精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试题

秘密★启用前 【考试时间：10月24日9:00-11:00】 重庆一中初2027届25-26学年度上期阶段性定时作业 数学试题 2025．10 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，“无限不循环小数是无理数”，进行判断即可． 【详解】解：在，，，中， ，， 是有理数，是无理数， 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标变为相反数，纵坐标不变，据此解题． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：B． 【点睛】本题考查象限与点坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 下列调查中，选取的样本最具有代表性的是（ ） A. 调查某校名学生的体检情况，选取该校初二年级的学生进行调查 B. 调查某校学生每周课余体育锻炼时间，选取该校体育社团中的名同学进行调查 C. 为了解某社区老年人的健康状况，在该社区随机对名正在健身的老人进行调查 D. 为了解某公司名员工的每日睡眠时长，随机选取该公司位员工进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抽样调查的可靠性，根据抽取样本的注意事项是考虑样本的广泛性与代表性解题即可．理解抽样调查的可靠性、广泛性及代表性是解题的关键． 【详解】解：A．调查某校名学生的体检情况，选取该校初二年级的学生进行调查，不具代表性，故此选项不符合题意； B．调查某校学生每周课余体育锻炼时间，选取该校体育社团中的名同学进行调查，不具代表性，故此选项不符合题意； C．为了解某社区老年人的健康状况，在该社区随机对名正在健身的老人进行调查，不具代表性，故此选项不符合题意； D．为了解某公司名员工的每日睡眠时长，随机选取该公司位员工进行调查，具有代表性，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是掌握：判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同．据此解答即可． 【详解】解：A．，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，与不是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，与是同类二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、点的坐标特征，根据点在第三象限，可以得到、的取值范围，然后根据一次函数的性质，可以得到直线经过的象限．解题的关键是求出、的正负，然后利用一次函数的性质解答． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∴函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 6. 如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理， 根据勾股定理得，再代入数值即可. 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 解得. 故选：B. 7. 估计的值应在（ ）间 A. 6和7 B. 7和8 C. 8和9 D. 9和10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小估算．先对该式进行化简，再运用实数的估算方法求解． 【详解】解： ， ， ， 的值应在9和10之间， 故选：D． 8. 如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点到的距离为，根据长方形的性质及三角形面积公式可得，得，若点在长方形内，如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、，证明四边形为矩形得，再根据垂直平分线的性质得，推出，当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长，在中，；若点在长方形内，则点在的延长线上， 此时，通过比较可得答案． 【详解】解：设点到的距离为， ∵的面积始终等于长方形面积的，，， ∴，，，， ∴， ∴，点到的距离为， 若点在长方形内， 如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长， 在中，； 若点在长方形外，则点在的延长线上， ∴， ∴， 此时； ∵， ∴最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识点，掌握矩形的判定和性质、两点之间线段最短是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，…，按这样的规律排列，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题的关键是分析竖列和斜列的点数分布规律，确定点的位置． 先分析竖列（奇数列）和斜列（偶数列）的点数规律，计算前若干列的点数总和，确定所在的列和位置，进而推导其坐标． 【详解】解：假设竖列最上面的一个点属于竖列，最下面的一个点属于斜列， 竖列（奇数列）：第1列有1个点，第3列有5个点，第5列有9个点，点数依次增加4； 斜列（偶数列）：第2列有3个点，第4列有7个点，第6列有11个点，点数依次增加4． 计算前5列的点数总和： 前5列（第、、、、列）的点数总和为个． 确定的位置： 因为，所以在第6列（斜列），是该列的第7个点． 由图可知的坐标为，第6列斜列的点，横坐标从10开始依次增加1，纵坐标从5开始依次减少1． 第7个点的横坐标为，纵坐标为． 因此，点的坐标是， 故选：A． 10. 已知整式，其中为正整数，，，，…，均为绝对值小于3的整数，且满足，．下列结论中正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式之和为； ③若，则满足条件的整式有5个； ④所有满足条件的整式共有12个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的相关知识，涉及整式的定义，绝对值的性质以及不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． 根据已知条件确定整式的各项系数，再逐一分析各个结论即可． 【详解】解：时，则， ∴， ∴， ∵，，，…，均为绝对值小于3的整数， ∴，， ∴，故①正确； 当时，， ∴， ∴， ∵，，且，，均为绝对值小于3的整数， ∴有以下几种情况： 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴满足条件的整式之和为：，故②错误； 当时，， ∴， ∴， ∵，，且，均为绝对值小于3的整数， ∴有以下几种情况： 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴满足条件的整式有个，故③错误； 由前面的分析可知，当时，有个；当时，有个；当时，有个， ∴满足条件的整式共有个，故④错误； 综上正确的只有①， 故选：B． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 7的算术平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义：如果一个正数a满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴7的算术平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． 12. 函数的自变量的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案即可．正确把握定义是解题关键． 【详解】解：函数的自变量的取值范围是：且， 解得：． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，，若直线轴，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图象性质，根据直线得出点和点的横坐标相同，从而得到关于的方程，求解方程，得到点的纵坐标，线段的长度等于点和点的纵坐标差的绝对值．掌握平行于轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵直线轴，且点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即线段的长为． 故答案为：． 14. 已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的绝对值的和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，先解方程，然后结合整数解求出符合条件的的值，再计算绝对值的和即可．正确求出方程的解是解题关键． 【详解】解：解方程， 得：， ∵关于的方程的解是整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴所有整数的绝对值的和为：． 故答案为：． 15. 已知方程是关于，的二元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键．形如(且)的方程，只含有二个未知数，并且未知数的项的次数是1的整式方程，是二元一次方程，据此回答即可． 【详解】解：依题意，得， 解得，， 故答案为： 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的负半轴上，线段交轴正半轴于点，且．点在轴的正半轴上，连接，．若点，点，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，过点作轴于，过点作于，则，，设，则，由可得，又由已知可得，，由可得，即得，，再由得到，即得到，得到，即可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作于， 则，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵点，点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 整理得，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，，点为线段上一点，连接，将沿着翻折得到，此时平分，连接，在线段的延长线上取点，连接与线段交于点，且满足，则线段的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得，，根据翻折的性质、角平分线的定义得，，，继而得到，，，进一步推出，，根据等腰三角形三线合一性质及含角度直角三角形的性质得，，在中，，得或（负值不符合题意，舍去），求出，可得答案． 【详解】解：∵在正方形中，，为对角线， ∴，， ∵将沿着翻折得到，平分， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 在中，， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 即线段的长度为． 【点睛】本题考查正方形的性质，翻折的性质，等腰三角形判定与性质，等腰三角形三线合一性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识点，掌握翻折的性质，等腰三角形判定与性质及直角三角形的相关性质是解题的关键． 18. 我们规定：若一个正整数能写成（），其中与都是两位数，的十位数字与个位数字互不相等，均不为零，且的十位数字与的个位数字相同，的个位数字与的十位数字相同，则称为数的“衍生平方差数”，并把分解成的过程，称为“平方差分解”．例如：因为，所以是的“衍生平方差数”，将分解成的过程就是“平方差分解”．按照这个规定，最小的“衍生平方差数”是__________．把一个“衍生平方差数”进行“平方差分解”，即，且（为整数），把另一个“衍生平方差数”进行“平方差分解”，即，若将放在的左边恰好组成一个新的四位“衍生平方差数”，即满足，当最大时满足条件的正整数与的和为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，整式的混合运算，不定方程的解；设，则，得出，得出当最小时，最小，结合题意得出当，，时，求得最小的“衍生平方差数”；根据题意得出进而得出即能被整除，分类讨论求得可能组合：．分别代入得出满足题意的解，求得对应的对应：，．，根据，且，得出，即 被 3 整除，故  被 3 整除，设 ，则：进而求得，分类讨论得出，即可得出的值，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：设，则， ∴ ∴当最小时，最小， ∵的十位数字与个位数字互不相等，均不为零，且的十位数字与的个位数字相同，的个位数字与的十位数字相同， 当，，时， 可得：， 最小的“衍生平方差数”是； 依题意， 将  放在  左边组成四位数 ，且  本身是“衍生平方差数”，即 ，其中 ，，．则： 所以： 左边必须被 99 整除：，，所以左边恒被 11 整除， 由可知，是的倍数， 又， ∴必为的倍数， 即能被整除，  在 3 到 17 之间，且是 9 的倍数，所以 （ 不可能）． ，且 ，所以可能组合：． 代入 ： ，：，解得 ，（唯一解）． ，：无整数解（因 ，）． ，：无整数解． ，：无整数解（因 ，）． 仅  符合题意， 对应：，． ． ．  是衍生平方差数：，，． 设 ，，， ∵ ∴， ∴， ∴ 被 3 整除，故  被 3 整除，设 ，则：  为 整数，，范围 ，  可能值： ∴ ， ：无解， ：无解， ：解得 ， 对应：，， ， 故 ， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共8个小题，19、20题8分，21-25题各10分，26题12分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握二次根式的化简方法以及解二元一次方程组的消元思想． （1）先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）利用代入消元法，将第一个方程变形后代入第二个方程，求出的值，再回代求出的值． 【详解】解：（1） ； （2）解方程组 变形得， 将代入中， ， 解得：， 将代入，得， 所以，方程组的解为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算、求值，先根据整式的运算法则把整式化简，可得：原式，把等式变形可得，根据平方的非负性，可得：，，再把字母的值代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： ， ， 整理得：， ，， ，， 原式 ． 21. 如图，中，D、E分别为边、延长线上一点，连接，． （1）用直尺和圆规作射线平分，在射线上截取，连接．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）： （2）在（1）所作的图中，求证：（请完善下面的证明过程）． 证明：平分， ① ． ， ， ，（ ② ）， ， ③ ． ， ，即． ， ④ ． 在和中， ， （ ⑤ ） 【答案】（1） 如图， （2）①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤ 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图方法以及全等三角形的判定定理（SAS）． （1）按照角平分线的尺规作图步骤作出平分的射线，再在上截取，连接； （2）利用角平分线的定义、平行线的性质（同位角相等）、等腰三角形的判定（等角对等边）以及全等三角形的判定定理（SAS）来完成证明过程． 【小问1详解】 解：作的平分线：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点；过和这个交点作射线，则平分 在射线上截取：以为端点，用圆规量取的长度，在上截取，连接，作图完成； 【小问2详解】 略 22. 重庆某中学为了改善学校食堂服务，学校工作人员随机对部分学生开展了食堂满意度问卷调查，调查内容设置了以下五种类型，并将调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题： A类．食堂美食探索家 B类．食堂满意常客 C类．食堂随缘就餐者 D类．偶尔校外换换口味 E类．习惯自带或外出就餐 （1）此次抽取的学生人数共__________人，其中在扇形统计图中，D类“偶尔校外换换口味”所对应的圆心角度数是__________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校学生总数为2400人，请估计该校E类“习惯自带或外出就餐”的学生有多少人？ 【答案】（1）， （2） 类的人数为， 统计图如图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计图与条形统计图信息关联，样本估计总体； （1）根据类的人数除以占比求得总人数，根据的占比乘以，即可得出D类“偶尔校外换换口味”所对应的圆心角度数； （2）根据总人数求得类的人数，进而补充统计图，即可求解； （3）根据样本估计总体，用乘以类的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：此次抽取的学生人数共人， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 估计该校E类“习惯自带或外出就餐”的学生有人 23. 如图，为某公园的平面图，经测量米，，． （1）求公园的面积； （2）一辆广告宣传车沿着道路在B、C两站点之间来回宣传，宣传车周围250米以内能听到广播宣传．宣传车宣传时，A点处是否能听到？请说明理由．如果能听到，已知宣传车的速度是100米／分钟，那么宣传车沿着道路从站点B到站点C的行驶过程中，A点处一共能听到多少分钟的宣传？ 【答案】（1）平方米； （2）A点处一共能听到分钟的宣传． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）作于点，得是等腰直角三角形，得到，再根据勾股定理可求得，据此求解即可； （2）在上取两点E、F使得米，连接，作于点，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度可得答案． 【小问1详解】 解：作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积平方米； 【小问2详解】 解：宣传车沿着道路从站点B到站点C的行驶过程中，A点处能听到，理由如下： 如图所示，在上取两点E、F使得米，连接，作于点， ∴， ∴， ， ∴A点处一共能听到分钟的宣传． 24. 用一元一次方程解答下列问题． 当前，重庆正加速打造智能网联新能源汽车之都，同时重庆也是全国三个机动车保有量超过万辆的城市之一，消费潜力巨大．某汽车销售店顺应浪潮，月份主推了款燃油车和款新能源汽车，已知该店销售辆款燃油车和辆款新能源汽车的总销售额为万元，销售辆款燃油车、辆款新能源汽车的总销售额为万元． （1）求月份每辆款、款汽车售价分别为多少万元？ （2）因为每种车型销售热度不一，所以源头厂家一直保持严格的配货制度，即该店每引进辆款新能源汽车则必须引进辆款燃油车．该店月份引进的款燃油车和款新能源汽车全部销售一空，其中引进了款新能源汽车辆．月份由于新能源汽车电池成本大幅提高，与月份相比，每辆款新能源汽车售价提高了，同时为了响应国家的号召，对款新能源汽车每辆进行万元的现金补贴，每辆款燃油车的售价则保持不变，最终月份的款燃油车销量相比月份款燃油车的销量降低了，款新能源汽车销量相比月份款新能源汽车销量提高了，月份两款车的总销售额比月份两款车的总销售额提高了，求的值． 【答案】（1）月份每辆款汽车售价为万元，款汽车售价为万元 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）设月份每辆款汽车售价为万元，则款汽车售价为万元，根据“销售辆款燃油车、辆款新能源汽车的总销售额为万元”列出关于的一元一次方程，求解即可； （2）先根据月份的配货制度求出月份款车的销量，再分别表示出月份、两款车的售价和销量，根据月份总销售额比月份提高列出关于的一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设月份每辆款汽车售价为万元，则款汽车售价为万元， 依题意，得：， 解得：， ∴（万元）， ∴月份每辆款汽车售价为万元，款汽车售价为万元； 【小问2详解】 月份引进款燃油车的数量为：（辆）， 月份每辆款新能源汽车售价为万元，实际售价为万元， 月份每辆款燃油车售价仍为万元， 月份款燃油车销量为辆， 月份款新能源汽车销量为（辆）， 月份两款车的总销售额为（万元）， 月份两款车的总销售额为万元， 依题意，得： 解得：， ∴的值为． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线l上． （1）求点的坐标； （2）如图2，点为轴上一动点，连接，，若的面积为，求点的坐标； （3）如图3，点与点是关于轴的对称点，连接，点和分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足．是否存在点、点使得为等腰三角形？若存在，请求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数图象点的坐标特征，将点代入求出的值即可； （2）确定，，继而得到，，设，得，再根据的面积为，建立方程求解即可； （3）设，则，求得，根据对称的性质及垂直平分线的性质得，，，然后分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴点到轴的距离为， 设， ∴， ∵的面积为，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：设，则， 由（2）知：，，，， ∴， ∵点与点是关于轴的对称点，， ∴， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ①当时，如图， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴点与点重合， ∴， ∴点与重合，不符合题意； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合题，考查了函数图象上点的坐标特征，函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的面积等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 26. 为等腰三角形，，D为直线AB上一点，E为直线AC上一点． （1）如图，为的中点，在线段上，连接，交于点，若，，，求线段的长度． （2）如图，当点在线段延长线上，点在线段的延长线上，连接，且满足，，延长、交于点，点、分别为线段、上一点，连接，过点作交线段于点，若，，求证：． （3）当是边长为的等边三角形时，在线段上，，为线段的中点，连接，点为线段延长线上一点，连接，，，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：设， ， ， ， ， ， ， 又，， ，， 在和中， ． 如图，过点作交于点， 则，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 整理得：． （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形 “三线合一” 的性质得出，再结合等腰直角三角形的性质，通过线段的和差计算求出的长度． （2） 通过角度推导证明三角形全等（、），再结合等腰直角三角形的线段关系，逐步推导得出． （3） 运用旋转法构造等边三角形和全等三角形，将转化为共线时的线段和，再结合勾股定理和30度角的直角三角形的性质，计算出的面积． 【小问1详解】 解：如图1所示， 为等腰三角形且，为的中点， ， 为直角三角形， 又为的中点，， ， 在中，， ，， 为等腰直角三角形， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点顺时针旋转至，连接，， ，， ， 在和中， ， ，， 为等边三角形， ， 当三点共线时取得最小值， 如图所示，作，，， 设， ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 又， ， ， 为等边三角形， ， 在中，， 解得：， ，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形、全等三角形、等边三角形的综合几何问题；熟练掌握等腰三角形的判定与性质、全等三角形和勾股定理，以及几何变换（旋转）在最短路径问题中的应用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 【考试时间：10月24日9:00-11:00】 重庆一中初2027届25-26学年度上期阶段性定时作业 数学试题 2025．10 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，选取的样本最具有代表性的是（ ） A. 调查某校名学生的体检情况，选取该校初二年级的学生进行调查 B. 调查某校学生每周课余体育锻炼时间，选取该校体育社团中的名同学进行调查 C. 为了解某社区老年人的健康状况，在该社区随机对名正在健身的老人进行调查 D. 为了解某公司名员工的每日睡眠时长，随机选取该公司位员工进行调查 4. 下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ）间 A. 6和7 B. 7和8 C. 8和9 D. 9和10 8. 如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，…，按这样的规律排列，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，，，，…，均为绝对值小于3的整数，且满足，．下列结论中正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式之和为； ③若，则满足条件的整式有5个； ④所有满足条件的整式共有12个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 7的算术平方根是_______． 12. 函数的自变量的取值范围是__________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，，若直线轴，则线段的长为________． 14. 已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的绝对值的和为_________． 15. 已知方程是关于，的二元一次方程，则的值为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的负半轴上，线段交轴正半轴于点，且．点在轴的正半轴上，连接，．若点，点，，则点的坐标为______． 17. 如图，在正方形中，，点为线段上一点，连接，将沿着翻折得到，此时平分，连接，在线段的延长线上取点，连接与线段交于点，且满足，则线段的长度为__________． 18. 我们规定：若一个正整数能写成（），其中与都是两位数，的十位数字与个位数字互不相等，均不为零，且的十位数字与的个位数字相同，的个位数字与的十位数字相同，则称为数的“衍生平方差数”，并把分解成的过程，称为“平方差分解”．例如：因为，所以是的“衍生平方差数”，将分解成的过程就是“平方差分解”．按照这个规定，最小的“衍生平方差数”是__________．把一个“衍生平方差数”进行“平方差分解”，即，且（为整数），把另一个“衍生平方差数”进行“平方差分解”，即，若将放在的左边恰好组成一个新的四位“衍生平方差数”，即满足，当最大时满足条件的正整数与的和为__________． 三、解答题：（本大题共8个小题，19、20题8分，21-25题各10分，26题12分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算： （2）解方程组： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，中，D、E分别为边、延长线上一点，连接，． （1）用直尺和圆规作射线平分，在射线上截取，连接．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）： （2）在（1）所作的图中，求证：（请完善下面的证明过程）． 证明：平分， ① ． ， ， ，（ ② ）， ， ③ ． ， ，即． ， ④ ． 在和中， ， （ ⑤ ） 22. 重庆某中学为了改善学校食堂服务，学校工作人员随机对部分学生开展了食堂满意度问卷调查，调查内容设置了以下五种类型，并将调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题： A类．食堂美食探索家 B类．食堂满意常客 C类．食堂随缘就餐者 D类．偶尔校外换换口味 E类．习惯自带或外出就餐 （1）此次抽取的学生人数共__________人，其中在扇形统计图中，D类“偶尔校外换换口味”所对应的圆心角度数是__________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校学生总数为2400人，请估计该校E类“习惯自带或外出就餐”的学生有多少人？ 23. 如图，为某公园的平面图，经测量米，，． （1）求公园的面积； （2）一辆广告宣传车沿着道路在B、C两站点之间来回宣传，宣传车周围250米以内能听到广播宣传．宣传车宣传时，A点处是否能听到？请说明理由．如果能听到，已知宣传车的速度是100米／分钟，那么宣传车沿着道路从站点B到站点C的行驶过程中，A点处一共能听到多少分钟的宣传？ 24. 用一元一次方程解答下列问题． 当前，重庆正加速打造智能网联新能源汽车之都，同时重庆也是全国三个机动车保有量超过万辆的城市之一，消费潜力巨大．某汽车销售店顺应浪潮，月份主推了款燃油车和款新能源汽车，已知该店销售辆款燃油车和辆款新能源汽车的总销售额为万元，销售辆款燃油车、辆款新能源汽车的总销售额为万元． （1）求月份每辆款、款汽车售价分别为多少万元？ （2）因为每种车型销售热度不一，所以源头厂家一直保持严格的配货制度，即该店每引进辆款新能源汽车则必须引进辆款燃油车．该店月份引进的款燃油车和款新能源汽车全部销售一空，其中引进了款新能源汽车辆．月份由于新能源汽车电池成本大幅提高，与月份相比，每辆款新能源汽车售价提高了，同时为了响应国家的号召，对款新能源汽车每辆进行万元的现金补贴，每辆款燃油车的售价则保持不变，最终月份的款燃油车销量相比月份款燃油车的销量降低了，款新能源汽车销量相比月份款新能源汽车销量提高了，月份两款车的总销售额比月份两款车的总销售额提高了，求的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线l上． （1）求点的坐标； （2）如图2，点为轴上一动点，连接，，若的面积为，求点的坐标； （3）如图3，点与点是关于轴的对称点，连接，点和分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足．是否存在点、点使得为等腰三角形？若存在，请求出线段的长；若不存在，请说明理由． 26. 为等腰三角形，，D为直线AB上一点，E为直线AC上一点． （1）如图，为的中点，在线段上，连接，交于点，若，，，求线段的长度． （2）如图，当点在线段延长线上，点在线段的延长线上，连接，且满足，，延长、交于点，点、分别为线段、上一点，连接，过点作交线段于点，若，，求证：． （3）当是边长为的等边三角形时，在线段上，，为线段的中点，连接，点为线段延长线上一点，连接，，，当取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $