练案21 高考大题规范解答——函数与导数-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习练案

练案[21] 高考大题规范解答— 函数与导数 1.(2025·重庆质检节选)已知()=2a(nx)2-(a3.(2024·全国甲卷)已知函数(x)=(1-ax)hn(1+x) +x)lnx+2x-2,a>0. (1)当a=-2时，求f(x)的极值； (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. (2)若ae(0,e),讨论f(x)的零点个数. 2.(2025·黑龙江龙东地区联考)已知函数f(x)=r+4.(2025·天津河北区期中)已知函数f(x)=(m-1)e In x+e*-1 (m∈R)在x=0处取得极小值， (1)当a=1时，求曲线f(x)在点(1f(1)处的切线方 (1)求m的值； 程； (2)求函数f(x)在点(1，f八1))处的切线方程； (2)若函数h(x)=f(x)+x2+lnx-e-1,讨论函数 h(x)的单调性. (3)若xe[-L,+))≥号+a恒成立，求实 数a的取值范围. 一321— 5.(2023·河北邢台一模)已知函数f(x)=a·e2+1-6.(2025·广东佛山禅城区调研)已知函数f(x)=ax2- 2e+受e-登 1+2ln x. (1)讨论f(x)的单调性； (1)当a=1时，求f八x)的极小值； (2)当a=1时，若存x1、x2在，满足f(x1)=-f(x2), (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 证明：x1+x2≥2； (3)对任意的x>0,∫'(x)≤xe2+2-nx-1恒成 立，其中∫'(x)是函数f(x)的导数，求a的取值范围. —322—2aln(4-x)-2aln x-4a 2ax, 所以，在(0,2)上h'()=-2a(2少 令：1=-a-Va-16 x(4->0, 即h(x)在(0,2)上递增， 名=二a+0-16 所以h(x)<h(2)=2aln2-2aln2-4a+4a=0, 则x1<x2·g(x)图象如图： 即f(4-x1)<f(x1)=f代x2)成立， 所以x1+2>4,得证. 当x∈（0,1)即x∈ 练案[21] -a-匠=16）时，g()>0, 4 1.[解析】(1)f(x)=nx-1)(a- h'(x)>0,h(x)为增函数， 当xe（(x1,x2), ①当a∈(0，e)时，f(x)在(0，a)单调递减，在(a,e)单调递增 在(e,+o)单调递减； 即e(6t亚)时. 4 ②当a=e时，f(x)在(0+o)单调递减； g(x)<0,h'(x)<0,h(x)为减函数， ③当a>e时，f(x)在(0，e)单调递减，在(e,a)单调递增，在(a, 当x∈(x2,+0), +∞)单调递减. (2)由(1)可知，当ae(0,e)时，fx)在(0，a)单调递减，在(a, 即e(-0+-6,+）时， 4 e)单调递增，在(e,+o)单调递减； 注意f1)=0,①当ae(0,1)时，fa)<f1)=0<fe), g(x)>0,h'(x)>0,h(x)为增函数. 综上，当a≥-4时，h(x)在(0，+o)上为增函数， x0时，fx)→+0；x+0时，f(x)→-0； 所以f代x)有3个零点； 当a<-4时，A(x在(0，-4-6) 4 ②当a=1时，f(a)=f1)=0,所以f(x)有2个零点； ③当ae(1,e)时a)<fI)=0,若fe)=e-号-2<0， |=a+=6,+x）,上为增函数， 4 即2e-4<a<e时，所以f(x)有1个零点； 在(-a--16-a+匠-16 4 上为减函数 若f代e)=e-分-2=0，即a=2e-4,所以f)有2个零点： 3.[解析](1)当a=-2时，f(x)=(1+2x)n(1+x)-x, 若e)=e-2-2>0,即1<a<2e-4时， 故r()=2h1+0+-1=2n1+)-++1, 1+x 所以f(x)有3个零点； 综上：①当2e-4<a<e时f(x)有1个零点； 西为=2h(1+0)=+1(-1.+)上为提面数 ②当a=1或a=2e-4时，f代x)有2个零点； 故f'(x)在(-1，+∞)上为增函数，而f'(0)=0, ③当ae(0,1)U(1,2e-4)时，f(x)有3个零点. 故当-1<x<0时f'(x)<0,当x>0时，f'(x)>0 2.[解析](1)由题意得，当a=1时f代x)=x+lnx+e-1, 故f代x)在x=0处取极小值且极小值为f(0)=0,无极大值. fw)1+e, 2fr)=-a(1+约+经-1=-an(1+)-q 1+x f1)=1+ln1+e°=2，f'(1)=1+1+e°=3， x≥0， .曲线f(x)在点(1，f1))处的切线方程为y-2=3(x-1), 设s(x）=-aln(1+x)-a+)匹，≥0， 整理得3x-y-1=0. 1+x (2)..h(x)=f()+x2+In x-e"-1, 则()+号-三+D+旦=-+2a+1 (1+x) (1+x)2 h(x)=ax+x2+2lnx,定义域为(0，+o), h'(x)=a+2x+2 当a≤-2时，s'(x)≥0，故s(x)在[0，+o)上为增函数， 故s(x)≥s(0)=0,即f”(x)≥0， 当x>0时，2x+2=22=4（当且仅当2=2即 所以f(x)在[0，+∞)上为增函数， 故f代x)≥f(0)=0. =1时等号成立) 当-2<a<0时，当0<x<-2a+时，(x)<0, .当a≥-4时，h'(x)≥0在xe(0,+∞)恒成立，h(x)在(0， +∞)上为增函数. 故（到0,2）上为滨西数。 当a<-4时，h(x)=a+2x+2_2x+ax+2 x 故在(0.2ag）上<0， 令g(x)=2x2+a+2(x>0), 方程2x2+ax+2=0的判别式4=a2-16>0, 甲在(0,2a出）上了)<0每九为城酒条， 方程有两个不相等的实数根1，x2, 且+=-号>0，=1>0， 故在(0,2)上)<0)=0，不合题意（合） 当a≥0，此时s'(x)<0在[0，+∞)上恒成立 .:>0,x2>0.解方程2x2+a+2=0 同理可得在[0，+0)上f(x)<f(0)=0恒成立，不合题意 得x=a±√-16 (舍)； 4 -593 练上，a≤号 血a<1,即-na>-1>-2且八-2)=号+是+1-2>0， 4.[解析](1)由fx)=(mx-1)e, 故fx)在(-，-lna)有一个零点. 可得f'(x)=(mx+m-1)e, 由f(0)=(m-1)e°=0，解得m=1, n9）。+e-含n会显h告>-h@, a 此时fx)=(x-1)e*,f'(x)=xe, 先证x>0时lnx≤x-1. xe(-∞，0)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 设m(x)=hx-(x-1),则m'(x)=1二兰 x x∈(0，+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当0<x<1时，m'(x)>0,当x>1时，m'(x)<0 故x=0是函数的极小值点，符合题意，所以m=1. 故m(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减。 (2)由题可得：f1)=0,f'(1)=e, 当x=1时，m(x)取到最大值m(1)=0, 在点(1，f1)处的切线方程为y=e(x-1) 仙。分n台e 故x>0时nx≤x-1. 即ex-y-e=0. (3》由Va[-1+)优动≥号+a恒底立， a a (侣-)+e+30, 1 则Vxe[-l,+∞)，a≤(x-1)e-号恒成立， a 因此f代x)在(-na,+o)上有一个零点. 令)=-10e-号，则g()=(。-10 综上，a的取值范围为(0，e). 当xe(-∞，0)时，e*<1,g'(x)>0,当xe(0,+0)时，e*>1, 6.[解析](1)f(x)的定义域为(0，+∞)， g'(x)>0, f()=2a+2-20 所以当xe[-1,+∞)时，g'(x)≥0恒成立， 当a≥0时f'(x)>0,f(x)在(0，+)上单调递增； 所以g(x)在[-1，+∞)上单调递增 当a<0时，令f'(x)=0, 所以=(-》=是子所以a5-二-分 e 2' 工或x=√ 得x=√a 工（舍去）， 所以实数口的取位范国为(-”，子] 当e(o√日)时>0： 5.[解析](1)f(x)的定义域为(-0，+∞）， 当a=1时()=2e2-2e+2-号 当（√日+）0， =2(e-10(4e+1), 所以)在(0，√石)上单调递增，在（√石+）上 令f'(x)=0,解得x=0. 单调递减。 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如表： 综上，当a≥0时f(x)在(0，+∞)上单调递增； (-0,0) 0 (0,+0) 当a<0时()在(0√日)上单调递指，在（√日 f'(x) 0 + +0）上单调递减。 f(x) 单调递减 1 (2)证明：证法一：当a=1时，f(x)=x2-1+2nx, 3 -e 单调递增 由fx1)=-fx2), 得x-1+2nx1=-(-1,+2ln2), 因此，当x=0时x)有极小值，极小信为0)=2-e 即x+x号=2-2n(x1x2), 由于lnx≤x-1,事实上，令g(x)=lnx-x+1, 2f)=2ae-2+e-ae-104e+1, g)=1 ①若a≤0，则f'(x)<0,所以f(x)在(-，+o)上单调递减， f(x)至多有一个零点. xe(0,1)时，g'(x)>0;x∈(1，+∞)时，g'(x)<0; ②若a>0,令f'(x)=0,解得x=-na. 所以g(x)mm=g(1)=0, 当x∈(-o,-na)时，f'(x)<0;当xe(-lna,+o)时， 所以g(x)=lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1. f'(x)>0,所以f(x)在(-o,-na)上单调递减，在(-lna, 所以(x1+2)2=2xx2+2-2n(x2)≥2xx2+2-2(x1x2-1) =4, +o)上单调递增. 所以当x=-lna时，f(x)取得极小值，即最小值，为f(-lna) 当且仅当x1x2=1时，等号成立，所以x1+2≥2，得证 证法二：当a=1时f(x)=x2-1+2lnx,f1)=0, =分÷+ha 由(1)知a=1时f孔x)在(0，+o)上单调递增， 当a=e时，由于f(-lna)=0,故f(x)只有一个零点； 当1≠2时，可证无1+2>2. 当ae(e,+0)时，由于分-日+ha>0,期-ha)>0, 不妨设0<龙<1<x2,要证x1+幻>2， 即证2>2-x1,即证f(2）>f(2-x1), 故f(x)没有零点； 因为f代x)=-fx2), 当ae0.0时，经号+h。<0,原月-ha)c0 所以即证f(x)+f代2-1)<0. 令g(x)=f代x)+f2-x),其中0<x<1, -594 g(到=（到+f2-)=2x+2-22-)-22 2 所以ln(-lnxo)+(-lnx)=ln2x+2xo, 因为0<x<1,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增， 令()=nx+(x>0),I()=+1>0, 所以g(x)<g(1)=0,所以fx1)+f2-x)<0, 所以l(x)在(0，+0)上单调递增， 所以x1+x2>2 因为l(-no)=l(2x),所以-n6=2xo, 当x1=x2时，因为f(x1)=-f(x2), 又xe(0,xo)时，g(x)<0;xe(xo,+∞)时，g'(x)>0, 所以f(x)=fx2)=0, 所以g(x)在(0，)上单调递减，g(x)在(xo,+0)上单调 所以x1=x2=1,所以x1+x2=2. 递增， 综上，x1+2≥2. 所以g)=g)e0,h。-le+2山-， (3)解法-f"(x)=2ax+2 2x0 2x0 所以a≤1，所以a的取值范围是(-o,1]. 由f(x)≤c2+2-lnx-1, 练案[22] 得2a≤xe2-hx-1,即a≤02-(n龙+ A组基础巩固 2x 1.B由题意知tana<0,cosa<0,根据三角函数值的符号规律可 所以对任意的x>0f'(x)≤2+2-lnx-1恒成立， 知，角α的终边在第二象限.故选B. 等价于as[-安] 2.B春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种 mi 为黄经15×5=75度.故选B. 由于e≥x+1,事实上，令g(x)=e-x-1, 3C若a为第二象限角，当a-时，可得2-7平在第四象限。 g'(x)=e-1, xe(-0,0)时，g'(x)<0;xe(0,+0）时 此时m2a<0,os2a>0,即A,B错误：当a-平时，可得ma g'(x)>0;所以g(x)min=g(0)=0, 所以g(x)=e*-x-1≥0，即e≥x+1. +a号+(-号)=0，甲D销误：由0为第二象限角可得 所以e2-(nx+1) 三ea-nx+ sina>0,cos<0,所以sina-cosa>0,即C正确.故选C. 2x 2x lnx+2x+1-(nx+1)=1, 4.B由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，可设出半 2x 径和弧长，表示出周长和面积公式，利用配方法即可求解，也可 当且仅当lnx+2x=0时，等号成立（方程显然有解）， 以应用均值定理求解。 [e-]1所以as1 解法一：设扇形半径为r,弧长为1，则周长为2r+1=100,面积为 s=7k,因为5=宁女=7(10-2)r=-f+580=-（ 所以a的取值范围是(-0,1]. 解法二f()=2a+2 25)2+625,所以当r=25时，S=625. 由f()≤e2+2-nx-1, 解法二（应用均值定理）：S=之=分(100-2r=(50-)r≤ =625,当且仅当50-r=r,即r=25时等号成立，故 得2ax≤xe2-lhnx-1, 即a≤心-+山，所以对任意>0， 选B. 2x 5.A根据题意r=10M1=√(2)2+12=5，由三角函数的定 f'(x)≤e2+2-ln-1恒成立， 义得cos&=￥=层=S故选A 等价于a≤[o2-(mx+)】 2x min 6B~0为第三象限角，“号为第二或第四象限角， 令g(x)=e2-0mx+山(e>0) 2x 又ws-eas号m号<0号是第二象限角 则g(x)= 2+2-2-2ae-hx- 2ve+In ,7C因为点P(停-)在第四象限，所以根据三角函数的定义 4x2 2x 令h(x)=2x2e2+lnx, 2 则'(x)=4e2(1+x)+上>0， 可知tan0= E 5又0e[0,2m).所以0= 6 所以h(x)在(0，+∞)上单调递增， 8.C画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，如图， 又A(）=号-2h2<0,a)=2E>0, 设圆心为O,依题意，OA⊥AC,OB⊥BC,O,A,C, B四点共圆， 所以子)4()<0， ∠ACB=2 ∠A0B=号 所以存在∈（任，1），使得4从)=0， .OA=OB,∴.△AOB为等边三角形，∴.OA=AB =12.6cm. 所以2ae20+lnxo=0,即-hxo=2xe2o, 所以ln(-lnxo)=ln2+2lnx+2xo, -595