专题4.2.1 等差数列的概念（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题4.2.1 等差数列的概念 教学目标 1.理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念。 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题。 教学重难点 1.重点 等差数列的通项公式，等差数列的四种判断方法，等差数列的性质. 2.难点 灵活利用等差数列性质的应用来解题. 知识点01 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于______________，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中______________叫做等差数列的公差． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 【即学即练】 1．下列数列是递增的等差数列的是（    ） A． B． C． D．数列满足 2．已知数列共有项，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列是公差为或公差为的等差数列 B．的最小值是，最大值是 C．若，则满足条件的数组的组数共有组 D．符合已知条件且满足的数列的个数为个 知识点02 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量______________的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意______________,就可以求出其他的任意一项. 推导过程： （1）归纳法：根据等差数列定义可得：，所以， ，， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）． （2）叠加法： 根据等差数列定义，有：，，，… 把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得， 所以． （3）迭代法： 所以． 【即学即练】 1．已知数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 知识点03 等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列______________，公差为______________． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 【即学即练】 1．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则是数列的第（ ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 题型01：等差数列的判断 【典例1】已知数列的前项和为，满足，则（   ） A．存在，满足 B． C．构成公差为4的等差数列 D． 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 【变式1】若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．15 B．101 C．21 D．19 【变式3】南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知数列，且，则（    ） A．数列为二阶等差数列 B． C．数列为三阶等差数列 D．数列为二阶等差数列 题型02：等差数列的通项公式及其应用 【典例1】已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． 【变式1】设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4051 C． D． 【变式2】已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【变式3】（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列满足，，求数列的通项公式． 题型03：等差中项及应用 【典例1】在等差数列中，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．49 若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项．　　 【变式1】设是等差数列，下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【变式2】已知等差数列，，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【变式3】，若存在使得成等差数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型04：等差数列的实际应用 【典例1】通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 1.解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． 2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现． 【变式1】已知定义在的函数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【变式3】在数列中，若（，，p为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（   ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列是等方差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列 D．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 题型05：等差数列性质的应用 【典例1】已知等差数列中，，则 ． 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． 【变式1】已知四个正数成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 【变式2】已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【变式3】已知等差数列满足，，则（    ） A．1 B． C．4 D．8 题型06：等差数列中对称设项法的应用 【典例1】如果三个数，4成等差数列，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 等差数列中对称设项法的应用 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为． 【变式1】已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为 . 【变式2】已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 . 【变式3】已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式 . 1．在等差数列中，，，则 2．若为等差数列，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 3．记正数满足为和的等差中项，设甲：为整数；乙：为整数，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．