨析 1．(24-25高二下·上海进才中学·期中)设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为 ． 【答案】 【分析】设，，，，分析可得出的最大值为16，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和. 【详解】对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为： . 2．(23-24高二上·上海中学·期末)已知是离最近的整数，如，则无穷数列中共有 项的值等于100. 【答案】 【分析】根据题意列式，然后确定的取值情况即可. 【详解】由已知得，此时不等式取等号和不取等号对结果没有影响， 所以， 又， 所以， 所以共有项的值等于100. 故答案为：. 题型二 根据规律写出数列中的某项 1．以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ． 【答案】 【分析】结合题意，利用从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，使用数列的知识求解即可. 【详解】观察每一行第一个数的规律： 第一行的第一个数为， 第二行的第一个数为， 第三行的第一个数为， 第四行的第一个数为，…， 第n行的第一个数为， 表中一共2018行， ∴第2018行的第一个数即． 故答案为： 2．数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第 项． 【答案】12 【分析】结合题意找到数列的规律求解出通项公式从而求数列的第几项. 【详解】观察，易知数列的一个通项公式为，． 所以. 故答案为：12. 3．根据下面所给数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： ①数列0，3，-8，15，-24，…的一个通项公式 ． ②数列5，3，1，1，3，…的一个通项公式 ． 【答案】 【分析】寻找一列数的排列规律，也就是找每一个数与它的序号间的对应法则，找出数列之间的规律求数列通项公式 【详解】①数列0，3，-8，15，-24，…观察数列可知偶数项为正，奇数项为负， 且每一项可分解为 后由此即可得出通项公式 ． ②数列5，3，1，1，3，…察数列可知数列先减后增，且每一项都是正数， 每一个数与它的序号间的对应法则为，通项公式 . 故答案为： 题型三 数列周期性的应用 1．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)已知数列 满足 ，则其前 2023 项的和为 . 【答案】 【分析】由递推公式确定数列周期，即可求解. 【详解】由，可得：， 由题意，所以， 所以 易知是周期为2的数列， 所以也是是周期为2的数列， 且，即， 所以， 故答案为： 2．(23-24高二上·上海新川中学·期末)数列满足：，则 . 【答案】/0.5 【分析】先求出数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】法一：依次代入的值，看看它们符合什么规律： .至此可以发现周期为3. （余数为2），. 故答案为：. 法二：该数列的周期为3，推理过程如下展示： 将换成，得，再将代入，得 ， 再将换成，得，继续将代入，得， ，以下同解法一. 故答案为：. 3．(24-25高二上·上海延安中学·期中)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 题型四 数列中的最大最小项 1．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)已知数列的通项公式是，数列最大项是 ． 【答案】 【分析】设数列第项最大，将通项公式代入不等式组，求出，即可得到数列的最大项. 【详解】， ，， 取最大值，有， ，解得：， 当时，；当时，； 所以最大项为，且. 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由数列的通项公式可得，即可得到的最大值是，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得或，即， 又函数的图象开口向下，对称轴为， 所以数列的前项为负数，，当时，数列中的项均为负数， 所以前项或前项和最大，且， 又，的最大值是， 又，所以， 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海建平中学·期末)设数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的最小的项． 【答案】(1)； (2)－6 【分析】（1）应用计算求解通项公式； （2）先计算作差得，计算单调性即可得最小值. 【详解】（1）当时，； 当时，； 经检验符合通项公式， 所以通项公式为． （2）令，则， 令得； 所以，所以最小项为. 题型五 根据数列的单调性求参 1．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】利用数列单调性定义列式求解得答案. 【详解】根据题意，可得，即， ，对， 又数列是单调递减数列，则， . 故答案为：. 2．(24-25高二上·上海嘉定区第二中学·期中)已知，若数列为严格增数列，则实数q的取值范围是 . 【答案】 【分析】对进行分类讨论，根据为严格增数列列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】若，则，所以， 由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，为常数数列； 若，则，所以， 由指数函数的性质可知，数列为严格增数列： 若，则，所以， 此时， 所以数列一定不是严格增数列； 若，则，，所以， 由， 该式在时恒成立； 由. 当时，， 又，所以，此时：， 因为，，所以. 即在时成立. 综上可知，的取值范围为：. 【点睛】方法点睛： 对于数列单调性与参数取值范围的问题，分类讨论是关键方法.根据数列通项公式中参数的不同取值范围，分别分析数列的性质，然后综合得出参数的取值范围. 在分析数列单调性时，利用数列相邻两项的差值或比值进行判断，本题主要通过比较相邻两项的大小来确定数列是否递增. 3．(24-25高二上·上海延安中学·月考)已知数列满足：，．若数列为严格增数列，则的取值范围是 【答案】 【分析】结合以及列出不等式,由此求得的取值范围. 【详解】由于数列是递增数列,所以, 即,解得. 则. 由于,即,即, 即, 所以,解得或. 综上所述，首项的取值范围是. 故答案为: 题型六 累加法求通项 1．(24-25高二上·上海甘泉外国语中学·期中)若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出数列的通项. 【详解】在数列中，，当时，， 则 ，满足上式， 所以的通项公式是. 故答案为： 2．(23-24高二上·上海七宝中学·期中)已知数列，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，则 ． 【答案】 【分析】由累加法算数列的通项公式，再由递推公式求结果. 【详解】因为，对任意正整数，，，成等差数列，公差为， 所以 当时，可得， 当时， 所以当时， 故答案为： 3．已知数列的前项和为，且，又数列满足，且，分别求数列及的通项公式． 【答案】， 【分析】根据的关系可求解是以2为公比的等比数列，即可求解，根据累加法即可求解. 【详解】由可得时，，故，即， 因此是以2为公比的等比数列， 当时，， 所以， 由可得， 所以， ， ……, , 累加可得， 故 题型七 累乘法求通项 1．(22-23高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】利用累乘法求得正确答案. 【详解】 ， 也符合上式， 所以. 故答案为： 2．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 3．(22-23高三下·江苏南京中华、东外、镇江三校·)已知数列中，其前项和记为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，证明：数列是等差数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）在原数列递推式中取得另一递推式，作差后可得（），然后利用累积法求得数列的通项公式； （2）由（1）求出列的通项公式，代入不等式，利用反证法，结合绝对值的不等式及放缩法可得数列是等差数列． 【详解】（1）由得：（）． 两式作差得，整理得：（）． ，，，…，（）． 将上式累乘得：． ，则（），当时上式成立， . （2）由（1）知，，则（），显然适合上式， ， 无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，即成立． 下面用反证法证明数列是等差数列： 设为最小的自然数，使得， 但 ． 可以任意大，则趋向于0（但不等于0）， ，即不成立，故数列是等差数列 题型八 利用通项与前n项和关系求通项 1．(25-26高二上·上海华东师范大学附属东昌中学·期中)已知数列的前项和满足，则 【答案】 【分析】根据计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 2．(18-19高一·上海七宝中学·期末)对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据的定义把带入即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴① ∴② ①-②得 ∴ 故答案为 【点睛】本题主要考查了新定义题，解新定义题首先需要读懂新定义，其次再根据题目的条件带入新定义即可，属于中等题． 3．(24-25高二下·上海徐汇区·期末)已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前三项依次成等比数列，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用与的关系求出通项公式. （2）利用等比数列列式计算得解. 【详解】（1）数列的前项和， 当时，， 而，，不满足上式， 所以. （2）依题意，， 由数列的前三项依次成等比数列，得，解得， 当时，均不为0，所以. 题型九 构造法求通项 1．(24-25高二上·上海嘉定区第一中学·期末)无穷数列满足，，则数列的所有项和 . 【答案】 【分析】根据递推公式，得到，结合即可求出数列的各项值，进而得到数列的各项值，由此即可求数列的所有项和. 【详解】因为，所以有：， 因为，由此可得，所以， 所以数列为各项均为的无穷数列， 由此可得：. 故答案为： 2．(24-25高二上·上海第六十中学·月考)已知数列中，，，则= . 【答案】 【分析】由得，构造数列是以首项为1，公比为3的等比数列，从而得到数列的通项公式. 【详解】∵，，∴，又， ∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列， ∴， ∴. 故答案为： 3．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，两边平方化简可得是首项为，公差为1的等差数列，求出，从而可求出数列的通项公式. 【详解】因为，所以， 即， 等式两边开方可得， 即， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以， 所以. 故答案为： 题型一 数列与最值问题 1．(25-26高二上·上海闵行区华东师范大学第二附属中学闵行紫竹分校·期中)已知数列满足，则的最小值为 ． 【答案】4051 【分析】结合基本不等式和对勾函数的单调性确定的最小值后可得结论. 【详解】由题意，，则，当且仅当时取等号， 由对勾函数的性质可知，当时，是关于的单调递增函数， 所以，，依此类推， 所以的最小值为. 故答案为：4051. 2．(24-25高二下·上海宝山区·期末)数列满足，若，且，则的最大值为 【答案】 【分析】利用三角换元、数学归纳法得，进一步化简所求表达式，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以可设， 又，所以，， 所以我们猜想，现在利用数学归纳法证明之， 设当时，公式成立， 则当时，， ， 综上所述，， 结合恒等式，有， 当时，即时，表达式有最大值. 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海宝山中学·月考)已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（   ） A．23 B．12 C．20 D． 【答案】D 【分析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，为负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值. 【详解】由题意可知：， 当时，； 当时，， 两式相减可得：，整理得：， 所以，或， 当是公差为的等差数列，且时，最小，可能最大， 此时，解得，此时； 当且是公差为的等差数列时，最大，可能最大， 此时，解得，此时； 综上所述：的最大值为. 故选：D. 题型二 数列与对数结合 1．(25-26高二上·上海中学·)已知数列的前项的和满足，则的值约为 .（保留2位有效数字，用科学记数法表示） 【答案】 【分析】利用数列的通项与前项的和的关系，消去，即得数列递推式，代值估算并用科学记数法表示即可. 【详解】由①，可得②， 由，可得， 即，令，可得： . 故答案为：. 2．(21-22高三上·安徽六安一中、阜阳一中、合肥八中等校·)数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝（    ） A．190 B．192 C．180 D．182 【答案】B 【分析】利用求的通项公式，进而可得的通项公式，应用分组求和求即可. 【详解】当n＝1  时，， 当 n≥2 时，， 经检验不满足上式，所以， 设，则 ， 所以. 故选：B. 3．(22-23高二上·上海实验学校·期中)已知数列满足． (1)求的通项公式和前n项和； (2)设，若不等式，对于任意都成立，求正数k的最大值． 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）由递推公式，构造等比数列，由新数列的通项求，再求前n项和. （2），不等式等价于恒成立， 设，利用作商证明， 所以只需即可． 【详解】（1）， 可得，， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则； （2）， ， 不等式可改写为，即， 设， ， 所以，即当n增大时，也增大， 所以只需即可．因为， 所以，，即，所以正数k的最大值为4 1．(25-26高二上·上海西中学·开学考)已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．现有如下命题：①；②存在正整数，当时，都有．下列判断正确的是（    ）. A．①②均为真命题 B．①②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【分析】根据给定的递推公式求出判断命题①；由当时，及，结合累加法求得，进而求出的不等关系，再推理判断命题②即可. 【详解】对于①，由，得，而，则， 于是，即， 而，解得，①是真命题； 对于②，数列的各项均为正数，当时，， 则数列严格递增，且， 由，得， 于是， 则，而，则，， 解得，，因此，， 由，得， 取，当时，，， 所以存在正整数，当时，都有，②是真命题. 故选：A 2．(24-25高二下·上海杨浦区·模拟)已知无穷数列是各项均为正数的严格减数列.若存在实数，对任意正整数都有成立，则称数列具有“性质”；若存在实数，对任意正实数，数列至多有一项属于开区间，则称数列具有“性质”.则数列具有“性质”是具有“性质”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】用反证法证明充分性；举反例说明不必要性. 【详解】充分性：若数列具有性质P，即存在使得，则对于任意正实数，区间内至多有一项； 否则，若存在两项， ，满足，，则，导致， 故数列具有“性质”；所以数列具有“性质”是具有“性质”的充分条件； 必要性：举反例，满足性质（取），但不满足性质（因趋近于1，无法找到固定的）； 所以数列具有“性质”不是具有“性质”的必要条件； 故选：A. 3．(24-25高二下·上海大学附属中学·)已知数列满足，，给出下列四个结论： ①数列每一项都满足（，n为正整数）； ②数列的前n项和，； ③数列每一项都满足成立； ④数列每一项都满足（n为正整数）． 其中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①② 【答案】C 【分析】通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取值范围，根据取值范围对①③④进行判断，算出即可判断②. 【详解】由，，得， ，②错误； ，又，， 若，则， 则当时，，因此，①正确； 由，得，即， 又，两边同时除以，得： ，，… ，， 累加得，又， 则，即有， 当时，，所以，③正确； 由，得，则当时，， 则，当时，，即，④正确. 故选：C 4．(24-25高二上·上海格致中学·)已知数列共有5项，满足，且对任意有仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：①；②；③数列是等差数列；④集合中共有9个元素.则其中真命题的序号是（    ） A．①②③④ B．①④ C．②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】当时，可知，所以可判断①；必有 ，则，则有或，若，则，所以舍，若，则，同理可得，故可判断②；由②可推出③；将罗列可判断④。 【详解】因为对任意有仍是该数列的某一项，则可令时，可知，且，则可得，故①正确； 由①知，可得，必有，则， 则有或， 若，则，所以舍， 若，则，同理可得，故②正确； 由②的推导过程可知，所以可得数列是等差数列，故③正确； ，由③可知，将所有罗列出可得 ，故集合有9个元素，故④正确. 故选：A 5．(23-24高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)在数列中，若存在两个连续的三项，，与，，相同，则称是“3阶可重复数列”.已知给定项数为（，）的数列，其中一定是“阶可重复数列”，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可知连续项共有种情况，然后分类讨论，分、和，根据题意讨论即可. 【详解】因为数列的每一项只可以是或，所以连续项共有种不同的情况， 若，则数列中有组连续项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为的数列一定是“阶可重复数列”； 若，数列，，，，，，，，，不是“阶可重复数列”， 则时，均存在不是“阶可重复数列”的数列， 所以，要使数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值为. 【点睛】思路点睛： 关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 6．已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，是各项均为正数的等比数列，且 ． (1)若数列的公差为1，且，在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，判断此时数列是否是递增数列，并说明理由；选________． (2)若，，成等比数列，数列的前n项和为，求数列的通项公式． 【答案】(1)①②，详细答案见解析 (2) 【分析】(1)由等差数列通项公式求得，进而可得或的值，由等比数列通项公式求得公比q后，可得，由与1比较大小或与0比较大小可得结论； (2) 若，，成等比数列，利用可求得公差d，利用与的关系，可求得，由此可得到 【详解】（1）因为是公差为1，首项为1的等差数列， 所以．设的公比为q， 若选①，由，得，，， ，，则， 所以是递增数列； 若选②，由，得，，，， 则，所以是递增数列； 若选③，由，得，， ，，， 则， 所以不是递增数列； 故选：①② （2）因为，，成等比数列，故， 即，解得， 因此公差，． 数列的前n项和为，； 当时，，也适合，因此． 所以． 7．记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令． (1)若，请写出，，，的值； (2)求证：“数列是严格增的等差数列”是“数列是严格增的等差数列”的充要条件． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【分析】（1）由，求出，，，，进而得到所以，，，，和，，，，由，即可求得，，，的值； （2）分充分性和必要性证明，证明充分性，由数列是严格增的等差数列时，则，则，得到数列是严格增的等差数列；证明必要性，由数列是严格增的等差数列，则，可得，讨论只有当时符合，所以数列是严格增的等差数列，得证. 【详解】（1）因为， 所以，，，， 所以，，，， ，，，， 因为， 所以，，，. （2）（充分性）当数列是严格增的等差数列时， 设其公差为d，则， 因为， 所以，，所以， 所以， 所以数列是严格增的等差数列； （必要性）当数列是严格增的等差数列时， 设其公差为，则， 所以 ， 若，则，，，矛盾， 若，则，，，矛盾， 所以，所以数列是严格增的等差数列. 综上，“数列是严格增的等差数列”是“数列是严格增的等差数列”的充要条件. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $