第五章 函数应用（单元测试·基础卷）数学北师大版2019必修第一册

2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第五章 函数应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在原理进行判断即可. 【详解】由函数单调性的性质可知函数是正实数集上的增函数， 因为，当自变量趋近时，函数值趋近， 所以函数的零点所在区间为， 故选：A 2．函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【答案】C 【分析】根据零点定义令计算求解. 【详解】令，，即，解得或． 故选：C. 3．已知某微生物的种群数量与培养时间（单位：h）之间满足函数关系：，一次实验中发现，在一定环境下，当种群数量是初始种群数量的200倍时，将达到该环境的最大容纳量，在达到环境最大容纳量之前，需要实验人员提前进行人为干预，则该实验至多进行多少小时，需要实验人员的干预（，）（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】由题意列出指数不等式，根据指数函数单调性以及指对互换、对数运算即可求解. 【详解】设至少经过小时，种群数量达到该环境的最大容纳量，即， 即，两边取对数可得， 所以， 所以至多经过13小时，该实验需要实验人员的干预． 故选：C. 4．已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 5．在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件建立分段函数关系，利用待定系数法求出的值，利用二次函数的最值性质进行求解即可． 【详解】由题意可知，， 则当时，，当时，， 即，解得， 故， 当时，的最大值为； 当时，， 此时的最大值为． 因为，所以，． 故选：A. 6．已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．18 【答案】B 【分析】分别画出两函数图象，根据交点个数即可求出零点个数. 【详解】由题意，分别画出函数和的图象，如下图所示： 显然的值域为,易知，且当时，两函数图象无交点， 由图可知，与的图象共有10个交点，故原函数有10个零点． 故选：B 7．若函数恰有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行分类讨论，根据函数零点的个数求得的取值范围. 【详解】由函数， 令函数， 当时，， 可得：或， 当或时， 方程在上有唯一的解， 当或时， 方程在上有两解或， 当时，令， 所以当时，，即方程有一个解， 当时，，即方程在上无解， 综上所述，当时，函数有两个零点：， 当时，函数有两个零点：， 当时，函数有三个零点：， 当时，函数有两个零点：， 所以若函数恰有2个零点，则或， 所以的取值范围是：, 故选：B. 8．定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．函数有3个零点 C． D．的图象关于直线对称 【答案】B 【分析】根据已知得是周期为4的奇函数，利用对称性求得时，再应用奇函数、周期性研究函数性质求函数值并判断对称性，数形结合判断零点个数. 【详解】由关于点对称，则关于原点对称，即为奇函数， 设，则，又时，， ∴，则，A错； ∵， ∴，且令可得 ∴函数是以4为周期的周期函数， ∴，C错； 由，即， 所以关于点对称，D错； 函数的零点个数就是函数图象与函数图象的交点个数， 当时，当时，当时， 且在上单调递减，在上单调递增， 又在一个周期内单调递增，值域为， 同一坐标系内作函数与的图象如下：    观察图象知与有3个交点，B对. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数，，.用表示，中的较大者，记，则（    ） A． B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的值域为 【答案】AD 【分析】先利用定义求出的解析式，根据解析式结合二次函数及一次函数的性质作出函数图象，利用图象法即可得解. 【详解】令，即，解得或，此时； 令，即，解得，此时； 所以，作出函数的图象，如图： 从图象上看，函数无最大值和最小值，值域为. 故选：AD 10．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示（服用药物时间对应0时），则下列说法中正确的有（    ） A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药 C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 【答案】ABD 【分析】根据图中的信息分析解决实际问题情况判断各个选项. 【详解】对于A，从题图的持续期可以得出，服用药物后10分钟到5.5小时之间，血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，药物发挥作用，A正确． 对于B，服药1单位后，若2.5小时后再次服药，则在首次服药3.5小时后，即第2次服药1小时后，体内血药浓度将会超过最低中毒浓度，会引起中毒，因此若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药，B正确． 对于C，服药1单位后，若3小时后再次服药，则在首次服药4小时后，即第2次服药1小时后，血药浓度将会超过最低中毒浓度，引起中毒，C错误． 对于D，第一次服药10分钟到5.5小时之内，药物会持续发挥治疗作用，第1次服药5.5小时后第2次服药，由于第2次服药对应的血药浓度增长速度大于第1次服药对应的血药浓度降低速度，从而体内的血药浓度会超过最低有效浓度，同时观察两次累计的最大值，不会超过最低中毒浓度，D正确． 故选：ABD． 11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域为 B．方程恰有一个实根 C．是奇函数 D． 【答案】BCD 【分析】对于A：利用复合函数求值域的方法求出的值域，结合高斯函数的定义即可判断；对于B：把方程转化为，画出图像即可判断；对于C：写出的解析式，利用奇偶性的定义判断即可；对于D：利用C选项得出，再利用倒序相加求和. 【详解】因为，所以，所以，所以的值域为，故A错误； 方程，由于时等号不成立，则，作出函数 与的图象如图所示，由图可知，两函数图象只有一个交点，所以方程有且只有一个实根，故B正确； 令，所以， 所以是奇函数，故C正确； 由C选项知是奇函数，所以的图象关于点对称，所以， 记，又， 所以， 所以，故D正确. 故选:BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 .①；②至少有两个零点；③有最小值. 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件①得到函数有对称轴，列出可能得函数再分别取验证条件②和条件③即可，答案不唯一. 【详解】取，其对称轴为，满足①. 令，解得或2，满足②至少有两个零点. ，当时，，满足③有最小值. 故答案为：（答案不唯一）. 13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为 ． 【答案】 【分析】由“调日法”的计算方法即可求得答案. 【详解】由“调日法”的计算方法可知： 第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，即得， 则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为， 故答案为： 14．心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要 . 【答案】10 【分析】根据已知条件求出记忆率，再据此求出记忆38个单词所需的时间. 【详解】步骤一：根据已知条件求出记忆率 已知函数，其中表示需要记忆的量，表示记忆率，表示时间（min），表示在时间内能够记忆的量. 已知，当时，，将这些值代入函数中，可得：， 可得：，即，可得：， 两边同时取自然对数可得： 可得：，则. 步骤二：求出记忆38个单词所需的时间 当，，时，代入函数中，可得： 可得：，即， 可得：，两边同时取自然对数可得： 可得： 因为，所以，可得：，解得. 故该学生记忆38个单词大约需要10min. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数 (1)在如图所示的坐标系中画出函数的大致图象； (2)写出函数的单调递增区间； (3)试讨论实数解的情况． 【答案】(1)图象见解析 (2)， (3)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）去绝对值符号，利用函数图象变换分段画出函数图象； （2）根据函数的图象，直接求出函数的单调区间； （3）根据函数的图象，分类讨论确定函数的图象与的图象交点个数，即可讨论方程根的情况. 【详解】（1）函数的大致图象如下： ………（5分） （2）由图象可知，函数的单调递增区间为，．………（7分） （3）通过函数的图象与直线的交点个数确定， 结合图象可知，当时，方程有3个实数解；………（10分） 当时，方程有2个实数解； 当时，方程有1个实数解； 当时，方程有0个实数解．………（13分） 16．（15分） 某景区联合生产厂家推出了一套该景区的特色文化纪念品，并将所获利润全部用于景区的体育设施建设．据调查，当每套纪念品的售价定为元时，年销售量可达到万套．每套纪念品的成本分为固定成本和浮动成本两部分，其中固定成本为40元，浮动成本（单位：元）与年销售量（单位：万套）成反比，比例系数为20．不计其他成本，即销售每套纪念品的利润售价成本． (1)当每套纪念品的售价为元时，年利润是多少万元？ (2)写出每套的利润关于售价的函数解析式，并写出的定义域． (3)每套纪念品的售价为多少元时，单套的利润最大？最大是多少元？ 【答案】(1)万元 (2)． (3)元，最大为元 【分析】（1）根据条件，求出年销量和成本，即可求解； （2）根据条件得每套纪念品的成本为，即可求出，再根据实际问题的意义，即可求出定义域； （3）由（2）得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）当每套纪念品的售价为60元时，年销售量为（万套），………（2分） 每套纪念品的成本为（元），………（3分） 所以年利润为（万元）．………（4分） （2）由题可知年销售量大于0，每套纪念品的成本为元． 由，可得，………（6分） 所以．………（8分） （3）由（2）可得，………（11分） ，………（13分） 当且仅当，即时取等号，………（14分） 所以每套纪念品的售价为70元时，单套的利润最大，最大为20元．………（15分） 17．（15分） 已知 (1)求证：在上存在零点； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先判断函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）结合（1）的单调性可知对任意的，不等式恒成立，参变分离，结合基本不等式计算可得，需注意. 【详解】（1）函数的定义域为，………（1分） 又与均在上单调递增，………（3分） 所以在上单调递增，且为连续函数，………（4分） 又，， 所以，所以在上存在唯一零点，………（6分） 即在上存在零点；………（7分） （2）由（1）可知在上单调递增， 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对任意的，不等式恒成立，………（10分） 即对任意的，不等式恒成立，………（11分） 又，当且仅当，即时取等号，………（13分） 又，所以，………（14分） 所以，即实数的取值范围为.………（15分） 18．（17分） 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要. (1)求； (2)热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？ (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？ 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）将条件代入已知式，利用分数指数幂的运算法则计算即得； （2）将条件和（1）求得的结论代入已知式计算即得； （3）先计算出水温由冷却到所需要的时间为，然后自动加热后水温达到，由可知，随后水开始降温，代入公式计算即得水温. 【详解】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min， 则，即，所以.………（3分） （2）由题意可知：，，，， 可得，………（6分） 解得， 所以至少需要等待.………（7分） （3）设水的温度由冷却到，需要， 则，解得，………（10分） 此时电热水壶开始加热，需要加热至，且， 若水的温度由冷却到，可知需要，………（13分） 显然，则，………（16分） 所以经过后，此时壶中水的温度是.………（17分） 19．（17分） 已知，. (1)求不等式的解集； (2)设函数，若存在实数，使得成立，求实数m的取值范围； (3)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定函数定义域为R，代入化简得到，即可求出的取值范围，再结合指数函数的性质即可得解； （2）先由题设得方程有实数解，接着令得方程有实数解，再结合函数单调性性质求出即可计算求解. （3）先由题意得，接着求出，再分、和求出即可计算得解. 【详解】（1）由可知函数的定义域为R，………（1分） 因， 结合对数函数的单调性可得，，即，………（3分） 解得，得， 故不等式的解集为.………（4分） （2）由题可得， 因存在实数，使得成立， 即存在实数，使得成立， 所以方程有实数解，………（6分） 令，当且仅当即时等号成立， 所以方程有实数解， ………（8分） 因为和为上的增函数，所以为上的增函数， 所以，所以，得， 所以实数m的取值范围为；………（10分） （3）由题意，使得，所以， 由（1）知， 因为，所以，，所以，………（12分） 因为，………（13分） ①当时，在区间上单调递增，所以， 则，得，所以；………（14分） ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，即， 所以；………（15分） ③当时，在区间上单调递减，所以， 则，得，所以；………（16分） 综上所述，满足题意的实数的取值范围为.………（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第五章 函数应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 3．已知某微生物的种群数量与培养时间（单位：h）之间满足函数关系：，一次实验中发现，在一定环境下，当种群数量是初始种群数量的200倍时，将达到该环境的最大容纳量，在达到环境最大容纳量之前，需要实验人员提前进行人为干预，则该实验至多进行多少小时，需要实验人员的干预（，）（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大．则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．18 7．若函数恰有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．函数有3个零点 C． D．的图象关于直线对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数，，.用表示，中的较大者，记，则（    ） A． B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的值域为 10．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示（服用药物时间对应0时），则下列说法中正确的有（    ） A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药 C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域为 B．方程恰有一个实根 C．是奇函数 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 .①；②至少有两个零点；③有最小值. 13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为 ． 14．心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数 (1)在如图所示的坐标系中画出函数的大致图象； (2)写出函数的单调递增区间； (3)试讨论实数解的情况． 16．（15分） 某景区联合生产厂家推出了一套该景区的特色文化纪念品，并将所获利润全部用于景区的体育设施建设．据调查，当每套纪念品的售价定为元时，年销售量可达到万套．每套纪念品的成本分为固定成本和浮动成本两部分，其中固定成本为40元，浮动成本（单位：元）与年销售量（单位：万套）成反比，比例系数为20．不计其他成本，即销售每套纪念品的利润售价成本． (1)当每套纪念品的售价为元时，年利润是多少万元？ (2)写出每套的利润关于售价的函数解析式，并写出的定义域． (3)每套纪念品的售价为多少元时，单套的利润最大？最大是多少元？ 17．（15分） 已知 (1)求证：在上存在零点； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分） 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要. (1)求； (2)热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？ (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？ 19．（17分） 已知，. (1)求不等式的解集； (2)设函数，若存在实数，使得成立，求实数m的取值范围； (3)若，，使得，求实数的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第五章 函数应用·基础通关（参考答案） 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C A A B B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（答案不唯一） 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)图象见解析 (2)， (3)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）去绝对值符号，利用函数图象变换分段画出函数图象； （2）根据函数的图象，直接求出函数的单调区间； （3）根据函数的图象，分类讨论确定函数的图象与的图象交点个数，即可讨论方程根的情况. 【详解】（1）函数的大致图象如下： ………（5分） （2）由图象可知，函数的单调递增区间为，．………（7分） （3）通过函数的图象与直线的交点个数确定， 结合图象可知，当时，方程有3个实数解；………（10分） 当时，方程有2个实数解； 当时，方程有1个实数解； 当时，方程有0个实数解．………（13分） 16．（15分） 【答案】(1)万元 (2)． (3)元，最大为元 【分析】（1）根据条件，求出年销量和成本，即可求解； （2）根据条件得每套纪念品的成本为，即可求出，再根据实际问题的意义，即可求出定义域； （3）由（2）得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）当每套纪念品的售价为60元时，年销售量为（万套），………（2分） 每套纪念品的成本为（元），………（3分） 所以年利润为（万元）．………（4分） （2）由题可知年销售量大于0，每套纪念品的成本为元． 由，可得，………（6分） 所以．………（8分） （3）由（2）可得，………（11分） ，………（13分） 当且仅当，即时取等号，………（14分） 所以每套纪念品的售价为70元时，单套的利润最大，最大为20元．………（15分） 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先判断函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）结合（1）的单调性可知对任意的，不等式恒成立，参变分离，结合基本不等式计算可得，需注意. 【详解】（1）函数的定义域为，………（1分） 又与均在上单调递增，………（3分） 所以在上单调递增，且为连续函数，………（4分） 又，， 所以，所以在上存在唯一零点，………（6分） 即在上存在零点；………（7分） （2）由（1）可知在上单调递增， 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对任意的，不等式恒成立，………（10分） 即对任意的，不等式恒成立，………（11分） 又，当且仅当，即时取等号，………（13分） 又，所以，………（14分） 所以，即实数的取值范围为.………（15分） 18．（17分） 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）将条件代入已知式，利用分数指数幂的运算法则计算即得； （2）将条件和（1）求得的结论代入已知式计算即得； （3）先计算出水温由冷却到所需要的时间为，然后自动加热后水温达到，由可知，随后水开始降温，代入公式计算即得水温. 【详解】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min， 则，即，所以.………（3分） （2）由题意可知：，，，， 可得，………（6分） 解得， 所以至少需要等待.………（7分） （3）设水的温度由冷却到，需要， 则，解得，………（10分） 此时电热水壶开始加热，需要加热至，且， 若水的温度由冷却到，可知需要，………（13分） 显然，则，………（16分） 所以经过后，此时壶中水的温度是.………（17分） 19．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定函数定义域为R，代入化简得到，即可求出的取值范围，再结合指数函数的性质即可得解； （2）先由题设得方程有实数解，接着令得方程有实数解，再结合函数单调性性质求出即可计算求解. （3）先由题意得，接着求出，再分、和求出即可计算得解. 【详解】（1）由可知函数的定义域为R，………（1分） 因， 结合对数函数的单调性可得，，即，………（3分） 解得，得， 故不等式的解集为.………（4分） （2）由题可得， 因存在实数，使得成立， 即存在实数，使得成立， 所以方程有实数解，………（6分） 令，当且仅当即时等号成立， 所以方程有实数解， ………（8分） 因为和为上的增函数，所以为上的增函数， 所以，所以，得， 所以实数m的取值范围为；………（10分） （3）由题意，使得，所以， 由（1）知， 因为，所以，，所以，………（12分） 因为，………（13分） ①当时，在区间上单调递增，所以， 则，得，所以；………（14分） ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，即， 所以；………（15分） ③当时，在区间上单调递减，所以， 则，得，所以；………（16分） 综上所述，满足题意的实数的取值范围为.………（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第五章 函数应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 3．已知某微生物的种群数量与培养时间（单位：h）之间满足函数关系：，一次实验中发现，在一定环境下，当种群数量是初始种群数量的200倍时，将达到该环境的最大容纳量，在达到环境最大容纳量之前，需要实验人员提前进行人为干预，则该实验至多进行多少小时，需要实验人员的干预（，）（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大．则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．18 7．若函数恰有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．函数有3个零点 C． D．的图象关于直线对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数，，.用表示，中的较大者，记，则（    ） A． B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的值域为 10．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示（服用药物时间对应0时），则下列说法中正确的有（    ） A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药 C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域为 B．方程恰有一个实根 C．是奇函数 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 .①；②至少有两个零点；③有最小值. 13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为 ． 14．心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数 (1)在如图所示的坐标系中画出函数的大致图象； (2)写出函数的单调递增区间； (3)试讨论实数解的情况． 16．（15分） 某景区联合生产厂家推出了一套该景区的特色文化纪念品，并将所获利润全部用于景区的体育设施建设．据调查，当每套纪念品的售价定为元时，年销售量可达到万套．每套纪念品的成本分为固定成本和浮动成本两部分，其中固定成本为40元，浮动成本（单位：元）与年销售量（单位：万套）成反比，比例系数为20．不计其他成本，即销售每套纪念品的利润售价成本． (1)当每套纪念品的售价为元时，年利润是多少万元？ (2)写出每套的利润关于售价的函数解析式，并写出的定义域． (3)每套纪念品的售价为多少元时，单套的利润最大？最大是多少元？ 17．（15分） 已知 (1)求证：在上存在零点； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分） 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要. (1)求； (2)热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？ (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？ 19．（17分） 已知，. (1)求不等式的解集； (2)设函数，若存在实数，使得成立，求实数m的取值范围； (3)若，，使得，求实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $