第三章 1.2 空间两点间的距离公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“空间两点间的距离公式”核心知识点，从平面两点距离公式引入，通过长方体模型推导空间原点到点及任意两点距离公式，构建“问题引导—公式推导—应用拓展”学习支架，涵盖公式应用、点坐标求解及距离最值综合问题。 资料以几何直观与空间观念为核心，通过问题链（如从原点距离到任意两点距离推导）培养数学思维，结合正方体、长方体等实例渗透模型观念，助力学生用数学语言表达空间关系。课中教师可依托分层例题引导探究，课后多样化习题帮助学生巩固应用，查漏补缺。

1．2　空间两点间的距离公式 [学习目标]　1.了解推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离． 导语 距离是几何中的基本度量，在平面解析几何中，已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的长度为，那么在空间直角坐标系中，若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的长度与其坐标又有怎样的关系呢？ 一、空间两点间的距离公式 问题1　在空间直角坐标系中，点O(0,0,0)到点P(x0，y0，z0)的距离怎么求？ 提示　如图， |OP|＝， |OA|＝|x0|，|OB|＝|y0|， |OC|＝|z0|， 则|OP|＝. 问题2　空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离怎么求？ 提示　如图，作长方体使A，B为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴， 由已知得，C(x2，y1，z1)， D(x2，y2，z1)， |AB|＝， |AC|＝|x1－x2|，|CD|＝|y1－y2|， |DB|＝|z1－z2|， 则|AB|＝. 知识梳理 已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|＝ . 注意点： (1)公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根． (2)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝. (3)x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，半径为1的球的方程． 例1　如图，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求MN的长． 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF， 显然MF垂直于平面ABCD， 所以MF⊥NF， 因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|， 又|AN|＝2|CN|， 所以NF∥AB，所以|NF|＝|FC|＝|AB|＝， 同理|MF|＝|CC′|＝， 因此，点N的坐标为，点M的坐标为， 于是|MN|＝＝. 反思感悟　(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键． (2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算． 跟踪训练1　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度． 解　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得， D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)， ∴|DE|＝＝， |EF|＝＝. 二、求空间点的坐标 例2　设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标． 解　因为点P在x轴上， 所以设点P坐标为(x,0,0)， 因为|PP1|＝2|PP2|， 所以 ＝2 解得x＝±1， 所以点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 反思感悟　由空间两点间距离求点的坐标的方法 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标． (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解． 跟踪训练2　已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点的距离相等，求A，B，C的坐标． 解　设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)， 由|AP1|＝|AP2|， 得＝， 所以x＝－3， 同理，由|BP1|＝|BP2|，得y＝－1， 由|CP1|＝|CP2|，得z＝－， 所以A(－3,0,0)，B(0，－1,0)，C. 三、空间两点间距离公式的综合应用 例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，|DP|＝a，当a为何值时，NP的长最小？ 解　如图，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则D(0,0,0)，N(1,2,3)， 设点P的坐标为(x，y,0)，则x＝2y(0≤y≤1)． |NP|＝ ＝ ＝＝， 所以当y＝时，|NP|取得最小值，此时a＝＝＝，所以当a＝时，NP的长最小． 反思感悟　距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值． 跟踪训练3　在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)， (1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|? (2)在y轴上是否存在点N，使△NAB为等边三角形？若存在，试求出点N的坐标． 解　(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|. 因为点M在y轴上，所以可设M(0，y,0)， 由|MA|＝|MB|，可得＝， 显然，此式对任意y∈R恒成立， 所以在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|. (2)假设在y轴上存在点N，使△NAB为等边三角形，由(1)可知，|NA|＝|NB|恒成立， 所以只要|NA|＝|AB|，就可以使△NAB是等边三角形，设N(0，y′，0)， 因为|NA|＝＝， |AB|＝＝2， 所以＝2，解得y′＝±. 故在y轴上存在点N，使△NAB为等边三角形，且点N的坐标为(0，，0)或(0，－，0)． 1．知识清单： (1)空间两点间的距离公式． (2)利用两点间距离公式求空间点的坐标． (3)距离中的最值问题． 2．方法归纳：函数法求最值． 3．常见误区：由于点的坐标寻找不正确，而导致距离求解错误． 1．点P(1，，)到原点O的距离是(　　) A．6 B. C．4 D. 答案　B 解析　|OP|＝＝. 2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(　　) A．－2 B．6 C．－2或6 D．4 答案　C 解析　由空间两点间的距离公式得 ＝2. 解得x＝6或x＝－2. 3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，则A′C的中点E与AB的中点F的距离为________． 答案　a 解析　由题意知A′(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)， 则点E坐标为，点F坐标为， 所以|EF|＝＝a. 4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________． 答案　3 解析　由题意得|AB| ＝ ＝. 当a＝－1时，|AB|的值最小， 最小值为＝3. [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1．已知空间两点A(3,3,1)，B(－1,1,5)，则线段AB的长度为(　　) A．6 B．2 C．4 D．2 答案　A 解析　|AB|＝＝6. 2．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，那么该定点到原点的距离是(　　) A. B．2 C. D. 答案　B 解析　设该定点坐标为(x，y，z)， 因为在空间直角坐标系中，该定点到三个坐标平面的距离都是2，所以|x|＝2，|y|＝2，|z|＝2， 所以该定点到原点的距离是＝2. 3．在空间直角坐标系中，点A在z轴上，它到点P(0，，3)的距离等于它到点Q(0,1，－1)的距离，那么点A的坐标是(　　) A．(0,0,1) B．(0,0,2) C. D. 答案　C 解析　设点A的坐标为(0,0，z)， 则|PA|＝ ＝， |AQ|＝＝， 又|AQ|＝|PA|， 所以z2－6z＋11＝z2＋2z＋2， 解得z＝，所以点A的坐标是. 4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　由距离公式得， |AB|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝＝， ∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形． 5．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到xOy平面被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点的坐标为M(1,1，－1)，一束光线自点P(1,1,1)发出， 遇到xOy平面被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是＝. 6．在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1与底面垂直，上、下底面均为矩形，|AB|＝1，|AD|＝|AA1|＝|A1B1|＝2，则下列各棱中，最长的是(　　) A．BB1 B．B1C1 C．CC1 D．DD1 答案　B 解析　由四棱台ABCD－A1B1C1D1可得＝＝，故A1D1＝4，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，而A1D1，A1B1⊂平面A1B1C1D1，故AA1⊥A1D1，AA1⊥A1B1，而A1D1⊥A1B1，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(0,0,0)，B1(0,2,0)，B(0,1,2)，C1(－4,2,0)，C(－2,1,2)，D(－2,0,2)，D1(－4,0,0)， 故|BB1|＝＝， |B1C1|＝4， |CC1|＝＝3，|DD1|＝＝2，故选B. 7．(5分)已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为________． 答案　 解析　∵|AB|＝ ＝， ∴当x＝－＝时，|AB|最小． 8．(5分)已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________． 答案　64 解析　由题意得|AB|＝ ＝4. 又因为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)不在同一表面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长． 设正方体的边长为a，则a＝4，即a＝4， 所以正方体的体积为64. 9．(10分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长． 解　如图，以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C－xyz. ∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2， ∴N(1,0,1)，M， 由两点间的距离公式得 |MN|＝＝. 10．(12分)已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求： (1)线段AB的中点坐标及AB的长度；(6分) (2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．(6分) 解　(1)设M(x1，y1，z1)是线段AB的中点， 则根据中点坐标公式得 x1＝＝2，y1＝＝，z1＝＝3. 所以AB的中点坐标为. 根据两点间的距离公式，得 |AB|＝＝， 所以|AB|的长度为. (2)因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等， 所以 ＝， 化简得4x＋6y－8z＋7＝0. 即点P(x，y，z)的坐标满足的条件为 4x＋6y－8z＋7＝0. 11．(多选)下列各点到坐标原点的距离不小于5，且到x轴的距离不小于3的是(　　) A．(1,1,1) B．(1,2,2) C．(2，－3,5) D．(3,0,4) 答案　CD 解析　由<5，<5， >5，＝5， 可得，到原点的距离不小于5的为C，D， 且满足到x轴的距离大于3. 12．在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 答案　D 解析　由空间两点间的距离公式可得 |AB|＝，|BC|＝，|AC|＝. 易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面， 在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等，而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等，故在空间直角坐标系中有无数个点到A，B，C三点的距离相等． 13．(5分)在空间直角坐标系中，设A(－1,2，－3)，B(－1,0,2)，点M和点A关于y轴对称，则|BM|＝________. 答案　3 解析　由题意得M(1，2,3)，则|BM|＝＝3. 14.(5分)如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点A，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.则三棱锥D－ABC的体积为________． 答案　 解析　因为∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2. 所以|BD|＝1，|CD|＝|BC|cos 30°＝， 所以S△BCD＝×|BD|·|CD|＝. 因为A， 所以点A到BC的距离为， 所以三棱锥D－ABC的体积为V＝××＝. 15．(5分)对于任意实数x，y，z，则＋的最小值为______． 答案　 解析　设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，O(0,0,0)， 则＋ ＝|PO|＋|PM|， 由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点， 则|PO|＋|PM|≥|OM|＝＝，当且仅当P，O，M三点共线时取等号， 则所求的最小值为. 16．(12分)已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0<a<)． (1)求MN的长；(6分) (2)当a为何值时，MN的长最小？(6分) 解　∵平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE， ∴BE⊥平面ABCD，∴AB，BC，BE两两互相垂直． 过点M作MG⊥AB，MH⊥BC， 垂足分别为G，H，连接NG，易证NG⊥AB. ∵|CM|＝|BN|＝a， ∴|CH|＝|MH|＝|BG|＝|GN|＝a， ∴以B为原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz， 则M， N. (1)|MN|＝ ＝＝. (2)由(1)得，当a＝时，|MN|最小，最小为，这时M，N分别为AC，BF的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $