5.2 二元一次方程组的解法（题型专练）数学北师大版2024八年级上册

5.2 二元一次方程组的解法 题型一 代入消元法解二元一次方程组 1.把方程改写成用表示的式子是 ． 2．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 3．已知，则用含的式子表示为 ． 4．已知方程，用含有的代数式表示的形式为 ． 5．已知二元一次方程，用含的代数式表示为 ． 6．用代入法解方程组： （1）； （2）； （3）； （4） 题型二 加减消元法解二元一次方程组 7．方程和的公共解是（   ） A． B． C． D． 8．若x，y是二元一次方程组的解，那么的值是（　　） A．15 B．4 C．3 D．2 9．用加减消元法解方程组下列解法正确的是（    ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 10．加减消元法解下列方程组： （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 题型三 选择合适的方法消元解方程组 11．解方程组错误的解法是（    ） A．先将①变形为，再代入② B．先将②变形为，再代入① C．将②-①，消去 D．将①②，消去 12．解方程组时，较为简单的方法是（   ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．试值法 D．无法确定 13．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 14．已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 15．解方程组： （1）；（2）； （3）； （4） （5）； （6）； （7） 题型四 错解问题 16．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 17．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 18．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值 ． 时，小军由于粗心看错了方程组中的n，解得；小红由于看错了方程组中的m，解得． (1)则m，n的值分别是多少？ (2)原方程组正确的解应该是怎样的？ 题型五 同解问题 20．若关于的二元一次方程组和同解，则可通过解方程 组成的方程组求得这个解．（请填写序号） 21．已知方程组与方程组的解相同，则的值为 22．已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 题型六 根据方程组解的情况求参数 23．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 24．二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 25．已知关于的方程组的解互为相反数，则k的值是 ． 题型七 解方程组与求代数式的值 26．已知a，b两数互为相反数，将数轴上表示a的点沿着数轴向左移动个单位长度，到达表示b 的点，求a，b两数的值． 27．（1）已知a所对应的点在数轴上的位置如图所示．化简：． （2）已知和互为相反数，求的平方根． 题型一 根据方程组解的情况求参数 1．若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 3．若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 4．关于的方程组有正整数解，则正整数为（   ） A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5 5．二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 6．已知方程组的解满足，则 ． 7．已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有 个． 8．已知关于的二元一次方程组无解，则的值是 ． 题型二 错解问题 9．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为 10.在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 11．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，根据以上内容试求出a，b的值，并计算的值. 题型三 同解问题 12．若关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 13． 已知方程组与的解相同，求的值． 题型四 运用整体思想求方程组的解 14．（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 15．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解是 ． 16．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 17．已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是 ． 18．已知关于x，y的方程组的解是，则关于m，n方程组的解是 ． 题型五 根据新定义列方程组解决问题 19．当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 20．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． (1)当时， ． (2)若，则 ． ． 21．运算能力规定：形如关于的两个方程与互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，称之为“共轭系数”．若关于的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”及其解． 题型一 根据解的情况判断信息 1．关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变，则（   ） A．甲的判断正确，乙的判断不正确 B．甲、乙的判断都不正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲的判断不正确，乙的判断正确 题型二 运用整体思想求方程组的解 2．若关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是 ． 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 3．已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 题型三 根据几何性质列方程组解决问题 4．如图所示，已知面积为1，点D、E、F分别在上，且，，，两两相交于P、Q、R，求的面积． 题型三 根据新定义列方程组解决问题 5．定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 二元一次方程组的解法 题型一 代入消元法解二元一次方程组 1.把方程改写成用表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，先把含的项移动到方程的右边，再把的系数化为即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是在二元一次方程中，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数．将x看作已知数，即可求解． 【详解】解：已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则， 故答案为：． 3．已知，则用含的式子表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键是熟练掌握根据二元一次方程，用一个未知数表示另一个未知数． 根据，把用表示出来，然后再把代入进行化简即可． 【详解】， 将①变形为③， 将③代入②中， 即， 所以， 故答案为：． 4．已知方程，用含有的代数式表示的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的变形，用一个未知数表示另一个未知数．解题关键是通过移项等操作，将单独放在等式的一边，从而用含有的代数式表示．通过移项，系数化为，将单独放在等式的一边即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 5．已知二元一次方程，用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的变形求解，熟练掌握等式的基本性质以及移项、合并同类项等运算规则是解题的关键． 将方程中的看作已知数，通过移项、去分母、合并同类项等操作，将方程变形为用含的代数式表示的形式． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．用代入法解方程组： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解： 代入消元：将①代入②得： 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 系数化为得： ． 将代入①式，得 ． ∴方程组的解为 ． 解： 将代入得： ， 解得：， 将代入，得： ， 故原方程组的解是 （3） 解：①②得，解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （4）由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，所以原方程组的解为 故答案为： 题型二 加减消元法解二元一次方程组 7．方程和的公共解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：联立方程得：， 得：， 将代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故选：C． 8．若x，y是二元一次方程组的解，那么的值是（　　） A．15 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组. 直接计算即可. 【详解】解：， 得：， 故选：A． 9．用加减消元法解方程组下列解法正确的是（    ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 【答案】B 【分析】本题考查了消元法解方程，熟练掌握加减消元法的原理是解题的关键. 【详解】解：A、得到的式子为：即：，未消去，不符合题意； B、得到的式子为：，即，消去，符合题意； C、得到的式子为：，即，未消去，不符合题意； D、得到的式子为：，即，未消去，不符合题意； 故选：B ． 10．加减消元法解下列方程组： （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【详解】解： （1）①②，得，解得． 把代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 故答案为：. （2） 解：得， ②③得，解得， 将代入①得，解得， ∴方程组的解为． （3）解：， 将，得， 即， 解得③； 将③代入①得， 解得， 故原方程组的解是． （4）整理得到： ， 得，， 解得：， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解为． （5）解： ， 把①②得，， 解得：， 把代入①，得， ， 原方程组的解为． 题型三 选择合适的方法消元解方程组 11．解方程组错误的解法是（    ） A．先将①变形为，再代入② B．先将②变形为，再代入① C．将②-①，消去 D．将①②，消去 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法的正确运用，通过变形方程进行消元求解是解题的关键． 根据解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法的思路，对每个选项进行分析，判断其解法是否正确． 【详解】解：A、由，应变形为，而不是，所以该解法错误，符合题意； B、由，变形为，代入，是正确的代入消元法，不符合题意； C、用，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意； D、得，再减，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意． 故选：A． 12．解方程组时，较为简单的方法是（   ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．试值法 D．无法确定 【答案】A 【分析】方程组利用代入消元法求出解即可． 【详解】解：解方程组时，直接将①代入②得到的值，进而得到的值． 因此较为简单的方法是代入法． 故选：A． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 13．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：把甲的解代入方程可得：， 把乙的解代入方程可得：， 联立可得：， 解得：； 故选C． 14．已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 15．解方程组： （1）；（2）； （3）； （4） （5）； （6）； （7） 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7) 【详解】（1）解：， 将②代入①得，， 解得：， 将代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组可变形为， 得：， 解得， 将代入得， 则该方程组的解为． （3）解：， 可得：，解得：， 把代入①得：，解得：， 所以该方程组的解为：． （4）解： 把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， ∴原方程组的解为 （5）解：整理方程组，得 ②+①，得，解得． ②-①，得，解得， ∴原方程组的解为 （6）解：方程组可化为， 可得：，解得：， 把代入①得：，解得：， 所以该方程组的解为：． （7）解：整理方程组，得 ②①，得，解得． 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为 题型四 错解问题 16．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 17．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入中得一个方程，把代入中的一个方程，联立解方程组即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 根据题意，得； 解得， 故选：B． 18．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，将代入方程中可求得，将代入方程中可求得，代入所求式子即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：将代入方程中可得，， 解得：， 将代入方程中可得， 解得：， ∴， 故答案为：． 19．在解方程组时，小军由于粗心看错了方程组中的n，解得；小红由于看错了方程组中的m，解得． (1)则m，n的值分别是多少？ (2)原方程组正确的解应该是怎样的？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于把已知的值代入方程组. （1）将第一对解代入方程组的第一个方程求出m的值，将第二对解代入方程组的第二个方程求出n的值即可； （2）确定出正确的方程组，求出解即可解答. 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， 把将代入得：， 解得：； 所以，； （2）解：将，代入原方程组得， 解得：． 所以，原方程组正确的解为：． 题型五 同解问题 20．若关于的二元一次方程组和同解，则可通过解方程 组成的方程组求得这个解．（请填写序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了同解方程组； 根据方程组解的定义可得答案． 【详解】解：因为两方程组有相同的解， 所以方程组的解必然满足两方程组， 故答案为：①④． 21．已知方程组与方程组的解相同，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，依题意得，解得，再将代入中解二元一次方程组即可得出的值，进而求得的值． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 将代入得：， 解得：． ∴ 故答案为：． 22．已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意，可联立新的方程组：，利用加减消元法解方程组可得：，然后再把代入方程组，可得：，解得，把a，b的值代入，最后求平方根即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 把代入方程组，可得， 解得， 把代入，得， 的平方根为， 故答案为：． 题型六 根据方程组解的情况求参数 23．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，先把两方程相加表示出，代入计算即可求出k的值． 【详解】解：记， 则①②，得， 整理，得． 代入得， 解得． 故选：B． 24．二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键． 把代入第一个方程可求得、的值，再把、的值代入第二个方程可求得的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故选：A. 25．已知关于的方程组的解互为相反数，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据解的情况求参数，相反数的定义等知识点，解题的关键是掌握解二元一次方程组的特殊解法． 根据二元一次方程组的特殊解法整理出方程，根据互为相反数整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意得，， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， 故答案为：． 题型七 解方程组与求代数式的值 26．已知a，b两数互为相反数，将数轴上表示a的点沿着数轴向左移动个单位长度，到达表示b 的点，求a，b两数的值． 【答案】a，b两数的值分别为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和二次根式的加减法．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得 即a，b两数的值分别为 27．（1）已知a所对应的点在数轴上的位置如图所示．化简：． （2）已知和互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了数轴、利用二次根式的性质进行化简、绝对值的非负性、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由数轴可得，从而可得，，再结合绝对值的意义和二次根式的性质化简即可得解； （2）由相反数的定义结合非负数的性质计算得出，，代入求出的值，最后再由平方根的定义即可得解． 【详解】解：（1）由数轴可得：， ∴，， ∴； （2）∵和互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为． 题型一 根据方程组解的情况求参数 1．若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程组解的情况，先通过加减消元法消去，得到关于和的方程，再根据方程组有解的条件确定的值. 【详解】解：二元一次方程组， ②-①，得， 整理得， 即， ∵无论取何值，关于的二元一次方程组都有解， ∴， 解得：， ∴， 解得； 故选：C ． 2．已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可． 【详解】解：， 得，即， ∵是整数，方程组有正整数解， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 综上，． 故选：C． 3．若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解． 根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可． 【详解】整理得， ∵关于的方程组无解， ∴， 解得：， 故选：A 4．关于的方程组有正整数解，则正整数为（   ） A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，进行分析，再确定正整数a的值，即可作答． 【详解】解：∵方程组有正整数解， ∴两式相加有，即， ∵a，y均为正整数， ∴或或或， ∴时，不合题意，舍去， 时，，，符合题意； 时，，，符合题意； 时，，，不合题意，舍去， ∴或2． 故选：A． 5．二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案． 【详解】解：对方程组， ②－①×2，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：C． 6．已知方程组的解满足，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入原方程组中的第一个方程，求出和的值，再将和值代入第二个方程，从而求出的值. 【详解】解：的解满足 将代入得： ， 解得：， 把代入，解得， 把，代入得： ， 解得：． 故答案为：3 ． 7．已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和非负整数解的应用．熟练掌握解二元一次方程组的方法和非负整数解的应用是解题的关键． 首先解含参方程组，得到，的表达式，再根据，是非负整数找出正整数的所有可能取值即可． 【详解】解：解方程组 得， ∵方程组的解是非负整数 ∴ 即， ∵方程组的解是非负整数，且为正整数， ∴和为非负整数， 由为非负整数可知，为8的正约数， ∵为正整数， ∴， ∴可取2，4，8， 解得可取1，3，7， 当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意； 综上，正整数的值有1和3，共2个 故答案为：2． 8．已知关于的二元一次方程组无解，则的值是 ． 【答案】-6 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的运用是解题的关键． 对于二元一次方程组，当时，原方程组无解． 【详解】解：二元一次方程组无解， ． 故答案为： ． 题型二 错解问题 9．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 10.在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出与的值是解题的关键． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出与的值； （2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以①；② 由②得，代入①得， 所以， 所以， 所以． （2）解：由（1）得． 11．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，根据以上内容试求出a，b的值，并计算的值. 【答案】，的值为0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，有理数的混合运算．正确理解题意是解题的关键．将代入方程②求出b的值，将代入方程①求得a的值，再将a，b的值代入代数式中即可得出结论． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为， ∴是方程②的解． ． ． ∵乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为， ∴是方程①的解． ． ． ∴原式． 题型三 同解问题 12．若关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，有理数的混合运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）关于x，y的方程组与有相同的解，得到，利用加减消元法求出，再代入含有的方程求出，即可求解； （2）将，代入，根据新定义计算即可． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解该方程组得：， ∴， 解得： ∴ （2）解：将，代入， ∴． 13．已知方程组与的解相同，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入计算即可 【详解】解：∵方程组与的解相同 ∴ 解得： 将代入得 解得： ∴. 题型四 运用整体思想求方程组的解 14．（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【答案】（1）；（2）；（3）1，2，3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法解二元一次方程组． （1）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x即可； （2）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可； （3）解方程组求出，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可． 【详解】解：（1）， 由得， 把代入得， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）， 由得， 把代入得， 把代入，得， 方程组的解为； （3）， 得， ∴， 关于，的二元一次方程组的解满足， ， ， 满足条件的的所有正整数值为，，． 15．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先通过对所求方程组进行变形，利用整体代换，结合已知方程组的解来求解即可． 【详解】解：可化为： 方程组的解是， 中 解得： 方程组的解是 故答案为：． 16．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，理解二元一次方程的解的计算是关键． 根据题意，将原方程组变形得，结合原方程组的解得到，由此即可求解． 【详解】解：， 将方程组变形得，， ∵的解是， ∴， 解得，， 故答案为： ． 17．已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的换元法求解，解题的关键是通过换元将新方程组转化为已知解的方程组形式． 通过设，，把关于m、n的方程组转化为已知解的关于x、y 的方程组，再解关于m、n的方程组得到答案． 【详解】解：令，， 则关于m、n 的方程组可转化为， 已知原方程组的解是， ∴可得，解得． 故答案为：． 18．已知关于x，y的方程组的解是，则关于m，n方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，根据已知条件可得出方程组的解满足关系式∶，进而求解可得出答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式∶， 解得：， 故答案为： 题型五 根据新定义列方程组解决问题 19．当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值． 【详解】解：∵， 解得． ∴． 点为和谐点， ∴，． 又， ∴． ∴， 故答案选：C． 20．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． (1)当时， ． (2)若，则 ． ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据条件列出方程组即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 故． 21．运算能力规定：形如关于的两个方程与互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，称之为“共轭系数”．若关于的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”及其解． 【答案】共轭系数为-3，-6， 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据题中共辄二元一次方程的定义得到关于的方程组，求出值即可求出共轭系数；得到共轭方程组后，通过加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】解：由题意，得 整理，得 由①-②×2，得，解得． 把代入②，得，解得， 所以， 所以“共轭方程组”的“共轭系数”为， 所以此“共轭方程组”为 由③×3+④，得，解得． 把代入③，得， 所以此“共轭方程组”的解为 题型一 根据解的情况判断信息 1．关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变，则（   ） A．甲的判断正确，乙的判断不正确 B．甲、乙的判断都不正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲的判断不正确，乙的判断正确 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键．将方程组的两个方程相加，得出，当的值互为相反数时，即可得出，得出甲判断不正确；用表示出，代入可得，得出乙判断正确；即可得出答案． 【详解】解：， 得：， ， 当的值互为相反数时，， ，故甲判断不正确； 解方程组得：， ，故乙判断正确． 故选：D． 题型二 运用整体思想求方程组的解 2．若关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】首先将变形得，然后由已知条件即可得出，从而得出答案． 【详解】解：原式变形可得， 令， 则化简为：， 方程和为系数完全相同的二元一次方程组，即同解， ∴ ∴， 解得． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是通过变形换元得出两个方程组的解相同，从而得出答案． 3．已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，解题的关键是能通过两个表格将关于x，y的二元一次方程组变为，解方程组即可得出答案． 【详解】解：∵从第一个表格中可知，当时，，时，， ∴， 解得：， 把代入得： ， 整理得：， ∵从第二个表格中可知，当时，，时，， ∴， 解得：， 把代入得： ， 整理得：， ①和②组成方程组， 解得： 故答案为：． 题型三 根据几何性质列方程组解决问题 4．如图所示，已知面积为1，点D、E、F分别在上，且，，，两两相交于P、Q、R，求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了面积与等积变换．连接，设的面积为a，的面积为b，利用，，列出方程组求出a的值，同理可求出，利用求解即可得出答案． 【详解】解：连接，设的面积为a，的面积为b， ∵，， ∴的面积为，的面积为， ∵已知面积为1， ∴，， ∴， 解得， ∴的面积为， 同理可得， ． 题型三 根据新定义列方程组解决问题 5．定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【答案】(1)2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点 （1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”； （2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； （3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 【详解】（1）解：不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得，则：， 因数分解可能为或， 或，解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； （2）①设奇数，令，，则：，故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确， ④设被4除余2的数是，若存在a，b使得， ∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； （3）证明：，b是“树人数”． 设，是整数 或 ，n，p，q是整数． ，，，都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式． 是“树人数”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $