3.2.2空间向量的运算第2课时课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量夹角、数量积、运算律及投影向量与投影数量，通过复习空间向量加减、数乘运算及运算律引入数量积，构建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融入欧拉、高斯等数学家史料，以数学眼光激发兴趣，通过正方体、正四面体典例引导数学思维，全课总结系统梳理知识。学生能深化概念理解，教师可提升教学效率，落实核心素养。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第三章 空间向量与立体几何 第2节 空间向量与向量运算 2.2空间向量的运算 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角． 2、掌握空间向量数量积的计算方法及运算律． 3、理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系． 1、空间向量夹角． 2、空间向量数量积的计算方法及运算律． 1、空间向量数量积的计算方法及运算律． 2、投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系． 2 新 课 引 入 数学王子——高斯 1、空间向量的加法如何定义？ 求空间向量和的运算叫作空间向量的加法。 2、空间向量的减法如何定义？ 空间向量，的差也可定义为+(-)，记作-.   3、空间向量的数乘如何定义？ 求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算.记作λ. (1)=; (2)当λ>0时,向量λ与向量方向相同; 当λ<0时,向量λ与向量方向相反; 当λ=0时,λ=. 3 新 课 引 入 韦 达 (1)（交换律）+ = ; (2)（结合律）()十 = +(). (1)（结合律）λ()= (λ； (2)（分配律）(λ+=λ ; λ()=λ. 其中 λ. 4、空间向量的加法与数乘有哪些运算律？ 本节课我们学习空间向量的另一种运算：数量积。 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 向量的夹角 已知两个非零向量， ，在空间任取一点 <m>，作 <m></m> ， <m>，则 <m></m> 即为向量 <m>与的夹角，记作： O A B O A B 区别向量的夹角与异面直线的夹角：设a,b是两条异面直线，经过空间一点O作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角（或直角）称为异面直线a,b的夹角。 注意: 1、 确定两个向量的夹角要把两个向量的起点重合。 2、 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 通常规定0≤<,>≤π. <,> = <,> 两个向量的夹角唯一确定. 当<,>=0时,向量与b方向相同; 当<,>=π时,向量与b方向相反; 当时，称向量，互相垂直，记作⊥. 规定：零向量与任意向量垂直. 1、 2、 3、 4、 6 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别是AB、BC的中点，求： （1）<，>，<，> （2）<，>，<，> （3）<，> 解：（1）如图，连接AC,因为E、F分别是AB、BC的中点， 所以EFAC,所以，且方向相同，所以，>=0, 因为，且方向相反，所以<,>=π （2）因为在正方形中，，所以<，>= , 因为A1ADD1, 又A1ADD1,所以 , 所以<>= 。 （3）连接CD1,则ACD1为等边三角形，<,>= , 又,=-, 所以<,>= . 7 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、如图，在正四面体 中， ， 等于( ). A. 45 B. 60 C. 90 D.120 解:两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量的起点平移到A点处，再求夹角，得<，>=120 D 8 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 已知两个空间向量，，把叫作与的数量积，记作 ，即 . 空间向量的数量积 空间向量数量积的性质 ① || 或 2=||2 ② ③ ④ ||≤||•|| ⑤ 若与同向，则=||•|| 若与反向，则=-||•|| 空间向量的数量积是一个数量，不是向量。 9 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 (1)·＝·； (2)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)； (3)(＋)·＝·＋·. 注意：（·）· 与 ·（·）不恒等。 空间向量数量积的运算律 10 典 例 引 路 柯 西 1、两向量的数量积是实数.( ) 2、·＝||||是与共线的充分条件．(　 　) 3、（+）=+. ( ） 4、若·＝0，则＝或＝．(　 　) 5、对于任意两个空间向量，，若=0，则⊥( ) 6、若·＝·，且≠，则＝．(　 　) 7、若＜0，则<，>是钝角．( ) 例2、判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） √ √ √ × × × √ 11 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 1、对于任意向量， , ，都有 .( ) 2、 .( ) 4、非零空间向量，，，若⊥，⊥，则∥（ ） 5、非零空间向量，，，若⊥，⊥，则⊥（ ） 6、非零空间向量，，，若⊥，∥，则∥（ ） 7、非零空间向量，，，若⊥，∥，则⊥（ ） 8、非零空间向量，，，若⊥，⊥，则∥.( ) 3、非零空间向量，若⊥，⊥，则⊥（ ） 练2、判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） × √ × × × √ × × 12 典 例 引 路 牛 顿 例3、已知 ， ， 是两两垂直的单位向量，， ，则 等于______. 解：-2 例4、已知空间向量,, 满足+2+3=,||=3,||=,||=1， 则 =______ 解：由+2+=得 －=2+ 两边平方得：2=42+92+12 所以 9=8+9+12 =- 13 同 步 练 习 黎 曼 练3、已知空间单位向量， 的夹角为60º，则（+）•=_____. 解：（+）•= •+2=||||cos60º+2=1×1×+12 = 练4、如图，已知四面体ABCD的棱长都是4，点M为棱AD的中 点，则•的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 解:∵四面体ABC的棱长都是4， ∴四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， ∵点M为棱AD的中点， ∴= ∴•=•(+)=-•+• =-||•||•cos60º+||•||•cos60º =-4×4×+4××4×=-4 A 14 典 例 引 路 狄利克雷 例5、已知空间向量 ， 满足 ， ，则两 向量的夹角为_____________. 解：设向量,的夹角为θ， 则cosθ= = - , 所以θ=120º. 15 同 步 练 习 庞加莱 练5、空间向量 ，满足（ － ）·（2 ＋ ）=－4，且 | |=2，| |=4，则 与 夹角等于________. 解∵（ －）·（2＋）=－4 ∴2||2－ ·－||2=－4 ∵||=2，||=4 ∴ ·=－4 设 ，的夹角为θ，则 cosθ= = = - ∴θ=120º 16 典 例 引 路 皮 亚 诺 例6、已知空间向量 ,,两两夹角均为60º，其模均为1， 则|++|=______. 解：|++|= = = = = 17 同 步 练 习 莱布尼兹 练6、如图，棱长为1的正四面体OABC中，=,=,=,点M 满足=,点N为BC中点．(1)用,,表示;(2)求||. 解：（1）连接ON,∵点N为BC中∴=(+) ∵= ,∴= 则=-=(+)-= + - （2）因为正四面体的棱长为1， 所以•=•=•=1×1×cos60º= 所以2=（）2 = +2+2+•- - • = + + + - - = 所以||= 18 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 在平面向量中已经学习过一个向量在另一个向量方向上的投影向量及投影数量，因为任意两个空间向量一定是共面向量，所以可以把上述概念直接推广到空间向量.  已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作 过点B作直线OA的垂线，垂足为点B₁，称向量 为向量在向量方向上的投影向量. 若用0表示与向量)同方向的单位向量，则向量在向量方向上的投影向量为 投影向量 19 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 称||cos<,>为投影向量的数量，简称为向量在向量方向上的投影数量。 结合空间向量数量积的定义可知：向量在向量方向上的投影数量为  投影数量 当<,>为锐角时,||cos<,>_________0 当<,>为钝角时,||cos<,>_________0 当<,>为直角时,||cos〈,〉________0 > < = 20 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 数量积的几何意义 数量积·等于的长度||与在方向上投影数量||cos〈，〉的乘积，或的长度||与在方向上投影数量||cos〈，〉的乘积． 21 典 例 引 路 华罗庚 例7、 如图，已知单位正方体 (1)指向量分别在 ’方向上的投影向量； (2)求向量在 方向上的投影数量； (3)求向量在 方向上的投影数量. 解 (1)根据正方体的性质知： 所以向量 在 方向上的投影向量分为 (2)因为<,>=∠CB, 所以向量在方向上的投影数量为 cos∠CB==1 (3)因为<,>=, 所以向量在方向上的投影数量为 cos=-=-1 22 同 步 练 习 洛必达 练7、如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=4,AA1=3,AD=2,∠BAA1=∠DAA1 =60º,E为棱C1D1的中点，求在上 的投影向量及投影数量。 解：由图可知, 所以|| = = 因为 14 所以在上的投影向量是：. 在上的投影数量是： 23 全 课 总 结 一、空间向量夹角 二、空间向量数量积 三、空间向量数量积的运算律 四、投影向量与投影数量 24 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $