4.2.1等差数列的概念讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念 知识点一：等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差。 判断一个数列是不是等差数列，切记不可通过计算 - , - , -等几个有限的式子的值后，根据它们都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论（事实上，由以上几个式子仅可得出数列 {}的前四项成等差数列)，因为由特殊到一般得出的结论不一定正确。 知识点2等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时，A叫作a与b的等差中项。 归纳总结 (1)a,A,b成等差数列< (2)若 则数列 为等差数列，反之也成立，所以 ⇔数列 为等差数列，这种判断一个数列是否为等差数列的方法称为“等差中项法”。 (3)在有穷等差数列中，除首、末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项；在无穷等差数列中，除首项外，任何一项都是前后两项的等差中项。 知识点3：等差数列的通项公式 1 等差数列的通项公式 以 为首项，d为公差的等差数列 的通项公式为 。 2 等差数列通项公式的变形应知 已知等差数列 中的任意两项 ， 题型练习 题型一：等差数列题型公式基本量计算 1．（24-25高二上·天津西青·期末）已知等差数列中，，且，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知等差数列，，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26高三上·福建·月考）在等差数列中，，则公差（    ） A． B．12 C． D．11 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·天津河西·期末）设数列是公差为的等差数列，若，，则 . 题型二：求等差数列通项公式 1．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 4．（23-24高二上·天津蓟州·阶段练习）（1）在数列中，，，且满足，求数列的通项公式； （2）在数列中，，，求数列的通项公式； （3）若数列是正项数列，且，求数列的通项公式 题型三：等差中项 1．（25-26高二上·甘肃陇南·阶段练习）在等差数列中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西河池·期末）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24高二下·云南玉溪·开学考试）若数列是等差数列，且，则（ ） A．48 B．50 C．52 D．54 5．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 6．（24-25高二下·天津西青·开学考试）等差数列中，若，则的值为 ． 题型四：等差数列的性质 1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）在 1 和 15 之间插入 个数，使得这 个数成等差数列． 若这 个数中第 1 个为 ，第 个为 ，则的 值为 （    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 3．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知数列为等差数列，且，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·北京房山·期中）我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱（“钱”是古代的一种计量单位），每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少.在这个问题中分得最少的一个得到（    ） A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱 6．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）若数列的为等差数列， 且 则 = . 题型五：判断数列为等差数列 1．多选题（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 3．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知数列满足：，. 求证：为等差数列； 4．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 5．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且. 求证：数列是等差数列； 学科网（北京）股份有限公司 $