3.1.2空间两点间的距离公式课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间两点间的距离公式，系统呈现公式推导与应用。课堂导入从平面直角坐标系两点间距离公式（结合高斯介绍）切入，引导学生思考空间直角坐标系中的距离问题（关联韦达），通过已有二维知识构建学习支架，实现从平面到空间的认知迁移。 其亮点在于融入数学史（如欧拉、欧几里得等数学家介绍），增强学科文化底蕴。推导过程从特殊（一点为原点）到一般（任意两点），借助长方体模型和勾股定理，培养学生推理能力。例题涵盖基础计算、动点问题及几何意义转化（如例5将代数表达式化为距离和最小值），落实模型意识。学生能提升空间观念与数学思维，教师可通过分层例题高效开展教学。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第三章 空间向量与立体几何 第1节 空间直角坐标系 1.2空间两点间的距离公式 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解空间两点间的距离公式的推导过程。 2、会用公式求空间两点间的距离。 1、会用公式求空间两点间的距离。 1、会用公式求空间两点间的距离。 2 新 课 引 入 数学王子——高斯 在平面直角坐标系中，若两点为，如何计算A,B之间的距离？ 3 新 课 引 入 韦 达 距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离。两点间的距离也就是以这两点为端点的线段的长度.在空间直角坐标系中,两点间的距离与两点的坐标有何关系? 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 两点若其中一点为原点，不妨设点Q为原点O，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面，则被各坐标平面所截可得长方体 ，且长方体的棱长满足由图可知，P，O两点间的距离就是长方体 的对角线PO的长度. 根据长方体对角线的长与各棱长的关系， 得 在空间直角坐标系中，给定 P(x1,y1,z1)、Q(x2,y2,z2) 即： 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 在空间直角坐标系中，给定 P(x1,y1,z1)、Q(x2,y2,z2) 对于空间任意P、Q两点。过点P,Q分别作 与三条坐标轴垂直的平面,当这六个平面均 不重合时,它们围成一个长方体PCBA-EFQD,且长方体的各棱所在的直线均与某条坐标 轴平行或重合.易知,C,B两点的坐标分别为(x1,y2,z1),Q(x2,y2,z1).因为CB平行于z轴, 所以|CB|=|x2-x1|. 同理有|PC|=|y2-y1|,|BQ|=|z2-z1|.因此 |PQ|= 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 在空间直角坐标系中，给定 P(x1,y1,z1)、Q(x2,y2,z2) 对于空间任意P、Q两点。过点P,Q分别作与三 条坐标轴垂直的平面,当这六个平面中至少有两 个平面重合时,不妨设垂直于z轴的两个平面重 合(z1=z2),做出其余四个平面与xOy平面的交 线。容易证明：四边形PQQ1P1为矩形或线段 PQ与P1Q1重合，所以|PQ|=|P1Q1|,P1,Q1两 点的坐标分别为(x1,y1,0),(x2,y2,0)，再根据平 面上两点间的距离公式，有|P1Q1|= 于是仍有|PQ|= 7 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 已知空间中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)两点,则P,Q两点间的距离为：|PQ|= 间两点间的距离公式 8 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、在空间直角坐标系中，已知点A(0,-1,1),B(2,3,4),则 |AB|=( ) A.2 B.3 C. D. 5 解：|AB|= = 例2、在空间直角坐标系O-xyz中，若点P(a-1,a,a+2)在平面yOz 中，则OP=( ) A. B. C. D. 10 解：因为点P(a-1,a,a+2)在平面yOz中，所以a-1=0,a=1,P(0,1,3) 所以OP== C B 9 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、在空间直角坐标系中，点A(-1,2,3),B(2,1,1), 则|AB|=( ) A. B.2 C.2 D. 解：|AB|== 练2、已知点A(-1,1,2)关于y轴的对称点为M， 则|OM|2=( ) A.2 B. C. D.6 解:由题意可得M(1,1,-2),则|OM|2=12+12+(-2)2=6 A D 10 典 例 引 路 柯 西 例3、已知点M在z轴上，且点M到点A(-1,0,2)与点B(3.-1.1) 的距离相等，则点M的坐标为（     ） A.(0,0,3) B.(0,0,-3) C.(3,0,0) D.(-3,0,0) 解：依题意，设M(0,0,m),则 = 解得：m=-3 所以点M的坐标为(0,0,-3) B 11 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练3、在yOz平面内求一点D，使它与三个已知点A(3,1,2), B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离. 解:根据题意可设点D（0,y,z）,根据题意可得： 即 所以 解得： 故点D的坐标为（0,1，-2） 12 典 例 引 路 牛 顿 例4、设空间直角坐标系中，点A(11,0,7),B(5,2,10),C(3,5,4),则 ABC是（ ） A.以A为直角顶点的等腰直角三角形 B.以B为直角顶点的等腰直角三角形 C.以C为直角顶点的等腰直角三角形 D.等边三角形 解：由两点间距离公式可得： |AB|= 7 ,|BC|=7 ,|AC|=7 因为|AB|2+|BC|2=|CA|2 ,|AB|=|BC|=7 所以ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形 B 13 同 步 练 习 黎 曼 练4、已知A(0,-1,1),B(2,2,3),C(4,0,1)，则这三点（    ） A．构成直角三角形 B．构成等腰三角形 C．构成等腰直角三角形 D．不能构成三角形 解：由两点间的距离公式可得： |AB|= , |AC|= , |BC|= 2 所以|AB|=|AC|, |AB|+|AC|＞|BC|, |AB|+|BC|＞|AC| 所以能构成等腰三角形. B 14 典 例 引 路 狄利克雷 例5、对于任意实数x，y，z， +的最小值为________. 解：结合空间直角坐标系中任意两点间的距离公式， 可得+ 表示的几何意义是空间内任意一点M(x,y,z)与原点O(0,0,0)及定点A(-3，-2,1)的距离之和， 显然，当O,M,A三点共线且M在线段OA上时，|OM|+|MA|最小。 最小值为|OA|= = 15 同 步 练 习 庞加莱 例5、对于任意实数x,y,z, + 的最小值为__________． 解：由目标式的几何意义为空间任意点A(x,y,z)到定点B(1,2,3),C(3,2,1)距离的和， 要使它们的距离和最小，只需A在线段BC上， 此时最小值为|BC|= = 2 16 典 例 引 路 皮 亚 诺 例6、方程x2+y2+z2=r2（r为定值）表示什么图形？ 解：x2+y2+z2=r2 可化为： = |r| 可化为： = |r| 此式子的几何意义是： 点P(x,y,z)到点O(0,0,0)的距离为|r| 所以方程x2+y2+z2=r2表示 以坐标原点为圆心，|r|为半径的球。 O x y z P 17 典 例 引 路 傅里叶 例7、点P(x,y,z)的坐标满足x2+y2+z2=1,点A(-2,3,),则|PA|的 最小值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D.5 解：x2+y2+z2=1在空间中表示以坐标原点O为球心，1为半径的球面， 由于(-2)2+22+()2＞1,故点A在球外， 所以当O，P，A三点共线时，|PA|最小。 此时|PA|=|OA|-|OP|=|OA|-1= -1=4-1=3 B 18 同 步 练 习 莱布尼兹 练6、（多选题）已知x,y,z∈R,且x2+y2+z2=1, 则 (x-1)2+(y-1)2+(z-2)2的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：因x2+y2+z2=1， 则(x,y,z)表示以原点为球心，半径为1的球表面上的点. 则(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2表示(x,y,z)到(1,1,2)距离的平方. 类比点到圆上距离的范围，可得 (x-1)2+(y-1)2+(z-2)2≤()2=7+2≈11.898 (x-1)2+(y-1)2+(z-2)2≥()2=7-2≈2.102 故2＜(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2＜12 则只有CD满足条件. CD 19 全 课 总 结 一、空间两点间的距离公式 20 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 21 $