精品解析：山东师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

2025年10月山东师大附中高二阶段性检测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 5. 一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（ ） A. B. C. D. 6. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 7. 是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，则的面积的最小值为（ ） A. 12 B. C. 8 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线（ ） A. 若，则或2 B. 原点O到直线的最大距离为 C. 若，则或 D. 不过第二象限则 10. 如图，在棱长为1的正四面体中，点，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 直线与所成角为 C. D. 直线与所成角的余弦值为 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足.则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若点在以为球心，2为半径的球面上，则点的轨迹长度是 C. 若且为的中点，则异面直线与所成的角为 D. 若且，则存在点在线段上，使得的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若分别为与上任一点，则的最小值为___________. 13. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 14. 如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）若顶点，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若顶点在轴上，且的面积为8，求顶点的坐标. 16. 如图所示的几何体中，底面是平行四边形，，四边形为矩形，平面平面，点是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在平面直角坐标系中，已知的顶点边上的中线所在的直线方程为. （1）求经过顶点且平行于的直线方程； （2）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； （3）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 18. 如图，在中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面； （2）若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月山东师大附中高二阶段性检测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程确定斜率，再结合斜率与倾斜角的关系即可求得倾斜角大小． 【详解】由直线方程， 则直线的斜率为，即为倾斜角的正切值， 所以倾斜角的大小为． 故选：D． 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可． 【详解】对于A，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，假设，，共面，则存在实数，使得， 由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为， 但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，不能构成空间的一个基底． 故选：C． 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 4. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 5. 一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于x轴的对称点，由对称性知反射光线过此点，由两点式直线方程求解即可. 【详解】关于 x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点，则反射光线经过点， 由两点式方程可知， 所求直线方程为，化简得. 故选：D. 6. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，利用当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点  与点  的距离为：. 当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段  的斜率为 ，直线  垂直于 ，直线  的斜率为 . 故选：C 7. 是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：三条射线两两所成的角均为,不容易直接建系.可以把放入正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，可满足两两的夹角均为．因此在正方体中建立空间直角坐标系，先求出直线与平面所成的角的正弦值，再根据同角三角函数关系式求出其余弦值. 方法二：把放入正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，可满足两两的夹角均为．与平面不相交的体对角线CD与平面垂直，正方体中，易知与所成角的正弦值，即为直线与平面所成的角的余弦值. 方法三：过点向平面做垂线，可得直线与平面所的成的角. 【详解】方法一：如图所示，把放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则两两的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系（其中为原点），设正方体的棱长为1， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量，则 令，则，，所以， 所以． 设直线与平面所成的角为，所以， 所以. 故选：B. 方法二: 如图所示，把放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则两两的夹角均为． 正方体中，点出发的体对角线与平面垂直，所以直线与对角线所成的角的正弦值，即为直线与平面所成的角(记为）的余弦值. . 故选：B. 方法三: 设射线在平面的射影为射线，则直线与直线的夹角即为直线与平面所成的角.由最小角定理可得，． 由两两的夹角均为，易得是的角平分线，所以． 又，故． 故选：B. 8. 已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，则的面积的最小值为（ ） A. 12 B. C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设直线的方程为，由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】依题意设直线的方程为，则， 所以，， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 则的面积的最小值为6. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线（ ） A. 若，则或2 B. 原点O到直线的最大距离为 C. 若，则或 D. 不过第二象限则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两直线一般式平行和垂直满足的系数关系，即可判断AC，根据直线过定点，即可根据点点距离求解B，根据直线无斜率时，可判断D. 【详解】对于A，若，则且，解得，故A错误， 对于B，由于变形为，故其恒过点，因此原点O到直线的最大距离为,B正确， 对于C，若，则，解得或，C正确， 对于D，若不过第二象限，当无斜率时，，此时直线为，满足不经过第二象限，故可以为0，故D错误， 故选：BC 10. 如图，在棱长为1的正四面体中，点，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 直线与所成角为 C. D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】把分别用表示，再应用数量积的运算律计算分析各项正误. 【详解】由正四面体ABCD，可得， A，， 则 ，错； B，， 所以直线与所成角的余弦值为， 由线线角的范围知，直线与所成角为，对； C，，则，所以，对； D，，则， ， 设直线AM与CN所成角为，则， 所以直线AM与CN所成角的余弦值为，对； 故选：BCD 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足.则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若点在以为球心，2为半径的球面上，则点的轨迹长度是 C. 若且为的中点，则异面直线与所成的角为 D. 若且，则存在点在线段上，使得的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：借助向量线性运算及四面体体积公式计算即可得；对B：结合球面性质可得点轨迹，即可得解；对C：借助等角定理找到分别与、平行的直线后计算即可得；对D：将平面沿展开后，结合向量线性运算、勾股定理与余弦定理计算即可得解. 【详解】对于A，如图，取靠近的三等分点为靠近的三等分点为， 连接，因为，所以， 令，而， 则，得到， 因为靠近的三等分点为靠近的三等分点为，所以， 而由直四棱柱性质得， 而，由勾股定理得， 在直四棱柱中，， 得到四边形是平行四边形，故， 则，由题意得为的中点，则的面积是定值， 而面面，所以面， 结合，由线面平行性质得到面的距离为定值， 即四面体的体积为定值，故A正确， 对于B，点在以为球心，半径的球面上， 且满足， 则点的轨迹是圆（的一部分），圆心为在面上的射影， 即为的中点，半径， 因此点的轨迹是以为圆心，半径的半圆，因此轨迹长度为，故B正确； 对于C，若且，则与重合，为的中点， 异面直线与所成的角即为异面直线和所成的角，即为， 在三角形中，易知，因此不等于，故C错误； 对于D，若且，此时， 因为P为的中点，所以， 由向量加法法则得，故， 则点与点重合，此时把沿着翻折， 如图，使得四点共面，此时有最小值， 此时的点均为翻折过的点，因为P为的中点，所以， 由勾股定理得，如图，连接， 由已知得，则， 由余弦定理得，解得， 由直四棱柱性质得面，则， 则由勾股定理得， 则，故， 而，则，得到， 由余弦定理得，解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若分别为与上任一点，则的最小值为___________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】先判断两直线互相平行，再利用两平行直线间的距离公式计算即得. 【详解】因，则直线与互相平行， 而分别为与上任一点， 故当线段为两直线的公垂线段时，的值最小， 此时的最小值即这两平行直线之间的距离， 而即，故. 故答案为：. 13. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题意分和两类情况讨论，分别求直线方程即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则， 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程为：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 综上：所求直线方程为或. 故答案为：或. 14. 如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标应用两点间距离，再结合单调性得出范围. 【详解】 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，设，由于，所以， 则， 则， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以时，取得最小值为，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）若顶点，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若顶点在轴上，且的面积为8，求顶点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，利用两线垂直求出边上的高的斜率，由点斜式方程即可求得答案； （2）设，求出和点到直线的距离，根据的面积列出方程，求解即得. 【小问1详解】 由，可得直线的斜率为， 则的边上的高所在直线的斜率为，该线又经过点， 由点斜式方程可得：，即， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 【小问2详解】 依题意，设，直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 点到直线的距离为，且， 则的面积为， 解得或，即顶点的坐标为或. 16. 如图所示的几何体中，底面是平行四边形，，四边形为矩形，平面平面，点是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为，所以， 故是直角三角形，其中，所以. 因为平面平面，且两平面相交于直线，平面，且， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理及两平面垂直的性质，证明线面垂直； （2）通过建立空间直角坐标系，利用法向量求点到平面距离； （3）利用法向量求直线与平面所成角的正弦值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形是矩形，所以，即. 因为平面，且平面，所以. 以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 则，，，，. 则，. 设平面的法向量为，有，即， 不妨令，则平面的法向量. 点到平面的距离 【小问3详解】 由各点坐标可知，，，. 设平面的法向量为，有，即， 不妨令，则平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，则 17. 在平面直角坐标系中，已知的顶点边上的中线所在的直线方程为. （1）求经过顶点且平行于的直线方程； （2）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； （3）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平行关系设出所求直线，再结合所过的点求参数，即可得； （2）根据的中点和点在直线，结合与垂直，点在直线上列方程组求出点，坐标，然后可得； （3）根据直线上的点到直线的距离相等，结合（2）中方程求解. 【小问1详解】 由题意，设平行于的直线方程为，该直线过， 所以，故所求直线为； 【小问2详解】 设，又边上的中线所在的直线方程为. 则, 即①，②， 又直线与直线垂直， 所以，即③， 联立②③解得， 又④，联立①④解得， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤， 联立①⑤求解可得， 则直线方程为，即， 设直线的方程为，则， 又点在直线上， 由角平分线性质可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以， 整理得，解得或， 所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为， 即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为， 即，满足题意. 所以直线的方程为. 18. 如图，在中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面； （2）若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）在四棱锥中，，而平面平面， 所以平面. （2）存在，； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用面面角的法向量列式求解. （3）由（2）中坐标系，由垂直关系求出点位置，进而求出相关点的坐标，利用线面角的法向量求出函数关系，再利用函数性质求出线面角正弦值的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作直线平面，而，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，则是二面角的平面角， 依题意，，即，又,而平面， 于是平面，即，由，得分别是中点， 由，得， 令，则，， 故， 设平面的法向量， 则， 取，得，而平面的法向量为， 因此，解得或（舍去）， 所以在线段上存在一点满足题意，此时. 【小问3详解】 由（2）中空间直角坐标系，知，设， 则，由，得， 解得，即，则， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，又且，即， 平面的法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 则， 令，因函数在上递减，， 因此，而，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $