4.1整式 教学设计2025-2026学年人教版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦“整式”核心知识点，涵盖单项式、多项式的概念、系数、次数、项及整式分类。通过长方形面积、购物花费等实际情境导入，引导学生从具体数量关系抽象出含字母式子，衔接旧知“数”与新知“整式”，搭建学习支架。 以核心素养为导向，情境抽象培养数学抽象能力，如从实际问题提炼含字母式子，探究环节通过辨析练习与分类梳理培养逻辑推理，实际应用问题（如总利润计算）渗透数学建模。助力学生提升抽象思维与应用意识，为教师提供清晰教学流程与易错点指导，提升教学效率。

4.1整式 教学设计 一、核心素养目标 1.数学抽象：从实际情境中抽象出数量关系，理解【单项式】【多项式】【整式】的概念，形成符号感。2.逻辑推理：通过分析单项式的系数、次数及多项式的项、次数等特征，培养分类与归纳推理能力。3.数学建模：运用整式表示实际问题中的数量关系，建立简单的数学模型。4.运算能力：初步掌握单项式、多项式的相关辨析方法，为后续整式运算奠定基础。 二、教学重难点 （一）重点 1.单项式的概念、系数与次数的辨析。2.多项式的概念、项、常数项及次数的辨析。3.整式的概念及单项式与多项式的分类。 （二）难点 1.单项式系数中符号的识别（如负系数、系数为1或-1的情况）。2.单项式次数的正确判断（仅含字母的次数和，与系数无关）。3.多项式次数的判断（多项式中次数最高项的次数）。4.运用整式表示实际情境中的复杂数量关系。 三、教学过程 （一）议题导入：用符号表达数量——从具体到抽象的跨越 1.教师呈现3个实际情境问题，引导学生用含有字母的式子表示数量： 情境1：若一个长方形的长为a，宽为3，这个长方形的面积是多少？（学生回答：3a） 情境2：买1个单价为x元的笔记本，2支单价为y元的钢笔，一共需要花费多少元？（学生回答：x+2y） 情境3：一个正方体的棱长为m，它的表面积是多少？体积是多少？（学生回答：6m²、m³） 2.师生互动：教师提问：“这些式子3a、x+2y、6m²、m³与我们之前学过的数有什么不同？它们能表示哪些意义？”引导学生发现式子中含有字母，可表示不确定的数量关系。教师总结：“像这样含有字母的式子在数学中有着重要作用，今天我们就来系统学习这类式子——整式。” （二）探究一：单项式的概念与相关特征 1.概念抽象：识别单项式 （1）教师呈现一组式子：3a、6m²、m³、-5x、7、πr²，提问：“观察这些式子，它们的构成有什么共同特点？” （2）师生互动：学生分组讨论后发言，教师引导总结：这些式子都是数或字母的积，这样的式子叫做单项式。特别强调：单独的一个数（如7）或一个字母（如a）也叫做单项式（单独的数可看作数与字母的0次幂的积，单独的字母可看作1与字母的积）。 （3）辨析练习：判断下列式子是否为单项式：①x+y②-2ab③1/x④0⑤a。学生判断后，教师逐一讲解：①是和的形式，不是积，不是单项式；②是数与字母的积，是单项式；③是商的形式，不是积，不是单项式；④单独的数，是单项式；⑤含开方运算，不是数与字母的积，不是单项式。 2.核心特征：单项式的系数与次数 （1）系数：教师讲解：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。例如：3a的系数是3，-5x的系数是-5，πr²的系数是π（π是常数），7的系数是7，m的系数是1（省略不写的1），-n的系数是-1（省略不写的-1）。 师生互动：练习：说出下列单项式的系数：①2x²②-3/2y③πab④-k。学生回答后，教师纠正易错点：负号要包含在系数中，常数π是系数的一部分，单个字母的系数是1或-1。 （2）次数：教师讲解：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如：3a中字母a的指数是1，次数是1（一次单项式）；6m²中字母m的指数是2，次数是2（二次单项式）；x²y中字母x的指数是2、y的指数是1，指数和为3，次数是3（三次单项式）；单独的数（如7）的次数是0（零次单项式）。 师生互动：第一步：教师举例示范判断单项式次数的方法，如“判断-4x³y²的次数”：先找出所有字母x、y，它们的指数分别是3和2，指数和为3+2=5，因此次数是5。第二步：练习：说出下列单项式的次数：①5a³②-2xy²③7x⁴y④0。学生回答后，教师强调：次数是所有字母指数的和，与系数无关；零次单项式的次数是0。 （三）探究二：多项式的概念与相关特征 1.概念抽象：识别多项式 （1）教师呈现一组式子：x+2y、a²+3a-2、m²n-mn+1，提问：“这些式子与单项式有什么不同？它们的构成有什么特点？” （2）师生互动：学生观察后发现：这些式子是由多个单项式相加组成的。教师总结：几个单项式的和叫做多项式。 （3）相关概念：教师讲解：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。例如：多项式x+2y中，项是x和2y，无常数项；多项式a²+3a-2中，项是a²、3a、-2，常数项是-2（注意项的符号要包含在内）。 师生互动：练习：说出多项式2x³-5x²+x-7的项和常数项。学生回答后，教师纠正：项为2x³、-5x²、x、-7，常数项是-7，强调项的符号不能遗漏。 2.核心特征：多项式的次数 （1）教师讲解：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。多项式的次数是几，就叫做几次多项式。例如：多项式x+2y中，最高次项是x（次数1）和2y（次数1），次数是1，叫做一次二项式；多项式a²+3a-2中，最高次项是a²（次数2），次数是2，叫做二次三项式。 （2）师生互动：第一步：教师举例示范判断多项式次数的方法，如“判断多项式3x²y-2xy+y³的次数”：先分别判断每一项的次数——3x²y的次数是2+1=3，-2xy的次数是1+1=2，y³的次数是3；再找出最高次项是3x²y和y³，次数是3，因此这个多项式是三次三项式。第二步：练习：判断下列多项式的次数和项数：①2x+1②x²-3x+4③5x³y-x²y²+7。学生回答后，教师强调：多项式的次数由最高次项的次数决定，与其他项的次数无关。 （四）探究三：整式的概念与分类 1.概念总结：整式的定义 教师提问：“结合我们学过的单项式和多项式，它们有什么共同特征？”引导学生发现：单项式和多项式都是由数和字母组成，且字母的指数都是非负整数。教师总结：单项式和多项式统称为整式。 2.分类梳理：整式的分类 （1）教师呈现整式分类框架： 整式⎧单项式（单独的数、单独的字母、数与字母的积） ⎩多项式（几个单项式的和） （2）师生互动：练习：将下列式子分类填入整式、单项式、多项式：①3x②-4③x+y④1/x⑤πr²⑥a²-2ab+b²。学生分类后，教师讲解：①②⑤是单项式，也是整式；③⑥是多项式，也是整式；④不是整式（是分式）。强调：整式不包含分式（分母含字母的式子）和根式（含开方运算且被开方数含字母的式子）。 （五）议题升华：整式的应用——用抽象符号解决实际问题 1.教师呈现实际应用问题： 问题1：某班有男生m人，女生人数比男生人数的2倍少3人，用整式表示该班的总人数。 问题2：一个长方体的长为2acm，宽为acm，高为hcm，用整式表示该长方体的体积和表面积。 2.师生互动： （1）学生独立思考后写出整式，小组内交流思路。 （2）教师引导学生分析：问题1中，女生人数为2m-3，总人数为男生人数加女生人数，即m+(2m-3)=3m-3（多项式）；问题2中，体积为长×宽×高，即2a×a×h=2a²h（单项式），表面积为2(长×宽+长×高+宽×高)，即2(2a×a+2a×h+a×h)=2(2a²+3ah)=4a²+6ah（多项式）。 （3）教师总结：整式能够简洁、准确地表示实际问题中的数量关系，是解决实际问题的重要数学工具，体现了数学抽象的价值。 四、重点知识归纳概括 （一）核心概念梳理 1.单项式：数或字母的积组成的式子，单独的一个数或一个字母也叫单项式。核心特征：只含乘法（包括乘方）运算，不含加减、除法（分母不含字母）运算。 2.多项式：几个单项式的和组成的式子。核心特征：由多个单项式相加而成，含加减运算，每个项的符号要包含在内。 3.整式：单项式和多项式统称为整式。核心特征：字母的指数为非负整数，不含分式（分母含字母）和根式（被开方数含字母）。 （二）单项式的系数与次数 1.系数：单项式中的数字因数，包含前面的符号。特殊情况：单个字母的系数为1或-1（如a的系数是1，-b的系数是-1）；单独的数的系数是它本身（如5的系数是5）；含π的单项式，π是常数，作为系数的一部分（如πx的系数是π）。 2.次数：所有字母的指数的和。特殊情况：单独的数的次数是0（零次单项式）；单个字母的次数是1（一次单项式）；多个字母的次数是各字母指数之和（如x²y³的次数是2+3=5）。 （三）多项式的项、常数项与次数 1.项：多项式中的每个单项式，项的符号要包含在内（如多项式x²-3x+2的项是x²、-3x、2）。 2.常数项：多项式中不含字母的项（如多项式2x³-5的常数项是-5）。 3.次数：多项式中次数最高的项的次数，多项式的次数决定其名称（如三次二项式表示次数为3、项数为2的多项式）。 （四）整式的分类逻辑 1.分类依据：根据式子的构成形式，先判断是否为单项式（积的形式），若为多个单项式的和则为多项式，两者均属于整式。 2.排除范围：分式（如1/x、2/(a+b)）和根式（如x、(x+1)）不属于整式。 （五）易错点警示 1.单项式系数遗漏符号（如将-2x的系数误认为2）。2.单项式次数计算错误（如将3x²y的次数误认为2，忽略y的指数1）。3.多项式项的符号遗漏（如将x-y的项误认为x、y，实际为x、-y）。4.多项式次数判断错误（如将多项式2x³+3x²y的次数误认为3，实际最高次项是3x²y，次数为3）。5.混淆整式与分式、根式（如将1/x误认为整式）。 五、练习 （一）单选题 1.下列式子中，属于单项式的是（） A.x+1 B.-2ab C.2/x D.x 2.单项式-3πx²y的系数是（） A.-3 B.3π C.-3π D.-3πx² 3.单项式5x³的次数是（） A.5 B.3 C.2 D.1 4.下列多项式中，属于二次三项式的是（） A.x³-2x²+1 B.x²+2x C.2x²-3x+4 D.3x-1 5.多项式x²-5x+6的常数项是（） A.6 B.-5 C.1 D.-6 6.下列式子中，不属于整式的是（） A.0 B.a²+b C.3/(x+1) D.-4x 7.单项式-xy²的次数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 8.多项式3x²y-2xy²+y³的次数是（） A.2 B.3 C.4 D.5 （二）材料分析/解答题（9-10题） 9.阅读材料，回答问题。 材料：整式是初中数学的重要基础内容，包括单项式和多项式。单项式是数或字母的积，其系数是数字因数，次数是所有字母指数的和；多项式是几个单项式的和，组成多项式的每个单项式叫做项，不含字母的项是常数项，多项式的次数是最高次项的次数。运用整式可以表示实际问题中的数量关系，体现了数学的抽象性和应用性。例如，用整式表示“一个数x的3倍与2的差”为3x-2，这是一个一次二项式。 （1）指出单项式-5x²y³的系数和次数； （2）判断多项式2x³-4x²+5x-1的次数和项数，并写出它的常数项； （3）用整式表示“比a的平方大3的数”，并判断该整式的类型。 10.解答下列问题。 （1）已知单项式-2x^my³的次数是5，求m的值； （2）已知多项式x³+(k-1)x²-2x+3是三次三项式，求k的值； （3）某商场销售一种进价为每件n元的商品，售价为每件m元，卖出20件后，剩余商品按售价的8折销售，若剩余15件商品全部卖出，用整式表示该商场销售这批商品的总利润（利润=售价-进价）。 六、答案解析 1.答案：B解析：单项式是数或字母的积，单独的数或字母也叫单项式。A是多项式，C是分式，D是根式，均不属于单项式；B是数与字母的积，属于单项式，故选B。 2.答案：C解析：单项式的系数是数字因数，包含前面的符号，π是常数，因此-3πx²y的系数是-3π，故选C。 3.答案：B解析：单项式的次数是所有字母的指数和，5x³中字母x的指数是3，因此次数是3，故选B。 4.答案：C解析：二次三项式是次数为2、项数为3的多项式。A是三次三项式，B是二次二项式，C是二次三项式，D是一次二项式，故选C。 5.答案：A解析：多项式的常数项是不含字母的项，x²-5x+6中不含字母的项是6，因此常数项是6，故选A。 6.答案：C解析：整式包括单项式和多项式，不含分式和根式。A是单项式（整式），B是多项式（整式），C是分式（分母含字母），不属于整式，D是单项式（整式），故选C。 7.答案：C解析：单项式-xy²中字母x的指数是1，y的指数是2，指数和为1+2=3，因此次数是3，故选C。 8.答案：B解析：多项式的次数是最高次项的次数。3x²y的次数是2+1=3，-2xy²的次数是1+2=3，y³的次数是3，最高次项的次数是3，因此多项式的次数是3，故选B。 9.答案：（1）系数是-5，次数是5。解析：单项式-5x²y³的数字因数是-5（系数），字母x的指数是2、y的指数是3，指数和为2+3=5（次数）。（2）次数是3，项数是4，常数项是-1。解析：多项式2x³-4x²+5x-1的最高次项是2x³（次数3），因此次数是3；项为2x³、-4x²、5x、-1，共4项；不含字母的项是-1（常数项）。（3）整式为a²+3，是二次二项式（多项式，属于整式）。解析：“比a的平方大3的数”即a²+3，由两个单项式相加组成，是多项式，属于整式，最高次项是a²（次数2），项数是2，因此是二次二项式。 10.答案：（1）m=2。解析：单项式的次数是所有字母指数和，-2x^my³的次数是m+3，已知次数是5，因此m+3=5，解得m=2。（2）k=1。解析：三次三项式的项数是3，多项式x³+(k-1)x²-2x+3中，若项数为3，则需有一项的系数为0，且最高次项是x³（次数3，符合三次多项式要求）。因此(k-1)x²的系数k-1=0，解得k=1（此时多项式为x³-2x+3，是三次三项式）。（3）总利润为[20(m-n)+15(0.8m-n)]元（或化简为32m-35n元）。解析：总利润=总售价-总进价。总售价=20m+15×0.8m=20m+12m=32m；总进价=(20+15)n=35n；因此总利润=32m-35n，也可分步表示为20(m-n)+15(0.8m-n)，两者均为整式。 学科网（北京）股份有限公司 $