已知等差数列，，，则（   ） A．4038 B．4040 C．4050 D．4052 5．已知在等差数列中，，，则公差的值为（   ） A．2 B． C． D．3 6．已知数列为等差数列，若是正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 8．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 9．数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 10．设数列是公差为的等差数列，且，则（    ） A．15 B． C． D． 11．在公差大于的等差数列中，，，则该数列的公差为（    ） A． B． C． D． 12．已知数列中，且且，则（    ） A． B． C． D．9 13．某公司购置了一台价值为230万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少20万元，设备使用n年后，其价值将低于购进价值的5%，设备将报废，则n的最小值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 14．已知正项数列的首项，前项积为，且，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．是递增数列 D． 15．已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2.1 等差数列的概念 教学目标 1.理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念。 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题。 教学重难点 1.重点 等差数列的通项公式，等差数列的四种判断方法，等差数列的性质. 2.难点 灵活利用等差数列性质的应用来解题. 知识点01 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 【即学即练】 1．下列数列是递增的等差数列的是（    ） A． B． C． D．数列满足 【答案】AD 【分析】根据等差数列的概念及单调性逐项判断即可. 【详解】由题意，∵， ∴A中数列是公差为6的递增等差数列.故A正确. ∵，∴B中数列不是等差数列.故B错误. ∵，∴C中数列是公差为0的等差数列，但不是递增数列.故C错误. ∵，∴D中数列是公差为3的递增等差数列.故D正确. 故选：AD. 2．已知数列共有项，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列是公差为或公差为的等差数列 B．的最小值是，最大值是 C．若，则满足条件的数组的组数共有组 D．符合已知条件且满足的数列的个数为个 【答案】BCD 【分析】由题意得或，对比等差数列的定义可判断A；分和两种情况求的最小值和最大值即可判断B；由知，，，，这4组的数只能为2或1，结合组合数可判断C；由知，的数只能为2或1，结合组合数可判断D. 【详解】对于A，由得：或，前后两项差为1或2，不一定是等差数列，故A不正确； 对于B，当为等差数列时，且，最小为，，最大为18，故B正确； 对于C，，，而，，，这4组的数只能为2或1，它们的和为6，故有2个1，2个2，故有种，故C正确； 对于D，由，则，每个的数只能为2或1，故有，故D正确． 故选：BCD. 知识点02 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 推导过程： （1）归纳法：根据等差数列定义可得：，所以， ，， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）． （2）叠加法： 根据等差数列定义，有：，，，… 把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得， 所以． （3）迭代法： 所以． 【即学即练】 1．已知数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质列出数列的通项公式，再根据求出公差，从而解出数列的通项公式，代入求解． 【详解】数列是等差数列，设公差为，则， 又， ， 数列的通项公式为：， ， ． 故选：C． 2．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 知识点03 等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 【即学即练】 1．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则是数列的第（ ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由等差数列的基本量法求出，再由题意求出后可得. 【详解】由题意可得， 因为在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列， 所以，新数列的公差， 所以， 所以. 故选：B. 2．已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 【答案】AC 【分析】选项A，利用等差数列性质求出，进而求出公差；选项B，根据通项公式求出；选项C，根据公差的正负判断数列单调性；选项D，利用通项公式求解特定项的项数. 【详解】选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 题型01：等差数列的判断 【典例1】已知数列的前项和为，满足，则（   ） A．存在，满足 B． C．构成公差为4的等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定的递推公式，结合赋值法逐项分析判断. 【详解】数列中，， 对于A，，则，有， 即存在，满足，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则， ，构成公差为4的等差数列，C正确； 对于D，，，则，D正确. 故选：ACD 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 【变式1】若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两者的之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】若是等差数列，则成等差数列，故成立， 取，则， 而即为，因为， 故它们不成等差数列，故推不出是等差数列， 故“是等差数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2】数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．15 B．101 C．21 D．19 【答案】C 【分析】由数列的前几项可得数列的通项公式，进而得到结果. 【详解】因为数列的前几项为， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，则. 故选：C 【变式3】南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知数列，且，则（    ） A．数列为二阶等差数列 B． C．数列为三阶等差数列 D．数列为二阶等差数列 【答案】ACD 【分析】根据已知关系式可推导出是等差数列，即可判断A；根据已知结论可求出数列的通项公式，即可判断B；根据高阶等差数列的定义，结合已知结论，可分别计算并判断C、D. 【详解】对于A，因为，所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，所以数列为二阶等差数列，故A正确； 对于B,因为， 所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，令，则，所以数列是二阶等差数列，数列为三阶等差数列，故C正确； 因为，所以，所以数列为二阶等差数列，故D正确. 故选：ACD. 题型02：等差数列的通项公式及其应用 【典例1】已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 【答案】B 【分析】得到的值，由的每相邻两项之间都插入个数后构成新的等差数列得到的首项和公差，由此得到的通项公式，进而得到. 【详解】，所以． 当时，，所以等差数列的公差为， 故，则． 故选：B. 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． 【变式1】设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4051 C． D． 【答案】C 【分析】当时，可求出，当时，，结合题意可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式可得，可得，从而即可求解. 【详解】当时，，因为，所以，得， 当时，， 可得，即，即， 即，所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以， 所以，所以. 故选：. 【变式2】已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义和通项公式求解即可. 【详解】因为数列各项均为正数，且，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，， 故选：C 【变式3】（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）运用累乘法进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 而，满足上式， 所以的通项公式是. （2）数列中，由，得， 依题意，，则，数列是首项为，公差为2的等差数列， 则，即， 所以数列的通项公式为. 题型03：等差中项及应用 【典例1】在等差数列中，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．49 【答案】B 【分析】结合对数运算性质，根据等差数列的等差中项性质求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 所以， 所以. 故选：B 若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项．　　 【变式1】设是等差数列，下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】设的公差为，根据公差的正负不确定可判断A；根据等差数列单调性可判断B，根据等差中项、基本不等式可判断C；利用等差数列通项公式可判断D. 【详解】设的公差为， 对于A，， 因为公差的正负不确定，所以的正负不确定，故A错误； 对于B，因为， 即异号， 当时，由等差数列的单调性可知，即， 当时，由等差数列的单调性可知，即， B正确， 对于C，，所以， 又，故不存在使原式取等情况，，故C正确； 对于D， ，D错误； 故选：BC. 【变式2】已知等差数列，，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】等差中项的性质可转化可求解 【详解】为等差数列，， 故选：A 【变式3】，若存在使得成等差数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质列方程，结合对数函数的知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由，解得， 依题意，存在使得成等差数列， 即存在使得， 即存在使得， 则， ， 设，则， 函数的开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增， 则， 所以，而且，所以. 故选：B 题型04：等差数列的实际应用 【典例1】通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】求出温度差，利用海拔每升高米气温就降低，即可求解. 【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 1.解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． 2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现． 【变式1】已知定义在的函数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过已知的递推公式，逐步推导出的表达式，进而求出的值.首先对递推公式进行变形，构造出一个新的数列，求出新数列的通项公式，再得到的通项公式，最后代入求值. 【详解】因为，等式两边同时除以， 得到. 设，则，且. 所以是以0为首项，为公差的等差数列. 所以该数列的通项公式为. 所以. 所以. 故选：B. 【变式2】2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【答案】167 【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，依题可知是首项为0，公差为12的等差数列，根据，解不等式即可. 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故答案为：167 【变式3】在数列中，若（，，p为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（   ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列是等方差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列 D．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 【答案】ABCD 【分析】根据等定义可知选项A正确；根据可得选项B正确；根据条件表示，利用p为常数可得选项C正确；利用可得，选项D正确. 【详解】根据等方差数列的定义可知A正确. 因为，所以数列是等方差数列，B正确. 若数列既是等方差数列，又是等差数列， 设公差为d，则． 又p为常数，所以，C正确. 若数列是等方差数列，则， 故为常数，D正确． 故选：ABCD. 题型05：等差数列性质的应用 【典例1】已知等差数列中，，则 ． 【答案】6 【分析】根据题意与等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，. 又∵，∴. 故答案为：6. 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． 【变式1】已知四个正数成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由等差数列性质列方程组即可求解. 【详解】因为四个正数成等差数列，所以，解得． 故选：C. 【变式2】已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】A 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】由，得，则，所以， 又，所以. 故选：A. 【变式3】已知等差数列满足，，则（    ） A．1 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质有即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，， 所以，，解得，，所以． 故选：C． 题型06：等差数列中对称设项法的应用 【典例1】如果三个数，4成等差数列，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】根据等差中项计算求参. 【详解】因为三个数，4成等差数列，则，所以. 故选：C. 等差数列中对称设项法的应用 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为． 【变式1】已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为 . 【答案】41 【分析】根据等差数列的性质得到的首项和公差，再由题意求出新的等差数列首项和公差，再求解即可. 【详解】设等差数列首项为，公差为， 由，得：，解得， 所以数列为首项为1，公差为4的等差数列， 在数列每相邻两项之间插入三个数，得到新等差数列， 则首项为1，公差为1，所以新数列的第41项为. 故答案为：41 【变式2】已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 . 【答案】 【分析】先计算出等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，求出新数列的第项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以， 设在数列每相邻两项之间插入三个数所得新数列为， 则新的等差数列的公差为，首项为， 所以新数列的通项公式为， 故. 故答案为：. 【变式3】已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式 . 【答案】， 【分析】等差数列满足为，，故可以求得的首项与公差，从而可以写出的通项公式. 【详解】设数列的公差为由题意可知，，， 于是 因为，所以，所以 所以 故答案为：， 1．在等差数列中，，，则 【答案】 【分析】由题意建立等式，求得等差数列的首项和公差后计算即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 故答案为：. 2．若为等差数列，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质结合充分必要条件判断即可得结论. 【详解】设数列的公差为， 若等差数列为常数列，则任意的，都有， 所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 3．记正数满足为和的等差中项，设甲：为整数；乙：为整数，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】由等差中项知，则可得到甲能推乙，当为整数时，易得符合条件，但不是整数，故乙不能推甲，继而可解. 【详解】由正数满足为和的等差中项，所以， 若为整数，则为整数，故甲能推乙； 若为整数，例符合为和的等差中项，但不是整数，故乙不能推甲， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 4．已知等差数列，，，则（   ） A．4038 B．4040 C．4050 D．4052 【答案】C 【分析】法1，设的公差为，首项为，利用等差数列基本量运算求得得解；法2，用减去，求得，代回求得，得解. 【详解】解法一：设的公差为，首项为，根据题意得： ，，. 解法二：减去，得，即， 将代入得，. 故选：C. 5．已知在等差数列中，，，则公差的值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】∵，，∴. 故选：B. 6．已知数列为等差数列，若是正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列，结合充分性和必要性的定义进行判断即可． 【详解】充分性：当，由等差数列下标和定理得，， 必要性：当等差数列公差时，若，则， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 7．已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用等差数列的定义可判断AC选项，取，可判断BD选项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以是等差数列，故A正确； ， 所以是等差数列，故C正确； 若，则，，，， 所以，，，所以，故不是等差数列，故B错误； 若，，，，所以，故不是等差数列，故D错误. 故选：AC. 8．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义求出数列的通项，即可得解. 【详解】由，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 9．数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】B 【分析】根据题意写出数列前几项，从而可得通项公式，进而可求出答案． 【详解】新数列为3，5，7，9，11， 所以数列是以3为首项，为公差的等差数列， 所以，所以． 故选：B． 10．设数列是公差为的等差数列，且，则（    ） A．15 B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的性质计算可求得的值. 【详解】由题意得. 故选：B. 11．在公差大于的等差数列中，，，则该数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求出，再利用等差数列的通项公式得到关于的方程，解方程即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则，得， 所以，即， 又，解得. 故选：D. 12．已知数列中，且且，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】可知数列是以首项，公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为，可知数列是以首项，公差的等差数列， 则，所以. 故选：C. 13．某公司购置了一台价值为230万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少20万元，设备使用n年后，其价值将低于购进价值的5%，设备将报废，则n的最小值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式可得，再建立不等式可求n的范围得到最小值. 【详解】设使用n年后，这台设备的价值为万元，则数列满足. 可得数列是一个公差为的等差数列，因为购进设备的价值为230万元， 这样，于是， 根据题意得：， 故选：B. 14．已知正项数列的首项，前项积为，且，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．是递增数列 D． 【答案】BC 【分析】由数列递推式得，则数列是首项为，公差为1的等差数列，根据等差数列通项公式得到，可判断A、B；根据即可判断C；根据可求即可判断D. 【详解】，， 则数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，，故A错误，B正确； ，因为函数在单调递增， 所以是递增数列，故C正确； ， ，故D错误. 故选：BC. 15．已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可得数列是首项为1，公差为20的等差数列，从而得所求. 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故. 故选：C. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $