第3章 代数式 期中考专题复习讲义（期中考情分析+13大常考题型+同步检测）2025-2026学年 人教版七年级数学上册

第3章 代数式 第1部分 期中考情分析 《代数式》是七年级数学从“算术计算”向“代数抽象”过渡的核心章节，是后续学习一元一次方程、函数的基础框架，期中考试中覆盖选择、填空、解答全题型。其中，列代数式（结合实际情境）、整式概念辨析是基础必考点，代数式求值常与有理数运算结合形成中档题，整体难度梯度清晰，侧重考察“从具体到抽象”的数学思维转化。 期中考点 复习目标 考察形式 1.代数式的定义与书写规范 1.明确定义：用运算符号连接数/字母的式子（单独数或字母也是代数式）； 2.掌握规范：数字写字母前（如)、除法写分数(如)、带分数化假分数(如改)； 3.区分代数式与等式/不等式(不含“=”“>”“<”) 1.基础必考题，多为选择/填空(1题)；2.典型考法：判断是否为代数式、改正不规范书写； 3.偶考新定义符号(如“※”)的代数式判断 2.列代数式 1.结合情境(行程：路程=速度×时间；价格：总价=单价×数量；几何：周长/面积)析数量关系； 2.翻译文字：如“比大3”为，“的2倍”为； 3.注意隐含条件：如“减少20%”即“原数×(1-20%)” 1.高频重点题，覆盖多题型：-基础题：选择/填空(1-2题)列简单式；-中档题：解答题(1题)列复杂式(如分段收费)； 2.常考结合图表提信息列代数式 3.代数式的值 1.掌握步骤：①代入(注意符号、分母≠0)；②计算(遵有理数运算顺序)； 2.理解值的意义：如中，时值为11；3.处理特殊值：时，时 1.期中必考题，覆盖全题型：-基础题：选择/填空(1题)直接代入；-中档题：解答题(1小问)化简后代值； 2.偶考代入找值的规律 4.单项式 1.明确定义：数与字母的积(单独数/字母也是，如5、)； 2.核心要素：①系数(含符号，如系数为-3，系数为)；②次数(字母指数和，如次数为，常数项次数为0)； 3.区分非单项式(如、) 1.高频基础题，多为选择/填空(1题)；2.典型考法：判断是否为单项式、求系数/次数(易错：漏系数符号、误将当字母) 5.多项式 1.明确定义：几个单项式的和(如)； 2.核心要素：①项(含符号，如的项为、、5，5是常数项)；②次数(最高次项的次数，如是三次三项式)； 3.正确命名多项式 1.高频易错点，多为选择/填空(1题)；2.典型考法：求项/常数项/次数、判断命名是否正确(易错：漏项的符号、误判最高次项) 6.整式的概念与分类 1.明确定义：单项式和多项式统称整式； 2.区分非整式：分母含字母的式子(如、）； 3.按标准分类：①单项式/多项式；②按次数（如一次、二次整式），常数项属0次整式 1.高频基础题，多为选择/填空（1题）； 2.典型考法：筛选整式并分类、判断是否为整式； 3.偶考与有理数分类逻辑类比 第2部分 期中必备知识点 知识点01代数式的概念与识别 1.定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方，注意：不含等号“=”、不等号“>”“<”“≥”“≤”“≠”）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。 单独的一个数（如5、-3、π）或一个字母（如x、a、b）也是代数式（可看作“运算符号连接0个运算的式子”）。 2.核心要点 类别 示例 是否为代数式 理由分析 代数式 、、、 是 仅含运算符号（或单独数/字母） 非代数式 、 否 含等号/不等号，属于等式/不等式 3.易错提示 不要将“代数式”与“等式”“不等式”混淆：关键看是否含“=”“<”“>”等关系符号，有则不是代数式。 代数式的书写不影响其本质：如（可写成)、(可写成)，仍是代数式。 知识点02列代数式 1.核心原则 “先读先写、先算先括”——根据文字描述的顺序，先出现的数量先写，需要先计算的部分用括号括起来。 2.常见数量关系与规范写法 文字描述 代数式 书写规范提示 比x的2倍多3 “倍”用乘法，“多”用加法 a的平方与b的差 “平方”先算，直接写 x与y的和的平方 “和”先算，必须加括号，避免写成 m的与n的倒数之和 分数系数写在字母前，倒数表示为“1/字母” 温度由下降 “下降”用减法，单位不写入代数式 单价为a元的商品，买n件的总价 数字与字母、字母与字母相乘，乘号可省略(不写成) 3.易错提示 带分数与字母相乘：需将带分数化为假分数，如“与x的积”应写成，而非(避免误解为)。 除法运算：优先用分数表示，如“a除以b(b≠0)”应写成，而非(代数式中除法符号“÷”不常用)。 负数或分数代入时的括号：若描述中含负数，列代数式时可保留符号，如“比-2大x的数”写成。 知识点03代数式的值 1.定义 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算出的结果，叫做代数式的值(代数式的值随字母取值的变化而变化)。 2.求代数式值的步骤 1.代入：将字母的具体值代入代数式中对应的位置，注意： 若代入的是负数、分数或含运算的式子，需加括号(如x=-3时，应写成，而非)； 代入后，原代数式中的运算符号、括号保持不变。 1. 计算：按照“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里”的运算顺序计算。 3.示例 已知，求代数式的值： 解： 代入： 计算： 4.易错提示 符号错误：代入负数时漏加括号，如将算成(正确结果为4)； 运算顺序错误：如计算(x=5)时，误算为(正确)，但计算(x=5)时，漏算括号导致(正确应为)。 知识点04单项式 1.定义 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个字母也是单项式，如5、-a)。 特征：不含加法、减法运算(若含，需能化简为积的形式，如，化简后5x是单项式，但原式是多项式)。 2.单项式的两个核心要素 要素 定义 示例分析(以、、为例) 系数 单项式中的数字因数(包括前面的符号) 的系数是；的系数是(π是常数)；的系数是 次数 单项式中所有字母的指数之和(不含数字的指数) 的次数：2(x的指数)+1(y的指数)=3；的次数：2(r的指数，π是常数，不计入)；(常数项)的次数是0(无字母) 3.易错提示 系数符号：不要忽略系数的负号，如的系数是，而非5； π的处理：π是无理数(常数)，不是字母，因此的次数是1(仅a的指数)，系数是； 单独字母的系数与次数：如“a”的系数是1(省略不写)，次数是1(省略不写)，不要误判为系数0或次数0； 数字单项式的次数：如“8”“-3”等常数项，次数均为0(无字母，指数和为0)。 知识点05多项式 1.定义 几个单项式的和叫做多项式(多项式中必含加法或减法运算)。 示例：(由单项式、、相加组成)。 2.多项式的核心要素 要素 定义 示例分析(以为例) 项 多项式中的每个单项式(包括前面的符号) 项为：、、、(注意：项的符号不能遗漏) 常数项 多项式中不含字母的项 常数项是(单独的数) 次数 多项式中次数最高的项的次数(即“最高次项的次数”) 最高次项是(次数：3+1=4)，因此该多项式是“四次多项式” 项数 多项式中单项式的个数(项的个数) 共4项，因此该多项式是“四次四项式” 3.多项式的命名规则 “几次几项式”——先写“次数”(最高次项的次数)，再写“项数”(项的个数)，如： ：最高次项是(次数2)，共2项→“二次二项式”； ：最高次项是(次数4)，共3项→“四次三项式”。 4.易错提示 项的符号：多项式的项包含前面的符号，如的项是、、，而非、、； 次数判断：误将“所有项的次数之和”当作多项式的次数，如的次数是2(最高次项、的次数均为2)，而非2+2=4； 项数计数：不要漏数常数项，如是二项式(含和)，而非一项式。 知识点06整式的概念 1.定义 单项式和多项式统称为整式(整式的本质是“分母中不含字母”，若分母含字母，则为分式，不属于整式)。 2.整式的分类(知识体系) 整式： 单项式：单独的数、单独的字母、数与字母的积(如5、a、-3xy^2) 多项式：几个单项式的和(如2x+1、x^2-xy+3) 3.整式与非整式的区分 式子 是否为整式 理由分析 、 是 分别为单项式、多项式，分母不含字母 、(y≠0) 否 分母含字母(x、y)，属于分式 、 是 π是常数，分母不含字母 4.易错提示 分式与整式的混淆：如是整式(分母是常数2，可看作，单项式)，但是分式(分母是字母x)； 含根号的式子：若根号下不含字母(如)，是整式(常数项)；若根号下含字母(如），初中阶段暂不归类为整式（后续学习无理式）。 第3部分 期中常考题型 【题型1】代数式的识别与书写规范 1.期中考考点总结 考点1：判断一个式子是否为代数式（不含“”“”“”“”“”“”等关系符号，单独的数或字母也是代数式）； 考点2：代数式的书写规范（乘号省略/用“”、除法写成分数、数字在前字母在后、带分数化假分数）。 2.解题攻略 第一步：判断式子是否含关系符号，含则不是代数式； 第二步：若为代数式，按书写规则逐一检查（如“”需改为“”，“”需改为“”)。 【例题1】．（2024-2025•榆中县期末）下列式子中，符合代数式书写格式的是（　　） A．a÷c B．a×5 C． D． 【变式题1-1】．（2024-2025•西吉县校级期末）下列各式中，书写格式正确的是（　　） A． B．mn C． D．ab×5 【变式题1-2】．（2024-2025•通道县期末）下列各式中，代数式的个数是（　　） ①；②26+38；③ab＝ba；④；⑤2a﹣1；⑥a；⑦；⑧5n+2． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式题1-3】．（2024-2025•湛江校级期末）下列各式中，符合代数式书写规范的是（　　） A．a÷﹣b B．2a3 C．4×m D． 【题型2】代数式意义的解读 1.期中考考点总结 考点1：理解代数式所表示的数量关系(如“”表示“的平方与的差”)； 考点2：结合实际场景解读代数式含义(如“”可表示“千克苹果，每千克元的总价”)。 2.解题攻略 第一步：按运算顺序拆分代数式(先算乘方/乘除，后算加减)； 第二步：结合题干场景(如购物、几何、行程)，用文字清晰表述运算关系，避免混淆运算顺序(如“”与“”意义不同)。、 【例题2】．（2024-2025•昭阳区期末）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价为x元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义描述正确的是（　　） A．原价加上4元后再打7折 B．原价打7折后再加上4元 C．原价加上4元后再打3折 D．原价打3折后再加上4元 【变式题2-1】．（2024-2025•威县校级期末）下列代数式用自然语言的表示中错误的是（　　） A．a2﹣2ab+b2表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．m+2n表示m与n的2倍的和 C．a2+b2表示a与b的平方的和 D．（a+b）（a﹣b）表示a，b两数的和与差的乘积 【变式题2-2】．（2024-2025•平城区期末）代数式（a﹣b）2的意义是（　　） A．a，b两数的平方差 B．a与b的差的平方 C．a与b的平方的差 D．b，a两数的平方差 【变式题2-3】．（2024-2025•邗江区期末）九月开学季，书店开展优惠活动，某套名著原价为m元，现售价为（0.7m﹣10）元，则下列说法符合题意的是（　　） A．原价减10元后再打7折 B．原价打7折后再减10元 C．原价打3折后再减10元 D．原价减10元后再打3折 【题型3】列代数式(基础实际问题) 1.期中考考点总结 考点1：抓取实际问题中的关键词(如“多”“少”“倍”“分”“和”“差”“积”“商”)； 考点2：将文字描述的数量关系转化为代数式(如“的倍与的差”表示为“”)。 2.解题攻略 第一步：确定核心变量(用字母表示未知量，如设“单价为元”)； 第二步：根据关键词确定运算顺序(如“比的多”先算“”，再算“”，即“”)； 第三步：若结果带单位且代数式为和/差形式，整体加括号(如“元”)。 【例题3】．（2024-2025•蓬溪县校级期末）对于“x，y两数和的平方的2倍”，下列用代数式表示正确的是（　　） A．2x2+y2 B．2x2+2y2 C．2（x+y）2 D．2（x+y） 【变式题3-1】．（2024-2025•长沙校级开学）男生有a人，女生人数比男生的4倍少5人，下面可以表示女生人数的式子是（　　） A．4a﹣5 B．4a+5 C．（a﹣5）÷4 D．a÷4﹣5 【变式题3-2】．（2024-2025•江陵县期末）超市出售某商品，先在原标价a的基础上提价20%，再打8折，则商品现售价为（　　） A．0.2×（1+20%）a B．0.2×（1﹣20%）a C．0.8×（1+20%）a D．0.8×（1﹣20%）a 【变式题3-3】．（2024-2025•延长县期末）小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为11cm；如图②，5个纸杯的高度为13cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（n+10）cm B．（n+8）cm C．（2n+5）cm D．（2n+3）cm 【题型4】直接代入求代数式的值 1.期中考考点总结 考点1：代数式的值的定义(用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算的结果)； 考点2：代入时的符号处理(如字母取负数/分数时需加括号)、运算顺序(先乘方，再乘除，后加减)。 2.解题攻略 第一步：“代”——用已知数值替换代数式中的字母(如时，需写为“”，避免写成“”)； 第二步：“算”——按“先乘方、再乘除、后加减”的顺序计算(有括号先算括号内)； 第三步：“验”——检查代入符号是否正确、运算步骤是否有误。 【例题4】．（2024-2025•海南一模）已知m＝1，n＝﹣2，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣3 D．4 【变式题4-1】．（2024-2025•琼中县一模）当x＝4时，则2x+1的值是（　　） A．3 B．7 C．8 D．9 【变式题4-2】．（2024-2025•乳山市期末）当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2，则当x＝﹣1时，该多项式的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2 【变式题4-3】．（2024-2025•鼓楼区校级月考）若a＝﹣2，则（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【题型5】正反比例关系的判断 1.期中考考点总结 考点1：正比例关系(两个量比值一定，即，)； 考点2：反比例关系(两个量乘积一定，即，)； 考点3：区分“相关联的量”与“成比例的量”(如“长方形周长一定，长和宽”不成比例)。 2.解题攻略 第一步：确定两个相关联的量(如“路程、速度、时间”中的“速度”和“时间”)； 第二步：判断两个量的积是否为定值(反比例)或比值是否为定值(正比例)； 第三步：排除非定值情况(如“差一定”“和一定”的两个量不成比例)。 【例题5】．（2024-2025•威县校级开学）下面各项中，两种量不成正比例关系的是（　　） A．单价一定，总价和数量 B．圆柱体底面积一定，体积和高 C．长方形的长一定，面积和宽 D．工作总量一定，工作效率与工作时间 【变式题5-1】．（2024-2025•东港区校级开学）当a（a≠0）一定时，下面式子中x和y成正比例的是（　　） A．xy÷a＝1 B．xy C．a÷x＝y D．a+x＝y 【变式题5-2】．（2024-2025•路北区期末）下列等式中，a，b两个量成反比例关系的是（　　） A．a+b＝0 B．ab＝﹣1 C．2a＝3b D．b＝2a 【变式题5-3】．（2024-2025•德城区期末）如表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（　　） x 7 △ y 5 14 A．19.6 B．2.5 C．3.5 【题型6】整体代入求代数式的值(提升) 1.期中考考点总结 考点1：整体思想的应用(无法单独求字母值时，将含字母的式子视为一个整体)； 考点2：待求式与已知式的变形关联(如已知“”，求“”需先变形为“”)。 2.解题攻略 第一步：观察已知式与待求式的结构(找相同的“整体”，如“”“”)； 第二步：对已知式或待求式进行等价变形(如将“”变形为“”)； 第三步：将整体值代入变形后的待求式，计算结果(注意符号和系数)。 【例题6】．（2024-2025•古蔺县期末）若2x﹣3y＝5，则10﹣4x+6y＝（　　） A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣2 【变式题6-1】．（2024-2025•淮南期末）若x2+x+1的值是8，则4x2+4x+9的值是（　　） A．37 B．25 C．32 D．0 【变式题6-2】．（2024-2025•河南期末）已知x2+3x+5的值为3，则代数式3x2+9x﹣3的值为（　　） A．0 B．﹣9 C．﹣7 D．3 【变式题6-3】．（2024-2025•隆回县期末）若3a﹣2b＝5，则8+9a﹣6b＝ 　 　 ． 【题型7】程序框图中的代数式求值(提升) 1.期中考考点总结 考点1：理解程序框图的逻辑分支(如“”与“”对应不同代数式)； 考点2：含循环结构的程序中循环周期的寻找(如多次运算后结果重复出现)； 考点3：程序与代数式的转化(将流程转化为分段代数式)。 2.解题攻略 第一步：理清程序流程(从输入到输出的每一步判断条件和运算，标注关键分支)； 第二步：若输入值明确，按流程分步计算(如输入，先判断是否满足条件，再代入对应代数式)； 第三步：若含循环(如多次输出)，计算前次结果，找循环周期(如“”周期为)，再用“总次数周期”求余数确定结果。 【例题7】．（2024-2025•鼓楼区校级月考）如图是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣9，则最后输出的结果是　 　 ． 【变式题7-1】．（2024-2025•五莲县期末）根据如图所示的计算程序，若输出的值为y＝﹣1，则输入的值x为（　　） A．﹣5或1 B．﹣5或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣5或1或﹣1 【变式题7-2】．（2024-2025•峄城区期末）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣9 C．﹣7 D．﹣27 【变式题7-3】．（2024-2025•平舆县期末）按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为﹣4，则输出的值为（　　） A．﹣10 B．28 C．﹣52 D．80 【题型8】几何图形中列代数式与求值(提升) 1.期中考考点总结 考点1：结合几何公式(面积、周长、体积)列代数式(如长方形面积长宽，用字母表示长/宽)； 考点2：不规则图形的面积拆分(如阴影面积整体面积空白面积)； 考点3：代入数值计算几何量(需注意单位统一)。 2.解题攻略 第一步：确定图形类型，回忆对应公式(如圆的面积，梯形面积)； 第二步：用字母表示未知量(如设圆的半径为，梯形的上底为)，根据公式列代数式； 第三步：若求不规则图形面积，采用“补全法”或“拆分法”转化为规则图形，再列代数式； 第四步：代入已知数值(如取，)，计算结果并标注单位。 【例题8】．（2024-2025•宁阳县期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．x2+3（x+2） D．（x+3）（x+2）﹣2x 【变式题8-1】．（2024-2025•上城区期末）如图，在周长为60的长方形ABCD中放入6个相同的小长方形，若小长方形面积为S，长为x，宽为y（x＞y），则（　　） A．若x＝2y，则AD＝AB B．若x＝4y，则AD＝2AB C．若x＝5，则S＝19 D．若x，y为整数，则S＝18 【变式题8-2】．（2024-2025•桓台县期末）如图1，将一张长方形纸板的四角各减去一个边长为a的小正方形（阴影部分），制成如图2的无盖纸盒．若该纸盒的容积为2a2b，则原长方形纸板的周长为（　　） A．4a+2b B．2ab C．12a+2b D．4ab 【变式题8-3】．（2024-2025•西岗区期末）如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为a，半圆形弯道的直径为b．用代数式表示这条跑道的周长为（　　） A．a+2πb B．2a+πb C．a2+πb2 D．2a+πb2 【题型9】数式规律探索(单维度)(提升) 1.期中考考点总结 考点1：数字序列的规律(如差值恒定、比值恒定、与序号的乘方关系，如“”差值为)； 考点2：等式序列的规律(如“，”)； 考点3：用含(序号)的代数式表示第项规律。 2.解题攻略 第一步：列出“序号”与“对应数值/等式”的表格()； 第二步：分析数值变化规律——若差值恒定(如每次加)，则第项为“首项”；若与乘方相关(如)，则第项为“”； 第三步：验证规律(将代入代数式，看是否与已知值一致)； 第四步：根据规律求指定项(如时的数值)。 【例题9】．（2024-2025•科左后旗期末）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）：　 　 ． 【变式题9-1】．（2024-2025•乐清市期末）在一些日历牌上，我们可以发现日期数满足某些规律．如图是2025年6月的日历牌．若任意选择纵向的连续三个日期数，计算第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方，发现：9×23﹣162＝﹣49；5×19﹣122＝﹣49． （1）根据题目所给规律，再选择一个试一试，看看结果是否都相同． （2）请用代数式运算的知识说明理由． 【变式题9-2】．（2024-2025•濉溪县校级期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，； （1）依照上述规律，则可列式 　 　 ， 　 　 ． （2）用含n的式子表示你发现的规律：　 　 ． （3）求式子的值． 【变式题9-3】．（2024-2025•南宁期末）【问题提出】妹妹：“哥哥，我有一种快速算出75×75的方法，先用100×7×8，再加上25，得到结果是5625．”妹妹的话引发了哥哥的兴趣．他通过查阅资料，围绕速算“两个两位数相乘的积”的规律开展了一系列探究活动． 【活动1】 阅读材料：用表示一个两位数，a代表十位上的数，b代表个位上的数，即． 观察思考：请观察下列运算规律 15×15＝100×1×2+5×5＝225， 25×25＝100×2×3+5×5＝625， 35×35＝100×3×4+5×5＝1225， …… （1）根据阅读材料，可知：　 　 ； （2）观察运算规律，猜想：　 　 +5×5； 【推理证明】 （3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想． 【活动2】 （4）如果b+c＝10，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算的方法，并证明你的结论． 【题型10】图形规律探索(多维度)(培优) 1.期中考考点总结 考点1：图形数量与序号的多维度关联(如图形由“固定部分变化部分”组成，变化部分与的倍数/乘方相关)； 考点2：图形结构的规律(如“第个图形由层组成，每层有特定数量的小图形”)； 考点3：复杂图形的拆分分析(如“小正方形拼接的大图形，分内层和外层计数”)。 2.解题攻略 第一步：拆分图形组成(如将“三角形图案”拆分为“顶点部分边上部分”，或“固定个每次增加个”)； 第二步：列多组“序号图形数量”数据(如时个，时个，时个)，计算相邻数量的差值/比值； 第三步：推导通项公式(如差值为，首项为，则第项为“”)，并验证组以上数据； 第四步：若图形有多层/多部分，分别列各部分的代数式，再求和得到总数量。 【例题10】．（2024-2025•抚顺县期末）某种杯子的高度是15cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图，n个这样的杯子叠放在一起高度是 　 　 （用含n的式子表示）． 【变式题10-1】．（2024-2025•乐陵市校级开学）下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要 　 　 枚棋子． 【变式题10-2】．（2024-2025•闵行区校级月考）自行车的链条由一个个小的链节组成，如图，每个链节的长度为2.5cm，链节与链节之间交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．则n个链节依次连在一起的长度是 　 　 cm． 【变式题10-3】．（2024-2025•蚌埠三模）数学兴趣小组在计算15×15，25×25，36×34等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为10的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算： 由上图可得15×15＝10×20+5×5＝225； 由上图可得25×25＝20×30+5×5＝625； 由上图可得36×34＝30×40+6×4＝1224． （1）请你帮助数学兴趣小组画出计算62×68的面积分解图并计算； （2）设这两个两位数的十位数字为a，个位数字分别为b，c，请用含a，b，c的代数式表示出你发现的计算规律，并证明． 【题型11】代数式与实际问题综合(分段计费/方案选择)(培优) 1.期中考考点总结 考点1：分段计费场景的代数式表示(如打车费起步价超里程费用，分“里程”和“里程”)； 考点2：方案选择中的代数式比较(如两种收费方式，计算不同用量下的费用，选择更优方案)； 考点3：实际问题中的取值范围(如人数、数量为正整数)。 2.解题攻略 第一步：确定分段标准(如打车的、水费的)，分情况列代数式； 第二步：明确每段的单价/计费规则(如超后每千米元)，写出对应代数式(如里程时，费用)； 第三步：方案选择时，设未知量(如用量为)，分别列两种方案的代数式、，解方程找“费用相等点”，再分区间比较优劣； 第四步：结合实际取值范围(如为正整数)，确定最终方案。 【例题11】．（2024-2025•吉林二模）某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知某辆车某日17：00进入该停车场，停了x小时（x为正整数），若该辆车于当日的21：00～24：00间离场，则此次停车的费用为　 　 元．（用含有x的式子表示） 停车时长 收费标准 不超过3小时的部分 5元/小时 超过3小时的部分 3元/小时 【变式题11-1】．（2024-2025•南昌期末）如图是某种窗户的形状（实线为窗框），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为am．（结果用π表示） （1）求窗户的面积； （2）求窗框的总长； （3）若a＝1，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米25元，窗框每米20元，窗框的厚度不计，求制作这种窗户需要的费用． 【变式题11-2】．（2024-2025•石狮市期末）某超市在春节期间对顾客实行优惠促销活动，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 不低于200元，但低于500元 九折优惠 不低于500元 500元部分给八折优惠，超过500元部分给七折优惠 春节期间，小亮两次到该超市购物，已知这两次优惠前的货款共计800元，其中第一次优惠前的货款为a元（200＜a＜300），若用含a的代数式表示两次购物的总付费，则小亮应付的总费用是　 　 元． 【变式题11-3】．（2024-2025•沙坪坝区校级月考）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中π取3，长度单位为米）． （1）制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含x、y的代数式表示） （2）某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下： 甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折； 乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃． 当x＝0.1，y＝2时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？ 【题型12】跨学科结合的代数式问题(培优) 1.期中考考点总结 考点1：提取跨学科场景中的数量关系(如物理中的“路程速度时间”、化学中的“物质质量密度体积”)； 考点2：将学科关系转化为代数式(如设速度为，时间为，则路程)； 考点3：结合学科常识确定变量取值(如速度为正数，密度为定值)。 2.解题攻略 第一步：回忆对应学科的核心公式(如科学中“功率”，为功，为时间)； 第二步：用字母表示未知量(如设为，为，则），根据公式列代数式； 第三步：若含变化关系（如“功率一定时，功与时间的关系”），判断正反比例（一定，与成正比例，即）； 第四步：代入学科数据（如，），计算代数式的值，结合学科单位作答。 【例题12】．（2024-2025•上蔡县校级月考）物理学中的杠杆原理可用公式“F1•L1＝F2•L2”表示．若L1＝1，L2＝2，F1＝6，则F2＝ 　 　 ． 【变式题12-1】．（2024-2025•绥棱县校级期中）在物理电学中，常用公式U＝IR1+IR2+IR3求串联电路的总电压，当R1＝28.3，R2＝61.5，R3＝10.2，I＝3.1 时，电压U的值为（　　） A．200 B．210 C．300 D．310 【变式题12-2】．（2024-2025•嘉定区校级期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：（整个接水过程不计热量损失） 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度”．例：10ml的开水与25ml温水混合至50度，热传递关系为：10×（100﹣50）＝25×（50﹣30） （1）王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为t℃．①王老师的水杯容量为　 　 ml；②开水放出的热量为　 　 （结果用含t的代数式表示） （2）小李同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为420ml，温度为40℃的水，求小李同学接温水和开水的时间分别为多少秒？ 【变式题12-3】．（2024-2025•莲湖区期末）睡眠是打开创造力大门的一把神奇钥匙．科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间H（小时）可用公式（N是人的年龄）计算．请你用这个公式，计算12岁的小泽每天需要的睡眠时间（单位：小时）是（　　） A．8.6 B．8.8 C．9.6 D．9.8 【题型13】新定义下的代数式应用(培优) 1.期中考考点总结 考点1：理解新定义规则(如定义“”，需明确运算符号“”的含义)； 考点2：将新定义转化为常规代数式运算(如根据“”的规则，代入具体数值计算)； 考点3：新定义与规律、求值的结合(如按新定义找序列规律)。 2.解题攻略 第一步：逐字分析新定义(圈画关键运算，如“”本质是平方差)； 第二步：将新定义中的字母替换为已知数值或代数式(如，时，)； 第三步：若含多步新定义运算(如“”)，先算括号内的“”，再算外层运算； 第四步：若与规律结合，按新定义计算前项，推导第项的代数式。 【例题13】．（2024-2025•沾化区期末）定义a﹣b＝0，则称a、b互容，若2x2﹣2与x+4互容，则6x2﹣3x﹣9＝　 　 ． 【变式题13-1】．（2024-2025•和平区期末）定义一种运算“△”，对于两个有理数a和b，有a△b＝ab﹣（a+b），例如：﹣3△2＝﹣3×2﹣（﹣3+2）＝﹣6+1＝﹣5，则（﹣1）△（m﹣2）＝ 　 　 （用含m的代数式表示）． 【变式题13-2】．（2024-2025•东阳市期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：a★b＝■，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题：2★4＝2×4﹣2﹣4＝2；3★（﹣1）＝3×（﹣1）﹣3+1＝﹣5；（﹣9）★5＝（﹣9）×5+9﹣5＝﹣41． （1）请你补全定义内容：a★b＝　 　 ．（用含a，b的代数式表示） （2）先计算（﹣7）★2和2★（﹣7），再说明新定义的运算“★”是否满足交换律，即a★b＝b★a是否成立． （3）若m★（﹣8）＝11★m，求m的值． 【变式题13-3】．（2024-2025•深圳期末）类比用字母表示数，我们用“σ”来表示某种运算．对于任意元素a，b，若aσb＝bσa，那么这种运算满足交换律；若存在元素e，满足aσe＝eσa＝a，则称e为“σ运算”下的单位元；若两个元素经过“σ运算”后得到单位元，则这两个元素互为“σ运算”下的逆元． 例如，在有理数范围内，加法满足交换律，减法则不满足交换律，加法运算下的单位元是0，互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元． （1）在有理数范围内，乘法运算下的单位元是 　 　 ，﹣5在乘法运算下的逆元是 　 　 ； （2）若a，b表示两个有理数，定义运算“*”，其运算法则为：a*b＝2ab﹣a﹣b+1，例如，若a＝2，b＝3，则a*b＝2×2×3﹣2﹣3+1＝8． ①“*运算”是否满足交换律 　 　 ．（填“是”或“否”）； ②求出“*运算”下的单位元； ③是否存在有理数在“*运算”下不存在逆元？若有，求出这个（些）数；若没有，请说明理由． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．下列代数式符合书写要求的是（　　） A． B．m×3 C．m÷2n D．3mn 2．某班有45名学生，其中25名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班45名学生的平均身高为（　　）厘米． A． B． C． D． 3．当x＝2时，ax+3的值是5；当x＝﹣2时，代数式ax﹣3的值是（　　） A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．2 4．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 5．下列问题情境中，不能用代数式“4b”表示的是（　　） A．购买4瓶单价为b元的饮料所需的钱数 B．购买b瓶单价为4元的饮料所需的钱数 C．若一个正方形的边长为b，则4b表示该正方形的周长 D．若一个两位数的十位数字是4，个位数字是b，则4b表示这个两位数 二．填空题（共5小题） 6．若m＝4，，则代数式﹣2m﹣4n的值是 　 　 ． 7．若a2﹣2a﹣4＝0，则代数式3a2﹣6a+1＝ 　 　 ． 8．鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具（图（1）），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图（2）所示，这个面的面积为 　 　 ． 9．用代数式表示“m与n和的平方”：　 　 ． 10．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且|m|＝3，则的值为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 11．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 需要的天数/天 25 20 15 10 （1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 12．某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（x＞2）． （1）若该客户按方案一购买，需付款 　 　 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款 　 　 元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝5时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 13．北京时间2024年10月30日凌晨4时27分，长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十九号载人飞船．全国人民信受鼓舞，一中芙蓉中学开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． （1）用a、b的代数式表示该截面的面积S； （2）当a＝2cm，b＝2.5cm时，求这个截面的面积． 14．为了参加校园文化艺术节，书画社计划买一些宣纸和毛笔，现了解情况如下：甲、乙两家文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每张4元．甲商店的优惠办法是：买1支毛笔送1张宣纸；乙商店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．书画社想购买毛笔10支，宣纸x张（x＞10）． （1）若到甲商店购买，应付 　 　 元；若到乙商店购买，应付 　 　 元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝30时，去哪一家商店购买较合算？请计算说明． 15．某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且AG＝2BG．设BG的长为2x米．（公共边共用一条篱笆）． （1）用含x的代数式表示AF的长为　 　 米； （2）用含x的代数式表示DF的长．（结果需化为最简形式） 16．国庆假期期间，某电影热映，公司组织员工去观影．该电影在奥斯卡影院的原票价为每人40元，当观影人数超过30人时，影院给出两种优惠方案： 方案一：付费200元购买团购优惠卡后，每人票价25元； 方案二：5人免票，其余每人按原价的九折优惠． （1）当观影的总人数是x（x＞30）时，用代数式表示方案一和方案二分别收费多少元？ （2）当观影的总人数是60人时，采用哪种方案省钱？请说明你的理由． 17．运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用n表示一个人的年龄，用m表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，其中有氧运动时m＝0.8（220﹣n）；无氧运动时m＝0.9（220﹣n）． （1）一个15岁的人有氧运动所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ （2）一个20岁的人无氧运动，测得10秒钟的心跳次数为31次，他有危险吗？ 18．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时的多项式的值用f（某数）来表示． 例如x＝﹣1时多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7， 已知g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，h（x）＝ax3+2x2﹣x （1）求g（﹣2）的值； （2）若h（﹣2）＝14，求g（a）的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式 第1部分 期中考情分析 《代数式》是七年级数学从“算术计算”向“代数抽象”过渡的核心章节，是后续学习一元一次方程、函数的基础框架，期中考试中覆盖选择、填空、解答全题型。其中，列代数式（结合实际情境）、整式概念辨析是基础必考点，代数式求值常与有理数运算结合形成中档题，整体难度梯度清晰，侧重考察“从具体到抽象”的数学思维转化。 期中考点 复习目标 考察形式 1.代数式的定义与书写规范 1.明确定义：用运算符号连接数/字母的式子（单独数或字母也是代数式）； 2.掌握规范：数字写字母前（如)、除法写分数(如)、带分数化假分数(如改)； 3.区分代数式与等式/不等式(不含“=”“>”“<”) 1.基础必考题，多为选择/填空(1题)；2.典型考法：判断是否为代数式、改正不规范书写； 3.偶考新定义符号(如“※”)的代数式判断 2.列代数式 1.结合情境(行程：路程=速度×时间；价格：总价=单价×数量；几何：周长/面积)析数量关系； 2.翻译文字：如“比大3”为，“的2倍”为； 3.注意隐含条件：如“减少20%”即“原数×(1-20%)” 1.高频重点题，覆盖多题型：-基础题：选择/填空(1-2题)列简单式；-中档题：解答题(1题)列复杂式(如分段收费)； 2.常考结合图表提信息列代数式 3.代数式的值 1.掌握步骤：①代入(注意符号、分母≠0)；②计算(遵有理数运算顺序)； 2.理解值的意义：如中，时值为11；3.处理特殊值：时，时 1.期中必考题，覆盖全题型：-基础题：选择/填空(1题)直接代入；-中档题：解答题(1小问)化简后代值； 2.偶考代入找值的规律 4.单项式 1.明确定义：数与字母的积(单独数/字母也是，如5、)； 2.核心要素：①系数(含符号，如系数为-3，系数为)；②次数(字母指数和，如次数为，常数项次数为0)； 3.区分非单项式(如、) 1.高频基础题，多为选择/填空(1题)；2.典型考法：判断是否为单项式、求系数/次数(易错：漏系数符号、误将当字母) 5.多项式 1.明确定义：几个单项式的和(如)； 2.核心要素：①项(含符号，如的项为、、5，5是常数项)；②次数(最高次项的次数，如是三次三项式)； 3.正确命名多项式 1.高频易错点，多为选择/填空(1题)；2.典型考法：求项/常数项/次数、判断命名是否正确(易错：漏项的符号、误判最高次项) 6.整式的概念与分类 1.明确定义：单项式和多项式统称整式； 2.区分非整式：分母含字母的式子(如、）； 3.按标准分类：①单项式/多项式；②按次数（如一次、二次整式），常数项属0次整式 1.高频基础题，多为选择/填空（1题）； 2.典型考法：筛选整式并分类、判断是否为整式； 3.偶考与有理数分类逻辑类比 第2部分 期中必备知识点 知识点01代数式的概念与识别 1.定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方，注意：不含等号“=”、不等号“>”“<”“≥”“≤”“≠”）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。 单独的一个数（如5、-3、π）或一个字母（如x、a、b）也是代数式（可看作“运算符号连接0个运算的式子”）。 2.核心要点 类别 示例 是否为代数式 理由分析 代数式 、、、 是 仅含运算符号（或单独数/字母） 非代数式 、 否 含等号/不等号，属于等式/不等式 3.易错提示 不要将“代数式”与“等式”“不等式”混淆：关键看是否含“=”“<”“>”等关系符号，有则不是代数式。 代数式的书写不影响其本质：如（可写成)、(可写成)，仍是代数式。 知识点02列代数式 1.核心原则 “先读先写、先算先括”——根据文字描述的顺序，先出现的数量先写，需要先计算的部分用括号括起来。 2.常见数量关系与规范写法 文字描述 代数式 书写规范提示 比x的2倍多3 “倍”用乘法，“多”用加法 a的平方与b的差 “平方”先算，直接写 x与y的和的平方 “和”先算，必须加括号，避免写成 m的与n的倒数之和 分数系数写在字母前，倒数表示为“1/字母” 温度由下降 “下降”用减法，单位不写入代数式 单价为a元的商品，买n件的总价 数字与字母、字母与字母相乘，乘号可省略(不写成) 3.易错提示 带分数与字母相乘：需将带分数化为假分数，如“与x的积”应写成，而非(避免误解为)。 除法运算：优先用分数表示，如“a除以b(b≠0)”应写成，而非(代数式中除法符号“÷”不常用)。 负数或分数代入时的括号：若描述中含负数，列代数式时可保留符号，如“比-2大x的数”写成。 知识点03代数式的值 1.定义 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算出的结果，叫做代数式的值(代数式的值随字母取值的变化而变化)。 2.求代数式值的步骤 1.代入：将字母的具体值代入代数式中对应的位置，注意： 若代入的是负数、分数或含运算的式子，需加括号(如x=-3时，应写成，而非)； 代入后，原代数式中的运算符号、括号保持不变。 1. 计算：按照“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里”的运算顺序计算。 3.示例 已知，求代数式的值： 解： 代入： 计算： 4.易错提示 符号错误：代入负数时漏加括号，如将算成(正确结果为4)； 运算顺序错误：如计算(x=5)时，误算为(正确)，但计算(x=5)时，漏算括号导致(正确应为)。 知识点04单项式 1.定义 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个字母也是单项式，如5、-a)。 特征：不含加法、减法运算(若含，需能化简为积的形式，如，化简后5x是单项式，但原式是多项式)。 2.单项式的两个核心要素 要素 定义 示例分析(以、、为例) 系数 单项式中的数字因数(包括前面的符号) 的系数是；的系数是(π是常数)；的系数是 次数 单项式中所有字母的指数之和(不含数字的指数) 的次数：2(x的指数)+1(y的指数)=3；的次数：2(r的指数，π是常数，不计入)；(常数项)的次数是0(无字母) 3.易错提示 系数符号：不要忽略系数的负号，如的系数是，而非5； π的处理：π是无理数(常数)，不是字母，因此的次数是1(仅a的指数)，系数是； 单独字母的系数与次数：如“a”的系数是1(省略不写)，次数是1(省略不写)，不要误判为系数0或次数0； 数字单项式的次数：如“8”“-3”等常数项，次数均为0(无字母，指数和为0)。 知识点05多项式 1.定义 几个单项式的和叫做多项式(多项式中必含加法或减法运算)。 示例：(由单项式、、相加组成)。 2.多项式的核心要素 要素 定义 示例分析(以为例) 项 多项式中的每个单项式(包括前面的符号) 项为：、、、(注意：项的符号不能遗漏) 常数项 多项式中不含字母的项 常数项是(单独的数) 次数 多项式中次数最高的项的次数(即“最高次项的次数”) 最高次项是(次数：3+1=4)，因此该多项式是“四次多项式” 项数 多项式中单项式的个数(项的个数) 共4项，因此该多项式是“四次四项式” 3.多项式的命名规则 “几次几项式”——先写“次数”(最高次项的次数)，再写“项数”(项的个数)，如： ：最高次项是(次数2)，共2项→“二次二项式”； ：最高次项是(次数4)，共3项→“四次三项式”。 4.易错提示 项的符号：多项式的项包含前面的符号，如的项是、、，而非、、； 次数判断：误将“所有项的次数之和”当作多项式的次数，如的次数是2(最高次项、的次数均为2)，而非2+2=4； 项数计数：不要漏数常数项，如是二项式(含和)，而非一项式。 知识点06整式的概念 1.定义 单项式和多项式统称为整式(整式的本质是“分母中不含字母”，若分母含字母，则为分式，不属于整式)。 2.整式的分类(知识体系) 整式： 单项式：单独的数、单独的字母、数与字母的积(如5、a、-3xy^2) 多项式：几个单项式的和(如2x+1、x^2-xy+3) 3.整式与非整式的区分 式子 是否为整式 理由分析 、 是 分别为单项式、多项式，分母不含字母 、(y≠0) 否 分母含字母(x、y)，属于分式 、 是 π是常数，分母不含字母 4.易错提示 分式与整式的混淆：如是整式(分母是常数2，可看作，单项式)，但是分式(分母是字母x)； 含根号的式子：若根号下不含字母(如)，是整式(常数项)；若根号下含字母(如），初中阶段暂不归类为整式（后续学习无理式）。 第3部分 期中常考题型 【题型1】代数式的识别与书写规范 1.期中考考点总结 考点1：判断一个式子是否为代数式（不含“”“”“”“”“”“”等关系符号，单独的数或字母也是代数式）； 考点2：代数式的书写规范（乘号省略/用“”、除法写成分数、数字在前字母在后、带分数化假分数）。 2.解题攻略 第一步：判断式子是否含关系符号，含则不是代数式； 第二步：若为代数式，按书写规则逐一检查（如“”需改为“”，“”需改为“”)。 【例题1】．（2024-2025•榆中县期末）下列式子中，符合代数式书写格式的是（　　） A．a÷c B．a×5 C． D． 【答案】C 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：A、正确的书写格式是，原书写错误，故此选项不符合题意； B、正确的书写格式是5a，原书写错误，故此选项不符合题意； C、原书写是正确，故此选项符合题意； D、正确的书写格式是x，原书写错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 2．（2024-2025•西吉县校级期末）下列各式中，书写格式正确的是（　　） A． B．mn C． D．ab×5 【答案】B 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是， 选项B正确， 选项C正确的书写格式是， 选项D正确的书写格式是5ab． 故选：B． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 3．（2024-2025•通道县期末）下列各式中，代数式的个数是（　　） ①；②26+38；③ab＝ba；④；⑤2a﹣1；⑥a；⑦；⑧5n+2． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：式子，26+38，，2a﹣1，a，，5n+2，符合代数式的定义，是代数式； 式子ab＝ba，是等式，不是代数式． 故代数式有7个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握代数式的定义． 4．（2024-2025•湛江校级期末）下列各式中，符合代数式书写规范的是（　　） A．a÷﹣b B．2a3 C．4×m D． 【答案】B． 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确，故此选项符合题意； 选项C正确的书写格式是4m，故此选项不符合题意； 选项D正确的书写格式是，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 【题型2】代数式意义的解读 1.期中考考点总结 考点1：理解代数式所表示的数量关系(如“”表示“的平方与的差”)； 考点2：结合实际场景解读代数式含义(如“”可表示“千克苹果，每千克元的总价”)。 2.解题攻略 第一步：按运算顺序拆分代数式(先算乘方/乘除，后算加减)； 第二步：结合题干场景(如购物、几何、行程)，用文字清晰表述运算关系，避免混淆运算顺序(如“”与“”意义不同)。、 【例题2】．（2024-2025•昭阳区期末）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价为x元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义描述正确的是（　　） A．原价加上4元后再打7折 B．原价打7折后再加上4元 C．原价加上4元后再打3折 D．原价打3折后再加上4元 【答案】B 【分析】x表示原价，得到表示在原价打7折的基础上加4元，进行判断即可． 【解答】解：代数式的含义为原价打7折后再加上4元； 故选：B． 【点评】本题考查代数式表示的意义，理解题意是关键． 6．（2024-2025•威县校级期末）下列代数式用自然语言的表示中错误的是（　　） A．a2﹣2ab+b2表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．m+2n表示m与n的2倍的和 C．a2+b2表示a与b的平方的和 D．（a+b）（a﹣b）表示a，b两数的和与差的乘积 【答案】C 【分析】逐项分析代数式的表达意义即可判断． 【解答】解：A．a2﹣2ab+b2表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍，故正确，不符合题意； B．m+2n表示m与n的2倍的和，故正确，不符合题意； C．a2+b2表示a的平方与b的平方的和，故错误，符合题意； D．（a+b）（a﹣b）表示a，b两数的和与差的乘积，故正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． 7．（2024-2025•平城区期末）代数式（a﹣b）2的意义是（　　） A．a，b两数的平方差 B．a与b的差的平方 C．a与b的平方的差 D．b，a两数的平方差 【答案】B 【分析】将代数式用语言叙述出来即可． 【解答】解：代数式（a﹣b）2的意义是a与b的差的平方． 故选：B． 【点评】本题考查代数式，掌握用语言叙述代数式的方法是解题的关键． 8．（2024-2025•邗江区期末）九月开学季，书店开展优惠活动，某套名著原价为m元，现售价为（0.7m﹣10）元，则下列说法符合题意的是（　　） A．原价减10元后再打7折 B．原价打7折后再减10元 C．原价打3折后再减10元 D．原价减10元后再打3折 【答案】B 【分析】本题0.7m即在原价的基础上打7折，﹣10即降价10元，据此求解即可． 【解答】解：由题意得，（0.7m﹣10）元表示的是在原价的基础上先打7折，然后再降价10元． 故选：B． 【点评】本题主要考查了代数式的意义，正确理解题意是解题的关键． 【题型3】列代数式(基础实际问题) 1.期中考考点总结 考点1：抓取实际问题中的关键词(如“多”“少”“倍”“分”“和”“差”“积”“商”)； 考点2：将文字描述的数量关系转化为代数式(如“的倍与的差”表示为“”)。 2.解题攻略 第一步：确定核心变量(用字母表示未知量，如设“单价为元”)； 第二步：根据关键词确定运算顺序(如“比的多”先算“”，再算“”，即“”)； 第三步：若结果带单位且代数式为和/差形式，整体加括号(如“元”)。 【例题3】．（2024-2025•蓬溪县校级期末）对于“x，y两数和的平方的2倍”，下列用代数式表示正确的是（　　） A．2x2+y2 B．2x2+2y2 C．2（x+y）2 D．2（x+y） 【答案】C 【分析】先表示x、y两数和的平方，再表示和的平方的2倍即可． 【解答】解：对于“x，y两数和的平方的2倍”，用代数式表示为：2（x+y）2， 故选：C． 【点评】本题考查的是列代数式，解决本题的关键是准确列出代数式． 10．（2024-2025•长沙校级开学）男生有a人，女生人数比男生的4倍少5人，下面可以表示女生人数的式子是（　　） A．4a﹣5 B．4a+5 C．（a﹣5）÷4 D．a÷4﹣5 【答案】A 【分析】女生人数比男生的4倍少5人，即先求出男生的4倍的人数，再减5即可． 【解答】解：男生有a人，男生的4倍：4a人，则男生的4倍少5人为（4a﹣5）人， 女生人数比男生的4倍少5人，即女生的人数是（4a﹣5）人， 故选：A． 【点评】本题考查了数的运算，解题的关键是根据数量关系列式． 11．（2024-2025•江陵县期末）超市出售某商品，先在原标价a的基础上提价20%，再打8折，则商品现售价为（　　） A．0.2×（1+20%）a B．0.2×（1﹣20%）a C．0.8×（1+20%）a D．0.8×（1﹣20%）a 【答案】C 【分析】根据售价＝原价×（1+提价率）×折数÷10即可求解． 【解答】解：根据售价＝原价×（1+提价率）×折数÷10， 得售价为：a（1+20%）×8÷10＝0.8×（1+20%）a， 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式，关键是搞清售价，提价率，打折数之间的关系． 12．（2024-2025•延长县期末）小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为11cm；如图②，5个纸杯的高度为13cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（n+10）cm B．（n+8）cm C．（2n+5）cm D．（2n+3）cm 【答案】B 【分析】根据题意可以求得每增加一个水杯增加的高度，然后根据题目中的数据即可求得把n个这样的杯子叠放在一起，高度是多少，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 每增加一个水杯，增加的高度是（13﹣11）÷（5﹣3）＝2÷2＝1cm， ∴把n个这样的杯子叠放在一起，高度为：11+（n﹣3）×1＝11+n﹣3＝（n+8）cm， 故选：B． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【题型4】直接代入求代数式的值 1.期中考考点总结 考点1：代数式的值的定义(用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算的结果)； 考点2：代入时的符号处理(如字母取负数/分数时需加括号)、运算顺序(先乘方，再乘除，后加减)。 2.解题攻略 第一步：“代”——用已知数值替换代数式中的字母(如时，需写为“”，避免写成“”)； 第二步：“算”——按“先乘方、再乘除、后加减”的顺序计算(有括号先算括号内)； 第三步：“验”——检查代入符号是否正确、运算步骤是否有误。 【例题4】．（2024-2025•海南一模）已知m＝1，n＝﹣2，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣3 D．4 【答案】D 【分析】把m＝1，n＝﹣2代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解：由题意可得： ∴原式＝2×1﹣（﹣2）＝2+2＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了代数式求值，正确进行计算是解题关键． 14．（2024-2025•琼中县一模）当x＝4时，则2x+1的值是（　　） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】D． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝4时，原式＝2×4+1＝9． 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 15．（2024-2025•乳山市期末）当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2，则当x＝﹣1时，该多项式的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2 【答案】A 【分析】由已知先求出a+b的值，再整体代入即可得到答案． 【解答】解：∵当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2， ∴a+b﹣2＝2， ∴a+b＝4， 当x＝﹣1时， ax3+bx﹣2 ＝﹣a﹣b﹣2 ＝﹣（a+b）﹣2 ＝﹣4﹣2 ＝﹣6， 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想的应用． 16．（2024-2025•鼓楼区校级月考）若a＝﹣2，则（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】B． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当a＝﹣2时，原式1． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【题型5】正反比例关系的判断 1.期中考考点总结 考点1：正比例关系(两个量比值一定，即，)； 考点2：反比例关系(两个量乘积一定，即，)； 考点3：区分“相关联的量”与“成比例的量”(如“长方形周长一定，长和宽”不成比例)。 2.解题攻略 第一步：确定两个相关联的量(如“路程、速度、时间”中的“速度”和“时间”)； 第二步：判断两个量的积是否为定值(反比例)或比值是否为定值(正比例)； 第三步：排除非定值情况(如“差一定”“和一定”的两个量不成比例)。 【例题5】．（2024-2025•威县校级开学）下面各项中，两种量不成正比例关系的是（　　） A．单价一定，总价和数量 B．圆柱体底面积一定，体积和高 C．长方形的长一定，面积和宽 D．工作总量一定，工作效率与工作时间 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫成正比例的量，它们的关系叫正比例关系，据此逐项分析即可求解． 【解答】解：根据正比例关系定义逐项分析判断如下： A、单价×数量＝总价，所以总价÷数量＝单价， 故当单价一定，即总价与数量的比值一定，所以总价和数量成正比例，不符合题意； B、圆柱的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积÷高＝底面积， 故当底面积一定，即圆柱的体积与高的比值一定，所以圆柱体的体积和高成正比例，不符合题意； C、长方形的面积＝长×宽，所以长方形的长＝长方形的面积÷宽， 故当长方形的长一定，即长方形的面积与宽的比值一定，所以长方形的面积和宽成正比例，不符合题意； D、工作效率×工作时间＝工作总量， 故当工作总量一定，即工作效率与工作时间的乘积一定，所以工作效率与工作时间不成正比例．符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正比例的意义和辨识．熟练掌握该知识点是关键． 18．（2024-2025•东港区校级开学）当a（a≠0）一定时，下面式子中x和y成正比例的是（　　） A．xy÷a＝1 B．xy C．a÷x＝y D．a+x＝y 【答案】B 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例． 【解答】解：A、xy÷a＝1，xy＝a，即积一定，所以x和y成反比例，故此选项不符合题意； B、xy，即，即商一定，所以x和y成正比例，故此选项符合题意； C、a÷x＝y，xy＝a，即积一定，所以x和y成反比例，故此选项不符合题意； D、a+x＝y，即y﹣x＝a，差一定，不成比例，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了辨识成正比例的量与成反比例的量，要求学生能够掌握． 19．（2024-2025•路北区期末）下列等式中，a，b两个量成反比例关系的是（　　） A．a+b＝0 B．ab＝﹣1 C．2a＝3b D．b＝2a 【答案】B 【分析】根据两个量的乘积为定值时，两个量成反比例关系，进行判断即可． 【解答】解：根据两个量的乘积为定值时，两个量成反比例关系逐项分析判断如下： A、和为定值，不是反比例关系，不符合题意； B、ab＝﹣1，积为定值，是反比例关系，符合题意； C、积不是定值，不是反比例关系，不符合题意； D、积不是定值，不是反比例关系，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查两个量之间的关系，熟练掌握该知识点是关键． 20．（2024-2025•德城区期末）如表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（　　） x 7 △ y 5 14 A．19.6 B．2.5 C．3.5 【答案】B 【分析】两个相关联的变量，如果这两种量对应的数的乘积是定值，这两种量成反比例关系，由此即可计算． 【解答】解：设“△”处应该填的数是a， 由题意得：14a＝7×5， ∴a＝2.5． ∴“△”处应填2.5． 故选：B． 【点评】本题考查反比例，关键是掌握反比例的定义． 【题型6】整体代入求代数式的值(提升) 1.期中考考点总结 考点1：整体思想的应用(无法单独求字母值时，将含字母的式子视为一个整体)； 考点2：待求式与已知式的变形关联(如已知“”，求“”需先变形为“”)。 2.解题攻略 第一步：观察已知式与待求式的结构(找相同的“整体”，如“”“”)； 第二步：对已知式或待求式进行等价变形(如将“”变形为“”)； 第三步：将整体值代入变形后的待求式，计算结果(注意符号和系数)。 【例题6】．（2024-2025•古蔺县期末）若2x﹣3y＝5，则10﹣4x+6y＝（　　） A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣2 【答案】B 【分析】先把10﹣4x+6y表示为10﹣2（2x﹣3y），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵2x﹣3y＝5， ∴10﹣4x+6y＝10﹣2（2x﹣3y）＝10﹣2×5＝10﹣10＝0． 故选：B． 【点评】本题考查了代数式求值：利用整体代入的方法计算代数式的值． 22．（2024-2025•淮南期末）若x2+x+1的值是8，则4x2+4x+9的值是（　　） A．37 B．25 C．32 D．0 【答案】A 【分析】先求得x2+x＝7，然后利用等式的性质得到4x2+4x＝28，然后整体代入求解即可． 【解答】解：∵x2+x+1＝8， ∴x2+x＝7． ∴4x2+4x＝28． 原式＝28+9＝37． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是求代数式的值，整体求解是解题的关键． 23．（2024-2025•河南期末）已知x2+3x+5的值为3，则代数式3x2+9x﹣3的值为（　　） A．0 B．﹣9 C．﹣7 D．3 【答案】B 【分析】原式变形后，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【解答】解：由题意得：x2+3x+5＝3， x2+3x＝﹣2， 则原式＝3（x2+3x）﹣3＝﹣6﹣3＝﹣9， 故选：B． 【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．（2024-2025•隆回县期末）若3a﹣2b＝5，则8+9a﹣6b＝ 　23　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵8+9a﹣6b＝9a﹣6b+8， ∴当3a﹣2b＝5时，原式＝9a﹣6b+8＝3（3a﹣2b）+8＝3×5+8＝23． 故答案为：23． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【题型7】程序框图中的代数式求值(提升) 1.期中考考点总结 考点1：理解程序框图的逻辑分支(如“”与“”对应不同代数式)； 考点2：含循环结构的程序中循环周期的寻找(如多次运算后结果重复出现)； 考点3：程序与代数式的转化(将流程转化为分段代数式)。 2.解题攻略 第一步：理清程序流程(从输入到输出的每一步判断条件和运算，标注关键分支)； 第二步：若输入值明确，按流程分步计算(如输入，先判断是否满足条件，再代入对应代数式)； 第三步：若含循环(如多次输出)，计算前次结果，找循环周期(如“”周期为)，再用“总次数周期”求余数确定结果。 【例题7】．（2024-2025•鼓楼区校级月考）如图是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣9，则最后输出的结果是　576　 ． 【答案】576． 【分析】按给出的计算程序，代入x＝﹣9计算可得结论． 【解答】解：当x＝﹣9时， （﹣9）×3＝﹣27， ﹣27﹣（﹣3）＝﹣24， （﹣24）2＝576． 故答案为：576． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 26．（2024-2025•五莲县期末）根据如图所示的计算程序，若输出的值为y＝﹣1，则输入的值x为（　　） A．﹣5或1 B．﹣5或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣5或1或﹣1 【答案】A 【分析】利用分类讨论的思想方法，根据程序图列出关于x的方程，解方程并依据题意解答即可． 【解答】解：当x为正数时， |x|﹣2＝﹣1， ∴|x|＝1， ∴x＝±1， ∵x为正数， ∴x＝1． 当x为负数时， x+4＝﹣1， ∴x＝﹣5． 综上，输入的值x为1或﹣5． 故选：A． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，一元一次方程的解法，利用分类讨论的思想方法，根据程序图列出关于x的方程是解题的关键． 27．（2024-2025•峄城区期末）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣9 C．﹣7 D．﹣27 【答案】C 【分析】根据程序运算图列出运算式子，再计算即可得． 【解答】解：∵输入，4x+1，﹣2＝﹣2，不小于﹣2， ∴将x＝﹣2再次输入：4x+1＝4×（﹣2）+1＝﹣7， 所以最后输出的结果是﹣7， 故选：C． 【点评】本题考查了程序运算图，读懂程序运算图是解题关键． 28．（2024-2025•平舆县期末）按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为﹣4，则输出的值为（　　） A．﹣10 B．28 C．﹣52 D．80 【答案】B 【分析】根据运算程序列式计算即可得解． 【解答】解：（﹣4）2＝16＞10， （16﹣9）×4＝7×4＝28， ∴输出的值为28， 故选：B． 【点评】本题考查了代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，按程序一步一步计算． 【题型8】几何图形中列代数式与求值(提升) 1.期中考考点总结 考点1：结合几何公式(面积、周长、体积)列代数式(如长方形面积长宽，用字母表示长/宽)； 考点2：不规则图形的面积拆分(如阴影面积整体面积空白面积)； 考点3：代入数值计算几何量(需注意单位统一)。 2.解题攻略 第一步：确定图形类型，回忆对应公式(如圆的面积，梯形面积)； 第二步：用字母表示未知量(如设圆的半径为，梯形的上底为)，根据公式列代数式； 第三步：若求不规则图形面积，采用“补全法”或“拆分法”转化为规则图形，再列代数式； 第四步：代入已知数值(如取，)，计算结果并标注单位。 【例题8】．（2024-2025•宁阳县期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．x2+3（x+2） D．（x+3）（x+2）﹣2x 【答案】A 【分析】根据图形，用代数式表示出图中阴影部分的面积，即可得到答案． 【解答】解：A、图中阴影部分面积为：x2+3x+2×3＝x2+3x+6，原说法错误，符合题意， B、图中阴影部分面积为：x（x+3）+6，原说法正确，不符合题意， C、图中阴影部分面积为：x2+3（x+2），原说法正确，不符合题意， D、图中阴影部分面积为：（x+3）（x+2）﹣2x，原说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的乘法，列代数式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 30．（2024-2025•上城区期末）如图，在周长为60的长方形ABCD中放入6个相同的小长方形，若小长方形面积为S，长为x，宽为y（x＞y），则（　　） A．若x＝2y，则AD＝AB B．若x＝4y，则AD＝2AB C．若x＝5，则S＝19 D．若x，y为整数，则S＝18 【答案】D 【分析】小长方形长为x，宽为y，根据图片可得AD＝2x+2y，AB＝3y+x﹣y＝x+2y，长方形ABCD的周长是60，所以2（2x+2y+x+2y）＝60，求出3x+4y＝30，再根据选项，注意验证，看是否成立即可． 【解答】解：因为AD＝2x+2y，AB＝3y+x﹣y＝x+2y， ∴2（AD+AB）＝60， 2（2x+2y+x+2y）＝60， 3x+4y＝30， A．当x＝2y时，AD＝2x+2y＝4y+2y＝6y，AB＝x+2y＝2y+2y＝4y，∴AD≠AB，故此选项不符合题意； B．当x＝4y时，AD＝2x+2y＝8y+2y＝10y，AB＝x+2y＝4y+2y＝6y，∴AD≠2AB，故此选项不符合题意； C．当x＝5时，则y，S＝5，故此选项不符合题意； D．若x，y为整数，因为3x+4y＝30，所以x＝2，y＝6；或x＝6，y＝3，因为x＞y，所以或x＝6，y＝3，此时S＝6×3＝18． 故选：D． 【点评】本题考查了列代数式、代数式求值，解决本题的关键是熟练运用长方形的周长公式和面积公式计算． 31．（2024-2025•桓台县期末）如图1，将一张长方形纸板的四角各减去一个边长为a的小正方形（阴影部分），制成如图2的无盖纸盒．若该纸盒的容积为2a2b，则原长方形纸板的周长为（　　） A．4a+2b B．2ab C．12a+2b D．4ab 【答案】C 【分析】设纸盒底部长方形的宽为x，根据容积为2a2b列出方程即可求解． 【解答】解：设纸盒底部长方形的宽为x， 依题意得：b×x×a＝2a2b， ∴x＝2a． 故长方形纸板的周长为：2（4a+2a+b）＝12a+2b． 故选：C． 【点评】此题主要考查列代数式，解题的关键是熟知单项式除以单项式的运算法则． 32．（2024-2025•西岗区期末）如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为a，半圆形弯道的直径为b．用代数式表示这条跑道的周长为（　　） A．a+2πb B．2a+πb C．a2+πb2 D．2a+πb2 【答案】B 【分析】根据图形可知这条跑道的周长为两个半圆的周长+两条直道为a的和，两个半圆正好是一个圆，然后列出代数式即可， 【解答】解：由图可得， 这条跑道的周长为：πb+2a， 故选：B． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【题型9】数式规律探索(单维度)(提升) 1.期中考考点总结 考点1：数字序列的规律(如差值恒定、比值恒定、与序号的乘方关系，如“”差值为)； 考点2：等式序列的规律(如“，”)； 考点3：用含(序号)的代数式表示第项规律。 2.解题攻略 第一步：列出“序号”与“对应数值/等式”的表格()； 第二步：分析数值变化规律——若差值恒定(如每次加)，则第项为“首项”；若与乘方相关(如)，则第项为“”； 第三步：验证规律(将代入代数式，看是否与已知值一致)； 第四步：根据规律求指定项(如时的数值)。 【例题9】．（2024-2025•科左后旗期末）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）：　（1）＝3　 ． 【答案】（1）＝3． 【分析】根据规律写出第n个等式并证明即可． 【解答】解：根据规律，第n个等式为（1）＝3． 证明：（1） ＝3． 故答案为：（1）＝3． 【点评】本题考查列代数式、有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 34．（2024-2025•乐清市期末）在一些日历牌上，我们可以发现日期数满足某些规律．如图是2025年6月的日历牌．若任意选择纵向的连续三个日期数，计算第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方，发现：9×23﹣162＝﹣49；5×19﹣122＝﹣49． （1）根据题目所给规律，再选择一个试一试，看看结果是否都相同． （2）请用代数式运算的知识说明理由． 【答案】见解析． 【分析】（1）选3、10、17来进行计算即可； （2）用a﹣7，a，a+7来表示这三个数，再列式计算出结果即可． 【解答】解：（1）3×17﹣102＝51﹣100＝﹣49． 结果相同． （2）设连续的三个数分别为a﹣7，a，a+7． （a﹣7）（a+7）﹣a2 ＝a2﹣49﹣a2 ＝﹣49． ∴任意选择纵向的连续三个日期数，第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方，结果为﹣49． 【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题意列代数式进行计算． 35．（2024-2025•濉溪县校级期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，； （1）依照上述规律，则可列式 　　 ， 　　 ． （2）用含n的式子表示你发现的规律：　　 ． （3）求式子的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据规律直接填空即可； （2）根据规律直接填空即可； （3）将各项写成两项之差的形式并求值即可． 【解答】解：（1），． 故答案为：，． （2）用含n的式子表示发现的规律为． 故答案为：． （3）原式＝1 ＝1 ． 【点评】本题考查列代数式，根据规律进行相关计算是解题的关键． 36．（2024-2025•南宁期末）【问题提出】妹妹：“哥哥，我有一种快速算出75×75的方法，先用100×7×8，再加上25，得到结果是5625．”妹妹的话引发了哥哥的兴趣．他通过查阅资料，围绕速算“两个两位数相乘的积”的规律开展了一系列探究活动． 【活动1】 阅读材料：用表示一个两位数，a代表十位上的数，b代表个位上的数，即． 观察思考：请观察下列运算规律 15×15＝100×1×2+5×5＝225， 25×25＝100×2×3+5×5＝625， 35×35＝100×3×4+5×5＝1225， …… （1）根据阅读材料，可知：　10a+5　 ； （2）观察运算规律，猜想：　100a（a+1）　 +5×5； 【推理证明】 （3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想． 【活动2】 （4）如果b+c＝10，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算的方法，并证明你的结论． 【答案】（1）10a+5； （2）100a（a+1）； （3）证明见解析过程； （4）100a（a+1）+bc，证明见解析过程． 【分析】（1）根据题意得出这个两位数的十位数字为a，个位数字为5，据此进行表示即可． （2）根据题中所给运算，发现规律即可解决问题． （3）按要求对（2）中发现的规律进行证明即可． （4）仿照上述过程得出规律，并进行证明即可． 【解答】解：（1）由题知， 的十位数字为a，个位数字为5， 所以10a+5． 故答案为：10a+5． （2）因为15×15＝100×1×2+5×5＝225， 25×25＝100×2×3+5×5＝625， 35×35＝100×3×4+5×5＝1225， …， 所以． 故答案为：100a（a+1）． （3）证明如下： （10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+5×5． （4）当b+c＝10时， 100a（a+1）+bc． 证明过程如下： （10a+b）（10a+c）＝100a2+10ab+10ac+bc＝100a2+10a（b+c）+bc． 因为b+c＝10， 所以100a2+10a（b+c）+bc＝100a2+100a+bc＝100a（a+1）+bc， 故100a（a+1）+bc． 【点评】本题主要考查了列代数式及有理数的混合运算，能根据十位及个位上的数字表示出这个两位数是解题的关键． 【题型10】图形规律探索(多维度)(培优) 1.期中考考点总结 考点1：图形数量与序号的多维度关联(如图形由“固定部分变化部分”组成，变化部分与的倍数/乘方相关)； 考点2：图形结构的规律(如“第个图形由层组成，每层有特定数量的小图形”)； 考点3：复杂图形的拆分分析(如“小正方形拼接的大图形，分内层和外层计数”)。 2.解题攻略 第一步：拆分图形组成(如将“三角形图案”拆分为“顶点部分边上部分”，或“固定个每次增加个”)； 第二步：列多组“序号图形数量”数据(如时个，时个，时个)，计算相邻数量的差值/比值； 第三步：推导通项公式(如差值为，首项为，则第项为“”)，并验证组以上数据； 第四步：若图形有多层/多部分，分别列各部分的代数式，再求和得到总数量。 【例题10】．（2024-2025•抚顺县期末）某种杯子的高度是15cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图，n个这样的杯子叠放在一起高度是 　（3n+12）cm （用含n的式子表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加3cm，从而可以得到n个杯子叠在一起的高度． 【解答】解：由图可得， 每增加一个杯子，高度增加3cm， 则n个这样的杯子叠放在一起高度是：15+3（n﹣1）＝（3n+12）cm， 故答案为：（3n+12）cm． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 38．（2024-2025•乐陵市校级开学）下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要 　（6n﹣1）　 枚棋子． 【答案】6n﹣1． 【分析】通过观察已知图形可以将“小屋子”分为屋顶和屋身两部分，屋顶的点的个数分别是1、3、5、7、…，即第n个小屋子的屋顶点的个数是2n﹣1；屋身的点的个数分别是4、8、12、…、即第n个图形的屋身是4n个；所以第n个小屋子共有6n﹣1，即可求出答案． 【解答】解：摆第1个“小屋子”需要1+4×1＝5枚棋子， 摆第2个“小屋子”需要3+4×2＝11枚棋子， 摆第3个“小屋子”需5+4×3＝17枚棋子， 按这种方式摆下去，摆第n个这样的“小屋子”需要2n﹣1+4n＝6n﹣1枚棋子． 故答案为：6n﹣1． 【点评】本题考查了列代数式——图形的变化类问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．注意由特殊到一般的分析方法． 39．（2024-2025•闵行区校级月考）自行车的链条由一个个小的链节组成，如图，每个链节的长度为2.5cm，链节与链节之间交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．则n个链节依次连在一起的长度是 　（1.7n+0.8）　 cm． 【答案】（1.7n+0.8）． 【分析】根据图形，可以发现连节长度的变化特点，从而可以写出n个链节依次连在一起的长度，进而问题可求解． 【解答】解：0.8+（2.5﹣0.8）n＝（1.7n+0.8）cm， 故答案为：（1.7n+0.8）． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 40．（2024-2025•蚌埠三模）数学兴趣小组在计算15×15，25×25，36×34等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为10的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算： 由上图可得15×15＝10×20+5×5＝225； 由上图可得25×25＝20×30+5×5＝625； 由上图可得36×34＝30×40+6×4＝1224． （1）请你帮助数学兴趣小组画出计算62×68的面积分解图并计算； （2）设这两个两位数的十位数字为a，个位数字分别为b，c，请用含a，b，c的代数式表示出你发现的计算规律，并证明． 【答案】（1）见解析，4216； （2）（10a+b）（10a+c）＝10a•10（a+1）+bc，见解析． 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【解答】解：（1）如图， 由图可得62×68＝60×70+2×8＝4216； （2）（10a+b）（10a+c）＝10a•10（a+1）+bc， 证明： 根据多项式乘多项式的运算法则可得： 左边＝100a2+10a（b+c）+bc＝100a2+100a+bc， 右边＝10a•10（a+1）+bc＝100a2+100a+bc， ∴该等式成立． 【点评】本题考查了有理数的乘法，多项式乘多项式的几何应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型11】代数式与实际问题综合(分段计费/方案选择)(培优) 1.期中考考点总结 考点1：分段计费场景的代数式表示(如打车费起步价超里程费用，分“里程”和“里程”)； 考点2：方案选择中的代数式比较(如两种收费方式，计算不同用量下的费用，选择更优方案)； 考点3：实际问题中的取值范围(如人数、数量为正整数)。 2.解题攻略 第一步：确定分段标准(如打车的、水费的)，分情况列代数式； 第二步：明确每段的单价/计费规则(如超后每千米元)，写出对应代数式(如里程时，费用)； 第三步：方案选择时，设未知量(如用量为)，分别列两种方案的代数式、，解方程找“费用相等点”，再分区间比较优劣； 第四步：结合实际取值范围(如为正整数)，确定最终方案。 【例题11】．（2024-2025•吉林二模）某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知某辆车某日17：00进入该停车场，停了x小时（x为正整数），若该辆车于当日的21：00～24：00间离场，则此次停车的费用为　（3x+6）　 元．（用含有x的式子表示） 停车时长 收费标准 不超过3小时的部分 5元/小时 超过3小时的部分 3元/小时 【答案】（3x+6）． 【分析】先计算停车的时间x的取值范围，后根据收费标准，列代数式即可． 【解答】解：根据题意，某辆车某日17：00进入该停车场，停了x小时（x为正整数），若该辆车于当日的21：00～24：00间离场， 停车时长x的范围是21：00﹣17：00＝4（小时），24：00﹣17：00＝7（小时），停了4≤x≤7小时，超过了3小时， 故收费为15+3（x﹣3）＝（3x+6）元， 故答案为：（3x+6）． 【点评】本题考查了分段收费问题，正确理解分段收费的意义是解题的关键． 42．（2024-2025•南昌期末）如图是某种窗户的形状（实线为窗框），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为am．（结果用π表示） （1）求窗户的面积； （2）求窗框的总长； （3）若a＝1，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米25元，窗框每米20元，窗框的厚度不计，求制作这种窗户需要的费用． 【答案】（1）； （2）（π+15）a（m）； （3）制作这种窗户需要的费用是元． 【分析】（1）窗户的面积＝4个小正方形的面积+半圆的面积； （2）窗框用料的总长度为所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+3条半径； （3）总费用为：玻璃的费用+窗框的费用． 【解答】解：（1）窗户的面积， m2； （2）窗框的总长， ＝πa+15a， ＝（π+15）a（m）； （3） （元）． ∴制作这种窗户需要的费用是（）元． 【点评】本题考查了列代数式表示实际问题，解题的关键是分清数量关系，抓住关键词语，正确的列出代数式． 43．（2024-2025•石狮市期末）某超市在春节期间对顾客实行优惠促销活动，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 不低于200元，但低于500元 九折优惠 不低于500元 500元部分给八折优惠，超过500元部分给七折优惠 春节期间，小亮两次到该超市购物，已知这两次优惠前的货款共计800元，其中第一次优惠前的货款为a元（200＜a＜300），若用含a的代数式表示两次购物的总付费，则小亮应付的总费用是　（0.2a+610）　 元． 【答案】（0.2a+610）． 【分析】根据题意，分别表示出第一次和第二次优惠后的付费金额，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为这两次优惠前的货款共计800元，且第一次优惠前的货款为a元（200＜a＜300）， 所以第二次优惠前的货款为（800﹣a）元，且第二次优惠前的货款高于500元． 根据表格中的优惠方案得， 第一次购物的付费金额为：0.9a元； 第二次购物的付费金额为：500×0.8+（800﹣a﹣500）×0.7＝（610﹣0.7a）元， 所以小亮应付的总费用为：0.9a+610﹣0.7a＝（0.2a+610）元． 故答案为：（0.2a+610）． 【点评】本题主要考查了列代数式，能根据题意分别得出两次购物的付费金额是解题的关键． 44．（2024-2025•沙坪坝区校级月考）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中π取3，长度单位为米）． （1）制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含x、y的代数式表示） （2）某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下： 甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折； 乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃． 当x＝0.1，y＝2时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？ 【答案】（1）30x2平方米的艺术玻璃，（10xy﹣30x2）平方米的实木材料； （2）当x＝0.1，y＝2时，制作一扇该屏风分别需要0.3平方米的艺术玻璃和1.7平方米的实木材料；该酒店在乙厂商购买屏风合算，最终总费用是1268元． 【分析】（1）根据3个形状由1个正方形和4个半圆形构成的图形面积得出艺术玻璃的面积，根据长方形的面积减去艺术玻璃的面积得出实木材料的面积； （2）将x＝0.1，y＝2代入（1）中代数式，求得艺术玻璃和实木材料的面积，进而分别计算甲、乙的费用，比较大小，即可求解． 【解答】解：（1）需要平方米的艺术玻璃，（10xy﹣30x2）平方米的实木材料； （2）当x＝0.1，y＝2时，30x2＝10×0.12＝0.3平方米的艺术玻璃， 10xy﹣30x2＝10×0.1×2﹣0.3＝1.7平方米的实木材料， 甲厂商：（0.3×500+1.7×800）×0.9＝1359（元）， 乙厂商购买实木材料费用：（元）， ∵1268＜1359， ∴该酒店在乙厂商购买屏风合算，最终总费用是1268元． 【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，有理数的混合运算的应用，掌握以上知识点是解题的关键． 【题型12】跨学科结合的代数式问题(培优) 1.期中考考点总结 考点1：提取跨学科场景中的数量关系(如物理中的“路程速度时间”、化学中的“物质质量密度体积”)； 考点2：将学科关系转化为代数式(如设速度为，时间为，则路程)； 考点3：结合学科常识确定变量取值(如速度为正数，密度为定值)。 2.解题攻略 第一步：回忆对应学科的核心公式(如科学中“功率”，为功，为时间)； 第二步：用字母表示未知量(如设为，为，则），根据公式列代数式； 第三步：若含变化关系（如“功率一定时，功与时间的关系”），判断正反比例（一定，与成正比例，即）； 第四步：代入学科数据（如，），计算代数式的值，结合学科单位作答。 【例题12】．（2024-2025•上蔡县校级月考）物理学中的杠杆原理可用公式“F1•L1＝F2•L2”表示．若L1＝1，L2＝2，F1＝6，则F2＝ 　3　 ． 【答案】3． 【分析】先将该公式变形为F2，再将L1＝1，L2＝2，F1＝6代入求解． 【解答】解：∵F1•L1＝F2•L2， ∴F2， ∴当L1＝1，L2＝2，F1＝6时， F23， 故答案为：3． 【点评】此题考查了代数式变式、求值的能力，关键是能准确理解并运用分式知识进行正确地计算． 46．（2024-2025•绥棱县校级期中）在物理电学中，常用公式U＝IR1+IR2+IR3求串联电路的总电压，当R1＝28.3，R2＝61.5，R3＝10.2，I＝3.1 时，电压U的值为（　　） A．200 B．210 C．300 D．310 【答案】D 【分析】把R1＝28.3，R2＝61.5，R3＝10.2，I＝3.1代入代数式解答即可． 【解答】解：把R1＝28.3，R2＝61.5，R3＝10.2，I＝3.1代入U＝IR1+IR2+IR3＝3.1×28.3+3.1×61.5+3.1×10.2＝310， 故选：D． 【点评】此题考查代数式求值，关键是把有关数值代入解答． 47．（2024-2025•嘉定区校级期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：（整个接水过程不计热量损失） 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度”．例：10ml的开水与25ml温水混合至50度，热传递关系为：10×（100﹣50）＝25×（50﹣30） （1）王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为t℃．①王老师的水杯容量为　400　 ml；②开水放出的热量为　12000﹣120t （结果用含t的代数式表示） （2）小李同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为420ml，温度为40℃的水，求小李同学接温水和开水的时间分别为多少秒？ 【答案】（1）①400，②14000﹣140t； （2）小李同学接温水和开水的时间分别为18秒和4秒． 【分析】（1）①王老师的水杯容量为14×20+15×8，即可求解；②由热传递关系得15×8（100﹣t），即可求解； （2）设小李同学接开水的时间分别为x秒，由热传递关系得15x（100﹣40）＝（420﹣15x）（40﹣30），即可求解． 【解答】解：（1）王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为t℃． ①王老师的水杯容量为： 14×20+15×8 ＝400（ml）， 故答案为：400； ②由题意得： 15×8（100﹣t） ＝12000﹣120t， 故答案为：12000﹣120t； （2）设小李同学接开水的时间分别为x秒， 15x（100﹣40）＝（420﹣15x）（40﹣30）， 解得：x＝4， （420﹣15×4）÷20＝18（秒）， 答：小李同学接温水和开水的时间分别为18秒和4秒． 【点评】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 48．（2024-2025•莲湖区期末）睡眠是打开创造力大门的一把神奇钥匙．科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间H（小时）可用公式（N是人的年龄）计算．请你用这个公式，计算12岁的小泽每天需要的睡眠时间（单位：小时）是（　　） A．8.6 B．8.8 C．9.6 D．9.8 【答案】D 【分析】将N＝12代入公式中求得对应的H的值即可． 【解答】解：当N＝12时， H9.8， 即12岁的小泽每天需要的睡眠时间是9.8小时， 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【题型13】新定义下的代数式应用(培优) 1.期中考考点总结 考点1：理解新定义规则(如定义“”，需明确运算符号“”的含义)； 考点2：将新定义转化为常规代数式运算(如根据“”的规则，代入具体数值计算)； 考点3：新定义与规律、求值的结合(如按新定义找序列规律)。 2.解题攻略 第一步：逐字分析新定义(圈画关键运算，如“”本质是平方差)； 第二步：将新定义中的字母替换为已知数值或代数式(如，时，)； 第三步：若含多步新定义运算(如“”)，先算括号内的“”，再算外层运算； 第四步：若与规律结合，按新定义计算前项，推导第项的代数式。 【例题13】．（2024-2025•沾化区期末）定义a﹣b＝0，则称a、b互容，若2x2﹣2与x+4互容，则6x2﹣3x﹣9＝　9　 ． 【答案】9． 【分析】先根据新定义求出2x2﹣x＝6，再把6x2﹣3x﹣9化为3（2x2﹣x）﹣9的形式，整体代入计算即可． 【解答】解：∵2x2﹣2与x+4互容， ∴2x2﹣2﹣（x+4）＝0， ∴2x2﹣x＝6， ∴6x2﹣3x﹣9 ＝3（2x2﹣x）﹣9 ＝3×6﹣9 ＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了代数式的求值，掌握乘法分配律的逆运算，把（2x2﹣x）看作一个整体进行计算是解题关键． 50．（2024-2025•和平区期末）定义一种运算“△”，对于两个有理数a和b，有a△b＝ab﹣（a+b），例如：﹣3△2＝﹣3×2﹣（﹣3+2）＝﹣6+1＝﹣5，则（﹣1）△（m﹣2）＝ 　﹣2m+5　 （用含m的代数式表示）． 【答案】﹣2m+5． 【分析】原式利用题中的新定义化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：根据题中的新定义得： （﹣1）△（m﹣2） ＝﹣1×（m﹣2）﹣（﹣1+m﹣2） ＝﹣m+2+1﹣m+2 ＝﹣2m+5． 故答案为：﹣2m+5． 【点评】此题考查了列代数式以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 51．（2024-2025•东阳市期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：a★b＝■，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题：2★4＝2×4﹣2﹣4＝2；3★（﹣1）＝3×（﹣1）﹣3+1＝﹣5；（﹣9）★5＝（﹣9）×5+9﹣5＝﹣41． （1）请你补全定义内容：a★b＝ab﹣a﹣b ．（用含a，b的代数式表示） （2）先计算（﹣7）★2和2★（﹣7），再说明新定义的运算“★”是否满足交换律，即a★b＝b★a是否成立． （3）若m★（﹣8）＝11★m，求m的值． 【答案】（1）ab﹣a﹣b； （2）（﹣7）★2＝﹣9，2★（﹣7）＝﹣9，新定义的运算“★”满足交换律，理由见解析过程； （3）m＝1． 【分析】（1）根据题意发现a★b的运算规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律进行计算即可． （3）根据（1）中发现的规律，建立关于m的等式，再进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为2★4＝2×4﹣2﹣4＝2；3★（﹣1）＝3×（﹣1）﹣3+1＝﹣5；（﹣9）★5＝（﹣9）×5+9﹣5＝﹣41， 所以a★b＝ab﹣a﹣b． 故答案为：ab﹣a﹣b． （2）由（1）知， （﹣7）★2＝﹣7×2+7﹣2＝﹣9；2★（﹣7）＝2×（﹣7）﹣2+7＝﹣9； 新定义的运算“★”满足交换律，理由如下： a★b＝ab﹣a﹣b，b★a＝ba﹣b﹣a， 所以a★b＝b★a， 即新定义的运算“★”满足交换律． （3）由m★（﹣8）＝11★m得， ﹣8m﹣m+8＝11m﹣11﹣m， 解得m＝1． 【点评】本题主要考查了列代数式及有理数的混合运算，理解题中所给新运算是解题的关键． 52．（2024-2025•深圳期末）类比用字母表示数，我们用“σ”来表示某种运算．对于任意元素a，b，若aσb＝bσa，那么这种运算满足交换律；若存在元素e，满足aσe＝eσa＝a，则称e为“σ运算”下的单位元；若两个元素经过“σ运算”后得到单位元，则这两个元素互为“σ运算”下的逆元． 例如，在有理数范围内，加法满足交换律，减法则不满足交换律，加法运算下的单位元是0，互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元． （1）在有理数范围内，乘法运算下的单位元是 　1　 ，﹣5在乘法运算下的逆元是 　　 ； （2）若a，b表示两个有理数，定义运算“*”，其运算法则为：a*b＝2ab﹣a﹣b+1，例如，若a＝2，b＝3，则a*b＝2×2×3﹣2﹣3+1＝8． ①“*运算”是否满足交换律 　是　 ．（填“是”或“否”）； ②求出“*运算”下的单位元； ③是否存在有理数在“*运算”下不存在逆元？若有，求出这个（些）数；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①是；②“*运算”下的单位元为1；③在有理数范围内，在“*运算”下不存在逆元． 【分析】（1）根据乘法运算的单位元和逆元的定义即可求解； （2）①根据题意计算a*b和b*a即可判断； ②根据题意可得2ax﹣a﹣x+1＝a，解方程即可求解； ③根据题意可得2ax﹣a﹣x+1＝e，整理得 （2x﹣1）a＝x+e﹣1，根据有理数范围内，不存在有理数在“*运算”下不存在逆元，可得2x﹣1＝0，解方程即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，乘法运算下的单位元是1，﹣5在乘法运算下的逆元是， 故答案为：； （2）①根据题意，可得a*b＝2ab﹣a﹣b+1，b*a＝2ab﹣b﹣a+1， ∴a*b＝b*a， ∴“*运算”满足交换律， 故答案为：是； ②设“*运算”下的单位元为x， 则a*x＝2ax﹣a﹣x+1＝a， ∴（2a﹣1）x＝2a﹣1， ∴x＝1， ∴“*运算”下的单位元为1； ③设a在“*运算”下的逆元为y， 则a*y＝2ay﹣a﹣y+1＝1， ∴（2a﹣1）y＝a， 当时，此时y不存在， ∴在有理数范围内，在“*运算”下不存在逆元． 【点评】本题考查了新定义运算，根据题意，理解新定义运算的规则是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 D C A A A 一．选择题（共5小题） 1．下列代数式符合书写要求的是（　　） A． B．m×3 C．m÷2n D．3mn 【答案】D 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是3m，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 2．某班有45名学生，其中25名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班45名学生的平均身高为（　　）厘米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用公式（男生的总身高+女生的总身高）÷45，即可得出答案． 【解答】解：根据题意即可得出． 故选：C． 【点评】本题主要考查列代数式，读懂题意是解题的关键． 3．当x＝2时，ax+3的值是5；当x＝﹣2时，代数式ax﹣3的值是（　　） A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】A 【分析】由当x＝2时，代数式ax+3的值为5就可得到一个关于a的方程，求出a的值，再把a的值及x＝﹣2代入代数式就可求出代数式的值． 【解答】解：根据题意得2a+3＝5， 解得：a＝1， 把a＝1以及x＝﹣2代入， 得：ax﹣3＝﹣2﹣3＝﹣5． 故选：A． 【点评】此题的关键是据已知条件求出a的值，再根据已知条件求代数式的值． 4．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 【答案】A 【分析】根据图形，可以用代数式表示出图中阴影部分的面积，本题得以解决． 【解答】解：由图可得， 图中阴影部分的面积为：x2+3x+2×3＝x2+3x+6，故选项A符合题意， x（x+3）+2×3＝x（x+3）+6，故选项B不符合题意， 3（x+2）+x2，故选项C不符合题意， （x+3）（x+2）﹣2x，故选项D不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 5．下列问题情境中，不能用代数式“4b”表示的是（　　） A．购买4瓶单价为b元的饮料所需的钱数 B．购买b瓶单价为4元的饮料所需的钱数 C．若一个正方形的边长为b，则4b表示该正方形的周长 D．若一个两位数的十位数字是4，个位数字是b，则4b表示这个两位数 【答案】D 【分析】先分别列出各选项代数式即可解答． 【解答】解：A．购买4瓶单价为b元的饮料所需的钱数为4b，不符合题意； B．购买b瓶单价为4元的饮料所需的钱数为4b，不符合题意； C．若一个正方形的边长为b，则4b表示该正方形的周长，正确，不符合题意； D．40+b表示这个两位数，原说法错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了列代数式，正确列出各选项的代数式成为解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．若m＝4，，则代数式﹣2m﹣4n的值是 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】将m＝4、代入﹣2m﹣4n运用有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：由题意得． 故答案为：﹣5． 【点评】本题主要考查代数式求值，准确的计算成为解题的关键． 7．若a2﹣2a﹣4＝0，则代数式3a2﹣6a+1＝ 　13　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由已知条件得出a2﹣2a＝4，再将要求的式子变形为3（a2﹣2a）+1，代入计算即可． 【解答】解：∵a2﹣2a﹣4＝0， ∴a2﹣2a＝4， ∴3a2﹣6a+1＝3（a2﹣2a）+1＝3×4+1＝13， 故答案为：13． 【点评】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键． 8．鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具（图（1）），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图（2）所示，这个面的面积为 ab﹣cd ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图形中的数据，可知这个面的面积为ab﹣cd． 【解答】解：由图（2）可得， 这个面的面积为ab﹣cd， 故答案为：ab﹣cd． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．用代数式表示“m与n和的平方”：　（m+n）2 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意即可列出相应的代数式，从而解答本题． 【解答】解：m与n和的平方为：（m+n）2 故答案为：（m+n）2． 【点评】本题考查列代数的知识，关键是看清题中的信息，不要把题意理解为m与n平方的和，造成解答错误． 10．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且|m|＝3，则的值为 　4或﹣2　 ． 【答案】4或﹣2． 【分析】由题意可得：a+b＝0，cd＝1，m＝±3再把相应的值代入运算即可． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，且|m|＝3， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±3， ∴1±3＝4或﹣2． 故答案为：4或﹣2． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 三．解答题（共8小题） 11．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 需要的天数/天 25 20 15 10 （1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据成反比例关系的两个量的关系判断即可； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系， 理由：∵12×25＝15×20＝300， ∴每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系； （2）300÷6＝50（页）， 答：平均每天要看50页． 【点评】本题考查了成反比例，熟练掌握反比例的定义是解题的关键． 12．某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（x＞2）． （1）若该客户按方案一购买，需付款 　（200x+1200）　 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款 　（180x+1440）　 元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝5时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意卖场购买微波炉2台，电磁炉x台，分别计算出需付款金额，即可求解； （2）将x＝5代入（1）中代数式，比较大小；即可求解． 【解答】解：（1）若该客户按方案一购买，需付款800×2+（x﹣2）×200＝200x+1200元， 若该客户按方案二购买，需付款（800×2+200x）×90%＝180x+1440元； 故答案为：（200x+1200）；（180x+1440）； （2）当x＝5时，方案一；200×5+1200＝2200（元）； 方案二：180×5+1440＝2340（元）， 因为2200＜2340， 所以按方案一购买较合算． 【点评】本题考查了列代数式，代数式求值的应用，列出代数式是关键． 13．北京时间2024年10月30日凌晨4时27分，长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十九号载人飞船．全国人民信受鼓舞，一中芙蓉中学开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． （1）用a、b的代数式表示该截面的面积S； （2）当a＝2cm，b＝2.5cm时，求这个截面的面积． 【答案】（1）2ab+2a2； （2）18cm2． 【分析】（1）根据题意用a、b表示截面面积即可求解； （2）将a＝2cm，b＝2.5cm代入S＝2ab+2a2，即可求解． 【解答】解：（1）截面面积：； （2）当a＝2cm，b＝2.5cm时， S＝2ab+2a2 ＝2×2×2.5+2×22 ＝18（cm2）， 答：这个截面的面积为18cm2． 【点评】本题考查代数式，熟练掌握计算代数式的值是解题的关键． 14．为了参加校园文化艺术节，书画社计划买一些宣纸和毛笔，现了解情况如下：甲、乙两家文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每张4元．甲商店的优惠办法是：买1支毛笔送1张宣纸；乙商店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．书画社想购买毛笔10支，宣纸x张（x＞10）． （1）若到甲商店购买，应付 　（4x+160）　 元；若到乙商店购买，应付 　（3.6x+180）　 元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝30时，去哪一家商店购买较合算？请计算说明． 【答案】（1）（4x+160）；（3.6x+180）；（2）到甲商店购买较为合算． 【分析】（1）到甲商店购买的费用：10支毛笔的费用+（x﹣10）张宣纸的费用；到乙商店购买的费用：（10支毛笔的费用+x张宣纸的费用）×0.9，把相关数值代入求解即可； （2）x＝30把代入（1）得到的式子进行计算，然后比较结果即可． 【解答】解：（1）根据题意，若到甲应付：（4x+160）元； 若到乙应付：（3.6x+180）元； 故答案为：（4x+160）；（3.6x+180）； （2）当x＝30时，4x+160＝4×30+160＝280， 3.6x+180＝30×3.6+180＝288， ∵280＜288， ∴到甲商店购买较为合算． 【点评】本题主要考查了代数式求值和列代数式，理解题意列出代数式是关键． 15．某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且AG＝2BG．设BG的长为2x米．（公共边共用一条篱笆）． （1）用含x的代数式表示AF的长为　4x 米； （2）用含x的代数式表示DF的长．（结果需化为最简形式） 【答案】（1）4x； （2）180﹣15x（米）． 【分析】（1）根据题意可得AF＝AG＝4x； （2）将DF、EC以外的线段用x表示出来，再用360减去所有线段的长再除以2可得DF的长度． 【解答】解；（1）设BG的长为2x米．则AG＝4x， ∵区域①是正方形， ∴AF＝AG＝4x， 故答案为：4x． （2）∵区域①是正方形， ∴AF＝AG＝GH＝FH＝4x米， ∴EH＝BG＝2x米，BE＝GH＝4x米， 则EF＝FH+EH＝6x米． ∵区域③是长方形， ∴DF＝CE，CD＝EF＝6x米， 则（米）． 【点评】本题考查了列代数式和整式的加减；熟练掌握以上知识点是关键． 16．国庆假期期间，某电影热映，公司组织员工去观影．该电影在奥斯卡影院的原票价为每人40元，当观影人数超过30人时，影院给出两种优惠方案： 方案一：付费200元购买团购优惠卡后，每人票价25元； 方案二：5人免票，其余每人按原价的九折优惠． （1）当观影的总人数是x（x＞30）时，用代数式表示方案一和方案二分别收费多少元？ （2）当观影的总人数是60人时，采用哪种方案省钱？请说明你的理由． 【答案】（1）方案一的收费是25x+200（x＞30），方案二的收费是36x﹣180（x＞30）； （2）方案一省钱，理由见解析． 【分析】（1）根据优惠方案分别列出代数式即可； （2）结合（1），求出两种方案所需费用，再比较即可； 【解答】解：（1）观影的总人数是x（x＞30）时，方案一的收费是25x+200（x＞30）， 观影的总人数是x（x＞30）时，方案二的收费是40×90%×（x﹣5）＝36（x﹣5）＝36x﹣180（x＞30）． （2）方案一省钱， 理由：方案一：当x＝60时，25x+200＝25×60+200＝1700元． 方案二：当x＝60时，36x﹣180＝36×60﹣180＝1980元． 因为1700＜1980，所以方案一省钱． 【点评】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，列出式子表示两种方案所需的费用． 17．运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用n表示一个人的年龄，用m表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，其中有氧运动时m＝0.8（220﹣n）；无氧运动时m＝0.9（220﹣n）． （1）一个15岁的人有氧运动所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ （2）一个20岁的人无氧运动，测得10秒钟的心跳次数为31次，他有危险吗？ 【答案】（1）164次；（2）他有危险． 【分析】（1）将n＝15代入m＝0.8（220﹣n）中求值即可． （2）将n＝20代入m＝0.9（220﹣n）中求出m，再求出的值，与m比较即可得出结论． 【解答】解：（1）由条件可知：m＝0.8（220﹣n）＝0.8×（220﹣15）＝164， ∴一个15岁的人有氧运动所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次． （2）当n＝20且为无氧运动时， m＝0.9（220﹣n）＝0.9×（220﹣20）＝180， ， ∵180＜186， ∴他有危险． 【点评】本题主要考查了代数式求值，读懂题意，把符合条件的字母的值代入代数式进行计算是解题的关键． 18．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时的多项式的值用f（某数）来表示． 例如x＝﹣1时多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7， 已知g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，h（x）＝ax3+2x2﹣x （1）求g（﹣2）的值； （2）若h（﹣2）＝14，求g（a）的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据举的例子把x＝﹣2代入求出即可； （2）把x＝﹣2代入h（x）＝ax3+2x2﹣x﹣12得出一个关于a的方程，求出a的值，把a的值代入g（x）＝﹣2x2﹣3x+1即可． 【解答】解：（1）g（﹣2）＝﹣2×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1 ＝﹣2×4﹣3×（﹣2）+1 ＝﹣8+6+1 ＝﹣1； （2）∵h（﹣2）＝14， ∴a×（﹣2）3+2×（﹣2）2﹣（﹣2）＝14， 解得：﹣8a＝4， 即a ∴g（a）＝﹣2×（）2﹣3×（）+1 ＝﹣21 ＝2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算和新定义，关键是培养学生的阅读能力和理解能力，也培养学生的计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． 学科网（北京）股份有限公司 $