2.2.1 直线的倾斜角与斜率（题型专练）数学人教B版2019选择性必修第一册

2.2.1 直线的倾斜角与斜率 题型一 直线的倾斜角 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 2．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知直线经过，两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合两点坐标求直线的方程，根据直线方程确定直线的斜率. 【详解】 由已知得，两点的横坐标都是， 所以直线的方程是，直线是一条垂直于x轴的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 3．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角的概念即可得到答案. 【详解】直线的倾斜角为. 故选：B. 题型二 直线的斜率 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以该直线的斜率. 故答案为： 2.（24-25高二下·上海·阶段练习）若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 【答案】./. 【分析】根据直线斜率公式以及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线斜率，则，解得. 故答案为：. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）将直线沿轴的负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度得直线，此时与重合，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】设直线上一点，经过平移变化得到，因为平移后的点仍然在直线上，即可求出直线的斜率. 【详解】设直线上一点，其沿轴负方向平移个单位长度， 再沿轴正方向平移个单位长度后的坐标为. 因为平移后的点仍然在直线上，所以直线的斜率. 故答案为： 题型三 直线的方向向量与倾斜角 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由直线方向向量为，则直线斜率为，结合倾斜角的范围，故其倾斜角为. 故选：C 2．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的方向向量，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小． 【详解】由直线的方向向量知，直线的斜率为 ， 设直线的倾斜角为，所以 ，解得 . 故选：D 3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角. 【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 题型四 直线的方向向量与斜率 1.（24-25高二上·天津西青·期末）经过、的方向向量为，则 . 【答案】/ 【分析】分析可知，直线的斜率为，结合斜率公式可求得结果. 【详解】因为经过、的方向向量为，则直线的斜率为， 则. 故答案为：. 题型五 根据直线的倾斜角求其它量 1．．（2025·吉林·模拟预测）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率，再利用正切二倍角求出. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以， 则. 故选：D 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 3.（24-25高二上·福建福州·阶段练习）若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求斜率，再结合两点斜率公式列方程求. 【详解】因为经过两点，的直线的倾斜角为， 所以直线的斜率 所以，解得. 故选：D. 4．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）倾斜角为的直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，进而求得其方向向量. 【详解】倾斜角为的直线的斜率， 因此倾斜角为的直线的一个方向向量为，A正确， 而选项BCD中向量与向量均不共线，BCD不满足题意. 故选：A 题型六 根据两点求直线的斜率 1．（24-25高二下·上海浦东新·期中）经过点、的直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为 ． 【答案】 .【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 题型七 根据两点求直线的倾斜角 1．（24-25高二上·河南许昌·期末）若直线过点和，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点斜率公式即可求解. 【详解】因为直线过点和，所以斜率为，设直线的倾斜角为，则有， 故选：C. 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式求出斜率，进而求出倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 故答案为： 题型八 直线的倾斜角与斜率的变化关系 1．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 3．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 题型九 已知直线的斜率求其它量 1．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点求概率即可求参； 【详解】点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 2．（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【详解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 题型十 直线的法向量与倾斜角、斜率 1．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量写出一个方向向量，结合方向向量与斜率及倾斜角关系求倾斜角大小. 【详解】由直线法向量为，则直线的一个方向向量为， 若直线倾斜角为，则，故. 故选：A 2．（23-24高二下·全国·课堂例题）若是直线的一个法向量，则直线的斜率为 ，倾斜角的大小为 ． 【答案】 【分析】由直线的法向量得到直线斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意知，向量是直线的一个法向量，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，可得 则直线的倾斜角的大小为. 故答案为：；. 3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出直线的斜率，再根据垂直关系写出法向量即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线的一个法向量为，（答案不唯一，只要满足与向量垂直即可）. 故答案为：（答案不唯一） 4.（24-25高二上·福建宁德·期末）若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】因为向量是直线l的一个法向量， 所以直线l的斜率，设直线l的倾斜角为， 则，又， 所以直线l的倾斜角. 故答案为：. 题型一 斜率公式的应用 1．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【详解】因为，所以， 不妨设，则． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 2．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 【答案】 【分析】先确定直线斜率存在，然后根据三点共线可知，结合斜率的计算公式可求结果. 【详解】因为，所以直线斜率存在， 因为三点共线，所以， 所以，解得， 故答案为：. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 4．（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 题型二 直线与线段相交关系求斜率范围 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 题型三 直线倾斜角、斜率的综合问题 1．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 2．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 4．（22-23高二上·全国·课后作业）已知四点在同一条直线l上. (1)求直线l的斜率k及a，b的值； (2)求直线l的一个方向向量及法向量. 【答案】(1)； (2)方向向量，法向量. 【分析】 （1）根据题意，由四点共线可得，列出方程即可得到结果； （2）根据题意，直接由直线方程即可得到结果. 【详解】（1） 由，得 四点在同一条直线上， ，即， 解得 （2） 易知直线l的一个方向向量为， 直线l的一个法向量为. 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（    ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 【答案】C 【分析】根据条件得到直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系计算可得结果. 【详解】由得，或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，的值为3或． 故选：C. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，得到，，设，根据条件建立关系式，从而得到，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由条件知，，， 因为直线的斜率为，又， 所以直线的斜率， 设点的坐标为，则，， 联立，解得，故 所以，，    故答案为：. 4．（24-25高二上·云南·期中）过曲线上一点A作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，，若直线过原点，则其斜率为 . 【答案】 【分析】利用对数的运算法则结合两点斜率公式计算即可. 【详解】    不妨设，则，， 由题意可得，解得或， 经过检验不符合，故舍去， 故其斜率为. 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）若，且，，三点共线，求的最小值． 【答案】16． 【分析】由A、B、C三点共线，可得点在直线上，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】根据，利用直线的两点式方程可求得直线AB的方程为． 又因为在该直线上，所以．又因为，故，． 根据基本不等式，从而（舍去）或， 故，当且仅当时取等号，即的最小值为16． 7．（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【答案】 【分析】理解所求式的几何意义，作出已知函数图象，得出边界点，求出斜率范围即得. 【详解】如图，因，可知它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．         分别把代入，即得，， ，． 由图可知，即得，． 故的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 题型一 直线的倾斜角 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知直线经过，两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型二 直线的斜率 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 2.（24-25高二下·上海·阶段练习）若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 3．（24-25高二上·全国·课后作业）将直线沿轴的负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度得直线，此时与重合，则直线的斜率为 . 题型三 直线的方向向量与倾斜角 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 题型四 直线的方向向量与斜率 1.（24-25高二上·天津西青·期末）经过、的方向向量为，则 . 题型五 根据直线的倾斜角求其它量 1．．（2025·吉林·模拟预测）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·福建福州·阶段练习）若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）倾斜角为的直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 题型六 根据两点求直线的斜率 1．（24-25高二下·上海浦东新·期中）经过点、的直线的斜率为 . 2．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为 ． 题型七 根据两点求直线的倾斜角 1．（24-25高二上·河南许昌·期末）若直线过点和，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 题型八 直线的倾斜角与斜率的变化关系 1．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型九 已知直线的斜率求其它量 1．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十 直线的法向量与倾斜角、斜率 1．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·全国·课堂例题）若是直线的一个法向量，则直线的斜率为 ，倾斜角的大小为 ． 3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量 . 4.（24-25高二上·福建宁德·期末）若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为 . 题型一 斜率公式的应用 1．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 2．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 4．（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 题型二 直线与线段相交关系求斜率范围 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型三 直线倾斜角、斜率的综合问题 1．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 3．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 4．（22-23高二上·全国·课后作业）已知四点在同一条直线l上. (1)求直线l的斜率k及a，b的值； (2)求直线l的一个方向向量及法向量. 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（    ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    4．（24-25高二上·云南·期中）过曲线上一点A作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，，若直线过原点，则其斜率为 . 5．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）若，且，，三点共线，求的最小值． 7．（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$