3.2.2空间向量的运算课件（第1课时）-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第三章 空间向量与立体几何 第2节 空间向量与向量运算 2.2空间向量的运算 第1课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握空间向量的加法、减法运算． 2、掌握空间向量的加法运算律. 3、掌握空间向量的数乘运算及其数乘向量的几何意义． 4、掌握数乘运算的运算律. 1、空间向量的加法、减法、数乘运算． 2、空间向量加法、数乘运算律. 1、空间向量的加法、减法、数乘运算． 2、空间向量加法、数乘运算律. 2 新 课 引 入 数学王子——高斯 1、上一节课，我们学习了空间向量，空间向量哪些表示方法呢？ 2、什么叫做共面向量？ 用有向线段表示 用两个大写字母表示 用一个小写字母表示 我们把平行于同一平面的向量，叫作共面向量. 3 新 课 引 入 韦 达 本节课我们来学习向量的运算。 因为空间中任意两个向量都是共面向量，所以空间中涉及两个向量的运算，都可以由平面向量的运算推广而来，而涉及三个向量的运算时，则需要结合具体情况进行分析。 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 空间向量的加法 求空间向量和的运算叫作空间向量的加法。 已知空间向量，， 过空间任意一点A作 再作向量 如图.把向量叫作空间向量，的和. 上述求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的三角形法则. 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 空间向量，不平行时，过空间任意一点O作 ，这时,O,A,B三点不共线,在平面OAB内,以OA,OB为邻边作□ OACB.因为 所以也有: 上述求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的平行四边形法则. 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 空间向量加法的运算律与平面向量加法的运算律相同。 (1)交换律+ = ; (2)结合律()十 = +(). 7 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 空间向量的减法 与平面向量类似，空间向量，的差也可定义为 +(-)，记作-，其中-是的相反向量.   由此可见，平面向量求差的三角形法则,对空间向量同样适用. 8 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、如图所示，在正方体 中，下列各式中运算 结果为向量 的有（ ） ① ② ③ ④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解:对于①， 对于②， 对于③， 对于④， D 9 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′化简下列向量表达式. (1) (2)-+； 解(1) = = =； (2) = = ； 10 典 例 引 路 柯 西 例2、已知在空间四边形 中， ， ， ， 则 等于( ） A. B. C. D. 解： . C 11 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知空间中任意四点A、B、C、D，则 +-=( ) A. B. C. D. 解：=+=-= C 12 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 向量λ的长度和方向 空间向量的数乘运算 求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算. 与平面向量类似,实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量,记作λ. (1)=; (2)当λ>0时,向量λ与向量方向相同; 当λ<0时,向量λ与向量方向相反; 当λ=0时,λ=. 对于任意一个非零向量, 当λ=时, λ=表示与向量同方向的单位向量. 13 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 (1) （结合律）λ()= (λ； (2) （分配律）(λ+=λ ; λ()=λ. 其中 λ. 空间向量数乘运算的运算律与平面向量数乘运算的运算律相同。 定理 ：空间两个向量(≠)共线的充要条件是存在唯一的实数， 使得. 通常把这个定理称为共线向量基本定理.（也称“一维向量基本定理”） 14 典 例 引 路 牛 顿 例3、如图，空间四边形OABC中，=,= ,=,点M在 OA上，且=,点N为BC中点，则=( ) A. + B.- ++ C. + D. 解：=+ = +(+) = +(-)+(-) = -+ = - B 15 同 步 练 习 黎 曼 练3、如图，在四面体OABC中，D为BC的中点，3=2, 且P为OG的中点，则=( ) A . + + B. - C. D. 解：= (+) =(+)= +(+) = +(-+-) = ++ A 16 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知三棱柱ABC-A1B1C1如图所示，其中=2,若 点N为棱B1C1的中点，则=( ) A. ++ B. ++ C. ++ D. ++ 解：=+ = ++(-) = ++ D 17 同 步 练 习 庞加莱 练4、如图，在三棱柱ABC-DEF中，G、H分别是棱BE、AC 的中点，则=( ) A. + - B. - - + C. - + - D. - + 解：=++= - ++= - -+ C 18 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、空间三点P、A、B共线等价于： ①存在实数 λ ,使=λ; ②对空间任一点O ,有=+t(t∈R); ③对空间任一点O,有=x+y (x+y=1) 证明： =+t ⇔ -=t ⇔ =t 证明： =x+y ⇔ =(1-y)+y ⇔ =+y(- ) ⇔ =+y 19 典 例 引 路 华罗庚 例6、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且 =2,点F在体对角线A1C上，且 = ,求证：E、F、 B三点共线． 证明：连接EF、FB. ∵=-= - = (++)- = (++) - = + - = - =+ - (++) = + - ∴= ∴∥ 又EF∩FB=F,∴E、F、B三点共线． 20 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、设,是空间中两个不共线的向量，已知 =9+m,=-2-,=-+,且 A、B、D三点共线，则实数m=_________. 解：因为=+=(-2-)+(-+2)=-3+ 因为A、B、D三点共线，所以与共线，即存在实数λ， 使得=λ,则9+m=λ（-3+）=-3λ+λ ∴ ∴m=λ=-3 21 全 课 总 结 一、空间向量的加法、减法、数乘运算． 二、空间向量加法、数乘运算律. 三、共线向量的基本定理. 22 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $