第三章 1.2 空间两点间的距离公式（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间两点间的距离公式，通过问题链导入，先探究原点到点的距离，再结合长方体模型推导任意两点距离公式，搭建从平面到空间的学习支架，系统梳理公式特征及注意点。 其亮点在于以模型直观和逻辑推理驱动教学，通过正方体、直三棱柱等实例培养空间观念与运算能力，分层练习覆盖基础到拓广，助力学生用数学语言表达距离问题，教师可直接取用，提升教学效率。

第三章 <<< 1.2　空间两点间 的距离公式 1.了解推导空间两点间的距离公式的过程. 2.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离. 学习目标 距离是几何中的基本度量，在平面解析几何中，已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的长度为 ，那么在空间直角坐标系中，若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的长度与其坐标又有怎样的关系呢？ 导 语 一、空间两点间的距离公式 二、求空间点的坐标 课时对点练 三、空间两点间距离公式的综合应用 随堂演练 内容索引 空间两点间的距离公式 一 提示　如图， 在空间直角坐标系中，点O(0,0,0)到点P(x0，y0，z0)的距离怎么求？ 问题1 |OA|＝|x0|，|OB|＝|y0|， |OC|＝|z0|， 提示　如图，作长方体使A，B为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴， 由已知得，C(x2，y1，z1)， D(x2，y2，z1)， 空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离怎么求？ 问题2 |AC|＝|x1－x2|，|CD|＝|y1－y2|，|DB|＝|z1－z2|， 知识梳理 (1)公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根. (2)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝ (3)x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，半径为1的球的方程. 注 意 点 <<< 9 如图，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求MN的长. 例 1 10 建立如图所示的空间直角坐标系， 过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF， 显然MF垂直于平面ABCD， 所以MF⊥NF， 因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|， 又|AN|＝2|CN|， 11 12 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键. (2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算. 反 思 感 悟 13 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度. 跟踪训练 1 14 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得， D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)， 15 二 求空间点的坐标 设点P在x轴上，它到点P1(0， ，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的 距离的2倍，求点P的坐标. 因为点P在x轴上， 所以设点P坐标为(x,0,0)， 因为|PP1|＝2|PP2|， 例 2 解得x＝±1， 所以点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0). 17 反 思 感 悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解. 由空间两点间距离求点的坐标的方法 已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点的距离相等，求A，B，C的坐标. 跟踪训练 2 19 设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)， 由|AP1|＝|AP2|， 所以x＝－3， 同理，由|BP1|＝|BP2|，得y＝－1， 20 空间两点间距离公式的综合应用 三 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，|DP|＝a，当a为何值时，NP的长最小？ 例 3 22 如图，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 则D(0,0,0)，N(1,2,3)， 设点P的坐标为(x，y,0)，则x＝2y(0≤y≤1). 23 24 反 思 感 悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值. 假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|. 因为点M在y轴上，所以可设M(0，y,0)， 显然，此式对任意y∈R恒成立， 所以在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|. 在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)， (1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|? 跟踪训练 3 26 (2)在y轴上是否存在点N，使△NAB为等边三角形？若存在，试求出点N的坐标. 27 假设在y轴上存在点N，使△NAB为等边三角形，由(1)可知，|NA|＝|NB|恒成立， 所以只要|NA|＝|AB|，就可以使△NAB是等边三角形，设N(0，y′，0)， 28 1.知识清单： (1)空间两点间的距离公式. (2)利用两点间距离公式求空间点的坐标. (3)距离中的最值问题. 2.方法归纳：函数法求最值. 3.常见误区：由于点的坐标寻找不正确，而导致距离求解错误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝ ，则实数x的值是 A.－2 B.6 C.－2或6 D.4 √ 解得x＝6或x＝－2. 3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，则A′C的中点E与AB的 中点F的距离为________. 由题意知A′(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)， 1 2 3 4 4.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________. 当a＝－1时，|AB|的值最小， 1 2 3 4 课时对点练 五 1.已知空间两点A(3,3,1)，B(－1,1,5)，则线段AB的长度为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 设该定点坐标为(x，y，z)， 因为在空间直角坐标系中，该定点到三个坐标平面的距离都是2，所以|x|＝2，|y|＝2，|z|＝2， 2.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，那么该定点到原点的距离是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点A的坐标为(0,0，z)， 又|AQ|＝|PA|， 所以z2－6z＋11＝z2＋2z＋2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，△ABC的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由距离公式得， ∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， ∴△ABC为直角三角形. 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点的坐标为M(1,1，－1)，一束光线自点P(1,1,1)发出， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到xOy平面被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1与底面垂直，上、下底面均为矩形，|AB|＝1，|AD|＝|AA1|＝|A1B1|＝2，则下列各棱中，最长的是 A.BB1 B.B1C1 C.CC1 D.DD1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故A1D1＝4，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，而A1D1， A1B1⊂平面A1B1C1D1，故AA1⊥A1D1，AA1⊥A1B1， 而A1D1⊥A1B1，故可建立如图所示的空间直角坐 标系，则 A1(0,0,0)，B1(0,2,0)，B(0,1,2)，C1(－4,2,0)，C(－2,1,2)，D(－2,0,2)，D1(－4,0,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |B1C1|＝4， 7.已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为__. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)不在同一表面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长. 所以正方体的体积为64. 8.已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 9.已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长. 如图，以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C－xyz. ∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求： (1)线段AB的中点坐标及AB的长度； 设M(x1，y1，z1)是线段AB的中点， 则根据中点坐标公式得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件. 因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 化简得4x＋6y－8z＋7＝0. 即点P(x，y，z)的坐标满足的条件为 4x＋6y－8z＋7＝0. 11.(多选)下列各点到坐标原点的距离不小于5，且到x轴的距离不小于3的是 A.(1,1,1) B.(1,2,2) C.(2，－3,5) D.(3,0,4) √ √ 可得，到原点的距离不小于5的为C，D， 且满足到x轴的距离大于3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 12.在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点有 A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由空间两点间的距离公式可得 易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面， 在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等，而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等，故在空间直角坐标系中有无数个点到A，B，C三点的距离相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在空间直角坐标系中，设A(－1,2，－3)，B(－1,0,2)，点M和点A关于y轴对称，则|BM|＝________. 3 14.如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点 A ，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.则三 棱锥D－ABC的体积为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，O(0,0,0)， 由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0<a< ). (1)求MN的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE， ∴BE⊥平面ABCD，∴AB，BC，BE两两互相垂直. 过点M作MG⊥AB，MH⊥BC， 垂足分别为G，H，连接NG，易证NG⊥AB. ∵|CM|＝|BN|＝a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴以B为原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当a为何值时，MN的长最小？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |OP|＝， 则|OP|＝. |AB|＝， 则|AB|＝. 已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|＝. . 所以NF∥AB，所以|NF|＝|FC|＝|AB|＝， 于是|MN|＝＝. 因此，点N的坐标为， 点M的坐标为， 同理|MF|＝|CC′|＝， ∴|DE|＝＝， |EF|＝＝. 所以 ＝2 由|CP1|＝|CP2|，得z＝－， 所以A(－3,0,0)，B(0，－1,0)，C. 得＝， |NP|＝ ＝ ＝＝， 所以当y＝时，|NP|取得最小值， 此时a＝＝＝， 所以当a＝时，NP的长最小. 由|MA|＝|MB|，可得＝， 因为|NA|＝＝， |AB|＝＝2， 所以＝2，解得y′＝±. 故在y轴上存在点N，使△NAB为等边三角形，且点N的坐标为(0，，0)或(0，－，0). |OP|＝＝. 1.点P(1，，)到原点O的距离是 A.6 B. C.4 D. 2 由空间两点间的距离公式得＝2. 则点E坐标为，点F坐标为， 所以|EF|＝＝a. a ＝. 最小值为＝3. 由题意得|AB|＝ 3 A.6 B.2 C.4 D.2 |AB|＝＝6. 所以该定点到原点的距离是＝2. A. B.2 C. D. 3.在空间直角坐标系中，点A在z轴上，它到点P(0，，3)的距离等于它到点Q(0,1，－1)的距离，那么点A的坐标是 A.(0,0,1) B.(0,0,2) C. D. |AQ|＝＝， 解得z＝，所以点A的坐标是. 则|PA|＝＝， |AB|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝＝， 遇到xOy平面被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是＝. A. B. C. D. 由四棱台ABCD－A1B1C1D1可得＝＝， 故|BB1|＝＝， |CC1|＝＝3，|DD1|＝＝2，故选B. ∵|AB|＝＝， ∴当x＝－＝时，|AB|最小. 由题意得|AB|＝＝4. 设正方体的边长为a，则a＝4，即a＝4， ∴N(1,0,1)，M， 由两点间的距离公式得|MN|＝＝. 根据两点间的距离公式，得|AB|＝＝， 所以|AB|的长度为. 所以AB的中点坐标为.  x1＝＝2，y1＝＝，z1＝＝3. 所以＝， 由<5，<5， >5，＝5， |AB|＝，|BC|＝，|AC|＝. 由题意得M(1，2,3)，则|BM|＝＝3. 所以|BD|＝1，|CD|＝|BC|cos 30°＝， 所以点A到BC的距离为， 所以三棱锥D－ABC的体积为V＝××＝. 所以S△BCD＝×|BD|·|CD|＝. 因为A， 15.对于任意实数x，y，z，则＋的最小值为______. 则|PO|＋|PM|≥|OM|＝＝，当且仅当P，O，M三点共线时取等号， 则所求的最小值为. 则＋＝|PO|＋|PM|， ∴|CH|＝|MH|＝|BG|＝|GN|＝a， |MN|＝ ＝＝. 则M，N. 由(1)得，当a＝时，|MN|最小，最小为，这时M，N分别为AC，  BF的中点 $